二次函数——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编

二次函数——历年（2022-2025）综合与实践真题精编
一、函数图象与性质探究
1．（2023·呼和浩特）探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ▲ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
2．（2024·深圳）为了测量抛物线的开口大小， 某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置， 并分别以水平放置的直尺和坚直放置的直尺为 轴建立如图所示平面直角坐标系， 该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示， 设 的读数为 读数为 抛物线的顶点为 .
（1）①列表：
　 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
②描点： 请将表格中的 描在图 2 中；
③连线： 请用平滑的曲线在图 2 将上述点连接， 并求出 与 的关系式；
（2） 如图 3 所示， 在平面直角坐标系中， 抛物线 的顶点为 ， 该数学兴趣小组用水平和坚直直尺测量其水平跨度为 ， 坚直跨度为 ， 且 ， 为了求出该抛物线的开口大小， 该数学兴趣小组有如下两种方案， 请选择其中一种方案， 并完善过程：
方案一： 将二次函数 平移， 使得顶点 与原点 重合， 此时抛物线解析式为 .
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； （用含 的式子表示)
方案二： 设 点坐标为
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； (用含 的式子表示)
（3）【应用】如图 4， 已知平面直角坐标系 中有 两点， ， 且 轴，二次函数 和 都经过 两点， 且 和 的顶点 距线段 的距离之和为 10 ， 若 轴且 ， 求 的值.
3．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
4．（2024九上·柳南月考）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
5．（2023·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=的距离PN　（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=．例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=，其中PF=PN，FH=2OF=．
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　；
（2）【技能训练】如图2，已知抛物线y=上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3，已知抛物线y=的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a(x-h)2+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
6．（2022·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣.其中MF=MN，FH=2OH=1.
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　.
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝.后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当＝时，请直接写出△HME的面积值.
7．（2024·甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
（1）【理解与运用】
若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝　 　，n＝　 　．
（2）【思考与探究】
设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
8．（2025·乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）；
第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ；
第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ．
（2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
（i）若a，求W内的“整点”个数；
（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．
二、图形与函数
9．（2023·江西）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，　 　．
②S关于t的函数解析式为　 　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①　 　；
②当时，求正方形的面积　 　．
三、函数应用
10．（2025·武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
竖直高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线 y=ax2+kx+1.1的一部分.
【建立模型】求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
【应用模型】
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m 请说明理由.
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y=ax2+kx+1.1发球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m.求k的取值范围.
11．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为 ；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
12．（2025·山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线，我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.
（1）数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线1，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为》轴，建立平面直角坐标系.
请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
（2）问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变
如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm，BC=40 cm，CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。
答案解析部分
1．【答案】（1）2；
当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
（2）当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或或或；
（3）与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于直线：对称，则，设，
则，
为定值．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）把x=-1代入函数表达式中求得m的值，利用描点法画出y=-2|x|2+4|x|（x＜0）部分的图象，依据图象写出一条性质；
（2）当x＜0时，y=-2x2-4x，当x≥0时，y=-2x2+4x，根据S△FAB=3，可求得点F的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得直线OP的表达式与直线AP的表达式，由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式，将三条直线的函数表达式联立方程组可求得：xM，xN，再利用解直角三角形求解．
2．【答案】（1）解：②如图所示：
③由表格和图像知抛物线的顶点为原点(0，0)，对称轴为y轴设抛物线的解析式为y=ax2，
将点(2，1)代入得1=4a，得a=，故抛物线的解析式为y=x2；
（2）；；；
（3）解：由题知 的对称轴为 ，
令x=-h-2，则.
∴ 顶点坐标为 ，
所以 顶点距 的距离为 ，
所以 顶点距 的距离为 .
故 的顶点坐标为 或
①若 顶点坐标为 ， 则
把 代入得： ， 解得
②若 顶点坐标为 ， 则 ，
把 代入得： ， 解得 .
综上所述， 的值为 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）
方案一：①题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为； 故第一空：.
②将顶点坐标代入.得n=a，得a=，故第二空：.
方案二：
①可视作函数平移得到，故顶点平移至.
②将坐标代入得a=的值；第4空： .
