【精品解析】主题情景探究（2）——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编

主题情景探究（2）——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、实践探究题
1．（2025·宁夏回族自治区） 宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
（1）【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是____．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
（2）【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最大值．
根据以上信息，解答问题：
①甲样本中组的频率是 ▲ ；
②补全乙样本的频数分布直方图．
（3）【分析与应用】
①填表：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 　 5.73
乙 15.74 　 4.85
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）
②估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；
③结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
2．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
3．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
4．（2025·德州）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
5．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
6．（2025·甘孜）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．
【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
7．（2025·安徽） 综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
【项目准备】
⑴密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺.
⑵密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm.
⑶密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为.
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加个正六边形和个正三角形，长度增加cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为cm.
【项目分析】
⑴项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元.
⑵基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用.
⑶方式确定：
ⅰ)考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
ⅱ)每行用正六边形组件顶着左端开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
ⅲ)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式进行密铺，直至不能拼接为止.
⑷方案论证，按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案.
方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接(如图5).
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件(如图5所示的阴影正六边形)，最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为103元.
由于每行宽度为按=1.73计算)，设拼成s行，则，解得，故需铺21行.由知，方案一所需的总成本为2163元.
方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为元，总成本为元.
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动(略).
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①　 　；②　 　；③　 　；④　 　；⑤　 　；⑥　 　.
8．（2025·广西）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
（1）【直观感知】从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
（2）【初步探究】求图3情形的与的值；
（3）【深入研究】从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
（4）【问题解决】当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
9．（2025·泰安）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙O分别与AC，AD 相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°， l的长度要求是1.9cm~2.1cm
（1）求∠BAO 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据：
（3）【结果反思】
本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
10．（2025·淮安）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
（1）【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是　 　米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分　 　米．（参考数据：，，）
（2）【问题探究】
如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
（3）【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
11．（2025·镇江）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有　 　个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有　 　个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是　 　．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是 （写出一种即可）．
12．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
答案解析部分
1．【答案】（1）B
（2）解：①0.45；
②乙样本总频数为100，已知各组频数为9（11≤x＜13），34（13≤x＜15），25（15≤x＜17），7（19≤x＜21）
则17≤x＜19组的频数为：100-（9+34+25+7）=25.
②乙样本的频数分布直方图：
（3）解：①甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
∴甲样本平均数
∵乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为9+34=43，前三组频数和为43+25=68，
∴第50、51个数据落在15≤x<17组，
故乙样本中位数出现的组别落在15≤x＜17组，
填表如下：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 15≤x＜17 4.85
②估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：
甲样本中19≤x＜21组频数为13，频率为
试验田甲种葡萄树共500株，
故估计株数为500×0.13=65（株）；
③合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种葡萄树的方差（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术，
【知识点】全面调查与抽样调查；条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：
甲样本中组的频率是
故答案为0.45
【分析】（1）根据随机抽样的定义即可求出答案.
（2）①根据频数÷总数即可求出答案.
②根据总数减去其他组频数可得17≤x＜19组的频数，再补全频数分布直方图即可求出答案.
（3）①根据平均数，中位数，方差的定义即可求出答案.
②根据总数乘以不低于对应的频率即可求出答案.
③方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
2．【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
3．【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
4．【答案】解：【方案一】由题意，设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3x+2y＝6．
∵长宽之比为5：3，
∴长为横向边y，宽为纵向边x，黄金分割比中长＞宽，故y：x＝5：3，即：．
将代入3x+2y＝6得，3x+2x＝6．
∴x．
答：窗户框架的宽AB为m．
【方案二】由题意，设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，
∴，即，
∴要使窗架的面积最大，则，于是宽为．
∴当x＝1.5时，S最大值为1.5．
∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的AB，AD分别为1米，1.5米时，窗架的面积最大，最大值为1.5m2．
【知识点】黄金分割；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】【方案一】设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，由题意可得3x+2y＝6，再根据黄金分割可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
【方案二】设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，根据矩形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
5．【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
6．【答案】解：在△ACD中，∠CAD＝37°，AC＝20米，
根据正切函数的定义，可得 CD＝AC×tan∠CAD，
将AC＝20米，（tan37°≈0.75）代入上式，可得 CD＝20×0.75＝15（米），
∵AC＝1.5（米），
∴树的高度 BD＝CD+AC＝15+1.5＝16.5（米）．
答：树的高度为16.5 米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】可过点C作DB的垂线段构造直角三角形CDE，再解直角三角形求出DE的长，再利用矩形的性质可得BE的长，则树高DB可求.
