基于活动记录解决问题——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、函数应用
1．（2024·吉林）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为xmm，凳面的宽度为ymm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
【答案】（1）解：它们在同一条直线上，
设y＝kx+b，
则：，
解得：，
所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；
（2）解：当y＝213mm时，213＝5x+33，
解得：x＝36，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）将y=213代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可.
2．（2025·内蒙古自治区）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
【答案】（1）解：，，
（2）解：抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【知识点】点的坐标；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
【分析】（1）根据矩形的性质，以及点的坐标的定义即可得出，，；
（2）如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，根据矩形和抛物线的对称性，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，然后根据顶点式，利用待定系数法，即可求得抛物线和抛物线的表达式；
（3）首先证得四边形是矩形，从而得出，设=n，进而根据L1和L2的函数关系式表示出yE和yH，然后根据边的长为， 即可得出关于n的方程，解方程求得n的值（舍去不合题意的值），即xE的值，进而求得EF的长度即可。
3．（2023·武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1）解：依题意得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意设x=kt，y=ax2+bx，利用表中数据，将点的坐标代入可求出两函数解析式，再将y=0代入可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后将符合题意的t的值代入函数解析式，可求出对应的x值，即可求解.
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，利用x的取值范围，可得到t的取值范围，利用两端点数，分别将t=25和t=26代入函数解析式，可求出对应的n的值，可得到n的取值范围.
4．（2024·盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1 正 148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：[100﹣2（x﹣10）]x，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+[100﹣2（x﹣10）]x，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，，不符合题意；
当x＝19时，，符合题意；
∴70﹣x﹣y＝34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，可设安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，则加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，根据“正”服装总件数和“风”服装相等，列出方程，再整理化为用x表示出y即可；
任务2：根据题意得“雅”服装每天获利为：[100﹣2（x﹣10）]x，再由W=三种服装的获利之和，据此即可求解；
任务3：由任务2解析式化为顶点式，再结合题意及二次函数的性质求解即可.
5．（2024·山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用 笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．
所在直线是AB的垂直平分线，且，
．
点的坐标为．
点的坐标为．
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．解，得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点D，E在抛物线上，
设点的坐标为．
，交轴于点，
．
在Rt中，，
．
．
根据题意，得，
．
解，得（不符合题意，舍去），
．
答：DE的长为4米，CF的长为2米.
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称
直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3
设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）
∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6
∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+
∴ k=-，矩形周长最大值为.
【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为.
6．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
二、解直角三角形的应用
7．（2023·山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）。
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
【答案】解：过点作于点，延长交于点，
∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 过点作于点，延长交于点，由，分别求出EF=，FD=3，易证四边形是矩形，从而求出CH=1，利用邻补角定义求出∠BCH=45°，根据分别求出BC≈1.4，BH=1，利用AB=AH-BH即可求解.
8．（2022·枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图 测量步骤 如图② ⑴利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； ⑵前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）
【答案】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x米，
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。
9．（2024·烟台中考） 根据手机的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 ▲ 日（填冬至或夏至）时，α为 ▲ （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
【答案】解：任务一：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：任务一：∵ 主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 夏天能被太阳晒到的地方更多，故要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，由求出AF，再利用DE＝BF＝AB﹣AF求出DE的长，再除以3.3即得结论.
10．（2024·湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
【答案】（1），的长为4米，，
，
（米；
，
米，
（米；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
米，
米，
米，
底座的底面的面积为：（平方米）．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的长度，再由判断出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的长.
（2）过点A作于点M，先得出四边形AMEB是矩形，由性质得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的长，从而得到AB，再根据矩形的面积即可解答.
