(共16张PPT)
7.2 平 行 线
第2课时 平行线的判定
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，其依据可以简单说成（ D ）
A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行
C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行
第1题
D
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2. （2024·合肥庐江段考）如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（ A ）
A. ∠1＝∠2 B. ∠4＋∠2＝180°
C. ∠2＝∠3 D. ∠A＝∠1
第2题
A
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3. 如图，若∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，则（ D ）
A. l3∥l4 B. l2∥l5 C. l1∥l5 D. l1∥l2
第3题
D
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4. 如图，直线BF，CD相交于点O，∠D＝40°，则下列说法正确的是（ D ）
A. 当∠C＝40°时，AB∥CD
B. 当∠A＝40°时，AC∥DE
C. 当∠E＝120°时，CD∥EF
D. 当∠BOC＝140°时，BF∥DE
第4题
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 如图，小明把一副三角尺摆放在桌面上，其中边BC，DF在同一条直线上，可以得到 AC ∥ DE ，依据是 内错角相等，两直线平行 .
第5题
AC
DE
内错角相等，两直线
平行
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6. 如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则 DE ∥ BC .
第6题
DE
BC
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7. （2024·淮南段考）如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC，若要使AB∥CD，则需添加的条件是 答案不唯一，如∠ACD＝90° （只需填出一种）.
第7题
答案不唯一，如∠ACD＝90°
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8. 工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把它弯成了一个40°的锐角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，弯的角度应是 40°或140° .
第8题
40°或140°
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三、 解答题（共52分）
9. （16分）把下面的说理过程补充完整：
第9题
如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°.AB与CD平行吗？
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解：∵ GH⊥CD（已知），
∴ ∠CHG＝90°（ 垂直的定义 ）.
又∵ ∠2＝30°（已知），
∴ ∠3＝ 60° .
∴ ∠4＝60°（ 对顶角相等 ）.
又∵ ∠1＝60°（已知），
∴ ∠1＝∠4（ 等式的基本事实 ）.
∴ AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）.
垂直的定义
60°
对顶角相等
等式的基本事实
同位角相等，两直线平行
第9题
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10. （18分）（2024·合肥肥西期末）如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°，试说明：AB∥EF.
第10题
解：∵ ∠1＝∠2，∴ AB∥CD. ∵ ∠3＋∠4＝180°，∴ CD∥EF.
∴ AB∥EF
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11. （18分）如图，点G在CD上，∠BAG＋∠AGD＝180°，AE平分∠BAG，GF平分∠AGC. AE∥GF吗？请说明理由.
第11题
解：AE∥GF 理由：∵ ∠BAG＋∠AGD＝180°，∠AGC＋∠AGD＝180°，∴ ∠BAG＝∠AGC. ∵ AE平分∠BAG，∴ ∠1＝ ∠BAG. ∵ GF平分∠AGC，∴ ∠2＝ ∠AGC. ∴ ∠1＝∠2.
∴ AE∥GF.
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（附加题）（20分） （2024·宿州萧县期末）如图①②③，AC平分∠DAB，∠1＝∠2.
（1） AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
解：（1） AB∥CD ∵ AC平分∠DAB，∴ ∠1＝∠BAC. 又∵ ∠1＝∠2，∴ ∠2＝∠BAC. ∴ AB∥CD
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（2） 如图②，当∠ADC＝120°时，点E，F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系.
解：（2） 当∠ADC＝120°时，∠1＝∠2＝ （180°－∠ADC）＝30°.∵ ∠E＋∠F＋∠ECF＝180°，∠2＋∠ECF＝180°，∴ ∠E＋∠F＝∠2＝30°
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（3） 如图③，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H. 若AC⊥BC，∠GDC＝∠ADH，求∠CDH的度数.
