三角函数的应用：模型抽象——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、建筑模型
1．（2023·兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
2．（2024·凉山州） 为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）
3．（2023·怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
4．（2023·襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
5．（2025·武威）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，，，）
6．（2022·山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
7．（2024·达州） “三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
8．（2024·天津） 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
9．（2025·徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）
10．（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）．
二、方位模型
11．（2024·成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺.在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知，，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
12．（2023·娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．
13．（2024·通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上.参考数据：）.
14．（2025·成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
15．（2024·宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
16．（2023·青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
17．（2024·定西）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
答案解析部分
1．【答案】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：“龙”字雕塑的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先根据题意结合解直角三角形的知识即可得到BC，进而得到DB和CD。
2．【答案】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，
在Rt△CBG中，
，
在Rt△CEG中，
，
∵BG﹣EG＝BE，
∴，
解得CG≈58.03（m），
∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m），
答：塔高CF为59.83m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，在Rt△CBG中解直角三角形表示出BG；在Rt△CEG中解直角三角形表示出EG；利用BG－EG=BE，得到关于CG的方程并求解，CG+CF即为塔高.
3．【答案】解：依题意，四边形是矩形，米，米，
∵
∴
∴，
∴米，
在中，
∴米
∴米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】解：四边形BDEF和四边形DGCE都是矩形，
∴，，DE=BF=CG.
，
，
，即，
，
，
，
．
答：铜像的高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】利用矩形性质球鞋BG长，解直角三角形求得BF长，利用等腰直角三角形性质求得AG长，即可得到AB长.
5．【答案】解：设AG长为xm，由题意得，
在中，．
在中，．
，
∴
解得x=6.6
∴AG=6.6
∴AB=AG+BG=8.3cm
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；已知正切值求边长
【解析】【分析】设AG= xm，分别解RtAEG，RtACG，求出CG，EG的长，再根据线段的和差关系列出方程求出x的值，再利用AB= AG + BG，进行求解即可解答.
6．【答案】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴．
在中，
∴．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，利用锐角三角函数求出，，再利用线段的和差可得。
7．【答案】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN MN＝tan30°×MN＝（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点M作MN⊥AB，垂足为N．由题意知，四边形CMNB是矩形．在Rt△DMN中，根据锐角三角函数tan∠DMN=可得求得DN的值；在Rt△AEF中，根据锐角三角函数sin∠AEF=可得求得AF的值；然后由线段的构成AF+DN=AN+DF得DF=AF+DN-AN可求解.
8．【答案】（1）解：设，由，得.
，垂足为，
.
在Rt中，，
.
在Rt中，，
.
.得.
答：线段$CD$的长约为54m.
（2）在Rt中，，
.
.
答：桥塔AB的高度约为59m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，由，得.首先在直角三角形BCD中得出BC=x，再在直角三角形BCE中，得出BC=（x+36）tan31°，即可得出方程x=（x+36）tan31°，解方程即可得出答案；
（2）在直角三角形ACD中，根据tan6°=，即可得出AC=CDtan6°，然后根据AB=BC+AC，即可得出答案。
9．【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
设BD=x，则CD=22.2-x，
在Rt△ADB和Rt△ADC中
AD=BDtan∠B=CDtan∠C，
∴xtan34.2°=（22.2-x）tan9.8°，
解之：x=4.44，
∴
答：AC的长约为17.9m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，可表示出CD的长，在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再利用解直角三角形求出AC的长.
10．【答案】解：延长CD交AB于点．
由题意得，四边形CMBH为矩形．
．
在Rt中，，
在Rt中，，
．
设．
．
解，得.1．
（米）．
答：点到地面的距离AB的长约为27米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形，找出线段的数量关系，根据锐角三角函数的定义，结合等量关系，列出方程，求解即可。延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．解Rt得解Rt得．设．则EH=x+9；得，得.1得AB27米.
11．【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=73.4°，
，
∵AB=8尺，tan73.4°≈3.35，
（尺）；
在Rt△ABD中，∠ABC=90°，∠ADB=26.6°，
，
∵AB=8尺，tan26.6°≈0.50，
（尺）；
由题意可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，
∴春分和秋分时日影长度约为（尺）.
