主题情景探究（1）——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、实践探究题
1．（2024·威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ▲ ．
2．（2024·新疆维吾尔自治区）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
⑴准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
⑵实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿右测角仪的直径剧好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位畳到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.
⑶计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ▲ ；
②根据测量数据，画出示意图，求旗杆CD的高度(精确到0.1m)；(参考数据：
③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角 若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法.
3．（2025·深圳）【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1） 若开设 3 条安检通道， 安检时间为 x 分钟， 则已入场人数为 (用 x 表示)， 若排队人数为 w， 则 w 与 x 的函数表达式 .
（2）【模型应用】 在(1)的条件下， 当安检时间在几分钟时， 排队人数达到最大值 最大值为多少
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在 10 分钟内 (包含 10 分钟) 减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
4．（2025·青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
（1） 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … …
请补全上述表格① ； ② ； ③ ； ④ .
（2） 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( ， 在Rt△ADO中， . 则 的周长为(
①如图2， 正方形ABCD的周长为 ；
②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
（3）探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积为 .
【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
5．（2023·台州）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．
⑵请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
6．（2023·青海）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角 .此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离 （结果保留根号）.
（4）归纳推理：比较，，大小： ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离 （填“越大”或“越小”）.
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
7．（2024·盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ▲ ，共铲 ▲ 行，则铲除全部籽的路径总长为 ▲ ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ▲ ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
8．（2023·临沂）综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
（1） 数据整理
请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
（2） 模型建立
分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
（3） 拓广应用
根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
9．（2024·长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 ．
（3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为 米．
10．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
（1）【问题解决】计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
11．（2024·潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
（4）【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
12．（2023·金华）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固. 图2是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆.圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH1的形状，并求的值.
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形的周长.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）解：过点A作AM⊥CB于点M，
∴∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴∠DEC=∠AMB=90°，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）①
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
【分析】（1）根据题意，选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，根据垂直的定义得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，两直线平行”得DE∥AM，从而证出△CDE∽△CAM，根据相似三角形的性质得，代入求出，最后根据正弦的定义求出sinα的值即可；
（3）由（2）有，即可确定计算器的按键顺序.
2．【答案】（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
②，
，
在中，，
，
．
即旗杆的高度为．
③三角板只有、的三角板和的三角板，而点的仰角为，
三角板测不出仰角的度数；
如图，作，则为等腰直角三角形，，
，
，
，
向右走，用直角三角板测量即可（或向左走用三角板测量即可）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
【分析】（3）①根据测角仪结合题意进行角的运算即可求解；
②先根据BC得到AE，再根据正切函数得到，从而解直角三角形（边角的运算）得到DE，再根据CD=CE+DE即可求解；
③先根据三角板的特点结合题意得到三角板测不出仰角的度数，作，则为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得到，进而即可求出AF，再根据题意即可求解。
3．【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴当时，
（3）解：设开了m条通道则：
∴对称轴为
若按照①的方式理解：
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又∵最多开通9条
∴
∵m为正整数
∴m最小值为7
∴最少开7条通道
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1) 平均每条通道每分钟可安检6人，故3条安检通道的入场人数为18x，
排队人数w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每条通道每分钟可安检6人，可知3条通道x分钟通过的人数；由w=y-18x可得w与x的函数关系；
(2)由(1)中的二次函数关系，可知当x=21时，w取最大值；
(3)设开通m条通道，可得关于m的不等关系，可得m的取值范围，即可得m的最小值.
4．【答案】（1）90°；；；不能
（2）解： ①8
②如图，
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中， ∠OMD=90°， ∠ODM=60°
（3）；9；6
【知识点】含30°角的直角三角形；平面镶嵌（密铺）；圆内接正多边形；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：(1)①正方形每个内角为90°，②90°能被360°整除，即；③，故④不能密铺；
(2)①由OD=1知圆的半径为1，在图2中，正方形的边长为2，故周长为8；
(3)周长为12，则正三角形边长为4，面积S=；
正方形的边长为3，面积为9；
正六边形的边长为2，则面积为S
【分析】(1)直接由表格中的提示填写能否整除、能否密铺；
(2)由图1知圆的半径，得圆2中的正方形的边长，利用特殊三角形可得DM可得正六边形的边长；
(3)由周长可得正多边形的边长，再分别求出面积即可.