11．（2025·河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
【答案】（1）解：理由如下：
根据题意。得EF∥AD， ED∥AC
∴∠EFD=∠ADC， ∠EDF=∠ACD
∴△EDF∽△ACD
∴CD=CA
（2）解：如图， 过点E作EH⊥AC于点H.设AB=x米
则EH∥BN， EH=CD=CA=(x+1.2)米
BN=CM=(x+2.2)米， AH=(x-0.9)米
∴∠ANB=∠AEH
即：
解得：
经检验。 符合题意
答：纪念碑AB 的高度为19.8米
（3）解：
故小红的结果误差较大
原因可能是测量工具不精确
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由于太阳光线可看作是一组平行线，即EF//AD，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即ED//AC，则由两直线平行同位角相等可判定，由相似比可得；
（2）如图， 过点E作EH⊥AC于点H，可得，显然四边形EDCH、MNBC都是矩形，则借助（1）的结论可得EH=CD=AC，BN=CM，BC=MN，此时可设AB为x，则EH、BN、AH均可用含x 的代数式表示，由于EH//BN，则，即，解和可得，再解方程即可；
（3）直接计算两个结果的误差并比较，原因可能是测量工具不精确，也可能是计算有误，答案不唯一.
12．（2025·烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
【答案】（1）解：如图所示，过点B作垂足为E，设BE=x.
在中，
同理：
解得：
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）解：
中，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】(1)如图，过点B作AC的垂线段BE，先利用路程公式求出CD，再设BE=x，分别解直角三角形BEC和直角三角形BED即可得到CE和DE，则由CD=CE-DE可建立关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）先解直角三角形ABE求出AE的长，则利用（1）中DE=BE可得出AD的长，再利用起雾与当前的时间差求出行程，再与AD之间的距离比较即可.
13．（2025·山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
14．（2025·吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
灰 实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）
任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为 ▲ cm．（结果精确到1cm）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
【答案】解：任务二，计算实际高度，
∵依题意，四边形EBDC为矩形，
∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，
∴AE＝CE tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），
∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），
答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m；
任务三，换算模型高度，
设3D打即模型的高度为x m，
∵x：77＝1：400，
解得x＝0.1925，
∴3D打即模型的高度为0.1925m，
∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，
∴3D打即模型的高度约为19cm，
故答案为：19．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】任务二：先得到四边形EBDC为矩形，得到对应边相等，然后在Rt△AEC中，根据正切的定义求出AE长，再根据线段的和差解答即可；
任务三：设3D打即模型的高度为x m，根据比例尺求出x的值，换算单位比较解答即可.
15．（2025·新疆维吾尔自治区）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8°
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
【答案】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m，
∵在Rt△EFG中，，
∴，
∴EG＝14×0.93＝13.02m，
在Rt△MNG中，，
∴，
∴MG＝11m，
∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m，
答：校徽的高度约为2.02m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据矩形及边之间的关系可得FG＝AB＝14m，NG＝AH＝27.5m，再根据正切定义可得EG，MG，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2023·遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
（1）已知：如图，在中，．____．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
【答案】（1）当填入米时：
解：作于点D，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
当填入米时：
解：作于点D，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解；当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解。
17．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
18．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
1 / 1基于活动记录解决问题——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、函数应用
1．（2024·吉林）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为xmm，凳面的宽度为ymm，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
（1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
（2）当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
2．（2025·内蒙古自治区）问题背景：
综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示．
外形参数：
如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上．
问题解决：
如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式；
（3）为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长．
3．（2023·武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
4．（2024·盐城）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等．
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1 正 148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
5．（2024·山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用 笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
6．（2025·广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题．
发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置
数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成．
信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．
问题解决：
（1）如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）；
（2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
（3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）．
二、解直角三角形的应用
7．（2023·山西）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑洛种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）。
课题 母亲河驳岸的调研与计算
调查方式 资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能 驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图 相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
交流展示
8．（2022·枣庄）为传承运河文明，弘扬民族精神，枣庄市政府重建了台儿庄古城．某校“综合与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼（如图①）高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告．
测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告
活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度
活动目的 运用三角函数知识解决实际问题
活动工具 测角仪、皮尺等测量工具
方案示意图 测量步骤 如图② ⑴利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为39°； ⑵前进了10米到达A处（选择测点A，B与O在同一水平线上，A，B两点之间的距离可直接测得，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为56°．
参考数据 sin39°≈0.6，cos39°≈0.8，tan39°≈0.8，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5．
计算城门楼PO的高度（结果保留整数）
9．（2024·烟台中考） 根据手机的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 ▲ 日（填冬至或夏至）时，α为 ▲ （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
10．（2024·湖南）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下：
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点，使得点，，在同一条直线上； ②过点作，并沿方向前进到点，用皮尺测得的长为4米； ③在点处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，．
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）
（1）求线段和的长度；
（2）求底座的底面的面积．
11．（2025·河南）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下．
活动主题 测量纪念碑的高度
实物图和测量示意图
测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上．
测量数据
备注 点在同一水平线上．
根据以上信息，解决下列问题．
（1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得，请说明理由．
（2）求纪念碑AB的高度．
（3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）．
12．（2025·烟台）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动.