【分析】(1)依次描点后依次用平滑的曲线连接起来即可；
(2)方案一：①由题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为；
②将坐标代入 . 即可得a的表达式；
②方案二：①可视作函数平移得到，故顶点平移至，②将坐标代入得a的值；
(3)先求出曲线C1和C2的顶点坐标，由C1顶点到AB的距离为8，得C2顶点到AB的距离为2，可得C2的顶点坐标有两个分别是 或 ，对此分类讨论，分别将顶点坐标代入C2解析式中，即可求出a的值.
3．【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
4．【答案】解：（1）2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的图象上
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
【分析】（1）由伴随抛物线的定义可得点都在图象上，从而分别代入求解即可；
（2）①利用配方法确定出抛物线C2的顶点坐标为，然后代入抛物线C0的解析式得出，即可求解；
②抛物线C2的顶点坐标为在图象上滑动，抛物线C0的顶点坐标为（2，9），令抛物线C0中的y=0算出对应的自变量的值，可得其与x轴两交点的坐标为（-1，0）与（5，0）；然后分当顶点在（-1，0）下方时，抛物线有两个交点，当顶点在（5，0）下方时，两种情况分析即可得出结果．
5．【答案】（1）（0，1）；y =-1
（2）解：∵抛物线y=的焦点F（0，1），准线方程l：y = -1
P点到焦点F的距离等于它到准线y = -1的距离
∴PF =+1=3
∴=∴
解得＝或＝-（舍）
∴P（，）
（3）3-.
（4）解：过点D作直线y=-2E
∵y=的焦点是（0，0），准线方程是y=-2
P点到焦点的距离等于它到准线的距离
∴PO=PE
∴当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值
此时P点坐标是（，）
∴S△POD×1×（）
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）y=x2的焦点坐标为（0，1），准线方程为y=-1.
故答案为：（0，1），y=-1.
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，
∵直线PE与直线m垂直，故可设直线PE的解析式为y=x+b，
将F（0，1）代入可得b=1，
∴直线PE的解析式为y=x+1.
∵点P是直线PE和抛物线的交点，
∴联立y=x+1与y=x2，
解得x=-1，
∴P（-1，），
∴d1=-1=.
∵E是直线PE和直线m的交点，
∴联立y=x+1与y=x-3，
得x=4，
∴E（4，-1），
∴d2==，
∴d1+d2=+==3-，
∴d1+d2的最小值为3-.
【分析】（1）直接根据焦点坐标、准线方程的概念进行解答；
（2）由题意可得PF =y0+1=3y0，求出y0的值，代入抛物线解析式中求出x0的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，易得直线PE的解析式为y=x+1，联立抛物线解析式求出x、y，得到点P的坐标，进而可得d1，联立PE与直线m的解析式求出x、y，得到点E的坐标，利用两点间距离公式可得d2，据此求解；
（4）过点D作直线y=-2的垂线，垂足为E，易得y=x2-1的焦点是（0，0），准线方程是y=-2，由题意可得PO=PE，故当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值，此时P点坐标是（-1，-），然后根据三角形的面积公式进行计算.
6．【答案】（1）（0，）；，
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）
（4）解：或
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，
则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或
【分析】（1）根据y=2x2可得a=2，则焦点坐标为（0，），准线l的方程为y=-，据此解答；
（2）由题意得抛物线y＝x2的准线方程为y=-=-2，结合点P到准线l的距离为6可得点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，由题意得F（0，），直线l的解析式为：y＝-，易证△FDB∽△FHC，根据相似三角形的性质可得CF=3BF，FD=，OD=a，令y=a，求出x，据此可得BD，证明△AEF∽△BDF，根据相似三角形的性质可得AE=EF，结合勾股定理求出EF，进而可得AE，然后表示出点A的坐标，据此求出a的值；
（4）当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，求出sin∠MHN的值，可得∠MHN=45°，推出△MNH是等腰直角三角形，设M（m，m2），根据MN=HN可得m的值，根据黄金分割点的特征求出HE，利用三角形的面积公式求出S△HME，同理可求出当E时靠近H的黄金分割点时△HME的面积.
7．【答案】（1）2；±1
（2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
【分析】（1）先根据题意得到点在的伴随抛物线上，进而代入函数解析式即可求出m和n；
（2）①根据题意得到顶点坐标为，进而代入二次函数接下即可得到，从而即可求解；
②根据题意得到顶点坐标在图像上滑动，进而分类讨论：当顶点在（﹣1，0）下方时，当顶点在（5，0）下方时，从而即可求解.