5．【答案】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）将t=30代入h=-0.1t+30得h=27，
将t=40代入h=-0.1t+30得h=26，
∴
；
（2）设，则当t=10时，h=10k+30，当t=20时，h=20k+30，当t=30时，h=30k+30，当t=40时，h=40k+30，
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）任务1：根据统计表提供的数据，利用有理数的减法直接算出表中每隔10min水面高度观察值的变化量；
（2）任务2：利用待定系数法可直接求出h关于t的函数解析式；
（3）任务3：①分别将t=30与t=40代入任务2所求的函数解析式算出对应的h的值，进而根据“反思优化”提供的计算方法算出w的值；
②设经过（0，30）的一次函数解析式为h=kt+30，分别用含k的式子表示出t=10、t=20、t=30、
t=40时对应的h的值，进而根据w的计算方法建立出w关于k的函数解析式，根据函数性质，求出当w最小时的k的值，从而即可求出优化后的函数解析式；
（4）任务4：根据优化后的函数解析式及水面的高度随时间的变化而减小，从而可得设计方案及要点.
6．【答案】（1）解：图1，
∵C为的中点，AC为半径，
∴，
，，
，
，
是等边三角形，
∴BC=AC=2， ∠C=60°，
∴∠CBD=30°，
；
（2）解：如图2，
∵C为的中点，AC为半径，
∴，
，，
，
，
，
（3）；
（4）；越小
（5）0
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°，
∵C为的中点，AC为半径，
∴AC⊥BD，在Rt△ABE中，AE=AB×sin∠ABD=2×sin60°=，
∴d3=CE=AC-AE=；
故答案为：60°，；
（4）∵1＞＞，
∴d1＞d2＞d3，
∴ 车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小；
故答案为：d1＞d2＞d3，越小；
（5）∵圆的半径相等，
∴ 将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=0.
故答案为：0.
【分析】（1）首先根据垂径定理可得AC⊥BD，根据等腰三角形的三线合一得∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，则BC=AC=2，进而根据含30°角直角三角形性质可求出d1的长；
（2）首先根据垂径定理可得AC⊥BD，由等腰直角三角形性质可得∠ABD=45°，进而根据∠ABD的正弦函数可求出AE的长，最后根据d2=AC-AE可算出答案；
（3）由正六边形性质得AB=BD=AD，故△ABD是等边三角形，得∠BAD=∠ABD=60°，根据垂径定理可得AC⊥BD，进而根据∠ABD的正弦函数可求出AE的长，最后根据d3=AC-AE可算出答案；
（4）比较d1、d2、d3的大小即可得出答案；
（5）根据同圆的半径相等，可得结论.
7．【答案】解：方案1：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案2：2（k﹣1）dn；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有(2k﹣1)个间隔，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：2（n﹣1）dk﹣2（k﹣1）dn＝2ndk﹣2dk﹣2ndk+2dn＝2d（n﹣k）＞0，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵n＞k≥3，
当k＝3时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【知识点】整式的加减运算；二次根式的实际应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：方案一：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为（n﹣1）d，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2k行，
∴铲除全部籽的路径总长为2（n﹣1）dk.
故答案为：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案二：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为（k﹣1）d，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2n列，
∴铲除全部籽的路径总长为2（k﹣1）dn，
故答案为：2（k﹣1）dn；
【分析】方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，则每行铲的路径长为（n﹣1）d，再确定行数，由题意列出代数式即可；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，则每列铲的路径长为（k﹣1）d，再确定列数，由题意列出代数式即可；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有2n列，2k行，
则斜着铲相当于有n条线段长，同时有(2k﹣1)个间隔，从而得出铲除全部籽的路径总长为；
解决问题 ：利用作差法比较三种方案即可.
8．【答案】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
（2）解：由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）解：①设：定价应为元，由题意，得：
，
整理得：，
解得：，
∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为，由题意，得：
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为元．
答：售价定为元时，每天能够获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题中的数据填表即可；
（2）观察表格求出售价每涨价2元，日销售量少卖4盆即可作答；
（3）①利用利润公式求出， 再解方程即可；
②利用利润公式求出 ， 再利用函数的性质求解即可。
9．【答案】（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形，
∴，AC=AB=3.
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
故答案为：30；.
【方法应用】：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，MP=ND.
∵ △ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，
，∠BCD=90°，
∵AM=DN，
∴AM=MP.
，.
.
当时，最小，此时最小，
在等腰△ACD中，，
在中，，
线段长度的最小值为米．
故答案为：.
