(共15张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
小专题(十) 一次不等式(组)的应用
类型一 不等式组与平面直角坐标系的综合
1. (2024·东城区期中)若点A(1-a,a+2)在第二象限,则a的取值范围是 .
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a>1
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2. (2024·西城区段考)在平面直角坐标系中,定义P'(x+a,y+2a)(a≠0)为点P(x,y)的“a加反应点”.例如,点P(-2,3)的“3加反应点”为P'(1,9).
(1) 点P(-2,3)的“-1加反应点”的坐标是 .
(2) 已知点A(3,n),B(3,n+2).
① 若线段AB上存在点P,其“2加反应点”P'恰好落在x轴上,求n的取值范围;
(-3,1)
(2) ① 由题意,设点P(3,p)(n≤p≤n+2),∴ 点P的“2加反应点”P'的坐标为(5,
p+4).∵ 点P'(5,p+4)恰好落在x轴上,∴ p+4=0.∴ p=-4.∴ n≤-4≤n+2.∴ -6≤
n≤-4
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② 长方形DEFG的顶点坐标分别为D(-4,-2),E(-2,-2),F(-2,2),G(-4,2),若对于线段AB上的任意点P,都存在同一个a,使点P的“a加反应点”P'恰好落在长方形DEFG的边上,直接写出n的取值范围: .
8≤n≤10或12≤n≤14
解析:由①,得点P(3,p)(n≤p≤n+2),∴ 点P的“a加反应点”P'的坐标为(3+a,
p+2a).当点P'在长方形DEFG的边DE上时,p+2a=-2且-4≤3+a≤-2.∴ p=-2-
2a,-7≤a≤-5.∴ 8≤p≤12.∵ n≤p≤n+2,∴ 解得8≤n≤10.同理可得,
当点P'在长方形DEFG的边GF上时,12≤n≤14;当点P'在长方形DEFG的边DG上时,12≤n≤14;当点P'在长方形DEFG的边EF上时,8≤n≤10.综上所述,
n的取值范围是8≤n≤10或12≤n≤14.
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类型二 不等式组与方程(组)的综合
3. 已知且0
A. C. 04. (2024·海淀区期中)若关于x的一元一次方程2x-m+2=0的解是负数,则m的取值范围是 .
B
m<2
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5. 是否存在整数m,使得关于x,y的方程组的解满足x<0且y>0 若存在,求出整数m的值;若不存在,请说明理由.
存在 解方程组得根据题意,得解得-21
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6. (2023·东城区期中)若关于x,y的方程组的解满足不等式x+3y<6,求m的取值范围.
令由②-①,得x+3y=4m-1.又∵ x+3y<6,∴ 4m-1<6,解得m<
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类型三 不等式(组)与程序设计题的综合
7. 如图,从“输入x”到“结果是否小于18”为一次程序操作.若输入x后程序操作仅一次就停止了,则x的取值范围是 ( )
A. x≤8 B. x<8 C. x≥8 D. x>8
B
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8. 按如图所示的程序计算,若开始输入x的值为正整数,规定程序运行到“判断结果是否大于10”为一次运算.例如:当x=2时,输出结果为11.若经过两次运算就停止,则x可以取的所有值是 .
2或3或4
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类型四 不等式(组)与新定义型问题的综合
9. (2023·西城区期中)定义一种运算:a*b=则不等式2x*(x+3)>1的解集是 ( )
A. x>或x>-2 B. x>或-2C. x≥3或-210. (2024·西城区期中)给定实数a,b,记max{a,b}为a,b两数的最大者,min{a,
b}为a,b两数的最小者,如max{-2,3}=3,min{-3,2}=-3.特别地,max{a,a}=
min{a,a}=a.若min{5,2x+1}=max{5,x-1},则x的取值范围是 .
C
2≤x≤6
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12. 我们把称为二阶行列式,规定它的运算法则为=ad-bc.例如:=2×5-3×4=-2.
(1) 若=0,则x= ;若>0,则x的取值范围是 .
(2) 若正整数m,n满足-2<<0,求m+n的值.
x>1
(2) 由题意,得-2<4-mn<0,∴ 4n=5或m=5,n=1.∴ m+n=6
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(3) 若非负数x,y满足==k-1,求实数k的取值范围.
(3) 由题意,得3(x-1)-2y=-x+2y=k-1,∴ 解得∵ x,y均为非负数,∴ 解得k≥
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12. (2023·西城区期中)若一元一次方程的解是一元一次不等式组的解,则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程.
(1) 在方程① 3x-1=0,② x+1=0,③ x-(3x+1)=-5中,不等式组的关联方程是 (填序号);
(2) 若不等式组的一个关联方程的解是整数,则这个关联方程可以是 (写出一个即可);
③
答案不唯一,如2x-2=0
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(3) 若方程9-x=2x,3+x=2都是关于x的不等式组的关联方程,求m的取值范围.
(3) 解方程9-x=2x,得x=3,解方程3+x=2,得x=2,解不等式组得m1
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12(共12张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.3 一元一次不等式组
1. (2023·朝阳区期中)若不等式组的解集在数轴上的表示如图所示,则这个不等式组可以是 ( )
A. B. C. D.
2. (2023·怀柔区期末)已知a是负数,下列关于x的不等式组无解的是 ( )
A. B. C. D.
C
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C
3. (2024·海淀区模拟)在平面直角坐标系中,若点P(3-m,m-1)在第二象限,则m的取值范围是 ( )
A. m>1 B. m>3
C. m<1 D. 14. (1) (2023·丹东)不等式组的解集是 ;
(2) (2023·滨州)不等式组的解集是 .