8．【答案】（1）（﹣1，0）；（0，1）；y＝x+1
（2）解：存在点P（0，1）满足题意，理由如下：
∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到，
且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的，
∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意．
故P点坐标为（0，1）
（3）解：（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a），
则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a），
故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
当a时，函数C1：y，函数C2：y．
画出两函数图象如图所示：
则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点．
（ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0，
令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0，
解得a＝1或0（0舍去，不合题意），
故a＝1，
∵C1和C2要围成区域W，
∴0＜a＜1．
∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称，
则点（2，2）必为W区域内一个“整点”．
当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2），
此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，
可得a；
当有15个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出7对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（﹣1，1）、（1，3）和（5，3），
此时当函数C1过点（5，3），
∴16a+a＝3，
解得a，
综上可得a的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
（0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1），
设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得：
，解得，
∴y＝x+1，
故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1．
【分析】（1）由中心对称的性质可知（1，0）、（0，-1）关于原点对称的点为（-1，0）、（0，1），进而用待定系数法可求函数表达式；
（2）将函数y1与学过的反比例函数y联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y的图象向上平移1个单位后得到，而反比例函数y的图象是关于点（0，0）成中心对称的，故而函数y1的图象是关于点（0，1）成中心对称的，即得到答案；
（3）(i)当 a 时，分别求出C1和C2的解析式，再画出图形即可求解；
(ii)根据C1和C2关于点（2，2）成中心对称，则点（2，2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是（1，1），（3，3），（2，1），（2，3），（0，1），（4，3），（1，2），（3，2），此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，可得a；同理，当有13个整点时，由图3可求得a，综合可知a的取值范围是。
9．【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①4；② 由（3）①可得， ∵，∴，∴， ∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：①当t=1时，CP=1，∴S=PD2=CP2+CD2=2+1=3；②CP=t，，∴S=PD2=CP2+CD2=t2+2；
故第1空答案为：3；第2空答案为：S=t2+2；
（3）①如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∴∠AHD=∠C=90°，又∠A=∠A，∴△AHD∽△ACB，∴，由（2）知，BC=2，，AB=6，且，∴，∴AH=4，， 若存在3个时刻t1、t2、t3（t1＜t2t＜3）对应的正方形DOEF的面积均相等 ，则DP1=DP2=DP3，在△P1DC和Rt△HDP2中，∵DP1=DP2，DC=DH，∴Rt△P1DC≌Rt△P2DH，∴CP1=HP2，又CP1=t1，HP2=BC+BH-t2=2+2-t2=4-t2，∴t1=4-t2，∴t1+t2=4；
故第1空答案为：4；
【分析】（1）先求出当t=1时CP的长度，再根据勾股定理可求得PD2，也就是S的值；
（2）由图象知抛物线的顶点坐标（4，2），可设S关于t的函数解析式为S=a（t-4）2+2，又由图象知点P运动到点B时，S=6，所以可得t2+2=6，得t=2，即图象经过（2，6），把（2，6）代入S=a（t-4）2+2中得a=1，于是得出函数解析式；再根据函数图象求得当函数值为18时自变量t的值，结合题意求得AB即可；
（3）①图所示，过点D作DH⊥AB于点H，通过证明△AHD∽△ACB，可求得AH，DH的长度，然后再根据若存在3个时刻t1、t2、t3（t1＜t2t＜3）对应的正方形DOEF的面积均相等，可得出DP1=DP2=DP3，从而证得Rt△P1DC≌Rt△P2DH，根据CP1=HP2，得出关于t1、t2的式子，得出结果t1+t2=4；②由（3）①可得t3=t1+4，结合t3=4t1，得t1=，因为，∴S=t2+2，得出此时S的值即可。
10．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
∴，
∴，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为2.7，
∴，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；解答：
（2）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴，
∴解析式为，
当时，，
解得；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当时，，
解得，
∴k的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点，代入抛物线解析式可得，将x=4代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（2）由题意可得解析式为，将x=5，x=11分别代入解析式，建立不等式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2关于y轴对称，
∵，
∴当x=3时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度够用．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1的坐标，进而求出M1N1的长，进行判断即可．
12．【答案】（1）解：（80，60)
设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60.