如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向
14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处
15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：，，，，，）.
13．（2025·山西）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底，从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏培围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
交流过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上. 图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：
sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈ 0.99，tan8.5°≈0.15， sin37°≈0.60， cos37°≈0.80，tan37°≈0.75).
14．（2025·吉林）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：如图是某城市规划展览馆，树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作3D打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
灰 实施 任务一 测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高CD＝1.4m． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE＝61°． 3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB＝42m．
任务二 计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精项到1m） （参考数据：sin61°≈0.875，cos61°≈0.485，tan61°≈1.804）
任务三 换算模型高度 将该城市规划展览馆AB的高度按1：400等比例缩小，得到其3D打即模型的高度约为 ▲ cm．（结果精确到1cm）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
15．（2025·新疆维吾尔自治区）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG．
实验图示 测量数据 1．AD＝4m 2．BD＝10m 3．BH＝13.5m 4．∠EFG＝43° 5．∠MNG＝21.8°
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直． 参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．
16．（2023·遂宁）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A、B两处的距离
成员 组长：××× 组员：××××××××××××
测量工具 测角仪，皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．
测量数据 角的度数
边的长度 米
米
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．
（1）已知：如图，在中，．____．（从记录表中再选一个条件填入横线）
求：线段的长．（为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．）
17．（2023·吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：
填写人：王朵 综合实践活动报告 时间：2023年4月20日
活动任务：测量古树高度
活动过程
【步骤一】设计测量方案 小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．
【步骤二】准备测量工具 自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示准备皮尺．
【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点． 如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角． 测出眼睛到地面的距离． 测出所站地方到古树底部的距离． ． ． ．
【步骤四】计算古树高度．（结果精确到） （参考数据：）
请结合图①、图④和相关数据写出的度数并完成【步骤四】．
18．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
答案解析部分
1．【答案】（1）解：它们在同一条直线上，
设y＝kx+b，
则：，
解得：，
所以这条直线所对应的函数解析式为y＝5x+33；
（2）解：当y＝213mm时，213＝5x+33，
解得：x＝36，
所以当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36mm．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y关于x的函数解析式；
（2）将y=213代入（1）所求的函数解析式算出对应的自变量x的值即可.
2．【答案】（1）解：，，
（2）解：抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为；
（3）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
∴，，
∵轴，
∴轴，
∵是矩形，
∴，
∴轴，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得：或（在对称轴右侧，舍），
∴，
由抛物线对称性可得．
【知识点】点的坐标；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵矩形的边，，
∴，，，，
∴，，；
（2）解：∵装置整体图案为轴对称图形，
如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，
结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，
∴，，
∴抛物线和的顶点坐标分别为，，
分别设抛物线和的表达式为，，
将代入，
解得，
则抛物线的表达式为；
将代入，
解得；
则抛物线的表达式为；
【分析】（1）根据矩形的性质，以及点的坐标的定义即可得出，，；
（2）如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，根据矩形和抛物线的对称性，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，然后根据顶点式，利用待定系数法，即可求得抛物线和抛物线的表达式；
（3）首先证得四边形是矩形，从而得出，设=n，进而根据L1和L2的函数关系式表示出yE和yH，然后根据边的长为， 即可得出关于n的方程，解方程求得n的值（舍去不合题意的值），即xE的值，进而求得EF的长度即可。
3．【答案】（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1）解：依题意得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意设x=kt，y=ax2+bx，利用表中数据，将点的坐标代入可求出两函数解析式，再将y=0代入可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后将符合题意的t的值代入函数解析式，可求出对应的x值，即可求解.
