跨学科型探究——历年（2022-2025）综合与实践真题精编
一、跨物理
1．（2023·宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
2．（2025·攀枝花）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据．
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
（2）【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
3．（2025·吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
4．（2023·达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1） ， ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．
5．（2023·广西） 【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
6．（2025·山东模拟）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
7．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
8．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求，之间的距离（结果精确到．
（参考数据：，，
二、跨生物
9．（2025·兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
10．（2023·衢州）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.
素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1. 探究1检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长.
素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼晴能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角.视力值与分辨视角(分)的对应关系近似满足). 探究2当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辦视角的范围.
素材3如图3，当确定时，在处用边长为的号“”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同. 探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长.
三、跨体育
11．（2023·嘉兴）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
12．（2025·盐城）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示．
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F．
（1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
（2）【模型应用】
网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 m；
（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
答案解析部分
1．【答案】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展]延长，过作于，过作于，如图所示：
，
，
，，
，
坡比为（即），，设，
，解得，
，
，，设，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，．
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】[问题背景]由题意可得∠AEB=∠CED，∠B=∠D=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
[活动探究]同理证明△GBE1∽△CDE1，△ABE2∽△CDE2，由相似三角形的性质可得GB、AB，然后根据AG=GB-AB进行计算；
[应用拓展]延长DA，过C作CF⊥DA于F，过B作BH⊥DA于H，由平行线的性质可得∠CDE=∠DAG，根据坡比可设AG=8x，GD=15x，由勾股定理可得x的值，然后求出AG、GD，由∠CDE=∠DAG结合三角函数的概念可设CF=15y，FD=8y，由勾股定理可得y，然后求出CF、FD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HBE∽△FCE，由相似三角形的性质结合三角函数的概念可得HB、HA，再利用勾股定理计算即可.
2．【答案】（1）一次；二次
（2）解：求v与t的函数关系式：
设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入，
可得，解得，所以v＝-0.5t+12，
验证：当t＝8时，v＝-0.5×8+12＝8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入，
可得
解得，
∴y＝-0.25t2+12t，
验证：当t＝12时，y＝-0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致；
（3）解：设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离），
由y＝-0.25t2+12t，
可得-0.25t2+12t＝s+3t，
整理得s＝-0.25t2+9t，
对于二次函数s＝-0.25t2+9t，a＝-0.25＜0，
其最大值在t＝18时取得，
把t＝18代入s＝-0.25t2+9t，得s＝81，
所以AB的最大值是81cm．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）【猜想】
，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【分析】（1）利用描点法即可得出答案；
（2）利用待定系数法直接代入求解验证即可；
（3）根据追及关系列出方程，再结合二次函数的性质即可得出答案.
3．【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
4．【答案】（1）2；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）或
【知识点】函数解析式；函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意得，
当I=3时，a=2，
当R=6时，b=1.5，
故答案为：2，1.5；
（3）∵，
当x=2或0时，，
当x=2时，y=3，当x=0时，y=6，
∴在（2，3），（0，6）相交，
画出图像如下：
观察图像可知当时，的解集为或，
故答案为：或
【分析】（1）根据题目中的解析式即可求解；
（2）①根据表格的数据描点连线即可求解；②根据函数图象直接读图即可求解；
（3）求出两个函数的交点坐标，再画图即可求解。
5．【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∴，
∴
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡， 可知m=0，y=0，代入可得到 关于l，a的方程.
（2）由题意可知m=1000，y=50，代入公式，可得到l与a的方程.
（3）将（1）（2）联立方程组，解方程组求出l，a的值.
（4）将（3）中的l和a的值代入，可得到y与m的函数解析式.
（5）利用y与m的函数解析式，分别将m=0、100、200、300、4001000代入，可求出对应的y的值，利用y的值的变化规律，可得到相邻刻线间的距离.
6．【答案】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在Rt△OBD中，利用∠BOA的正切函数可求出OD=10，由∠BOA的余弦函数可求出OB≈22.73，由题意可得OC=OB=22.73，进而在Rt△OCE中，由∠COE的余弦函数可算出OE的长，最后根据DE=OE-OD列式求解即可.