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形的判定与性质，即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质和平行线的性质先证明，然后根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，根据平行四边形的判定与性质，求出，进而得，根据垂线段最短，利用三角函数求解即可．
10．【答案】（1）解：如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，
∴AH＝AB cos79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴，
∴（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）②
【知识点】全等三角形的实际应用；背靠背模型
【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②；
【分析】本题锐角三角函数的应用，解直角三角形和全等三角形的判定与应用，找出所给角度，线段长之间的数量关系，利用三角函数求出所求线段是关键。
（1）过点B作BH⊥AP，由AB长，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；结合∠APB，求出PH，最后求出AP；
（2）根据AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可证△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。
11．【答案】（1）0.785
（2）解：不能，理由如下：
对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）解：由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵喷洒的圆面积k=π r2=πx92=81π(m2)，正方形草坪的面积S =a2=182=324(m2)
∴
故答案为：0.785.
【分析】
（1）先计算半径为9的圆的面积k，再计算边长为18的正方形面积s，计算结果代入公式即可.
（2）同（1）先计算半径为的圆的总面积，而正方形的面积为324，再代入公式进行计算即可.
（3）由图可知，四个圆的半径相等，故EF=2r，再根据勾股定理：AE2+AF2＝EF2，列出：4r2＝x2+（18﹣x）2，再根据圆的面积公式：，又因为a>0，因此当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，解得r即可.
（4）首先，我们考虑一个喷洒装置能覆盖的正方形区域。一个半径为的圆的直径是，因此它能完全覆盖一个边长为6的正方形。为了覆盖一个边长为18m的正方形，我们可以将大正方形分成边长为6的小正方形，然后在每个小正方形的中心放置一个喷洒装置，而大正方形的边长与小正方形的边长之比是：18÷6=3，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少.
12．【答案】解：探究1，
四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由题意易得CD∥EH1，DE∥CH1，
∴四边形CDEH1是平行四边形，
∵S平行四边形CDEH1=3CD=3DE，
∴CD=DE，
∴平行四边形CDEH1是菱形；
如图1，过点C作CM⊥AB于点M.
由题意，得CA=CB，CM=12，
.
在Rt中，，
；
探究2
①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N.
由题意，得，
.
.
又∵四边形CDEH1是菱形，
.
②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N.
由题意，形成的多边形为正n边形，
外角.
在Rt中，.
又，
.
形成的多边形的周长为.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）探究1，四边形CDEH1是菱形，理由如下：由题意易得CD∥EH1，DE∥CH1，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形CDEH1是平行四边形，根据平行四边形的面积等于底乘以高结合横梁宽度都是3可得CD=DE，进而根据由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得结论；过点C作CM⊥AB于点M，由等腰三角形的三线合一得AM=BM=16，在Rt△CAM中，利用勾股定理可求出CA的长，从而即可算出l的长；
（2）探究2，①过点C作CN⊥H1H2于点N，由题意易得∠H1CH2=120°，CH1=CH2，CN=3，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠CH1N=30°，根据含30°角直角三角形的性质可得CH1=2CN=6，由∠CH1N的正切函数可求出H1N，由菱形性质得EH1=CH1=6，从而即可算出l的长；
②过点C作CN⊥H1H2于点N，由题意，形成的多边形为正n边形，则外角，由∠CH1H2的正切函数可表示出H1N，根据等腰三角形的三线合一可得H1H2=2H1N，进而根据正多边形周长的计算方法即可求出答案.
1 / 1主题情景探究（1）——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、实践探究题
1．（2024·威海）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）．
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具 竹竿，米尺
测量示意图 说明：AC是一根笔直的竹竿．点D是竹竿上一点，线段DE的长度是点D到地面的距离．∠α是要测量的倾斜角
测量数据
…… ……
（1）设AB＝a，BC＝b，AC＝c，CE＝d，DE＝e，CD＝f，BE＝g，AD＝h，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
（2）根据（1）中选择的数据，写出求∠α 的一种三角函数值的推导过程．
（3）假设sinα≈0.86，cosα≈0.52，tanα≈1.66，根据（2）中的推导结果，利用计算器求出∠α的度数．你选择的按键顺序为 ▲ ．
【答案】（1）解：需要的数据为：AB＝a，AC＝c，DE＝e，CD＝f；
（2）解：过点A作AM⊥CB于点M，
∴∠AMB＝90°，
∵DE⊥CB，
∴∠DEC=∠AMB=90°，
∴DE∥AM，
∴△CDE∽△CAM，
∴，即，
∴，
∴；
（3）①
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：（3）解：∵，∴按键顺序为2ndF，sin，0， ，8，6，＝，
故答案为：①．
【分析】（1）根据题意，选择需要的数据即可；
（2）过点A作AM⊥CB于点M，根据垂直的定义得∠DEC=∠AMB=90°，由“同位角相等，两直线平行”得DE∥AM，从而证出△CDE∽△CAM，根据相似三角形的性质得，代入求出，最后根据正弦的定义求出sinα的值即可；
（3）由（2）有，即可确定计算器的按键顺序.