B
x>6
3≤x<5
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5. (教材P139例1变式)解下列不等式组:
(1) (2024·海淀区模拟)
(2) (2024·北京)
(1) 2(2) -11
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(3) (2024·东城区一模)
(4) (2024·西城区模拟)
(3) -2≤x<4
(4) -31
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6. 下列数值不是不等式组的整数解的为 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
A
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7. (2024·西城区期中)已知a,b为非零有理数,下列四个不等式组中,解集有可能为-2A. B. C. D.
8. (1) 不等式组的最小整数解为 ;
(2) (2024·海淀区模拟)不等式组的解集为 .
B
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-11
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9. 写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组,使它的解
集是-110. (2024·东城区期中)关于x的不等式组恰好有2个整数解,则a的取值范围是 .
答案不唯一,如
4≤a<5
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11. 解下面的不等式组,并在数轴上表示解集:
(1) (2024·海淀区二模)
(2) (2024·海淀区期中)
(1) -(2) 1≤x<3 解集在数轴上表示如图②所示
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12. (教材P140例2变式)当x取哪些正整数值时,不等式≥x-2与2(x-2)<
3x都成立
解不等式≥x-2,得x≤3;解不等式2(x-2)<3x,得x>-4.∴ 不等式组的解集为-41
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13. 小玉准备给小玲打电话,但是她忘记了电话号码中的一个数字,依稀记得号码是284□9456(“□”表示忘记的数字).若“□”位置上的数字是不等式组的一个解,求“□”可能表示的数字.
由题意,得不等式组的解集为1
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13(共15张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第3课时 利用一元一次不等式解决方案问题
1. 某环卫公司准备购买A,B两种型号的清扫车共80台,其中B型清扫车的数量不少于A型清扫车的1.4倍.
(1) 该环卫公司最多购买A型清扫车多少台
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(1) 设购买A型清扫车x台,则购买B型清扫车(80-x)台.依题意,得80-x≥1.4x,解得x≤33.又∵ x为整数,∴ x的最大值为33.答:该环卫公司最多购买A型清扫车33台
(2) 已知A型清扫车4万元/台,B型清扫车6万元/台,则要使总费用不超过416万元,该环卫公司共有哪几种购买方案
(2) 设该环卫公司购买m台A型清扫车,则购买(80-m)台B型清扫车.依题意,得4m+6(80-m)≤416,解得m≥32.又由(1),得m≤33,且m为整数,∴ m可以取32,33.∴ 80-m对应取48,47.答:该环卫公司共有2种购买方案.方案1:购买32台A型清扫车,48台B型清扫车;方案2:购买33台A型清扫车,47台B型清扫车
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2. 为了提倡低碳环保,某公司决定购买10台节省能源的新设备,现有甲、乙两种型号的设备可供选购,经调查,购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元,购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.
(1) 求甲、乙两种型号设备每台的价格;
(1) 设甲型设备每台x万元,乙型设备每台y万元.由题意,得解得答:甲型设备每台12万元,乙型设备每台10万元
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(2) 该公司决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元(两种型号的设备都购买),该公司有哪几种购买方案
(2) 设购买甲型设备a台,则购买乙型设备(10-a)台.由题意,得12a+10(10-a)≤110,解得a≤5.又∵ a为正整数,∴ a=1,2,3,4,5.答:有5种购买方案:① 购买甲型设备1台,乙型设备9台;② 购买甲型设备2台,乙型设备8台;③ 购买甲型设备3台,乙型设备7台;④ 购买甲型设备4台,乙型设备6台;⑤ 购买甲型设备5台,乙型设备5台
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3. (2024·海淀区段考)某校举办了首届“数学展示”活动,为表彰在本次活动中表现优秀的学生,老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品.已知1个笔袋、2筒彩色铅笔原价共44元;2个笔袋、3筒彩色铅笔原价共73元.
(1) 每个笔袋、每筒彩色铅笔原价各多少元
(1) 设每个笔袋原价x元,每筒彩色铅笔原价y元.根据题意,得解得答:每个笔袋原价14元,每筒彩色铅笔原价15元
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(2) 商家举行优惠促销活动,具体办法如下:笔袋九折优惠;彩色铅笔不超过10筒不优惠,超出10筒的部分八折优惠.若买x个笔袋需要y1元,买x(x>10)筒彩色铅笔需要y2元.请用含x的式子表示y1,y2.
(3) 若在(2)的条件下购买同一种奖品100件,请分析购买哪种奖品省钱.
(2) y1=14×0.9x=12.6x y2=15×10+15×0.8×(x-10),即y2=12x+30(x>10)
(3) 当x=100时,y1=1260,y2=1230,1260>1230,∴ 购买彩色铅笔省钱
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4. 某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动,租用6辆大巴车和5辆中巴车恰好全部坐满.已知每辆大巴车的座位(不考虑司机位)比中巴车多17个,每辆大巴车和中巴车的租金分别为700元和350元.
(1) 求每辆大巴车和每辆中巴车的座位数.
(1) 设每辆大巴车有x个座位,每辆中巴车有y个座位.根据题意,得解得答:每辆大巴车有35个座位,每辆中巴车有18个座位
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(2) 经学校统计,实际参加活动的人数增加了30,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为使所有参加活动的师生均有座位,共有几种租车方案(两种车辆均租用)
(3) 在(2)的条件下,为使本次活动租金最少,该选用哪种租车方案 此时最少租金是多少 请直接写出租金最少的方案和最少租金.
(2) 由题意,易得共租用11辆车.设学校租用大巴车a辆,则租用中巴车(11-a)辆.根据题意,得35a+18(11-a)≥300+30,∴ a≥7.由题意,得a<11,且a是正整数,∴ a=8,9,10,即共有3种租车方案
(3) 租金最少的方案为租8辆大巴车和3辆中巴车,最少租金为6650元
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5. (2024·海淀区期末)根据以下学习素材,完成下面两个任务.
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学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践,体验草莓采摘、包装和销售的过程.学生们了解到该农场在包装草莓时,通常会采用精包装和简包装两种包装方式.