7．【答案】1；6；60；60y+10；126；2142
【知识点】一元一次不等式的应用；正多边形的性质
【解析】【解答】解：项目主题：观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；
由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm，观察图4可得增加的长度为3个边长，即3x20=60(cm)，
计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的10c m，每增加一个拼接单元长度增加60cm，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y+10) cm；
项目分析：计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤740，
解之：x≤18.25，
∴每行可以先拼18块拼接单元
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量，
∵拼18块拼接单元，
∴共用去18个正六边形和2×18=36个正三角形组件.
由40×18+10=730知，所拼长度为730cm，
剩余740-730=10cm，无法再摆放组件.
由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本为126元
由于每行宽度为cm（按=1.73计算），设拼成s行，
则，
故需铺17行.
计算方案二的总成本126×17=2142
∴方案二所需的总成本为2142元；
项目实施：
两种方案比较可知，2163＞2142，
∴选方案二完成实践活动.
故答案为：1；6；60y+10：126；2142.
【分析】通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度.涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本.方案二的计算方法与方案一类似.
8．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上，
∴，，，
又∵如图2，在上，，，
∴，
，
当时，如图，设交于点，交于点，则，
此时遮阳区的面积为的面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
当时，如图，设交于点，则，，，
此时遮阳区的面积为四边形的面积，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大；
（2）解：如图3，此时点落在上，则，
由（1）知：当时，；
∴图3情形时，，；
（3）解：当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为；
（4）
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4）解：当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
∵
∴当时，的最大值为：，
综上所述，当时，取得最大值，最大值为，
∴当遮阳区面积最大时，向右移动了．
【分析】（1）根据矩形，平行四边形性质可得，，，再根据正切定义可得，根据边之间的关系可得，根据平行四边形面积可得，分情况讨论：当时，设交于点，交于点，则，此时遮阳区的面积为的面积，根据直线平行性质可得，，根据正切定义可得，再根据三角形面积可得，根据二次函数性质即可求出答案；当时，如图，设交于点，则，，，此时遮阳区的面积为四边形的面积，根据梯形判定定理可得四边形为梯形，再根据梯形面积可得，根据一次函数性质即可求出答案.
（2）此时点落在上，则，由（1）知：当时，，即可求出答案.
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，此时遮阳区的面积为六边形的面积，根据直线平行性质可得，，再根据正切定义可得，，根据，结合平行四边形及三角形面积即可求出答案.
（4）分情况讨论：当时，，当时，，当时，，结合二次函数及一次函数性质即可求出答案.
9．【答案】（1）解：∵⊙O分别与AC， AD相切于点B， D，
（2）解：∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC=OB=1，
∵∠OAB=30°， ∠OBA=90°，
同理
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
（3）解：能，将圆柱换成正方体.如图，
设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.
∴BC=BD=a，
∵∠CAD=60°，
【知识点】切线的性质；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；正切的概念
【解析】【分析】
(1)需利用圆与切线的性质及角度平分线的定义，求∠BAO的度数，解答即可；
(2) 结合正切的定义与已知数据，通过钢柱半径和测量值推导l的值，解答即可；
（3）探讨是否可用其他几何体替代圆柱，需考虑几何体的可测性及适用性，因此可设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y，通过正切的定义计算即可解答.
10．【答案】（1）1.8；0.26
（2）解：如图， 延长PN交AC于点F， 则(OF=EG=x，
米，
∴在 中， 米，
即
延长NM交AB于点H，过A作 交MN于I，则AI=1.8-1.6=0.2(米)， 为使头部不被淋湿，
=0.2，
解得
又·.
.
（3）解：设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作. 交BD于T，延长EG交CD于W， 过W作 交OG于Y，
则 所以在 中，
在 中，
<0.5，在 中，
又·. MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】(1)①由题意知， OG=0.45米， GP =1.35米，
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8米，即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为： 1.8；
②∵AC = 1米， 点O为AC中点，
米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD =∠KDP =72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK =∠KDP=72°，
∴在Rt△OCK中， ×3.08 = 1.54米， 米，故答案为： 0.26；
【分析】(1)①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
(2)延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用 接着可得 延长NM交AB于点H， 过A作 交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
(3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可.