2．（2024·新疆维吾尔自治区）数学活动课上为了测量学校旗杆的高度，某小组进行了以下实践活动：
⑴准备测量工具
①测角仪：把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪（图1），利用它可以测量仰角或俯角；
②皮尺.
⑵实地测量数据
①将这个测角仪用手托起，拿到眼前，使视线沿右测角仪的直径剧好到达旗杆的最高点（图2）；
②用皮尺测出所站位畳到旗杆底部的距离为16.8m，眼睛到地面的距离为1.6m.
⑶计算旗杆高度
①根据图3中测角仪的读数，得出仰角的度数为 ▲ ；
②根据测量数据，画出示意图，求旗杆CD的高度(精确到0.1m)；(参考数据：
③若测量者仍站在原处(B点)，能否用三角板替代测角仪测出仰角 若能，请写出测量方法；若不能，该如何调整位置才能用三角板测出仰角，请写出测量方法.
【答案】（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
②，
，
在中，，
，
．
即旗杆的高度为．
③三角板只有、的三角板和的三角板，而点的仰角为，
三角板测不出仰角的度数；
如图，作，则为等腰直角三角形，，
，
，
，
向右走，用直角三角板测量即可（或向左走用三角板测量即可）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：（3）①根据测角仪得出度数为，所以为；
故答案为：；
【分析】（3）①根据测角仪结合题意进行角的运算即可求解；
②先根据BC得到AE，再根据正切函数得到，从而解直角三角形（边角的运算）得到DE，再根据CD=CE+DE即可求解；
③先根据三角板的特点结合题意得到三角板测不出仰角的度数，作，则为等腰直角三角形，，根据等腰直角三角形的性质得到，进而即可求出AF，再根据题意即可求解。
3．（2025·深圳）【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：
结合上述信息，请完成下述问题：
（1） 若开设 3 条安检通道， 安检时间为 x 分钟， 则已入场人数为 (用 x 表示)， 若排队人数为 w， 则 w 与 x 的函数表达式 .
（2）【模型应用】 在(1)的条件下， 当安检时间在几分钟时， 排队人数达到最大值 最大值为多少
（3）已知该演出主办方要求：
①排队人数在 10 分钟内 (包含 10 分钟) 减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
【答案】（1）18x；
（2）解：由(1)知
∴当时，
（3）解：设开了m条通道则：
∴对称轴为
若按照①的方式理解：
∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少
，即：
又∵最多开通9条
∴
∵m为正整数
∴m最小值为7
∴最少开7条通道
【知识点】二次函数的最值；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：(1) 平均每条通道每分钟可安检6人，故3条安检通道的入场人数为18x，
排队人数w=y-18x=，即
【分析】(1) 由平均每条通道每分钟可安检6人，可知3条通道x分钟通过的人数；由w=y-18x可得w与x的函数关系；
(2)由(1)中的二次函数关系，可知当x=21时，w取最大值；
(3)设开通m条通道，可得关于m的不等关系，可得m的取值范围，即可得m的最小值.
4．（2025·青海）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片.
（1） 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 60° 360°÷60°=6 能
正方形 ① ② 能
正五边形 108° 不能
正六边形 120° 能
正七边形 900° 7 不能
正八边形 135° ③ ④
… … …
请补全上述表格① ； ② ； ③ ； ④ .
（2） 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小.
观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，( ， 在Rt△ADO中， . 则 的周长为(
①如图2， 正方形ABCD的周长为 ；
②如图3，求出正六边形的周长(写出求解过程).
（3）探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小.
若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积为 .
【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案.