素材二 精包装 简包装
每盒1千克,每盒售价25元 每盒1.5千克,每盒售价35元
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解决问题
任务一 在活动中,学生共卖出350千克草莓,销售总收入为8500元,精包装草莓和简包装草莓各销售了多少盒
任务一:设精包装草莓销售了x盒,简包装草莓销售了y盒.根据题意,得解得答:精包装草莓销售了200盒,简包装草莓销售了100盒
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解决问题
任务二 现在需要对37.5千克草莓进行分装,既有精包装也有简包装,且恰好将这37.5千克草莓整盒分装完.每个精包装盒的成本为1元,每个简包装盒的成本为0.5元.若要将购买包装盒的成本控制在18元以内,请设计出符合要求的分装方案,并说明理由.
任务二:分装成3盒精包装,23盒简包装或分装成6盒精包装,21盒简包装
理由:设分装成m盒精包装,则分装成盒简包装.根据题意,得m+0.5
×≤18,解得m≤.又∵ m,均为正整数,∴ m的值为3或6.∴ 共有2种分装方案,方案1:分装成3盒精包装,23盒简包装;方案2:分装成6盒精包装,21盒简包装.
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5(共13张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
阶段训练(11.1~11.2)
一、 选择题
1. 一罐饮料净重300克,罐上标有“蛋白质含量≥0.6%”.其中,蛋白质的含量 ( )
A. 为1.8克 B. 大于1.8克
C. 不小于1.8克 D. 不大于1.8克
2. (2024·广州)若aA. a+3>b+3 B. a-2>b-2
C. -a<-b D. 2a<2b
C
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D
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3. (2024·宁夏)已知|3-a|=a-3,则a的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
4. 已知关于x的不等式2x>4的解都是不等式x-a>5的解,则a的取值范围是 ( )
A. a>-3 B. a≥-3
C. a≤-3 D. a<-3
A
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5. 若关于x的不等式5x+m≥7x的正整数解是1,2,3,4,则m的取值范围是 ( )
A. m<10 B. m≥8
C. 8≤m≤10 D. 8≤m<10
6. 小颖家每月水费都不少于15元,自来水公司的收费标准如下:若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.8元;若每户每月用水超过5立方米,则超过部分每立方米收费2元.小颖家每月的用水量至少是 ( )
A. 6立方米 B. 7立方米
C. 8立方米 D. 9立方米
D
C
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二、 填空题
7. 若-4a+2<-4b+2,则a b(填“>”“<”或“=”).
8. 如图表示某个关于x的不等式的解集,若x=m-2是该不等式
的一个解,则m的取值范围是 .
9. 某文艺团体为“希望工程”募捐组织了一场义演,共有50元和70元两种门票,某公司需购买100张门票,且票价为70元的票数不少于票价为50元的票数的2倍.购买这些门票最少需要 元.
10. 某电器商场促销,某型号冰箱的售价是每台2500元,进价是每台1800元.若商场需保证利润率不低于5%,则该型号冰箱每台最多降价 元.
>
m<-5
6340
610
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三、 解答题
11. 解不等式:
(1) 7-4(1-x)<3(2x-1);
(2) -≤1.
(1) x>3
(2) x≥-2
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12. 已知关于x,y的二元一次方程组
(1) 若方程组的解满足x-y=6,求m的值;
(2) 若方程组的解满足x<-y,求m的取值范围.
(1) 令由①+②,得8x-8y=4m+8,即x-y=m+1.∵ x-y=6,∴ m+1=6,解得m=10
(2) 由②-①,得2x+2y=8-4m,即x+y=4-2m.∵ x<-y,∴ x+y<0.∴ 4-2m<0,解得m>2
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13. (2024·山西)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中,水基灭火器的单价为540元/个,干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元,则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个
设购买这种型号的水基灭火器x个,则购买干粉灭火器(50-x)个.根据题意,得540x+380(50-x)≤21000,解得x≤12.5.∵ x为整数,∴ x的最大值为12.答:最多可购买这种型号的水基灭火器12个
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14. (2024·门头沟区期末)2024年4月25日,神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功.某航天模型销售店准备推出“神舟”和“天宫”两种模型.已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元;3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元.
(1) 每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元
(1) 设每个“神舟”模型的进价为x元,每个“天宫”模型的进价为y元.根据题意,得解得答:每个“神舟”模型的进价为60元,每个“天宫”模型的进价为30元
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(2) 该销售店老板计划购进“神舟”和“天宫”两种模型共100个,且每个“神舟”模型的售价定为90元,每个“天宫”模型的售价定为50元.如果该销售店销售这批模型的利润不低于2400元,那么最少购进多少个“神舟”模型
(2) 设购进m个“神舟”模型,则购进(100-m)个“天宫”模型.根据题意,得(90-60)m+(50-30)(100-m)≥2400,解得m≥40.答:最少购进40个“神舟”模型
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15. 某商店销售A,B两种头盔,进价和售价如下表:
(1) 该商店购进A,B两种头盔共100个,用去4600元,A,B两种头盔各购进了多少个
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种 类 A种 B种
进价/(元/个) 60 40
售价/(元/个) 80 50
(1) 设A种头盔购进了m个,B种头盔购进了n个.依题意,得解得答:A种头盔购进了30个,B种头盔购进了70个
(2) 经过几天销售后商店发现销量较好,于是又用5400元购进这两种头盔若干个.要想将这两次购进的头盔售完后所获总利润不低于3000元,则该商店第二次至少应购进A种头盔多少个
(2) 设该商店第二次购进A种头盔a个,则购进B种头盔=个.依题意,得(80-60)(30+a)+(50-40)≥3000,解得a≥70.又∵ a,均为整数,∴ a的最小值为70.答:该商店第二次至少应购进A种头盔70个
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15(共16张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.1 不 等 式
11.1.2 不等式的性质
第1课时 不等式的性质
1. (2024·朝阳区期末)若m>n,则下列结论正确的是 ( )
A. m+4>n+4 B. m-5-n D. <
2. 若bA. 7-a>b B. >1 C. > D. a2>b2
3. (2024·海淀区段考)如果由xay,那么a应满足的条件是 ( )
A. a≥0 B. a≤0 C. a>0 D. a<0
A
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D
4. (教材P125练习第1题变式)已知m>n,用“>”或“<”填空:
(1) m+4 n+4;
(2) m- n-;
(3) m-3a n-3a;
(4) m n;
(5) -m -n;
(6) 3-4m 3-4n.