11．【答案】（1）n1w1；n2w2；
（2）“惰轮”的作用是使动轮和主轮旋转的方向保持一致.
［发现]更换不同齿数的主动轮或从动轮
【知识点】圆的相关概念；旋转的性质；比的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意， 主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈
故每分钟啮合的齿数有 n1w1个，
从动轮每分钟转w2圈，故每分钟 啮合的齿数有个，
相同时间内 啮合的齿数相等 得n1w1=n2w2，于是；
（2）从动轮的转速为圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致.
【分析】(1)由每圈的齿数知每分钟转过的齿数，由相同时间内齿数相同可得转速之比；
(2)由(1)知相同时间转过的齿数相同可得从动轮分钟的转速.
12．【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
1 / 1主题情景探究（2）——【探究与实践】历年（2022-2025）中考数学真题精编
一、实践探究题
1．（2025·宁夏回族自治区） 宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
（1）【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是____．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
（2）【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最大值．
根据以上信息，解答问题：
①甲样本中组的频率是 ▲ ；
②补全乙样本的频数分布直方图．
（3）【分析与应用】
①填表：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 　 5.73
乙 15.74 　 4.85
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）
②估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；
③结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
【答案】（1）B
（2）解：①0.45；
②乙样本总频数为100，已知各组频数为9（11≤x＜13），34（13≤x＜15），25（15≤x＜17），7（19≤x＜21）
则17≤x＜19组的频数为：100-（9+34+25+7）=25.
②乙样本的频数分布直方图：
（3）解：①甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
∴甲样本平均数
∵乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为9+34=43，前三组频数和为43+25=68，
∴第50、51个数据落在15≤x<17组，
故乙样本中位数出现的组别落在15≤x＜17组，
填表如下：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 15≤x＜17 4.85
②估计甲种葡萄树每株产量不低于19kg的株数：
甲样本中19≤x＜21组频数为13，频率为
试验田甲种葡萄树共500株，
故估计株数为500×0.13=65（株）；
③合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.85）小于甲种葡萄树的方差（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术，
【知识点】全面调查与抽样调查；条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【解答】解：（2）①由题意可得：
甲样本中组的频率是
故答案为0.45
【分析】（1）根据随机抽样的定义即可求出答案.
（2）①根据频数÷总数即可求出答案.
②根据总数减去其他组频数可得17≤x＜19组的频数，再补全频数分布直方图即可求出答案.
（3）①根据平均数，中位数，方差的定义即可求出答案.
②根据总数乘以不低于对应的频率即可求出答案.
③方差表示一组数据的波动情况，方差越小，数据越稳定.
2．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
3．（2025·潍坊） 为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
（2）【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
（4）【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 49.5 51 49.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
【答案】（1）解：不赞同.
理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20．
若组数为5，则组距为4，是合适的．
若分成10组，则组距为2，不仅繁琐，且会使某些组的频数为0，容易将性质相近的数据分散到其它组，不能正确显示数据分布的特征和规律.
（2）解：
D组对应的圆心角为
（3）解：试验田中长势良好的玉米株数为，占比65%；
对照田中长势良好的玉米株数占比为；
所以，试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田
（4）解：从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；
而从方差看，试验田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中．
综合以上信息，试验田长势好于对照田.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】（1）根据题意进行分析即可求出答案.
（2）根据题意补全图形即可，再根据360°乘以D组占比即可求出答案.
（3）根据试验田与对照田长势良好的玉米株数的占比，比较大小即可求出答案.
（4）根据各统计量的意义进行分析即可求出答案.