【答案】（1）90°；；；不能
（2）解： ①8
②如图，
⊙O为正六边形的内切圆与 CD切于点M，连接OM，OD
∴OM⊥CD且(
在Rt△MOD中， ∠OMD=90°， ∠ODM=60°
（3）；9；6
【知识点】含30°角的直角三角形；平面镶嵌（密铺）；圆内接正多边形；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【解答】解：(1)①正方形每个内角为90°，②90°能被360°整除，即；③，故④不能密铺；
(2)①由OD=1知圆的半径为1，在图2中，正方形的边长为2，故周长为8；
(3)周长为12，则正三角形边长为4，面积S=；
正方形的边长为3，面积为9；
正六边形的边长为2，则面积为S
【分析】(1)直接由表格中的提示填写能否整除、能否密铺；
(2)由图1知圆的半径，得圆2中的正方形的边长，利用特殊三角形可得DM可得正六边形的边长；
(3)由周长可得正多边形的边长，再分别求出面积即可.
5．（2023·台州）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
流水时间t/min 0 10 20 30 40
水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．
任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．
⑵请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．
任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．
【答案】解：任务1：变化量分别为，；；
；；
任务2：设，
∵时，，时，；
∴
∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为．
任务3：（1）将t=30代入h=-0.1t+30得h=27，
将t=40代入h=-0.1t+30得h=26，
∴
；
（2）设，则当t=10时，h=10k+30，当t=20时，h=20k+30，当t=30时，h=30k+30，当t=40时，h=40k+30，
．
当时，w最小．
∴优化后的函数解析式为．
任务4：时间刻度方案要点：
①时间刻度的0刻度在水位最高处；
②刻度从上向下均匀变大；
③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）任务1：根据统计表提供的数据，利用有理数的减法直接算出表中每隔10min水面高度观察值的变化量；
（2）任务2：利用待定系数法可直接求出h关于t的函数解析式；
（3）任务3：①分别将t=30与t=40代入任务2所求的函数解析式算出对应的h的值，进而根据“反思优化”提供的计算方法算出w的值；
②设经过（0，30）的一次函数解析式为h=kt+30，分别用含k的式子表示出t=10、t=20、t=30、
t=40时对应的h的值，进而根据w的计算方法建立出w关于k的函数解析式，根据函数性质，求出当w最小时的k的值，从而即可求出优化后的函数解析式；
（4）任务4：根据优化后的函数解析式及水面的高度随时间的变化而减小，从而可得设计方案及要点.
6．（2023·青海）综合与实践
车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离.
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）.
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角 .此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离 （结果保留根号）.
（4）归纳推理：比较，，大小： ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离 （填“越大”或“越小”）.
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.
【答案】（1）解：图1，
∵C为的中点，AC为半径，
∴，
，，
，
，
是等边三角形，
∴BC=AC=2， ∠C=60°，
∴∠CBD=30°，
；
（2）解：如图2，
∵C为的中点，AC为半径，
∴，
，，
，
，
，
（3）；
（4）；越小
（5）0
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD=∠ABD=60°，
∵C为的中点，AC为半径，
∴AC⊥BD，在Rt△ABE中，AE=AB×sin∠ABD=2×sin60°=，
∴d3=CE=AC-AE=；
故答案为：60°，；
（4）∵1＞＞，
∴d1＞d2＞d3，
∴ 车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小；
故答案为：d1＞d2＞d3，越小；
（5）∵圆的半径相等，
∴ 将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=0.
故答案为：0.
【分析】（1）首先根据垂径定理可得AC⊥BD，根据等腰三角形的三线合一得∠BAC=∠CAD=∠BAD=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，则BC=AC=2，进而根据含30°角直角三角形性质可求出d1的长；
（2）首先根据垂径定理可得AC⊥BD，由等腰直角三角形性质可得∠ABD=45°，进而根据∠ABD的正弦函数可求出AE的长，最后根据d2=AC-AE可算出答案；
（3）由正六边形性质得AB=BD=AD，故△ABD是等边三角形，得∠BAD=∠ABD=60°，根据垂径定理可得AC⊥BD，进而根据∠ABD的正弦函数可求出AE的长，最后根据d3=AC-AE可算出答案；
（4）比较d1、d2、d3的大小即可得出答案；
（5）根据同圆的半径相等，可得结论.