>
>
>
>
<
<
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5. 用适当的不等号填空:
(1) 若a-1(2) 若-5a<-5b,则a b;
(3) 若3a+1<3b+1,则a b.
<
>
<
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6. (教材P125例2变式)先阅读下面的解题过程,再解答问题:
已知a>b,试比较-2024a+1与-2024b+1的大小.
解:∵ a>b①,
∴ -2024a>-2024b②.
∴ -2024a+1>-2024b+1③.
(1) 上述解题过程中,从第 步开始出现错误(填序号).
(2) 错误的原因是什么
②
(2) 错用不等式的性质3
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(3) 请写出正确的解题过程.
(3) ∵ a>b,∴ -2024a<-2024b.∴ -2024a+1<-2024b+1
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7. 若实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列不等式成立的是 ( )
A. accb
C. a+c>b+c D. a+bB
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8. 下列不等式的变形不正确的是 ( )
A. 若a>b,则a+3>b+3
B. 若a-b
C. 若-x-2y
D. 若-2x>a,则x>-a
D
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9. 如图,a,b,c三种物体的质量由小到大的关系是 ( )
A. aC. c10. 若a”“<”或“=”).
11. 有下列说法:① 若a>b,则ac2>bc2;② 若ac>bc,则a>b;③ 若a>b,且c=d,则ac>bd;④ 若ac2>bc2,则a>b.其中,正确的是 (填序号).
B
>
④
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12. a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示.有下列式子:① b-c>0;② a+b
>a+c;③ bc>ac;④ ab>ac.试分析它们是否成立,并说明理由.
都成立 理由:由数轴,可知a>b>0>c,∴ b-c>0.故①成立.∵ b>c,∴ a+b>a
+c.故②成立.∵ bac.故③成立.∵ b>c,a>0,∴ ab>ac.故④成立.
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13. (教材P125练习第2题变式)已知a<-2,利用不等式的性质写出下列各式的取值范围:
(1) a+10; (2) ; (3) -a; (4) 2a+3.
(1) a+10<8
(2) <-
(3) -a>
(4) 2a+3<-1
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14. 根据等式和不等式的性质,我们可以得到比较两数大小的方法:
(1) 若a-b>0,则a b;
(2) 若a-b=0,则a b;
(3) 若a-b<0,则a b;
(4) 这种比较大小的方法称为“作差法”,请运用这种方法解决下面的问题:比较4+3a2-2b+b2与3a2-2b+1的大小.
>
=
<
(4) ∵ 4+3a2-2b+b2-(3a2-2b+1)=b2+3>0,∴ 4+3a2-2b+b2>3a2-2b+1
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15. 已知关于x的不等式(1-a)x>2的两边都除以1-a,得x<,试化简:|a-1|+
|a+2|.
由题意,得1-a<0,解得a>1.∴ |a-1|+|a+2|=a-1+a+2=2a+1
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15(共22张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
第十一章总结提升
考点一 不等式的相关概念及性质
1. y与2的差不大于0,用不等式表示为 ( )
A. y-2>0 B. y-2<0
C. y-2≥0 D. y-2≤0
D
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2. 不等关系在生活中广泛存在.如图,a,b分别表示两位同学的身高,c表示台阶的高度.
图中两人的对话体现的数学原理是 ( )
A. 若a>b,则a+c>b+c B. 若a>b,b>c,则a>c
C. 若a>b,c>0,则ac>bc D. 若a>b,c>0,则>
A
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3. 某牛奶瓶上有这样的字样:保质期18天.如果用x天表示该牛奶生产出来的时间,那么该牛奶在保质期内可以用不等式表示为 .
4. 若x(m-2)y,则m的取值范围是 .
0m<2
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考点二 一元一次不等式的解法及应用
5. (2023·海淀区期末)不等式2x+1≤5的解集,在数轴上表示正确的是 ( )
6. 某种商品的进价为1600元,出售时标价为2400元,后来由于这种商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则最多可打 ( )
A. 6折 B. 7折 C. 8折 D. 9折
7. 当x 时,式子的值为非负数.
C
B
≥
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8. 解下面的不等式,并在数轴上表示解集:
(1) (2024·门头沟区期末)5x+1>3(x-1);
(2) (2024·西城区期中)≥1-.
(1) x>-2
(2) x≤-3
解集表示略
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9. 如图,折线ACB是一条公路的示意图,AC=8km.甲骑摩托车从A地沿这条公路到B地,速度为40km/h,乙骑自行车从C地到B地,速度为10km/h,两人同时出发,结果甲比乙早到6min.
(1) 求这条公路的长;
(2) 设甲、乙所行的时间为th,求甲没有超过乙时t的取值范围.
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(1) 设这条公路的长为xkm.由题意,得=-,解得x=12.
答:这条公路的长为12km
(2) 由题意,得40t≤10t+8,解得t≤.∵ t≥0,∴ 0≤t≤.∴ 当0≤
t≤时,甲没有超过乙
第9题
考点三 一元一次不等式组及其解法
10. (2024·海淀区期中)一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )
A
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11. 若关于x的不等式组的解集为-2A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
12. 若点P(2m-3,m+2)在第二象限,则m的取值范围是 .