【知识点】平行投影；解直角三角形—其他类型
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由∠ACB的正切函数可求出BC的长，在Rt△ABD中，由∠ADB得正切函数可求出BD的长，由题意可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，从而用可算出分和秋分时日影长度.
12．【答案】解：如图，过作于，
∵，即，
设，则，
∴，而，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴（米），
答：A、B两点间的距离为500米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过作于，根据锐角三角函数的定义即可得到，设，则，进而根据勾股定理得到，再结合题意即可得到x的值，进而解直角三角形即可求解。
13．【答案】过点B作于点E，
，
在中，，米，
米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米.
答：杨树的高度约6.2米.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】过点B作于点E，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可得到BE和CE，从而得到DE，再根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到AB。
14．【答案】解：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中，利用正切求出AC和AB的值即可解题.
15．【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
∵AB//CD，
∴AE//BF.
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB=EF=100 m，
设AE=BF=x m，
由题意得：∠CAE=18.17°，∠DAE=21.34°，∠DBF=18.17°，∠CBF=18.17°.
在Rt△ACE中， m，
在Rt△BDF中， m，
在Rt△AED中， m，
∵DE=EF+DF.
∴0.39x=100+0.33x，
解得：，
∴CD=CE+DE=0.33x+0.39x=0.72x=1200 (m)
∴长江口的宽度CD的值约为1200m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，证明四边形ABFE是矩形，可得AE=BF=x，AB=EF=100m，然后分别在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CE、DF和DE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.
16．【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图，
依题意得：，，，
又
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
检验：是原方程的根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 过点作于点，过点作于点，如图， 可得 和均为等腰直角三角形，从而得出，=5，易得△OBF是等腰直角三角形，可设BF=xm，则OF=CH=xm，EH=BH=(5-x)m，从而可得DH=（6.5-x）m，然后在Rt△BDH中，根据，可列出关于x的方程： ， 解方程即可得出方程的解，即BF与OF的长度，再根据勾股定理即可得出OB，AB=2OB即可得出AB的长度。
17．【答案】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，由矩形对边相等得GH=CD=1.6m，DG=CH，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得出四边形EFGH是矩形，由矩形的对边相等（四个角都是直角）得FG=HE，∠HGF=90°，则可证D、G、F三点共线，得到DF=DG+FG=CH+HE=182cm；设AG=xm，在Rt△ADG中，由∠ADG的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DG=xm，在Rt△AFG中，由∠AFG的正切函数求出，然后根据DG+FG=182建立方程，求解得出x的值，从而得到AG的长，最后根据AH=AG+HG即可得到答案.
1 / 1三角函数的应用：模型抽象——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、建筑模型
1．（2023·兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
【答案】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：“龙”字雕塑的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先根据题意结合解直角三角形的知识即可得到BC，进而得到DB和CD。
2．（2024·凉山州） 为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）
【答案】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，
在Rt△CBG中，
，
在Rt△CEG中，
，
∵BG﹣EG＝BE，
∴，
解得CG≈58.03（m），
∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m），
答：塔高CF为59.83m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，在Rt△CBG中解直角三角形表示出BG；在Rt△CEG中解直角三角形表示出EG；利用BG－EG=BE，得到关于CG的方程并求解，CG+CF即为塔高.
3．（2023·怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数）
【答案】解：依题意，四边形是矩形，米，米，
∵
∴
∴，
∴米，
在中，
∴米
∴米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 米， 最后利用锐角三角函数计算求解即可。
4．（2023·襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，．
【答案】解：四边形BDEF和四边形DGCE都是矩形，
∴，，DE=BF=CG.
，
，
，即，
，
，
，
．
答：铜像的高度为．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【分析】利用矩形性质球鞋BG长，解直角三角形求得BF长，利用等腰直角三角形性质求得AG长，即可得到AB长.