7．（2024·盐城）发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n＞k≥3，d＞0），如图1所示．
小明设计了如下三种铲籽方案．
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ▲ ，共铲 ▲ 行，则铲除全部籽的路径总长为 ▲ ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ▲ ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．
【答案】解：方案1：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案2：2（k﹣1）dn；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，
根据题意得一共有2n列，2k行，
斜着铲相当于有n条线段长，同时有(2k﹣1)个间隔，
∴铲除全部籽的路径总长为：；
解决问题
由上得：2（n﹣1）dk﹣2（k﹣1）dn＝2ndk﹣2dk﹣2ndk+2dn＝2d（n﹣k）＞0，
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
，
∵n＞k≥3，
当k＝3时，
，
，
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗．
【知识点】整式的加减运算；二次根式的实际应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：方案一：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，∴每行铲的路径长为（n﹣1）d，
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2k行，
∴铲除全部籽的路径总长为2（n﹣1）dk.
故答案为：（n﹣1）d；2k；2（n﹣1）dk；
方案二：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为（k﹣1）d，
∵每行有n个籽，呈交错规律排列，
∴相当于有2n列，
∴铲除全部籽的路径总长为2（k﹣1）dn，
故答案为：2（k﹣1）dn；
【分析】方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d，则每行铲的路径长为（n﹣1）d，再确定行数，由题意列出代数式即可；
方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，则每列铲的路径长为（k﹣1）d，再确定列数，由题意列出代数式即可；
方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有2n列，2k行，
则斜着铲相当于有n条线段长，同时有(2k﹣1)个间隔，从而得出铲除全部籽的路径总长为；
解决问题 ：利用作差法比较三种方案即可.
8．（2023·临沂）综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：
售价（元/盆） 日销售量（盆）
A 20 50
B 30 30
C 18 54
D 22 46
E 26 38
（1） 数据整理
请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
日销售量（盆）
（2） 模型建立
分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
（3） 拓广应用
根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）解：按照售价从低到高排列列出表格如下：
售价（元/盆） 18 20 22 26 30
日销售量（盆） 54 50 46 38 30
（2）解：由表格可知，售价每涨价2元，日销售量少卖4盆；
（3）解：①设：定价应为元，由题意，得：
，
整理得：，
解得：，
∴定价为每盆元或每盆元时，每天获得400元的利润；
②设每天的利润为，由题意，得：
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为元．
答：售价定为元时，每天能够获得最大利润．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题中的数据填表即可；
（2）观察表格求出售价每涨价2元，日销售量少卖4盆即可作答；
（3）①利用利润公式求出， 再解方程即可；
②利用利润公式求出 ， 再利用函数的性质求解即可。
9．（2024·长春）【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边△ABC中，AB＝3，点M、N分别在边AC、BC上，且AM＝CN，试探究线段MN长度的最小值．
【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．
【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P，作射线AP．
在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：
（1）证明：AM＝MP；
（2）∠CAP的大小为 度，线段MN长度的最小值为 ．
（3）【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，△ABC是等腰三角形，四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在AC上，点N在DE上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持AM＝DN．钢丝绳MN长度的最小值为 米．
【答案】（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，
四边形是平行四边形，
；
（2）30；
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）∵是等边三角形，
∴，AC=AB=3.
；
当时，最小，此时最小，
在中，
，
线段长度的最小值为；
故答案为：30；.
【方法应用】：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，
四边形是平行四边形，
，MP=ND.
∵ △ABC是等腰三角形，∠ACB＝30°；四边形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，
，∠BCD=90°，
∵AM=DN，
∴AM=MP.
，.
.
当时，最小，此时最小，
在等腰△ACD中，，
在中，，
线段长度的最小值为米．
故答案为：.