13. (2024·西城区开学)解不等式组并写出它的所有非负整数解.
B
-2不等式组的解集是-31
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14. 若m>n>0,则下列结论一定正确的是 ( )
A. -3m>-3n B. <
C. 3+m<3+n D. a2m>a2n
15. 若关于x的一元一次不等式ax-2>0的解集为x<-2,则关于y的方程ay+2
=0的解为 ( )
A. y=-1 B. y=1
C. y=-2 D. y=2
B
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16. (2023·东城区期末)若不等式组有解,则实数a的取值范围是 ( )
A. a<-36 B. a≤-36 C. a>-36 D. a≥-36
17. 某校团员代表在3月“学雷锋”活动中购买点心与水果去敬老院慰问15位孤寡老人,其中要求给每位老人50元的慰问金,此次活动经费不超过990元,则最多可以给每位老人准备用于买点心与水果的费用为 ( )
A. 15元 B. 16元 C. 17元 D. 18元
C
B
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18. 已知关于x,y的方程组其中,-3≤a≤1.给出下列结论:
① 是方程组的解;② 当a=-2时,x,y的值互为相反数;③ 当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解;④ 若x≤1,则1≤y≤4.其中,正确的是 ( )
A. ①② B. ②③
C. ②③④ D. ①③④
C
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19. 不等式组的最大整数解为 .
20. 若关于x的不等式3x-2m21. 小明网购了一本书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜,甲说:“至少25元.”乙说:“至多22元.”丙说:“至多20元.”小明说:“你们三个人都说错了.”这本书的价格x(元)的取值范围是 .
22. (2024·海淀区段考)解不等式组并在数轴上表示解集.
1
322-1≤x<3 不等式组的解集在数轴上表示如图所示
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23. 已知关于x的方程2x-a=3的解是不等式1-<的最小整数解,求a的值.
∵ 1-<,∴ x>2.∴ 不等式的最小整数解为3.把x=3代入2x-a=3,得6-a=3,∴ a=3
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24. (2024·东城区期中)已知关于x,y的方程组的解满足x为非正数,y为负数.
(1) 求m的取值范围;
(1) 解方程组得根据题意,得解得-21
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(2) 当m取何整数时,不等式2mx+x<2m+1的解集为x>1
(2) 由(2m+1)x<2m+1的解集为x>1,知2m+1<0,解得m<-.由(1),得-2∴ -21
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25. (2024·丰台区期末)端午节是我国四大传统节日之一,粽子是端午节期间不可缺少的美食.小超妈妈了解到包3个蜜枣粽子和4个鲜肉粽子,需要糯米390克;包2个蜜枣粽子和5个鲜肉粽子,需要糯米400克.
(1) 包1个蜜枣粽子和1个鲜肉粽子各需要糯米多少克
(1) 设包1个蜜枣粽子需要糯米x克,包1个鲜肉粽子需要糯米y克.由题意,得解得答:包1个蜜枣粽子需要糯米50克,包1个鲜肉粽子需要糯米60克
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(2) 家中现有2.1千克糯米,以及足量的蜜枣和鲜肉,小超妈妈计划包蜜枣粽子和鲜肉粽子共40个,她最多能包多少个鲜肉粽子
(2) 设包鲜肉粽子a个,则包蜜枣粽子(40-a)个.由题意,得60a+50(40-a)≤
2100,解得a≤10.答:最多能包10个鲜肉粽子
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26. (2024·朝阳区期中)我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或式子的大小,解决此类问题时一般要进行转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.其依据是不等式(或等式)的性质:若x-y>0,则x>y;若x-y=0,则x=y;若x-y<0,则x(1) 比较大小:x-3 2+x(填“>”“<”或“=”).
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<
(2) 请用“作差法”解决下面的问题.
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放(游泳次数大于5),有A,B两种方案可供选择,A方案:每次按原价打9折收费;B方案:前5次按照原价收费,从第6次起每次打8折.请问游泳的学生选择哪种方案合算
(2) 设原价为a(a>0)元,游泳x次(x>5),则A方案的费用为ax·90%=0.9ax(元);
B方案的费用为5a+a(x-5)·80%=0.8ax+a(元).∵ 0.9ax-(0.8ax+a)=0.1ax-a,
∴ 当0.1ax-a>0,即x>10时,0.9ax>0.8ax+a;当0.1ax-a=0,即x=10时,0.9ax=
0.8ax+a;当0.1ax-a<0,即51
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26(共13张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
1. 下列不等式中,属于一元一次不等式的为 ( )
A. 4>1 B. xC. 3x-3<2 D. >1
2. (2023·宜昌)不等式>x-1的解集在数轴上表示正确的是 ( )
C
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D
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3. 不等式>的变形过程如下:① 去分母,得5(2+x)>3(2x-1);② 去括号,得10+5x>6x-3;③ 移项,得5x-6x>-3-10;④ 合并同类项,得-x>-13;⑤ 系数化为1,得x>13.其中,开始出现错误的步骤是 ( )
A. ② B. ③ C. ④ D. ⑤
4. 已知4-x3m<0是关于x的一元一次不等式,则m= .
5. 已知点P(a,b),其中a是立方根等于它本身的数,b是不等式1-x>0的正整数解,则点P的坐标为 .
D
(-1,1)或(0,1)或(1,1)
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6. (教材P131例1变式)解下面的不等式,并在数轴上表示解集:
(1) (2023·大兴区期末)5x<2(x-8)+10;
(2) (2024·西城区期中)-1<.