解：（3） ∵ DH∥BC，AC⊥BC，∴ DH⊥AC. ∴ ∠DHA＝∠DHC＝90°.又∵ ∠1＝∠2，∴ ∠ADH＝∠CDH. ∵ ∠GDC＝∠ADH，∴ ∠GDC＝∠CDH＝∠ADH. 又∵ ∠GDC＋∠CDH＋∠ADH＝180°，∴ ∠CDH＝ ×180°＝60°
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7.3 定义、命题、定理
第2课时 定 理
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题8分，共40分）
1. 举反例是一种证明假命题的方法，为说明命题“若m＞n，则 ＞1”是假命题，所举反例正确的是（ D ）
A. m＝6，n＝3 B. m＝0.2，n＝0.1
C. m＝2，n＝1 D. m＝1，n＝－1
D
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2. 对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例为（ A ）
A. ∠1＝∠2＝45° B. ∠1＝40°，∠2＝50°
C. ∠1＝50°，∠2＝50° D. ∠1＝40°，∠2＝40°
3. 可以说明命题“两个负数a，b之差是负数”是假命题的一个反例为（ C ）
A. a＝2，b＝－1 B. a＝－2，b＝－1
C. a＝－1，b＝－2 D. a＝－1，b＝2
A
C
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4. 如图，l1∥l2，l3⊥l4，有下列三个命题：① ∠1＝∠4；② ∠2＋∠3＝90°；③ ∠1＝∠3.其中，正确的是（ A ）
A. ① B. ② C. ①③ D. ①②③
第4题
A
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5. 下面是对一个真命题的推理过程：
第5题
证明：如图，∵ b⊥a，∴ ∠1＝90°.∵ c⊥a，∴ ∠2＝90°.∴ ∠1＝∠2.∴ b∥c.
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ A ）
A
A. 在同一平面内，若b⊥a，c⊥a，则b∥c
B. 在同一平面内，若b∥c，b⊥a，则c⊥a
C. 两直线平行，同位角不相等
D. 两直线平行，同位角相等
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二、 填空题（每题8分，共16分）
6. 当证明一个命题是假命题时，常常采用举反例的办法.如果用一组a，b的值说明命题“如果a＞b，那么2ab＞b2”是错误的，那么这样的一组值中，a＝ 2 ，b＝ －1 .（答案不唯一）
7. 举例说明命题：“两个数的和大于其中任意一个加数”是假命题.设这两个数为a，b，则a，b的值可以为a＝3，b＝ －1（答案不唯 .
2
－1
（答案不唯一）
－1（答案不唯一）
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三、 解答题（共44分）
8. （20分）如图，∠1＝∠C，∠2＋∠3＝180°.求证：∠6＝∠B.
第8题
请完善证明过程，在括号内填写相应的理论依据.
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证明：∵ ∠2＋∠3＝180°（已知），∠3＝∠4（ 对顶角相等 ），∴ ∠2＋∠4＝180°.
∴ DG∥AC（ 同旁内角互补，两直线平行 ）.
∴ ∠1＝∠5（ 两直线平行，内错角相等 ）.
∵ ∠1＝∠C，∴ ∠C＝∠5（ 等式的基本事实 ）.
∴ DE ∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）.
∴ ∠6＝∠B（ 两直线平行，同位角相等 ）.
对顶角相
等
同旁内角互补，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式的基本事实
DE
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
第8题
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9. （24分）如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°.现有以下三个条件：① ∠2＝∠3；② ∠2＋∠3＝90°；③ BE∥DF.
第9题
（1） 请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ①（或③） ，结论是 ③（或①） （填序号）；
①（或③）
③（或
①）
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（2） 证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据.
解：选择的条件是①，结论是③ 证明：∵ AB⊥BC（已知），
∴ ∠ABC＝90°（垂直的定义）.∴ ∠3＋∠4＝90°（余角的定义）.