【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形的判定与性质，即可证明结论；
（2）根据等边三角形的性质和平行线的性质先证明，然后根据垂线段最短求出最小值；
（3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，根据平行四边形的判定与性质，求出，进而得，根据垂线段最短，利用三角函数求解即可．
10．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽、东营）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：
（1）【问题解决】计算A，P两点间的距离．
（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）
（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．
乙小组的方案用到了 ．（填写正确答案的序号）
①解直角三角形
②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．
【答案】（1）解：如图，过B作BH⊥AP于H，
∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，
∴AH＝AB cos79°≈60×0.19＝11.4（米），
BH＝AB sin79°≈60×0.98＝58.8（米），
∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，
∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，
∴，
∴（米），
∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；
即A，P两点间的距离为89.8米；
（2）②
【知识点】全等三角形的实际应用；背靠背模型
【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，
∴∠ADP＝∠EDF，
∴△ADP≌△EFD（ASA），
∴AP＝EF，
∴只需测量EF即可得到AP长度；
∴乙小组的方案用到了②；
【分析】本题锐角三角函数的应用，解直角三角形和全等三角形的判定与应用，找出所给角度，线段长之间的数量关系，利用三角函数求出所求线段是关键。
（1）过点B作BH⊥AP，由AB长，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；结合∠APB，求出PH，最后求出AP；
（2）根据AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可证△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。
11．（2024·潍坊）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面．喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ＝ ．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置．与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．已知AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值．
（4）【问题解决】
该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1？（直接写出结果即可）
【答案】（1）0.785
（2）解：不能，理由如下：
对于任意的n，喷洒面积，而草坪面积始终为324m2．
因此，无论n取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接EF，
要使喷洒覆盖率ρ＝1，即要求，其中s为草坪面积，k为喷洒面积．
∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4都经过正方形的中心点O，
在Rt△AEF中，EF＝2r，AE＝x，
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴AF＝18﹣x，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
∴4r2＝x2+（18﹣x）2，
∴
∴当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，
解得：．
（4）解：由（3）可得，当⊙O1的面积最小时，此时圆为边长为9m的正方形的外接圆，
则当时，圆的内接正方形的边长为，
而草坪的边长为18m，，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少，
∴至少安装9个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ＝1．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵喷洒的圆面积k=π r2=πx92=81π(m2)，正方形草坪的面积S =a2=182=324(m2)
∴
故答案为：0.785.
【分析】
（1）先计算半径为9的圆的面积k，再计算边长为18的正方形面积s，计算结果代入公式即可.
（2）同（1）先计算半径为的圆的总面积，而正方形的面积为324，再代入公式进行计算即可.
（3）由图可知，四个圆的半径相等，故EF=2r，再根据勾股定理：AE2+AF2＝EF2，列出：4r2＝x2+（18﹣x）2，再根据圆的面积公式：，又因为a>0，因此当x＝9时，y取得最小值，此时4r2＝92+92，解得r即可.
（4）首先，我们考虑一个喷洒装置能覆盖的正方形区域。一个半径为的圆的直径是，因此它能完全覆盖一个边长为6的正方形。为了覆盖一个边长为18m的正方形，我们可以将大正方形分成边长为6的小正方形，然后在每个小正方形的中心放置一个喷洒装置，而大正方形的边长与小正方形的边长之比是：18÷6=3，即将草坪分为9个正方形，将半径为的自动喷洒装置放置于9个正方形的中心，此时所用装置个数最少.
12．（2023·金华）问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固. 图2是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆.圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计.
探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点.测得AB=32cm，点C到AB的距离为12cm.试判断四边形CDEH1的形状，并求的值.
探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.
①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值；
②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形的周长.
【答案】解：探究1，
四边形CDEH1是菱形，理由如下：
由题意易得CD∥EH1，DE∥CH1，
∴四边形CDEH1是平行四边形，
∵S平行四边形CDEH1=3CD=3DE，
∴CD=DE，
∴平行四边形CDEH1是菱形；
如图1，过点C作CM⊥AB于点M.
由题意，得CA=CB，CM=12，
.
在Rt中，，
；
探究2
①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N.
由题意，得，
.
.
又∵四边形CDEH1是菱形，
.
②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N.
由题意，形成的多边形为正n边形，
外角.
在Rt中，.
又，
.
形成的多边形的周长为.
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）探究1，四边形CDEH1是菱形，理由如下：由题意易得CD∥EH1，DE∥CH1，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形CDEH1是平行四边形，根据平行四边形的面积等于底乘以高结合横梁宽度都是3可得CD=DE，进而根据由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得结论；过点C作CM⊥AB于点M，由等腰三角形的三线合一得AM=BM=16，在Rt△CAM中，利用勾股定理可求出CA的长，从而即可算出l的长；
（2）探究2，①过点C作CN⊥H1H2于点N，由题意易得∠H1CH2=120°，CH1=CH2，CN=3，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠CH1N=30°，根据含30°角直角三角形的性质可得CH1=2CN=6，由∠CH1N的正切函数可求出H1N，由菱形性质得EH1=CH1=6，从而即可算出l的长；
②过点C作CN⊥H1H2于点N，由题意，形成的多边形为正n边形，则外角，由∠CH1H2的正切函数可表示出H1N，根据等腰三角形的三线合一可得H1H2=2H1N，进而根据正多边形周长的计算方法即可求出答案.
1 / 1