5．（2025·武威）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：设AG长为xm，由题意得，
在中，．
在中，．
，
∴
解得x=6.6
∴AG=6.6
∴AB=AG+BG=8.3cm
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；已知正切值求边长
【解析】【分析】设AG= xm，分别解RtAEG，RtACG，求出CG，EG的长，再根据线段的和差关系列出方程求出x的值，再利用AB= AG + BG，进行求解即可解答.
6．（2022·山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
【答案】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴．
在中，
∴．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，利用锐角三角函数求出，，再利用线段的和差可得。
7．（2024·达州） “三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体（如图1），在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图2的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E、F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．（结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41）
【答案】解：过点M作MN⊥AB，垂足为N．
由题意知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，
MN＝CB＝6米，
AN＝AB﹣BN＝6.3﹣1.5＝4.8（米）．
在Rt△DMN中，
∵tan∠DMN＝，
∴DN＝tan∠DMN MN＝tan30°×MN＝（米）．
在Rt△AEF中，
∵sin∠AEF＝，
∴AF＝sin∠AEF EF＝sin45°×EF＝×4＝2（米）．
∵AF+DN＝AN+DF，
∴DF＝
≈2×1.73+2×1.41﹣4.8
＝3.46+2.82﹣4.8
＝1.48
≈1.5（米）．
答：中轴上DF的长度为1.5米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点M作MN⊥AB，垂足为N．由题意知，四边形CMNB是矩形．在Rt△DMN中，根据锐角三角函数tan∠DMN=可得求得DN的值；在Rt△AEF中，根据锐角三角函数sin∠AEF=可得求得AF的值；然后由线段的构成AF+DN=AN+DF得DF=AF+DN-AN可求解.
8．（2024·天津） 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】（1）解：设，由，得.
，垂足为，
.
在Rt中，，
.
在Rt中，，
.
.得.
答：线段$CD$的长约为54m.
（2）在Rt中，，
.
.
答：桥塔AB的高度约为59m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，由，得.首先在直角三角形BCD中得出BC=x，再在直角三角形BCE中，得出BC=（x+36）tan31°，即可得出方程x=（x+36）tan31°，解方程即可得出答案；
（2）在直角三角形ACD中，根据tan6°=，即可得出AC=CDtan6°，然后根据AB=BC+AC，即可得出答案。
9．（2025·徐州）下圆墩是“彭城七里”的起点，也是徐州城市历史的源头．某校数学综合与实践小组到下圆墩遗址公园参观，发现一处三角形的景观墙（如图），记作△ABC，同学们测得BC＝22.2m，∠B＝34.2°，∠C＝9.8°，求AC的长度．（精确到0.1m，参考数据：sin34.2°≈0.56，cos34.2°≈0.83，tan34.2°≈0.68，sin9.8°≈0.17，cos9.8°≈0.99，tan9.8°≈0.17）
【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
设BD=x，则CD=22.2-x，
在Rt△ADB和Rt△ADC中
AD=BDtan∠B=CDtan∠C，
∴xtan34.2°=（22.2-x）tan9.8°，
解之：x=4.44，
∴
答：AC的长约为17.9m
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，可表示出CD的长，在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再利用解直角三角形求出AC的长.
10．（2024·山西）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如下图，点是纪念碑顶部一点，AB的长表示点到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点处竖直上升，飞行至距离地面20米的点处时，测得点的仰角；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点正上方的点处时，测得米；
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：，）．
【答案】解：延长CD交AB于点．
由题意得，四边形CMBH为矩形．
．
在Rt中，，
在Rt中，，
．
设．
．
解，得.1．
（米）．
答：点到地面的距离AB的长约为27米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题考查解直角三角形，找出线段的数量关系，根据锐角三角函数的定义，结合等量关系，列出方程，求解即可。延长CD交AB于点．由题意得，四边形CMBH为矩形．．解Rt得解Rt得．设．则EH=x+9；得，得.1得AB27米.
二、方位模型
11．（2024·成都）中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子垂直于地面，长8尺.在夏至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为；在冬至时，杆子在太阳光线照射下产生的日影为.已知，，求春分和秋分时日影长度.（结果精确到0.1尺；参考数据：，，，，，）
【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=73.4°，
，
∵AB=8尺，tan73.4°≈3.35，
（尺）；
在Rt△ABD中，∠ABC=90°，∠ADB=26.6°，
，
∵AB=8尺，tan26.6°≈0.50，
（尺）；
由题意可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，
∴春分和秋分时日影长度约为（尺）.