∵ ∠1＋∠2＝90°，且∠2＝∠3（已知），∴ ∠1＋∠3＝90°（等式的基本事实）.∴ ∠1＝∠4（同角的余角相等）.∴ BE∥DF（同位角相等，两直线平行） 选择的条件是③，结论是① 证明：∵ BE∥DF（已知），∴ ∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等）.∵ AB⊥BC（已知），∴ ∠ABC＝90°（垂直的定义）.∴ ∠3＋∠4＝90°（余角的定义）.∵ ∠1＋∠2＝90°（已知），∴ ∠2＝∠3（等角的余角相等）
第9题
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（附加题）（20分） 如图，直线AB，CD被直线AE所截，直线AM，EN被MN所截.现有以下三个条件：① AB∥CD；② AM∥EN；③ ∠BAM＝∠CEN. 请从中选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个正确的命题.
（1） 请按照：“∵ ， ，∴ ”的形式，写出所有正确的命题；
解：（1） 命题1：∵ AB∥CD，AM∥EN，∴ ∠BAM＝∠CEN；命题2：∵ AB∥CD，∠BAM＝∠CEN，
∴ AM∥EN；命题3：∵ AM∥EN，∠BAM＝∠CEN，
∴ AB∥CD
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（2） 在（1）所写的命题中选择一个加以证明，写出推理过程.
解：（2） 答案不唯一，如选择证明命题1：
∵ AB∥CD，∴ ∠BAE＝∠CEA. ∵ AM∥EN，∴ ∠3＝∠4.∴ ∠BAE－∠3＝∠CEA－∠4，即∠BAM＝∠CEN
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9(共11张PPT)
7.2 平 行 线
第1课时 平行线的概念
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ C ）
A. 相交或垂直 B. 垂直或平行
C. 平行或相交 D. 相交或垂直或平行
2. P，Q都是直线l外的点，下列说法正确的是（ D ）
A. 连接PQ，则PQ一定与直线l垂直
B. 连接PQ，则PQ一定与直线l平行
C. 连接PQ，则PQ一定与直线l相交
D. 过点P只能画一条直线与直线l平行
C
D
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3. 有下列说法：① 过一点有无数条直线与已知直线平行；② 如果a，b，c是同一平面内三条不重合的直线，a∥b，a∥c，那么b∥c；③ 如果两条线段不相交，那么它们就平行；④ 如果两条直线不相交，那么它们就平行.其中，正确的有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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4. 如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（ B ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
第4题
B
5. 若a，b，c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点有（ B ）
A. 1个或2个或3个 B. 0个或1个或2个或3个
C. 1个或2个 D. 以上都不对
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 已知a，b是同一平面内的任意两条直线.
（1） 若直线a，b有且只有一个公共点，则直线a，b的位置关系是 相交 ；
（2） 若直线a，b有两个以上的公共点，则直线a，b的位置关系是 重合 .
相交
重合
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7. 如图，若AB∥CD，经过点E可画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是 平行 ，理由是 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .
第7题
平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两
条直线也互相平行
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8. 观察如图所示的长方体.
第8题
（1） 用符号表示以下棱的位置关系：AB ∥ EF，DA ⊥ AB，HE ⊥ HG，AD ∥ BC（填“∥”或“⊥”）；
∥
⊥
⊥
∥
（2） EF与BC所在的直线是两条不相交的直线，它们 不是 （填“是”或“不是”）平行线，由此可知，在 同一平面 内，两条不相交的直线才能叫作平行线.
不是
同一平面
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9. 如图，在直线a的同侧有P，Q，R三点，若PQ∥a，QR∥a，则P，Q，R三点 在 （填“在”或“不在”）同一条直线上.
第9题
在
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）如图，直线a外有点B和点C，按要求画图，并回答下面的问题：
第10题
（1） 过点B画直线a的平行线，能画几条？
解：（1） 如图所示 能画1条
（2） 过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？
解：（2） 如图所示 它与过点B的平行线平行
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11. （14分）如图，将一张长方形的硬纸片ABCD对折后打开，折痕为EF，把长方形ABEF平摊在桌面上，另一面CDFE无论怎样改变位置，总有CD∥AB，为什么？
第11题
解：因为CD∥EF，EF∥AB，所以CD∥AB
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12. （18分）如图，在∠AOB内有一点P.