由题意得，点M的坐标为(160，0).将点M的坐标(160，0)代人y=a(x-80)2+60，
得 0=a(160-80)2+60.
解，得.
抛物线的函数表达式为 .
（2）解：由题意得，过点P的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线l向上平移得到的顶点为（80，135），设其表达式为
当y=0时，
解得x1=200，x2=-40(不符合题意，舍去）.
点Q的坐标为(200，0).
起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm.
（3）6cm.
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（1） ∵运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm
∴抛物线的对称轴为直线x=80，顶点的纵坐标为80，
∴顶点N的坐标为（80，60)，
故答案为：（80，60)，
（3）设该半台的高度为kcm，
由题意，设新的函数解析式为： y=(x-80)2+60+k，
∵AB = 57cm， BC = 40cm，CD = 48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+ 40，48+3)，即： (128，51)，
∴把(128，51)代入y=-(x- 80)2 +60+k，得：
51=-(128-80)2 +60+k，解得： k=6；
∴该平台的高度6cm.
故答案为：6cm.
【分析】
(1)根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x=80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标（80，60)，设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60，把(160，0) 代入，求出函数解析式，即可解答；
(2)根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y=0，求出x的值，即可解答；
(3)设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为： y=-(x- 80)2 +60+k，据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点(128，51)， 代入求解即可解答.
1 / 1二次函数——历年（2022-2025）综合与实践真题精编
一、函数图象与性质探究
1．（2023·呼和浩特）探究函数的图象和性质，探究过程如下：
（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下：
其中， ▲ 根据如表数据，在图所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分观察图象，写出该函数的一条性质；
（2）点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
（3）在图中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点点在点的左边，点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，不含端点于，两点当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）2；
当时，，
，
函数图象如图所示：
由图象可得该函数的性质：该函数关于轴对称；当或时，随的增大而增大；当或时，随的增大而减小；
（2）当时，，
当时，，
，，
，
，
，
，
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
当时，若，则，
解得：或，
若，则，
解得：或，
或或或；
综上所述，所有满足条件的点的坐标为或或或或或或或；
（3）与的和是定值；
如图，连接直线，
抛物线交轴于，两点，
，，
，
抛物线的顶点为，
点是点关于抛物线顶点的对称点，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
联立和并整理得：，
直线与抛物线只有一个公共点，
故，解得，
故直线的表达式为，
联立并解得，
同理可得，，
射线、关于直线：对称，则，设，
则，
为定值．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】 （1）把x=-1代入函数表达式中求得m的值，利用描点法画出y=-2|x|2+4|x|（x＜0）部分的图象，依据图象写出一条性质；
（2）当x＜0时，y=-2x2-4x，当x≥0时，y=-2x2+4x，根据S△FAB=3，可求得点F的纵坐标，代入解析式解方程即可；
（3）利用待定系数法可得直线OP的表达式与直线AP的表达式，由直线l与抛物线只有一个公共点，可得直线的表达式，将三条直线的函数表达式联立方程组可求得：xM，xN，再利用解直角三角形求解．
2．（2024·深圳）为了测量抛物线的开口大小， 某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置， 并分别以水平放置的直尺和坚直放置的直尺为 轴建立如图所示平面直角坐标系， 该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示， 设 的读数为 读数为 抛物线的顶点为 .
（1）①列表：
　 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
0 2 3 4 5 6
0 1 2.25 4 6.25 9
②描点： 请将表格中的 描在图 2 中；
③连线： 请用平滑的曲线在图 2 将上述点连接， 并求出 与 的关系式；
（2） 如图 3 所示， 在平面直角坐标系中， 抛物线 的顶点为 ， 该数学兴趣小组用水平和坚直直尺测量其水平跨度为 ， 坚直跨度为 ， 且 ， 为了求出该抛物线的开口大小， 该数学兴趣小组有如下两种方案， 请选择其中一种方案， 并完善过程：
方案一： 将二次函数 平移， 使得顶点 与原点 重合， 此时抛物线解析式为 .
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； （用含 的式子表示)
方案二： 设 点坐标为
①此时点 的坐标为　 　；
②将点 坐标代入 中解得 　 　； (用含 的式子表示)
（3）【应用】如图 4， 已知平面直角坐标系 中有 两点， ， 且 轴，二次函数 和 都经过 两点， 且 和 的顶点 距线段 的距离之和为 10 ， 若 轴且 ， 求 的值.