4．（2025·德州）综合与实践
【活动背景】
数学活动课上，老师提供了如下素材：
某窗户生产厂家要用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架ABCD（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）．
【活动任务】
结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案．
【方案一】
甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的5：3．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽AB．
【方案二】
乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积．
【答案】解：【方案一】由题意，设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，
∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为6m，
∴3x+2y＝6．
∵长宽之比为5：3，
∴长为横向边y，宽为纵向边x，黄金分割比中长＞宽，故y：x＝5：3，即：．
将代入3x+2y＝6得，3x+2x＝6．
∴x．
答：窗户框架的宽AB为m．
【方案二】由题意，设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，
∴，即，
∴要使窗架的面积最大，则，于是宽为．
∴当x＝1.5时，S最大值为1.5．
∴要使做成的窗架的面积最大，故该窗的AB，AD分别为1米，1.5米时，窗架的面积最大，最大值为1.5m2．
【知识点】黄金分割；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】【方案一】设窗户的宽AB（横向边长）为xm，AD长（纵向边长）为ym，由题意可得3x+2y＝6，再根据黄金分割可得，再代入方程，解方程即可求出答案.
【方案二】设窗架的长AD为xm，则宽AB为m，根据矩形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
5．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
6．（2025·甘孜）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
【制作仪器】
把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．
【测量高度】
小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为37°，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离地面点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】解：在△ACD中，∠CAD＝37°，AC＝20米，
根据正切函数的定义，可得 CD＝AC×tan∠CAD，
将AC＝20米，（tan37°≈0.75）代入上式，可得 CD＝20×0.75＝15（米），
∵AC＝1.5（米），
∴树的高度 BD＝CD+AC＝15+1.5＝16.5（米）．
答：树的高度为16.5 米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】可过点C作DB的垂线段构造直角三角形CDE，再解直角三角形求出DE的长，再利用矩形的性质可得BE的长，则树高DB可求.
7．（2025·安徽） 综合与实践
【项目主题】
某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小区幼儿园室内活动场地.
【项目准备】
⑴密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺.
⑵密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm.
⑶密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的“拼接单元”.
观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加cm，从而x个这样的拼接单元拼成一行的长度为.
自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加个正六边形和个正三角形，长度增加cm，从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为cm.
【项目分析】
⑴项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形组件的单价分别为1元和5元.
⑵基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用.
⑶方式确定：
ⅰ)考虑成本因素，采用图1方式进行密铺；
ⅱ)每行用正六边形组件顶着左端开始，从左向右用一个正六边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不能继续拼接时，该行拼接结束；
ⅲ)第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式进行密铺，直至不能拼接为止.
⑷方案论证，按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案.
方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接(如图5).
根据规律，令，解得，所以每行可以先拼14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件，由知，所拼长度为570cm，剩余30cm恰好还可以摆放一个正六边形组件(如图5所示的阴影正六边形)，最终需用15个正六边形和28个正三角形组件，由知，方案一每行的成本为103元.
由于每行宽度为按=1.73计算)，设拼成s行，则，解得，故需铺21行.由知，方案一所需的总成本为2163元.
方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接.
类似于方案一的成本计算，令
方案二每行的成本为元，总成本为元.
【项目实施】
根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动(略).
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①　 　；②　 　；③　 　；④　 　；⑤　 　；⑥　 　.
【答案】1；6；60；60y+10；126；2142
【知识点】一元一次不等式的应用；正多边形的性质
【解析】【解答】解：项目主题：观察图4可知，每增加一个图4所示的拼接单元，增加1个正六边形和6个正三角形；
由正六边形和正三角形组件的边长均为20cm，观察图4可得增加的长度为3个边长，即3x20=60(cm)，
计算y个拼接单元拼成一行的长度第一个拼接单元有一个正六边形左边的10c m，每增加一个拼接单元长度增加60cm，所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y+10) cm；
项目分析：计算方案二每行可拼接的单元数量令40x+10≤740，
解之：x≤18.25，
∴每行可以先拼18块拼接单元
计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量，
∵拼18块拼接单元，
∴共用去18个正六边形和2×18=36个正三角形组件.
由40×18+10=730知，所拼长度为730cm，
剩余740-730=10cm，无法再摆放组件.
由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本为126元
由于每行宽度为cm（按=1.73计算），设拼成s行，
则，
故需铺17行.
计算方案二的总成本126×17=2142
∴方案二所需的总成本为2142元；
项目实施：
两种方案比较可知，2163＞2142，
∴选方案二完成实践活动.
故答案为：1；6；60y+10：126；2142.