第12题
（1） 过点P画直线l1∥OA；
解：（1） 如图所示
（2） 过点P画直线l2∥OB；
解：（2） 如图所示
（3） 用量角器量一量，直线l1与直线l2相交形成的角与∠O有怎样的关系？
解：（3） 直线l1与直线l2相交形成的角与∠O相等或互补
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12(共14张PPT)
第七章小测
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（ C ）
A. ∠1与∠2是对顶角 B. ∠1与∠3是同旁内角
C. ∠3与∠4是同位角 D. ∠2与∠3是内错角
第1题
C
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2. 如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OA在∠COD的内部，且∠AOB＝∠COD＝90°，由此可得∠1＝∠2，其依据为（ A ）
A. 同角的余角相等 B. 同角的补角相等
C. 对顶角相等 D. 所有的直角都相等
第2题
A
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3. 如图，AC∥DF，AB∥EF，点D，E分别在AB，AC上.若∠1＝40°，则∠2的度数是（ D ）
A. 40° B. 50° C. 80° D. 140°
第3题
D
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4. 某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ D ）
A. 第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B. 第一次向左拐45°，第二次向右拐135°
C. 第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D. 第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
D
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5. 如图，将三角形ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到三角形DCE，连接AE. 若三角形ABC的面积为2，则三角形ACE的面积为（ A ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
第5题
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 将命题“钝角大于它的补角”写成“如果……那么……”的形式： 如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角 .
7. 如图，三角形DEC是由三角形CAB平移得到的，连接AE. 若AE＝2cm，∠ECA＝20°，AC平分∠ECB，则BD＝ 4cm ，∠B＝ 140° .
第7题
如果一个角是钝角，那么这个角大于它的补角
4cm
140°
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8. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时要发生折射.如图，∠1＝55°，∠ABC＝165°，则∠2的度数是 70° .
第8题
70°
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9. 如图①所示为长方形纸带，∠DEF＝26°.将纸带沿EF折叠成图②，则∠FGD的度数是 52° ；再沿BF折叠成图③，则图③中的∠DHF的度数是 78° .
第9题
52°
78°
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三、 解答题（共46分）
10. （20分）如图，直线AB，CD相交于点O，∠BOC＝75°，OM将∠AOD分成两个角，且∠AOM∶∠MOD＝2∶3.
（1） 求∠AOM的度数.
解：（1） ∵ ∠BOC＝75°，∴ ∠AOD＝∠BOC＝75°.∵ ∠AOM∶∠MOD＝2∶3，∴ ∠AOM＝ ∠AOD＝30°
第10题
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（2） 若ON平分∠BOM，则OB平分∠CON吗？为什么？
解：（2） OB平分∠CON 由（1）知，∠AOM＝30°，∴ ∠BOM＝180°－∠AOM＝180°－30°＝150°.
∵ ON平分∠BOM，∴ ∠BON＝ ∠BOM＝75°.
∵ ∠BOC＝75°，∴ ∠BOC＝∠BON. ∴ OB平分∠CON
第10题
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11. （26分）
第11题
（1） 如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD的外部，则∠P，∠A，∠C满足的数量关系是 ∠P＋∠C＝∠A .
（2） 如图②所示为北斗七星的大致位置图.如图③，将北斗七星分别标为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在一条直线上，AB∥EF，则∠B，∠D，∠E满足的数量关系是
∠D＋∠B－∠E＝180° .
∠P＋∠C＝∠A
∠D＋∠B－
∠E＝180°
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（3） 如图④，在（2）的条件下，延长AB到点M，延长FE到点N，过点B和点E分别作射线BP和EP交于点P，使得BD平分∠MBP，EN平分∠DEP. 若∠MBD＝25°，求∠D－∠P的度数.
解：如图④，过点P作PT∥AB.