【答案】（1）解：②如图所示：
③由表格和图像知抛物线的顶点为原点(0，0)，对称轴为y轴设抛物线的解析式为y=ax2，
将点(2，1)代入得1=4a，得a=，故抛物线的解析式为y=x2；
（2）；；；
（3）解：由题知 的对称轴为 ，
令x=-h-2，则.
∴ 顶点坐标为 ，
所以 顶点距 的距离为 ，
所以 顶点距 的距离为 .
故 的顶点坐标为 或
①若 顶点坐标为 ， 则
把 代入得： ， 解得
②若 顶点坐标为 ， 则 ，
把 代入得： ， 解得 .
综上所述， 的值为 或
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；作图-二次函数图象；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）
方案一：①题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为； 故第一空：.
②将顶点坐标代入.得n=a，得a=，故第二空：.
方案二：
①可视作函数平移得到，故顶点平移至.
②将坐标代入得a=的值；第4空： .
【分析】(1)依次描点后依次用平滑的曲线连接起来即可；
(2)方案一：①由题意知点B'的横坐标为AB长度的一半，即，纵坐标为n，故B’的坐标为；
②将坐标代入 . 即可得a的表达式；
②方案二：①可视作函数平移得到，故顶点平移至，②将坐标代入得a的值；
(3)先求出曲线C1和C2的顶点坐标，由C1顶点到AB的距离为8，得C2顶点到AB的距离为2，可得C2的顶点坐标有两个分别是 或 ，对此分类讨论，分别将顶点坐标代入C2解析式中，即可求出a的值.
3．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
4．（2024九上·柳南月考）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】解：（1）2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的图象上
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
【分析】（1）由伴随抛物线的定义可得点都在图象上，从而分别代入求解即可；
（2）①利用配方法确定出抛物线C2的顶点坐标为，然后代入抛物线C0的解析式得出，即可求解；
②抛物线C2的顶点坐标为在图象上滑动，抛物线C0的顶点坐标为（2，9），令抛物线C0中的y=0算出对应的自变量的值，可得其与x轴两交点的坐标为（-1，0）与（5，0）；然后分当顶点在（-1，0）下方时，抛物线有两个交点，当顶点在（5，0）下方时，两种情况分析即可得出结果．
5．（2023·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0，）的距离PF，始终等于它到定直线l：y=的距离PN　（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y=叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=．例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y=，其中PF=PN，FH=2OF=．
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y=的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　；
（2）【技能训练】如图2，已知抛物线y=上一点P（x0，y0）（x0＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
（3）【能力提升】如图3，已知抛物线y=的焦点为F，准线方程为l．直线m：y=交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为d1，到直线m的距离为d2，请直接写出d1+d2的最小值；
（4）【拓展延伸】该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y=ax2（a＞0）平移至y=a(x-h)2+k（a＞0）．
抛物线y=a(x-h)2+k（a＞0）内有一定点F（h，），直线l过点M（h，）且与x轴平行．当动点P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP1始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛物线y=2(x-1)2+3上的动点P到点F（1，）的距离等于点P到直线l：y=的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
如图4，点D（-1，）是第二象限内一定点，点P是抛物线y=-1上一动点．当PO+PD取最小值时，请求出△POD的面积．
【答案】（1）（0，1）；y =-1
（2）解：∵抛物线y=的焦点F（0，1），准线方程l：y = -1
P点到焦点F的距离等于它到准线y = -1的距离
∴PF =+1=3
∴=∴
解得＝或＝-（舍）
∴P（，）
（3）3-.
（4）解：过点D作直线y=-2E
∵y=的焦点是（0，0），准线方程是y=-2
P点到焦点的距离等于它到准线的距离
∴PO=PE
∴当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值
此时P点坐标是（，）
∴S△POD×1×（）
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）y=x2的焦点坐标为（0，1），准线方程为y=-1.
故答案为：（0，1），y=-1.
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，
∵直线PE与直线m垂直，故可设直线PE的解析式为y=x+b，
将F（0，1）代入可得b=1，
∴直线PE的解析式为y=x+1.