(1) x<-2 解集在数轴上表示如图①所示
(2) x> 解集在数轴上表示如图②所示
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7. 当y取何正整数时,式子2(y-1)的值不大于10-4(y-3)的值
由题意,得2(y-1)≤10-4(y-3),解得y≤4.∴ 当y取正整数时,y的取值为1或2或3或4
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8. 解不等式<-1,下列去分母正确的是 ( )
A. 3(x-3)<2(2x+1)-1 B. 2(x-3)<3(2x+1)-6
C. 3(x-3)<2(2x+1)-2 D. 3(x-3)<2(2x+1)-6
9. 不等式+1<的负整数解有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
C
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10. (2024·西城区期中)已知关于x的方程2x+4=m-x的解为非负数,则m的取值范围是 ( )
A. m≤ B. m≥ C. m≤4 D. m≥4
11. (2024·大兴区期中)在数轴上点M,N表示的数分别为2,-2x+1,且点N在
点M的右侧,则x的取值范围是 .
12. 能使不等式-(5x+2)>成立的x的最大整数解是 .
13. 已知3x+4≤6+2(x-2),则|x+1|的最小值为 .
D
x<-
-1
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14. (教材P132练习第1题变式)解不等式,并在数轴上表示解集:
(1) (2024·西城区期中)2x+1≥-3(x-2);
(2) (2024·海淀区模拟)x-1≤x-;
(3) (2023·怀柔区期末)<+1.
(1) x≥1 解集在数轴上表示如图①所示
(2) x≥-3 解集在数轴上表示如图②所示
(3) x<-1 解集在数轴上表示如图③所示
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15. (教材P133练习第2题变式)当x满足什么条件时,下列关系成立
(1) 2(2x-3)不大于10;
(2) 5x与11的差大于-4;
(3) 3x与10的差小于或等于7x与-2的和.
(1) 2(2x-3)≤10 x≤4
(2) 5x-11>-4 x>
(3) 3x-10≤7x+(-2) x≥-2
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16. (1) 解不等式:5(x-2)+8<6(x-1)+7;
(2) 若(1)中的不等式的最小整数解是关于x的方程2x-ax=3的解,求a的值.
(1) x>-3
(2) 由(1),得x的最小整数解为-2.∴ 2×(-2)-a·(-2)=3,解得a=
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17. 已知关于x的不等式>x-1.
(1) 当m=1时,求该不等式的非负整数解.
(2) 当m取何值时,该不等式有解 并求出其解集.
(1) 当m=1时,>x-1,解得x<2.∴ 该不等式的非负整数解为0,1
(2) 对于不等式>x-1,去分母,得2m-mx>x-2.整理,得(m+1)x<2(m+1).当m≠-1时,不等式有解,且当m>-1时,原不等式的解集为x<2;当m<-1时,原不等式的解集为x>2
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17(共14张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.1 不 等 式
11.1.2 不等式的性质
第2课时 不等式的性质的应用
1. (2024·大兴区期末)不等式x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是 ( )
2. 关于x的不等式-2x+a≥2的解集如图所示,则a的值是 ( )
A. 0 B. 2
C. -2 D. 4
D
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A
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3. (1) (2024·朝阳区期末)“a与2的差大于-1”用不等式表示为 .
(2) (2024·东城区期末)“a的三分之一与b的和是非负数”用不等式表示为
.
4. (1) 不等式2x+1>0的解集是 ;
(2) 不等式2m-1≤6的正整数解是 .
a-2>-1
a+b≥0
x>-
1,2,3
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5. (教材P126例3变式)利用不等式的性质解下列不等式:
(1) 2x-5<-13; (2) -x>;
(3) -9+2x≥5x; (4) y+16≤9y.
(1) x<-4
(2) x<-
(3) x≤-3
(4) y≥2
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6. 为了弄清废旧电池对环境的危害,小明借读了一本与此相关的500页的科普书,计划10天内读完,前5天因种种原因只读了200页,那么从第6天起平均每天至少要读多少页,才能按计划读完这本书
设从第6天起平均每天要读x页.根据题意,得200+(10-5)x≥500,解得x≥60.答:从第6天起平均每天至少要读60页,才能按计划读完这本书
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7. (2024·西城区期中)小明一家外出自驾游,发现某公路上对行驶汽车的速度有如图所示的规定,设此段公路上小客车 的速度为v千米/时,则v应满足的条件是 ( )
A. v≤120
B. v=120
C. 60≤v≤120
D. v≥60
C
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8. 关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示,则该解集为 .
9. 若k<5,则关于x的不等式(k-5)x>6的解集是 .
10. 在平面直角坐标系中,若点P(-1,x-2)在第二象限,则x的取值范围是
.
11. 已知关于x的不等式2x-a≤-1的解集为x≤-1,则a的值为 .
-2≤x<1
x<
x>2
-1
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12. (教材P128练习第2题变式)利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:
(1) 4x-3≤5;
(2) x>20;
(1) x≤2 解集在数轴上表示如图①所示
(2) x>24 解集在数轴上表示如图②所示
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(3) 3x≥8x+25;
(4) y-1>7-y.
(3) x≤-5 解集在数轴上表示如图③所示
(4) y> 解集在数轴上表示如图④所示
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13. 当k取何值时,方程2(2x-1)=1-2x的解不小于关于x的方程8-k=2(x+4)的解
15. (教材P127例4变式)某长方体容器长5cm,宽4cm,高12cm.容器内原有水的高度为2cm,现准备继续往里面注水,新注入水的体积为Vcm3,求V的最大值.