【分析】通过观察图4所示的拼接单元，数出增加的正六边形和正三角形的数量，再根据边长计算出长度的增加量，进而得出y个拼接单元拼成一行的长度.涉及根据给定的拼接条件进行不等式计算，以确定拼接单元数量、组件数量，进而计算每行成本和总成本.方案二的计算方法与方案一类似.
8．（2025·广西）综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置．
设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为．
（1）【直观感知】从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？
（2）【初步探究】求图3情形的与的值；
（3）【深入研究】从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式；
（4）【问题解决】当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果）
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上，
∴，，，
又∵如图2，在上，，，
∴，
，
当时，如图，设交于点，交于点，则，
此时遮阳区的面积为的面积，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
当时，如图，设交于点，则，，，
此时遮阳区的面积为四边形的面积，
∵，
∴四边形为梯形，
∴，
∴当时，随的增大而增大，的值从增大到；
综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大；
（2）解：如图3，此时点落在上，则，
由（1）知：当时，；
∴图3情形时，，；
（3）解：当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，
此时遮阳区的面积为六边形的面积，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴
，
∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为；
（4）
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形；一次函数的性质；几何图形的面积计算-割补法；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（4）解：当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
当时，的最大值为：；
当时，，
∵
∴当时，的最大值为：，
综上所述，当时，取得最大值，最大值为，
∴当遮阳区面积最大时，向右移动了．
【分析】（1）根据矩形，平行四边形性质可得，，，再根据正切定义可得，根据边之间的关系可得，根据平行四边形面积可得，分情况讨论：当时，设交于点，交于点，则，此时遮阳区的面积为的面积，根据直线平行性质可得，，根据正切定义可得，再根据三角形面积可得，根据二次函数性质即可求出答案；当时，如图，设交于点，则，，，此时遮阳区的面积为四边形的面积，根据梯形判定定理可得四边形为梯形，再根据梯形面积可得，根据一次函数性质即可求出答案.
（2）此时点落在上，则，由（1）知：当时，，即可求出答案.
（3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，，此时遮阳区的面积为六边形的面积，根据直线平行性质可得，，再根据正切定义可得，，根据，结合平行四边形及三角形面积即可求出答案.
（4）分情况讨论：当时，，当时，，当时，，结合二次函数及一次函数性质即可求出答案.
9．（2025·泰安）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章.某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1.
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求.
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法.
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱).
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合.示意图如图4，⊙O分别与AC，AD 相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC'的长度y.
【问题解决】
已知∠CAD=∠C'A'D'=60°， l的长度要求是1.9cm~2.1cm
（1）求∠BAO 的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为1cm，现测得y=7.52cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求.(参考数据：
（3）【结果反思】
本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗 如果能，写出一个；如果不能，说明理由.
【答案】（1）解：∵⊙O分别与AC， AD相切于点B， D，
（2）解：∵钢柱的底面圆半径为1cm，
∴BC=OB=1，
∵∠OAB=30°， ∠OBA=90°，
同理
∵1.9＜2.06＜2.1，
∴该部件l的长度符合要求；
（3）解：能，将圆柱换成正方体.如图，
设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.
∴BC=BD=a，
∵∠CAD=60°，
【知识点】切线的性质；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；正切的概念
【解析】【分析】
(1)需利用圆与切线的性质及角度平分线的定义，求∠BAO的度数，解答即可；
(2) 结合正切的定义与已知数据，通过钢柱半径和测量值推导l的值，解答即可；
（3）探讨是否可用其他几何体替代圆柱，需考虑几何体的可测性及适用性，因此可设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y，通过正切的定义计算即可解答.
10．（2025·淮安）综合与实践
【主题】雨天撑伞的学问
【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNPQ，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的OG部分长为0.45米，点O为AC中点，，点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为，雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行．
（1）【问题感知】
①在图（1）、图（2）中，点C到地面的距离是　 　米；
②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（OG与NP在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分　 　米．（参考数据：，，）
（2）【问题探究】
如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围．
（3）【问题解决】
在（2）的条件下，小丽发现水平撑伞身体始终有部分会被淋湿，于是她将雨伞绕点G顺时针旋转一定角度（点G到地面的距离保持不变），使得AC与雨线AB垂直，如图（3）所示，试问：小丽在旋转雨伞后，是否可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿？如果可以，请求出EG的最小值；如果不可以，请说明理由．
【答案】（1）1.8；0.26
（2）解：如图， 延长PN交AC于点F， 则(OF=EG=x，
米，
∴在 中， 米，
即
延长NM交AB于点H，过A作 交MN于I，则AI=1.8-1.6=0.2(米)， 为使头部不被淋湿，
=0.2，
解得
又·.