∵ ∠MBD＝25°，BD平分∠MBP，∴ ∠MBP＝2∠MBD＝50°，∠ABD＝180°－∠MBD＝180°－25°＝155°.
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∵ EN平分∠DEP，∴ 设∠DEN＝∠PEN＝α，则∠DEF＝180°－∠DEN＝180°－α.∵ 在（2）的条件下，∠D＋∠ABD－∠DEF＝180°，∴ ∠D＋155°－（180°－α）＝180°.∴ ∠D＝205°－α.∵ PT∥AB，AB∥EF，∴ AB∥PT∥EF. ∴ ∠MBP＋∠TPB＝180°，∠TPE＝∠NEP＝α.∴ ∠TPB＝180°－∠MBP＝180°－50°＝130°.
∴ ∠BPE＝∠TPB－∠TPE＝130°－α.∴ ∠D－∠BPE＝205°－α－（130°－α）＝75°
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7.4 平 移
第七章 相交线与平行线
1. 下列现象不属于平移的是（ D ）
A. 高楼的电梯在上上下下 B. 传送带上，快递盒的移动
C. 一个铁球从高处自由落下 D. 风筝在风中翻转
2. 下列说法不正确的是（ D ）
A. 平移不改变图形的形状和大小
B. 平移中，图形上每个点移动的距离相同
C. 图形的平移方向不是唯一的，可向任何方向平行移动
D. 平移变换中，连接各组对应点的线段平行且相等
D
D
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3. 四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字是（ C ）
A
第3题
C
B
C
D
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4. （2024·滁州凤阳期末）如图，将周长为12个单位长度的三角形ABC沿BC方向平移3个单位长度得到三角形DEF，则四边形ABFD的周长为（ A ）
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
第4题
A
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二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm.把三角形ABC沿着直线BC向右平移2.5cm后得到三角形DEF，连接AE，AD，有以下结论：① AC∥DF；② AD∥BE；③ CF＝2.5cm；④ DE⊥AC. 其中，正确的是 ①②③④ （填序号）.
第5题
①②③④
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6. 如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，AB＝17，则内部五个小直角三角形的周长之和为 40 .
第6题
40
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7. 如图，平移三角形ABC可得到三角形DEF. 若∠A＝45°，∠C＝65°，则∠E＝ 70° ，∠EDF＝ 45° ，∠DOB＝ 65° .
第7题
70°
45°
65°
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8. 如图，三角形ABC沿着BC的方向平移至三角形DEF处，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移的距离为4，则涂色部分的面积是 26 .
第8题
26
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三、 解答题（共44分）
9. （22分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC 的三个顶点均在格点（网格线的交点）上.现将三角形ABC平移，使点A移动到点A'处，点B，C分别移动到点B'，C'处.
第9题
（1） 请画出平移后的三角形A'B'C'；
解：（1） 如图所示
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（3） 若连接AA'，CC'，则这两条线段之间的关系是 AA'∥CC'，AA'＝CC' .
解：（2） 三角形A'B'C'是由三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的（平移方法不唯一）
AA'∥CC'，AA'
＝CC'
（2） 试说明三角形A'B'C'是如何由三角形ABC平移得到的；
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10. （22分）如图，将三角形ABC沿射线AB方向平移2个单位长度到三角形DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为D，E，F.
（1） 直接写出图中与AD长度相等的线段；
（2） 若AB＝3，则AE＝ 5 ；
解：（1） 与AD长度相等的线段为BE，CF
第10题
5
（3） 若∠ABC＝75°，求∠CFE的度数.
解：（3） 由平移可知，AE∥CF，∠DEF＝∠ABC＝75°.∴∠CFE＋∠DEF＝180°.∴ ∠CFE＝180°－∠DEF＝180°－75°＝105°
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（附加题）（20分） （2024·淮北濉溪期末）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC＝x°，∠CDE＝32°.