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，利用x的取值范围，可得到t的取值范围，利用两端点数，分别将t=25和t=26代入函数解析式，可求出对应的n的值，可得到n的取值范围.
4．【答案】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，
∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，
∴加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，
∴（70﹣x﹣y）×1＝2y，
整理得：；
任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：[100﹣2（x﹣10）]x，
∴w＝2y×24+（70﹣x﹣y）×48+[100﹣2（x﹣10）]x，
整理得：w＝（﹣16x+1120）+（﹣32x+2240）+（﹣2x2+120x），
∴w＝﹣2x2+72x+3360（x＞10），
任务3：由任务2得w＝﹣2x2+72x+3360＝﹣2（x﹣18）2+4008，
∴当x＝18时，获得最大利润，
，
∴x≠18，
∵开口向下，
∴取x＝17或x＝19，
当x＝17时，，不符合题意；
当x＝19时，，符合题意；
∴70﹣x﹣y＝34，
综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，可设安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，则加工“正”服装的有（70﹣x﹣y）人，根据“正”服装总件数和“风”服装相等，列出方程，再整理化为用x表示出y即可；
任务2：根据题意得“雅”服装每天获利为：[100﹣2（x﹣10）]x，再由W=三种服装的获利之和，据此即可求解；
任务3：由任务2解析式化为顶点式，再结合题意及二次函数的性质求解即可.
5．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．
所在直线是AB的垂直平分线，且，
．
点的坐标为．
点的坐标为．
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．解，得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点D，E在抛物线上，
设点的坐标为．
，交轴于点，
．
在Rt中，，
．
．
根据题意，得，
．
解，得（不符合题意，舍去），
．
答：DE的长为4米，CF的长为2米.
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称
直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3
设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）
∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6
∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+
∴ k=-，矩形周长最大值为.
【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为.
6．【答案】（1）解：如图，过点M作，
∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米，
∴，
∵，，
在中，，
∴，
∴（米）；
（2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系：
依题意，设抛物线的解析式为，
∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．
∴，
把代入，
得，
∴，
∴；
（3）解：∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米．
∴，
∴当时，，
则，
∴，
∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），
∴（米）
∵涉及安全问题，
∴（米）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；已知正弦值求边长
【解析】【分析】（1）过点M作，由题意可得，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，由题意可得，再根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
（3）由题意将x=4代入解析式可得，根据边之间的关系看可得GH，再作差求出h即可.
7．【答案】解：过点作于点，延长交于点，
∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】 过点作于点，延长交于点，由，分别求出EF=，FD=3，易证四边形是矩形，从而求出CH=1，利用邻补角定义求出∠BCH=45°，根据分别求出BC≈1.4，BH=1，利用AB=AH-BH即可求解.
8．【答案】解：设OA＝x米，则OB＝（x+10）米，
在Rt△AOP中，tan∠OAP＝＝tan56°≈1.5，
∴OP≈1.5OA＝1.5x米，
在Rt△BOP中，tan∠OBP＝＝tan39°≈0.8，
∴OP≈0.8OB＝0.8（x+10）米，
∴1.5x＝0.8（x+10），
解得：x＝，
∴OP≈1.5x＝1.5×≈17米，
答：台儿庄古城城门楼的高度约为17米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】解：任务一：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：任务一：∵ 主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 夏天能被太阳晒到的地方更多，故要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，由求出AF，再利用DE＝BF＝AB﹣AF求出DE的长，再除以3.3即得结论.
10．【答案】（1），的长为4米，，
，
（米；
，
米，
（米；
（2）过点作于点，如图所示：
，
，
米，
米，
米，
底座的底面的面积为：（平方米）．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△CFE中，，即可解出CE的长度，再由判断出三角形BEF是等腰直角三角形，即可算出BC的长.
（2）过点A作于点M，先得出四边形AMEB是矩形，由性质得，然后在Rt△AMF中，，即可解出MF的长，从而得到AB，再根据矩形的面积即可解答.