由2(2x-1)=1-2x,得x=.由8-k=2(x+4),得x=-.由题意,得≥-,解得k≥-1
由于新注入水的体积与原有水的体积的和不能超过容器的容积,即V+4
×5×2≤4×5×12,∴ V≤200.∴ V的最大值为200
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15. 某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m2的集贸大棚.大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间,每间A种类型店面的平均面积为28m2,每间B种类型店面的平均面积为20m2,全部店面的建造面积不能超过大棚总面积的85%,那么A种类型的店面最多能设多少间
设A种类型的店面有x间,则B种类型的店面有(80-x)间.由题意,得28x+
20(80-x)≤2400×85%,解得x≤55.答:A种类型的店面最多能设55间
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15(共14张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
1. 把一些书分给几名同学,若 ;若每名同学分11本,则有剩余.依题意,设有x名同学,可列不等式7(x+4)>11x,则横线上的信息可以是 ( )
A. 每名同学分7本,则剩余4本
B. 每名同学分7本,则剩余的书可多分给4名同学
C. 每名同学分4本,则剩余7本
D. 其中1名同学分7本,则其他每名同学都分4本
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B
2. (教材P133例2变式)一次知识竞赛共有15道题,竞赛规则如下:答对1道题记8分,答错1道题倒扣4分,不答记0分.若甲同学总分超过了85分,且有1道题没答,则甲同学至少答对了 ( )
A. 11道题 B. 12道题 C. 13道题 D. 14道题
3. 某款小台灯每台的进价为10元,标价为15元.商店为了促销,决定打折销售,但每台利润不少于2元,则最多可打 折销售.
4. 某采石场爆破时,点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400m以外的安全区域.甲工人在转移过程中,前40m只能步行,之后骑自行车.已知导火线燃烧的速度为0.01m/s,甲工人步行的速度为1m/s,骑车的速度为4m/s.为了确保甲工人的安全,导火线的长要大于 m.
B
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5. (教材P134例4变式)甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致,每张办公桌800元,每把办公椅80元,甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案.甲厂家:购买1张办公桌送3把办公椅;乙厂家:办公桌和办公椅全部按原价的8折优惠.现某公司要购买3张办公桌和若干把办公椅,若购买的办公椅的把数为x(x≥9).
(1) 分别用含x的式子表示单独到甲、乙两个厂家购买办公桌和办公椅所需的金额;
(1) 单独到甲厂家购买办公桌和办公椅所需的金额为3×800+(x-3×3)·80
=(80x+1680)元,单独到乙厂家购买办公桌和办公椅所需的金额为3×800
×80%+80x·80%=(64x+1920)元
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(2) 至少购买多少把办公椅时,单独到乙厂家购买更划算
(2) 由题意,得64x+1920<80x+1680,解得x>15,即至少购买16把办公椅时,单独到乙厂家购买更划算
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6. (教材P137习题11.2第5题变式)某次马拉松中,小强跑在小海前面,在离终点1000m时,他以5m/s的速度向终点冲刺,而此时小海在他身后100m处,请问小海需以多快的速度同时冲刺,才能在小强之前到达终点 设此时小海冲刺的速度为xm/s,可列的不等式为 ( )
A. x>1000 B. x>1000+100
C. x<1000 D. x<1000+100
B
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7. 某商店促销一种定价为4元的商品,优惠方案如下:若一次性购买不超过5件,则按原价付款;若一次性购买5件以上,则超过部分按原价的8折付款.若小颖有44元,则她最多可以购买这种商品 ( )
A. 10件 B. 11件
C. 12件 D. 13件
8. 某运输公司要将300吨的货物运往某地.现有A,B两种型号的汽车可调用,已知A型汽车每辆可装货物20吨,B型汽车每辆可装货物15吨,在每辆汽车不超载的情况下,要把这300吨货物一次性装运完成,并且A型汽车确定要用7辆,则至少调用B型汽车的辆数为 .
C
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9. 铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高三边之和不能超过160cm.某厂家生产符合该规定的行李箱,已知行李箱的高为30cm,长与宽的比为3∶2,则该行李箱的长最大为 cm.
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10. (教材P136练习第1题变式)(2024·西城区期中)某体育用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳,若购买甲种跳绳10根,乙种跳绳5根,需要100元,若购买甲种跳绳5根,乙种跳绳3根,需要55元.
(1) 求甲、乙两种跳绳的单价;
(1) 设甲种跳绳的单价为x元,乙种跳绳的单价为y元.依题意,得解得答:甲种跳绳的单价为5元,乙种跳绳的单价为10元
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(2) 若该体育用品店要求购进甲种跳绳的数量是乙种跳绳数量的3倍,且总金额不超过1000元,最多购进乙种跳绳多少根
(2) 设购进乙种跳绳m根,则购进甲种跳绳3m根.由题意,得10m+3m×5≤
1000,解得m≤40.答:最多购进乙种跳绳40根
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11. (教材P137习题11.2第10题变式)(2024·东城区期中)某商家销售A,B两种果苗,每棵进价分别为70元、50元,近两天的销售情况如下:
(1) 求A,B两种果苗的销售单价.
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A种果苗 B种果苗 销售收入/元
第一天 4棵 3棵 625
第二天 5棵 5棵 875
(1) 设A种果苗的销售单价为x元,B种果苗的销售单价为y元.由题意,得解得答:A种果苗的销售单价为100元,B种果苗的销售单价为75元
(2) 若该商家购进这两种果苗总计50棵,购进费用不超过2900元,则最多购进A种果苗多少棵
(3) 在(2)的条件下,该商家销售这50棵果苗的利润能否超过1340元 若能,请给出相应的购进方案;若不能,请说明理由.
(2) 设购进A种果苗a棵,则购进B种果苗(50-a)棵.由题意,得70a+50(50-a)≤
2900,解得a≤20.答:最多购进A种果苗20棵
(3) 能 由题意,得(100-70)a+(75-50)(50-a)>1340,解得a>18.又∵ a≤20,且a为正整数,∴ a=19或20.答:购进A种果苗19棵,B种果苗31棵或购进A种果苗20棵,B种果苗30棵
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11(共12张PPT)
第十一章 不等式与不等式组
小专题(九) 一元一次不等式(组)中的参数问题
类型一 已知解集求参数的值或取值范围
1. (2024·西城区期中)已知不等式组的解集为x<4,则a满足的条件是 ( )
A. a<4 B. a=4 C. a≤4 D. a≥4
2. (2024·西城区一模)已知关于x的不等式3x+mx>-4的解集在数轴上的表示如图所示,则m的值为 ( )
A. - B. -1 C. 1 D.
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D
B
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3. (2024·怀柔区期末)关于x的不等式ax+2>5的解集为x<,则a的取值范围是 .