∵点P是直线PE和抛物线的交点，
∴联立y=x+1与y=x2，
解得x=-1，
∴P（-1，），
∴d1=-1=.
∵E是直线PE和直线m的交点，
∴联立y=x+1与y=x-3，
得x=4，
∴E（4，-1），
∴d2==，
∴d1+d2=+==3-，
∴d1+d2的最小值为3-.
【分析】（1）直接根据焦点坐标、准线方程的概念进行解答；
（2）由题意可得PF =y0+1=3y0，求出y0的值，代入抛物线解析式中求出x0的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点P作PE⊥直线m交于点E，过点P作PG⊥准线l交于点G，由（1）的结论可得PG=PF=d1+1，PE=d2，故d1+d2=PE+PF-1，当点P、E、F共线时，取得最小值，易得直线PE的解析式为y=x+1，联立抛物线解析式求出x、y，得到点P的坐标，进而可得d1，联立PE与直线m的解析式求出x、y，得到点E的坐标，利用两点间距离公式可得d2，据此求解；
（4）过点D作直线y=-2的垂线，垂足为E，易得y=x2-1的焦点是（0，0），准线方程是y=-2，由题意可得PO=PE，故当D、P、E三点共线时，PO+PD取最小值，此时P点坐标是（-1，-），然后根据三角形的面积公式进行计算.
6．（2022·鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象.发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程.其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣.其中MF=MN，FH=2OH=1.
（1）【基础训练】
请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　.
（2）【技能训练】
如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C.若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
（4）【拓展升华】
古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝.后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点.
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点.当＝时，请直接写出△HME的面积值.
【答案】（1）（0，）；，
（2）解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为，
∵点P到准线l的距离为6，
∴点P的纵坐标为4，
∴当时，，
解得，
∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）
（3）解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，
由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣，
∴，，
∴△FDB∽△FHC，
∴，
∵BC=2BF，
∴CF=3BF，
∴，
∴，
∴，
∴点B的纵坐标为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∵，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EF=2，
∴，
∴点A的坐标为（，），
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）
（4）解：或
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），，
故答案为：（0，），，
（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，
则MN=MF，
∵在Rt△MNH中，，
∴∠MHN=45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴NH=MN，
设点M的坐标为（m，），
∴，
∴，
∴HN=2，
∵点E是靠近点F的黄金分割点，
∴，
∴；
同理当E时靠近H的黄金分割点点，，
∴，
∴，
综上所述，或
【分析】（1）根据y=2x2可得a=2，则焦点坐标为（0，），准线l的方程为y=-，据此解答；
（2）由题意得抛物线y＝x2的准线方程为y=-=-2，结合点P到准线l的距离为6可得点P的纵坐标为4，令y=4，求出x的值，据此可得点P的坐标；
（3）过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，由题意得F（0，），直线l的解析式为：y＝-，易证△FDB∽△FHC，根据相似三角形的性质可得CF=3BF，FD=，OD=a，令y=a，求出x，据此可得BD，证明△AEF∽△BDF，根据相似三角形的性质可得AE=EF，结合勾股定理求出EF，进而可得AE，然后表示出点A的坐标，据此求出a的值；
（4）当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，求出sin∠MHN的值，可得∠MHN=45°，推出△MNH是等腰直角三角形，设M（m，m2），根据MN=HN可得m的值，根据黄金分割点的特征求出HE，利用三角形的面积公式求出S△HME，同理可求出当E时靠近H的黄金分割点时△HME的面积.