11．【答案】（1）解：理由如下：
根据题意。得EF∥AD， ED∥AC
∴∠EFD=∠ADC， ∠EDF=∠ACD
∴△EDF∽△ACD
∴CD=CA
（2）解：如图， 过点E作EH⊥AC于点H.设AB=x米
则EH∥BN， EH=CD=CA=(x+1.2)米
BN=CM=(x+2.2)米， AH=(x-0.9)米
∴∠ANB=∠AEH
即：
解得：
经检验。 符合题意
答：纪念碑AB 的高度为19.8米
（3）解：
故小红的结果误差较大
原因可能是测量工具不精确
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）由于太阳光线可看作是一组平行线，即EF//AD，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即ED//AC，则由两直线平行同位角相等可判定，由相似比可得；
（2）如图， 过点E作EH⊥AC于点H，可得，显然四边形EDCH、MNBC都是矩形，则借助（1）的结论可得EH=CD=AC，BN=CM，BC=MN，此时可设AB为x，则EH、BN、AH均可用含x 的代数式表示，由于EH//BN，则，即，解和可得，再解方程即可；
（3）直接计算两个结果的误差并比较，原因可能是测量工具不精确，也可能是计算有误，答案不唯一.
12．【答案】（1）解：如图所示，过点B作垂足为E，设BE=x.
在中，
同理：
解得：
答：渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）解：
中，
不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】(1)如图，过点B作AC的垂线段BE，先利用路程公式求出CD，再设BE=x，分别解直角三角形BEC和直角三角形BED即可得到CE和DE，则由CD=CE-DE可建立关于x的一元一次方程并求解即可；
（2）先解直角三角形ABE求出AE的长，则利用（1）中DE=BE可得出AD的长，再利用起雾与当前的时间差求出行程，再与AD之间的距离比较即可.
13．【答案】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形.
∴EF=AD=26， AD // EF.
∴∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° .
设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠ABE=
∴AE=BE·tan∠ABE=x·tan37°.
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，tan∠ACE=
∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan8.5°
∴x·tan37°=(26-x)·tan8.5°.
解，得
∴BC=26-2×≈17（米）、
答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由题意得，∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，利用矩形的性质得到EF=AD=26， AD // EF，进一步可得∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5° ，设BE=CF=x米， 则CE=(26-x)米，BC=(26-2x)米.利用正切的定义建立关系x·tan37°=(26-x)·tan8.5°，计算即可解答.
14．【答案】解：任务二，计算实际高度，
∵依题意，四边形EBDC为矩形，
∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，
∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝61°，
∴AE＝CE tan∠ACE＝42×tan61°≈75.8（m），
∴AB＝AE+EB＝75.8+1.4＝77（m），
答：该城市规划展览馆AB的高度约为77m；
任务三，换算模型高度，
设3D打即模型的高度为x m，
∵x：77＝1：400，
解得x＝0.1925，
∴3D打即模型的高度为0.1925m，
∵0.1925m＝19.25cm≈19cm，
∴3D打即模型的高度约为19cm，
故答案为：19．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】任务二：先得到四边形EBDC为矩形，得到对应边相等，然后在Rt△AEC中，根据正切的定义求出AE长，再根据线段的和差解答即可；
任务三：设3D打即模型的高度为x m，根据比例尺求出x的值，换算单位比较解答即可.
15．【答案】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，
∴FG＝AB＝AD+BD＝10+4＝14m，NG＝AH＝AD+DB+BH＝4+10+13.5＝27.5m，
∵在Rt△EFG中，，
∴，
∴EG＝14×0.93＝13.02m，
在Rt△MNG中，，
∴，
∴MG＝11m，
∴EM＝EG﹣MG＝13.02﹣11＝2.02m，
答：校徽的高度约为2.02m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据矩形及边之间的关系可得FG＝AB＝14m，NG＝AH＝27.5m，再根据正切定义可得EG，MG，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】（1）当填入米时：
解：作于点D，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
当填入米时：
解：作于点D，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：线段的约长为77米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解；当填入米时：作于点D，运用解直角三角形的知识即可求解。
17．【答案】解：测角仪显示的度数为，∴，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，，
在中，，
∴．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】先根据题意即可得到，进而得到四边形是矩形，，，再结合解直角三角形的知识即可求出CE，进而结合题意求解。
18．【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
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