7．【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
8．【答案】（1）解：在中，，∠C=90°，
，
；
（2）解：由题意易得四边形ECNO是矩形，
∴，
在Rt△ONB中，∠B=45°，
，
又，
，
．
【知识点】矩形底座模型
【解析】【分析】（1）由等角对等边可解决此题；
（2）由题意易得四边形ECNO是矩形，由矩形的对比相等并结合中点定义得ON=EC=10cm，由等腰直角三角形性质得NB=ON=10cm，在Rt△OND中，用∠DON的正切函数可求出ND的长，最后根据BD=BN-DN计算可得答案.
9．【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
10．【答案】解：探究1由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系.
设，
将其中一点代人得，解得
将其余各点一 一代人验证，均相当精确地符合关系式.
将代人得；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，
探究2∵，
∴在自变量的取值范围内，n随着的增大而减小，
当时，.
.
探究3由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，
∴由相似三角形性质可得：
由探究1知可得，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为mm.
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可求出n关于b的函数关系式为：，进而将n=1.2代入可求出对应的b的值；
探究2：由得在自变量的取值范围内，n随着的增大而减小，从而可得当时，，进而即可得出答案；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，从而根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可得答案.
11．【答案】解：任务一：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
任务二：建立直角坐标系，如图，
设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：以点O为坐标原点，OA所在的直线为y轴，OB所在的直线为x轴，向右及向上的方向为正方向建立平面直角坐标系，则该抛物线的顶点坐标为(1，1.8)，点A(0，1.6)，从而利用待定系数法（设顶点式）求出抛物线的解析式，进而将y=0代入所求的抛物线的解析式算出对应的自变量的值，即可解决此题；
任务二：以小林正前方1米处所在的点为坐标原点O，OB所在的直线为x轴，过点O的竖直线为y轴，向右及向上的方向为正方向建立平面直角坐标系，则该抛物线经过点A(-1，1.6)，(0，2.45)及(8，0)，从而利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用顶点纵坐标公式求出抛物线的顶点纵坐标，然后与任务一中顶点纵坐标作差即可；
任务三：根据投掷铅球的技巧给出合理化的建议即可.
12．【答案】（1）解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）
（3）解：对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
【分析】（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，即可得到可求，根据求解即可；
（3）利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，再与0.5秒比较解答即可．
1 / 1跨学科型探究——历年（2022-2025）综合与实践真题精编
一、跨物理
1．（2023·宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度．
【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．
【答案】解：[问题背景]如图所示：
，，
，
，
，
，，，
，解得；
[活动探究]如图所示：
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
，
，
，
，
，，
，
，
，解得；
；
[应用拓展]延长，过作于，过作于，如图所示：
，
，
，，
，
坡比为（即），，设，
，解得，
，
，，设，
，解得，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
在中，．
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】[问题背景]由题意可得∠AEB=∠CED，∠B=∠D=90°，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
[活动探究]同理证明△GBE1∽△CDE1，△ABE2∽△CDE2，由相似三角形的性质可得GB、AB，然后根据AG=GB-AB进行计算；
[应用拓展]延长DA，过C作CF⊥DA于F，过B作BH⊥DA于H，由平行线的性质可得∠CDE=∠DAG，根据坡比可设AG=8x，GD=15x，由勾股定理可得x的值，然后求出AG、GD，由∠CDE=∠DAG结合三角函数的概念可设CF=15y，FD=8y，由勾股定理可得y，然后求出CF、FD，由两角对应相等的两个三角形相似可得△HBE∽△FCE，由相似三角形的性质结合三角函数的概念可得HB、HA，再利用勾股定理计算即可.