7．（2024·甘孜州）【定义与性质】
如图，记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣p）2+q（a≠0）的图象分别为抛物线C和C1．
定义：若抛物线C1的顶点Q（p，q）在抛物线C上，则称C1是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上．
（1）【理解与运用】
若二次函数y（x﹣2）2+m和y（x﹣n）2的图象都是抛物线yx2的伴随抛物线，则m＝　 　，n＝　 　．
（2）【思考与探究】
设函数y＝x2﹣2kx+4k+5的图象为抛物线C2．
①若函数y＝﹣x2+dx+e的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
【答案】（1）2；±1
（2）①由题意，∵y＝x2﹣2kx+4k+5＝（x﹣k）2﹣k2+4k+5，
∴抛物线C2的顶点为（k，﹣k2+4k+5），
又C2始终是C0的伴随抛物线，
∴可令k＝0，顶点为（0，5）；k＝1，顶点为（1，8），
∴，
∴d＝4，e＝5；
②∵C2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），
由①得：函数y＝﹣x2+4x+5的图象为抛物线C0，且C2始终是C0的伴随抛物线，
∴顶点坐标（k，﹣k2+4k+5）在y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9图象上滑动，顶点为（2，9），
当﹣x2+4x+5＝0时，解得：x＝﹣1或x＝5，
抛物线与x轴交于（﹣1，0）（5，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1；
∵若C1是C的伴随抛物线，则C也是C1的伴随抛物线，即C的顶点P（b，c）在C1上，
∴（2，9）在C2上，
当顶点在（5，0）下方时，2＜x1＜5；
综上可得：2＜x1＜5或x1＜﹣1．
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的伴随抛物线上，
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
【分析】（1）先根据题意得到点在的伴随抛物线上，进而代入函数解析式即可求出m和n；
（2）①根据题意得到顶点坐标为，进而代入二次函数接下即可得到，从而即可求解；
②根据题意得到顶点坐标在图像上滑动，进而分类讨论：当顶点在（﹣1，0）下方时，当顶点在（5，0）下方时，从而即可求解.
8．（2025·乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）；
第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ；
第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ．
（2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
（i）若a，求W内的“整点”个数；
（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，0）；（0，1）；y＝x+1
（2）解：存在点P（0，1）满足题意，理由如下：
∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到，
且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的，
∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意．
故P点坐标为（0，1）
（3）解：（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a），
则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a），
故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
当a时，函数C1：y，函数C2：y．
画出两函数图象如图所示：
则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点．
（ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0，
令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0，
解得a＝1或0（0舍去，不合题意），
故a＝1，
∵C1和C2要围成区域W，
∴0＜a＜1．
∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称，
则点（2，2）必为W区域内一个“整点”．
当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2），
此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，
可得a；
当有15个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出7对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（﹣1，1）、（1，3）和（5，3），
此时当函数C1过点（5，3），
∴16a+a＝3，
解得a，
综上可得a的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
（0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1），
设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得：
，解得，
∴y＝x+1，
故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1．
【分析】（1）由中心对称的性质可知（1，0）、（0，-1）关于原点对称的点为（-1，0）、（0，1），进而用待定系数法可求函数表达式；
（2）将函数y1与学过的反比例函数y联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y的图象向上平移1个单位后得到，而反比例函数y的图象是关于点（0，0）成中心对称的，故而函数y1的图象是关于点（0，1）成中心对称的，即得到答案；
（3）(i)当 a 时，分别求出C1和C2的解析式，再画出图形即可求解；
(ii)根据C1和C2关于点（2，2）成中心对称，则点（2，2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是（1，1），（3，3），（2，1），（2，3），（0，1），（4，3），（1，2），（3，2），此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，可得a；同理，当有13个整点时，由图3可求得a，综合可知a的取值范围是。
二、图形与函数
9．（2023·江西）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的面积为S，探究S与t的关系
（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，　 　．
②S关于t的函数解析式为　 　．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①　 　；
②当时，求正方形的面积　 　．
【答案】（1）3；
（2）解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
（3）解：①4；② 由（3）①可得， ∵，∴，∴， ∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：①当t=1时，CP=1，∴S=PD2=CP2+CD2=2+1=3；②CP=t，，∴S=PD2=CP2+CD2=t2+2；
故第1空答案为：3；第2空答案为：S=t2+2；
（3）①如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∴∠AHD=∠C=90°，又∠A=∠A，∴△AHD∽△ACB，∴，由（2）知，BC=2，，AB=6，且，∴，∴AH=4，， 若存在3个时刻t1、t2、t3（t1＜t2t＜3）对应的正方形DOEF的面积均相等 ，则DP1=DP2=DP3，在△P1DC和Rt△HDP2中，∵DP1=DP2，DC=DH，∴Rt△P1DC≌Rt△P2DH，∴CP1=HP2，又CP1=t1，HP2=BC+BH-t2=2+2-t2=4-t2，∴t1=4-t2，∴t1+t2=4；
故第1空答案为：4；
【分析】（1）先求出当t=1时CP的长度，再根据勾股定理可求得PD2，也就是S的值；
（2）由图象知抛物线的顶点坐标（4，2），可设S关于t的函数解析式为S=a（t-4）2+2，又由图象知点P运动到点B时，S=6，所以可得t2+2=6，得t=2，即图象经过（2，6），把（2，6）代入S=a（t-4）2+2中得a=1，于是得出函数解析式；再根据函数图象求得当函数值为18时自变量t的值，结合题意求得AB即可；
（3）①图所示，过点D作DH⊥AB于点H，通过证明△AHD∽△ACB，可求得AH，DH的长度，然后再根据若存在3个时刻t1、t2、t3（t1＜t2t＜3）对应的正方形DOEF的面积均相等，可得出DP1=DP2=DP3，从而证得Rt△P1DC≌Rt△P2DH，根据CP1=HP2，得出关于t1、t2的式子，得出结果t1+t2=4；②由（3）①可得t3=t1+4，结合t3=4t1，得t1=，因为，∴S=t2+2，得出此时S的值即可。
三、函数应用
10．（2025·武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动.