【知识点】平行投影；解直角三角形—其他类型
【解析】【分析】在Rt△ABC中，由∠ACB的正切函数可求出BC的长，在Rt△ABD中，由∠ADB得正切函数可求出BD的长，由题意可知，春分和秋分时日影顶端为CD的中点，从而用可算出分和秋分时日影长度.
12．（2023·娄底）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道（如图所示），使得，从点B出发按方向前进20米到达点E，即米，测得．已知，，求A、B两点间的距离．
【答案】解：如图，过作于，
∵，即，
设，则，
∴，而，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
∴（米），
答：A、B两点间的距离为500米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过作于，根据锐角三角函数的定义即可得到，设，则，进而根据勾股定理得到，再结合题意即可得到x的值，进而解直角三角形即可求解。
13．（2024·通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上.参考数据：）.
【答案】过点B作于点E，
，
在中，，米，
米，米，
米，
米
在中，，
米，
米，
，
米.
答：杨树的高度约6.2米.
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】过点B作于点E，进而根据含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可得到BE和CE，从而得到DE，再根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到AB。
14．（2025·成都）在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离．如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为，然后沿方向飞行60米到达D处，在D处测得西门A的俯角为．求校园西门A与东门B之间的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：，，，）
【答案】解：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
解：由题意，得：，米，
在中，米；
在中，米；
答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中，利用正切求出AC和AB的值即可解题.
15．（2024·宜宾）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，如图所示：
∵AB//CD，
∴AE//BF.
∴四边形ABFE是矩形，
∴AB=EF=100 m，
设AE=BF=x m，
由题意得：∠CAE=18.17°，∠DAE=21.34°，∠DBF=18.17°，∠CBF=18.17°.
在Rt△ACE中， m，
在Rt△BDF中， m，
在Rt△AED中， m，
∵DE=EF+DF.
∴0.39x=100+0.33x，
解得：，
∴CD=CE+DE=0.33x+0.39x=0.72x=1200 (m)
∴长江口的宽度CD的值约为1200m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，证明四边形ABFE是矩形，可得AE=BF=x，AB=EF=100m，然后分别在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中利用锐角三角函数的定义求出CE、DF和DE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答.
16．（2023·青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是的中点，是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上，，．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为，在E处测得电池板边缘点B的仰角为．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）
【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图，
依题意得：，，，
又
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
检验：是原方程的根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
点为的中点，
，
答：太阳能电池板宽的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1） 过点作于点，过点作于点，如图， 可得 和均为等腰直角三角形，从而得出，=5，易得△OBF是等腰直角三角形，可设BF=xm，则OF=CH=xm，EH=BH=(5-x)m，从而可得DH=（6.5-x）m，然后在Rt△BDH中，根据，可列出关于x的方程： ， 解方程即可得出方程的解，即BF与OF的长度，再根据勾股定理即可得出OB，AB=2OB即可得出AB的长度。
17．（2024·定西）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．）
【答案】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
由题意可得，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴三点共线，
∴；
设，
在中，，
∴
∴；
在中，，
∴
∴；
∴，
解得，
∴，
∴，
∴风电塔筒的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】过点D作DG⊥AH于G，连接FG，则四边形CDGH是矩形，由矩形对边相等得GH=CD=1.6m，DG=CH，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”得出四边形EFGH是矩形，由矩形的对边相等（四个角都是直角）得FG=HE，∠HGF=90°，则可证D、G、F三点共线，得到DF=DG+FG=CH+HE=182cm；设AG=xm，在Rt△ADG中，由∠ADG的正切函数及特殊锐角三角函数值可求出DG=xm，在Rt△AFG中，由∠AFG的正切函数求出，然后根据DG+FG=182建立方程，求解得出x的值，从而得到AG的长，最后根据AH=AG+HG即可得到答案.
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