.
（3）解：设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，
如图，延长NM交AB于点R，过R作. 交BD于T，延长EG交CD于W， 过W作 交OG于Y，
则 所以在 中，
在 中，
<0.5，在 中，
又·. MN=0.2，
∴此时头部不会被淋湿，
综上，可以通过调节手臂水平前伸长度，使得全身都不会被雨淋湿，EG的最小值为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】(1)①由题意知， OG=0.45米， GP =1.35米，
∴OP=OG+GP=0.45+1.35=1.8米，即点C到地面的距离是1.8米，
故答案为： 1.8；
②∵AC = 1米， 点O为AC中点，
米，
∵AB∥CD，
∴∠ABD =∠KDP =72°，
∵AC∥BD，
∴∠OCK =∠KDP=72°，
∴在Rt△OCK中， ×3.08 = 1.54米， 米，故答案为： 0.26；
【分析】(1)①根据题意，直接求线段长即可；②利用平行线的性质，两直线平行同位角相等，再借助直角三角形求解；
(2)延长PN交AC于点F，先求出相关角，再利用 接着可得 延长NM交AB于点H， 过A作 交MN于I，为保证头部不被淋湿，即HN≥MN，建立不等式求解即可；
(3)设小丽将手臂水平前伸了x米时，身体恰好不会被淋湿，计算出此时x的值，再判断此时头部是否被淋湿即可.
11．（2025·镇江）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有　 　个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有　 　个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是　 　．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是 （写出一种即可）．
【答案】（1）n1w1；n2w2；
（2）“惰轮”的作用是使动轮和主轮旋转的方向保持一致.
［发现]更换不同齿数的主动轮或从动轮
【知识点】圆的相关概念；旋转的性质；比的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意， 主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈
故每分钟啮合的齿数有 n1w1个，
从动轮每分钟转w2圈，故每分钟 啮合的齿数有个，
相同时间内 啮合的齿数相等 得n1w1=n2w2，于是；
（2）从动轮的转速为圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致.
【分析】(1)由每圈的齿数知每分钟转过的齿数，由相同时间内齿数相同可得转速之比；
(2)由(1)知相同时间转过的齿数相同可得从动轮分钟的转速.
12．（2025·广东）综合与实践
【阅读材料】
如图1， 在锐角△ABC中， 的对边长分别为a， b，c，则有这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题.
【问题提出】
万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中A，B两岛间的实际距离.由于地形原因，无法利用训距仪直接测量，该小组对这一问心进行了探究.
【方案设计】
工具：测角仪、测距仪、无人机(只能刮角度、水平面高度).
测量过程：
步骤1：如图2，在空旷地找一点C：
步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°，∠B≈51°；
步骤3： 利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341m， AC≈388.5m.
（1）【问题解决】
请你利用【阅读材料】中的结论计算Δ. B两岛间的距离.
(参考数据：
（2）【评价反思】
设计其他方案计算λ、B两岛间的距离.要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识.
【答案】（1）解：
由正弦定理可得：
∴A、B两导之间的距离是 499m.
（2）解：工具：测距仪
测量过程：
步骤 1：在空旷地找一点 C
步骤2：利用测距仪多次测量并平均值，在AC 得延长线上找一点E ，使得 在BC延长线上找一点至D，使得
步骤 3：利用测距仪多次测量DE 并取平均值，2DE 长即为AB长.
如图所示，
∴△DCE~△BCA
∴AB=2DE
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；正弦定理和余弦定理
【解析】【分析】：（1）由正弦定理可得；
由题可知，将 BC≈341m sin86°≈0.998 sin43°≈0.682代入可得AB=499m。
（2）可以用测距仪，借构造相似三角形，将AB 转化为可测的DE ，用相似性质实现间接测量 。找一点C，延长AC、BC ，使CE=AC、CD=BC，测得DE。
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