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直.
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力).
水平距离x/m 0 2 3 5 6 …
竖直高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 …
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线 y=ax2+kx+1.1的一部分.
【建立模型】求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围).
【应用模型】
（1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m 请说明理由.
（2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y=ax2+kx+1.1发球点与球网的水平距离是5m.若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m.求k的取值范围.
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
∴，
∴，
∴当x=4时，y有最大值，最大值为2.7，
∴，
∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m；解答：
（2）解：∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，
∴，
∴解析式为，
当时，，
解得；
∵球的落地点与球网的水平距离小于6，
∴当时，，
解得，
∴k的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点，代入抛物线解析式可得，将x=4代入解析式求出y值，再比较大小即可求出答案.
（2）由题意可得解析式为，将x=5，x=11分别代入解析式，建立不等式，解不等式即可求出答案.
11．（2025·辽宁）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具．
采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为 ；3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为（0，2），设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
【答案】（1）解：∵AD=8，OA=OD=4，
∴A（-4，0），
设抛物线的表达式为，
∵抛物线过点A，
∴0=16a+2，
∴，
∴；
（2）解：∵OM1=OM2=3，
∴N1，N2关于y轴对称，
∵，
∴当x=3时，，
∴，
∵，
∴这根材料的长度够用．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出N1的坐标，进而求出M1N1的长，进行判断即可．
12．（2025·山西）综合与实践
问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线，我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.
（1）数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线1，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为》轴，建立平面直角坐标系.
请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；
（2）问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变
如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75)，点Q在x轴的正半轴上.求起跳点P与落地点的水平距离OQ的长；
（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm，BC=40 cm，CD=48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）。
【答案】（1）解：（80，60)
设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60.
由题意得，点M的坐标为(160，0).将点M的坐标(160，0)代人y=a(x-80)2+60，
得 0=a(160-80)2+60.
解，得.
抛物线的函数表达式为 .
（2）解：由题意得，过点P的抛物线是由（1）中的抛物线沿直线l向上平移得到的顶点为（80，135），设其表达式为
当y=0时，
解得x1=200，x2=-40(不符合题意，舍去）.
点Q的坐标为(200，0).
起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm.
（3）6cm.
【知识点】点的坐标；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象的平移变换；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】
解：（1） ∵运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm
∴抛物线的对称轴为直线x=80，顶点的纵坐标为80，
∴顶点N的坐标为（80，60)，
故答案为：（80，60)，
（3）设该半台的高度为kcm，
由题意，设新的函数解析式为： y=(x-80)2+60+k，
∵AB = 57cm， BC = 40cm，CD = 48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，
由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点(80+ 40，48+3)，即： (128，51)，
∴把(128，51)代入y=-(x- 80)2 +60+k，得：
51=-(128-80)2 +60+k，解得： k=6；
∴该平台的高度6cm.
故答案为：6cm.
【分析】
(1)根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x=80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标（80，60)，设抛物线的函数表达式为у=a(x-80)2+60，把(160，0) 代入，求出函数解析式，即可解答；
(2)根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y=0，求出x的值，即可解答；
(3)设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为： y=-(x- 80)2 +60+k，据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点(128，51)， 代入求解即可解答.
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