2．（2025·攀枝花）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t（s）、运动快慢v（cm/s）、运动路程y（cm）的数据．
【收集整理数据】
运动时间t（s） 0 4 8 12 16 20 …
运动快慢v（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动路程y（cm） 0 44 80 108 128 140 …
【数学建模探究】
（1）【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用 函数表示，y与t之间的关系可以近似地用 函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
（2）【检验】根据猜想求出v与t，y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
（3）【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？
【答案】（1）一次；二次
（2）解：求v与t的函数关系式：
设v＝kt+b，把t＝0，v＝12和t＝4，v＝10代入，
可得，解得，所以v＝-0.5t+12，
验证：当t＝8时，v＝-0.5×8+12＝8，与表格数据一致；
求y与t的函数关系式：
设y＝at2+bt+c，把t＝0，y＝0，t＝4，y＝44，t＝8，y＝80代入，
可得
解得，
∴y＝-0.25t2+12t，
验证：当t＝12时，y＝-0.25×144+12×12＝108，与表格数据一致；
（3）解：设运动时间为t秒时弹珠追上小车，
此时弹珠运动的路程y等于AB的距离加上小车运动的路程3t，即y＝s+3t（s为AB的距离），
由y＝-0.25t2+12t，
可得-0.25t2+12t＝s+3t，
整理得s＝-0.25t2+9t，
对于二次函数s＝-0.25t2+9t，a＝-0.25＜0，
其最大值在t＝18时取得，
把t＝18代入s＝-0.25t2+9t，得s＝81，
所以AB的最大值是81cm．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）【猜想】
，
观察v随t的变化，是均匀减小，符合一次函数特征；y与t的关系结合图象判断为二次函数，
故答案为：一次，二次；
【分析】（1）利用描点法即可得出答案；
（2）利用待定系数法直接代入求解验证即可；
（3）根据追及关系列出方程，再结合二次函数的性质即可得出答案.
3．（2025·吉林）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示．
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式．
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值．
【答案】（1）解：当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8N，弹簧测力计B的示数为2.5N．
（2）解：当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.8）分别代入F拉力＝kx+b，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.3x+5.8（6≤x≤10）．
（3）m＝0.6，n＝1.6．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N，当x＝8时，F拉力＝﹣0.3×8+5.8＝3.4，
4﹣3.4＝0.6（N），
∴m＝0.6，
当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0），
将坐标（6，4）和（10，2.5）分别代入为F拉力＝k1x+b1，
得，
解得，
∴当6≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝﹣0.375x+6.25（6≤x≤10），
当﹣0.375x+6.25＝3.4时，
解得x＝7.6，
7.6﹣6＝1.6（cm），
∴n＝1.6．
【分析】（1）根据图象所给数据可得结论；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）把x=8代入求出拉力，然后求出弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式，然后代入F拉力=3.4，求出铝块下降的高度，然后减去铝块的高度解答即可.
4．（2023·达州）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
（1） ， ；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是 ▲ ．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为 ．
【答案】（1）2；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）或
【知识点】函数解析式；函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意得，
当I=3时，a=2，
当R=6时，b=1.5，
故答案为：2，1.5；
（3）∵，
当x=2或0时，，
当x=2时，y=3，当x=0时，y=6，
∴在（2，3），（0，6）相交，
画出图像如下：
观察图像可知当时，的解集为或，
故答案为：或
【分析】（1）根据题目中的解析式即可求解；
（2）①根据表格的数据描点连线即可求解；②根据函数图象直接读图即可求解；
（3）求出两个函数的交点坐标，再画图即可求解。
5．（2023·广西） 【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】（1）解：由题意得：，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
∴，
∴
（3）解：由（1）（2）可得：，
解得：
（4）解：由任务一可知：，
∴，
∴
（5）解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用已知当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡， 可知m=0，y=0，代入可得到 关于l，a的方程.
（2）由题意可知m=1000，y=50，代入公式，可得到l与a的方程.
（3）将（1）（2）联立方程组，解方程组求出l，a的值.
（4）将（3）中的l和a的值代入，可得到y与m的函数解析式.
（5）利用y与m的函数解析式，分别将m=0、100、200、300、4001000代入，可求出对应的y的值，利用y的值的变化规律，可得到相邻刻线间的距离.
6．（2025·山东模拟）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下．
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到）
参考数据：，．
【答案】解：∵，，；
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∴的长为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在Rt△OBD中，利用∠BOA的正切函数可求出OD=10，由∠BOA的余弦函数可求出OB≈22.73，由题意可得OC=OB=22.73，进而在Rt△OCE中，由∠COE的余弦函数可算出OE的长，最后根据DE=OE-OD列式求解即可.
7．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
8．（2024·贵州）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为；
第二步：向水槽注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线．
【测量数据】
如图，点，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求的长；
（2）求，之间的距离（结果精确到．
（参考数据：，，
【答案】（1）解：在中，，∠C=90°，
，
；
（2）解：由题意易得四边形ECNO是矩形，
∴，
在Rt△ONB中，∠B=45°，
，
又，
，
．
【知识点】矩形底座模型
【解析】【分析】（1）由等角对等边可解决此题；
（2）由题意易得四边形ECNO是矩形，由矩形的对比相等并结合中点定义得ON=EC=10cm，由等腰直角三角形性质得NB=ON=10cm，在Rt△OND中，用∠DON的正切函数可求出ND的长，最后根据BD=BN-DN计算可得答案.