4. 如果关于x的不等式(m+3)x>2m+6的解集为x<2,那么m的取值范围是
.
5. 已知不等式组的解集是3a<0
m<-3
x=
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类型二 已知整数解的情况求参数的取值范围
6. (2024·西城区期中)已知关于x的不等式组有且只有三个整数解,则a的取值范围是 ( )
A. -2C. -2≤a<-1 D. -2A
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7. (2023·海淀区期中)若关于x的不等式组有且仅有一个整数解x=2,则实数a的取值范围是 .
8. 已知关于x的不等式组的所有整数解的和为7,则a的取值范围是 .
1≤a<2
7≤a<9或-3≤a<-1
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9. 已知关于x的不等式组的解集中所有整数之和最大,求a的取值范围.
关于x的不等式组的解集为a+11
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10. 已知关于x的不等式组恰有2个整数解,求a的取值范围.
解不等式2(x-1)-3(x+2)>-6,得x<-2;解不等式>1,得x>2-a.∵ 不等式组恰有2个整数解,∴ 不等式组的整数解为-3,-4.∴ -5≤2-a<-4,解得61
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类型三 已知不等式组有、无解求参数的取值范围
11. 已知关于x的不等式组有解,且它的每一个解都不在2≤x≤5的范围内,则m的取值范围是 ( )
A. m<1或m>5 B. m≤1或m≥5
C. 112. (2024·大兴区期末)已知关于x的不等式组有解,则m的取值范围是 .
B
m>1
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13. 已知不等式组
(1) 若该不等式组的解集为2≤x≤4,求a的值;
(2) 若该不等式组无解,求a的取值范围.
(1) 解不等式①,得x≥;解不等式②,得x≤4.∵ 该不等式组的解集是2≤x≤4,∴ =2,解得a=2
(2) ∵ 不等式组无解,∴ >4,解得a<-2
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14. 已知关于x,y的方程组的解满足x+y>0,且关于a的不等式组有解,求符合条件的整数k的值.
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对于方程组由①+②,得4x+4y=4-k.∴ x+y=1-k.∵ 关于x,y的方程组的解满足x+y>0,∴ 1-k>0,解得k<4.对于不等式组解不等式③,得a≥-1;解不等式④,得a≤k.∵ 关于a的不等式组有解,∴ k≥-1.综上所述,-1≤k<4.∴ 符合条件的整数k的值为-1,0,1,2,3
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第十一章 不等式与不等式组
11.1 不 等 式
11.1.1 不等式及其解集
1. 有下列式子:① 5<7;② 2x>3;③ y≠0;④ x>5;⑤ 2a+1;⑥ >1;⑦ x=1.其中,属于不等式的有 ( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. (2024·西城区期中)不等式x>1的解集在数轴上表示正确的是 ( )
3. 有下列各数:-2,-2.5,0,1,,.其中,属于不等式x>1的解的为 ,属于不等式-x>1的解的为 .
C
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A
-2,-2.5
4. (教材P123练习第1题变式)用不等式表示下列不等关系:
(1) x与-3的差是正数;
(2) x与5的和的28%小于-6;
(3) m除以4的商加上3大于5;
(4) a与b两数和的平方小于3.
(1) x-(-3)>0
(2) 28%(x+5)<-6
(3) +3>5
(4) (a+b)2<3
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5. (教材P123练习第2题变式)有下列各数:-3,-1,0,1.5,2,3.5.其中,哪些是不等式x+1>2的解 哪些不是 直接写出不等式的解集,并将它的解集在数轴上表示出来.
1.5,2,3.5是不等式的解 -3,-1,0不是不等式的解 不等式的解集为x>1,在数轴上表示如图所示
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6. 若一个不等式的正整数解为1,2,则该不等式的解集在数轴上的表示可能是 ( )
7. 下列说法错误的是 ( )
A. 不等式x<2的正整数解只有一个 B. -2是不等式2x-1<0的一个解
C. 不等式-3x>9的解集是x>-3 D. 不等式x<10的整数解有无数个
D
C
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8. 如图,在数轴上表示的x的取值范围是 .
9. 用不等式表示下列不等关系:
(1) a与-10的和是一个负数: ;
(2) a的大于b与3的差: ;
(3) x的绝对值与1的和小于10: ;
(4) x的3倍与1的和小于x的2倍与6的差: .
10. 不等式x>-5的所有负整数解为 .
x<1
a+(-10)<0
a>b-3
|x|+1<10
3x+1<2x-6
-1,-2,-3,-4
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11. (教材P123练习第3题变式)直接写出下列不等式的解集,并把不等式的解集分别在数轴上表示出来:
(1) x+2>5; (2) x<-1; (3) x-1<-3.
(1) x>3 解集如图①所示
(2) x<-3 解集如图②所示
(3) x<-2 解集如图③所示
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12. A,B,C三人在清风公园玩跷跷板,从如图①②所示的示意图中,你能判断出三人的轻重吗
由题图①可知A比B重,由题图②可知C比A
重,因此A,B,C三人的体重由大到小的关系
为C>A>B
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13. 用不等式表示下面的不等关系:
(1) 某工人五月份计划生产零件198个,前16天平均每天生产6个,后来改进技术,提前3天并超额完成任务.设他16天之后平均每天生产零件x个.
(2) 今年小明x岁,小强y岁,爷爷m岁.明年小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷明年的年龄.
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(1) 16×6+(31-16-3)x>198
(2) 3(x+1)+6(y+1)>m+1