二、跨生物
9．（2025·兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题．
【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决．
【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据：
生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2
发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12
【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点．
说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率；
②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽；
③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验．
【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式；
（2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围．
【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
将（0，35），（1，56），（2，63）代入得，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35；
（2）解：当x＝0时，y＝35，
∴种子自然发芽率为35%，
∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35，
解得x1＝0，x2＝4，
当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5，
∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5．
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；解一元二次方程的其他方法
【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答；
(2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可.
10．（2023·衢州）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“”形图都是正方形结构，同一行的“”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.
素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值，测得对应行的“”形图边长，在平面直角坐标系中描点如图1. 探究1检测距离为5米时，归纳与的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长.
素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼晴能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角.视力值与分辨视角(分)的对应关系近似满足). 探究2当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辦视角的范围.
素材3如图3，当确定时，在处用边长为的号“”测得的视力与在处用边长为的Ⅱ号“”测得的视力相同. 探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长.
【答案】解：探究1由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系.
设，
将其中一点代人得，解得
将其余各点一 一代人验证，均相当精确地符合关系式.
将代人得；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，
探究2∵，
∴在自变量的取值范围内，n随着的增大而减小，
当时，.
.
探究3由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，
∴由相似三角形性质可得：
由探究1知可得，
答：检测距离为3m时，视力值1.2所对应行的“E”形图边长为mm.
【知识点】反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到n与b成反比例关系，由待定系数法可求出n关于b的函数关系式为：，进而将n=1.2代入可求出对应的b的值；
探究2：由得在自变量的取值范围内，n随着的增大而减小，从而可得当时，，进而即可得出答案；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，从而根据相似三角形对应边成比例建立方程求解可得答案.
三、跨体育
11．（2023·嘉兴）根据以下素材，探究完成任务．
如何把实心球掷得更远？
素材1
小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到的水平距离为时，达到最大高度为．
素材2
根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．
问题解决
任务1
计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离．
任务2
探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量
任务3
提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议．
【答案】解：任务一：建立如图所示的直角坐标系，
由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，过点，
∴，
解得，
∴，
当时，，
得（舍去），
∴素材1中的投掷距离为4m；
任务二：建立直角坐标系，如图，
设素材2中抛物线的解析式为，
由题意得，过点，
∴，
解得，
∴
∴顶点纵坐标为，
（m），
∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为；
任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】任务一：以点O为坐标原点，OA所在的直线为y轴，OB所在的直线为x轴，向右及向上的方向为正方向建立平面直角坐标系，则该抛物线的顶点坐标为(1，1.8)，点A(0，1.6)，从而利用待定系数法（设顶点式）求出抛物线的解析式，进而将y=0代入所求的抛物线的解析式算出对应的自变量的值，即可解决此题；
任务二：以小林正前方1米处所在的点为坐标原点O，OB所在的直线为x轴，过点O的竖直线为y轴，向右及向上的方向为正方向建立平面直角坐标系，则该抛物线经过点A(-1，1.6)，(0，2.45)及(8，0)，从而利用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用顶点纵坐标公式求出抛物线的顶点纵坐标，然后与任务一中顶点纵坐标作差即可；
任务三：根据投掷铅球的技巧给出合理化的建议即可.
12．（2025·盐城）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示．
【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F．
（1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式．
（2）【模型应用】
网前吊球的落点到球网的距离CE的长是 m；
（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球．
【答案】（1）解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，，
设直线的解析式为，
，
，
扣杀球击球路线的函数表达式为；
设网前吊球击球路线的函数表达式为，
，
，
网前吊球击球路线的函数表达式为；
（2）
（3）解：对于，令，则，
，
，
，
，
扣杀球时，羽毛球的平均速度约为，
（秒
，
乙不能接到扣杀球的击球．
从点击球，击球点是抛物线的最高点，
，
，
，
，
乙能接到网前吊球的击球．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）令，则，
，
，
，
，
．
故答案为：；
【分析】（1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，即可得到可求，根据求解即可；
（3）利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，再与0.5秒比较解答即可．
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