（1） 如图①，点A在点B的左边，点C在点D的右边，求∠DAB的度数；
解：（1） ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADC＝2∠CDE＝2×32°＝64°.∵ a∥b，∴ ∠DAB＋∠ADC＝180°.∴ ∠DAB＝180°－∠ADC＝180°－64°＝116°
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（2） 在（1）的条件下，求∠BED的度数（用含x的式子表示）；
解：（2） 如图①，过点E作EM∥a.∵ a∥b，∴ a∥b∥EM.
∴ ∠DEM＝∠CDE＝32°，∠BEM＋∠ABE＝180°.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC＝ x°.∴ ∠BEM＝180°－∠ABE＝180°－ x°.∴ ∠BED＝∠BEM＋∠DEM＝180°－ x°＋32°＝212°－ x°
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（3） 将图①中的线段BC向左平移，使点B落在点A的左边，其他条件不变，在图②中先画出符合题意的图形，再求出∠BED与∠CBE的度数差.
解：（3） 如图②，过点E作EQ∥a.∵ a∥b，
∴ a∥b∥EQ.
∴ ∠DEQ＝∠CDE＝32°，∠BEQ＝∠ABE. ∴ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC＝ x°.∴ ∠BEQ＝ x°.∴ ∠BED＝∠BEQ＋∠DEQ＝32°＋ x°.∴ ∠BED－∠CBE＝32°＋ x°－ x°＝32°
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7.2 平 行 线
第3课时 平行线的性质
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·芜湖无为段考）将等腰直角三角形ADE和直角三角形ABC（其中∠C＝30°）按如图所示的方式摆放，点D在BC上.若AE∥BC，则∠DAC的度数是（ B ）
A. 12° B. 15° C. 20° D. 25°
第1题
B
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2. （长沙中考）如图，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，则∠DCF的度数为（ C ）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 105°
第2题
C
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3. （陕西中考）如图，AB∥CD，BC∥EF. 若∠1＝58°，则∠2的度数为（ B ）
A. 120° B. 122°
C. 132° D. 148°
第3题
B
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4. （2024·蚌埠蚌山期末）骑自行车这种“低碳”出行方式已融入我们的日常生活.如图所示为某种自行车及其车架的抽象示意图，AB∥DE，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠DEF的度数为（ C ）
第4题
A. 43° B. 53° C. 70° D. 67°
C
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5. （2024·阜阳三模）如图，把长方形ABCD沿EF折叠.若∠1＝52°，则∠AEF的度数为（ C ）
A. 128° B. 120°
C. 116° D. 112°
第5题
C
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二、 填空题（每题8分，共24分）
6. （乐山中考）如图，直线a∥b，∠BAC＝90°，∠1＝50°，则∠2＝ 40° .
第6题
40°
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7. （2024·淮南八公山期末）如图，在3×3的正方形网格中标出了∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3＝ 90 °.
第7题
90
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8. 在三角形ABC中，∠ABC＋∠ACB＝α，按如图所示的方式进行翻折，使MD∥NG∥BC，ME∥FG，则∠NFE的度数是 2α－180° （用含α的式子表示）.
第8题
2α－180°
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三、 解答题（共46分）
9. （20分）（2024·蚌埠期末）如图，EF∥CD，∠1＋∠2＝180°.
（1） 试说明：GD∥CA；
解：（1） ∵ EF∥CD，∴ ∠1＋∠ACD＝180°.∵ ∠1＋∠2＝180°，∴ ∠2＝∠ACD. ∴ GD∥CA
第9题
（2） 若DG平分∠CDB，且∠EFB＝80°，求∠A的度数.
解：（2） ∵ EF∥CD，∴ ∠CDB＝∠EFB＝80°.
∵ DG平分∠CDB，∴ ∠BDG＝∠2＝ ∠CDB＝40°.由（1）知，GD∥CA，∴ ∠A＝∠BDG＝40°
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10. （26分）如图，AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°.
（1） 求∠2和∠3的度数；
解：（1） ∵ AB∥CD，∠1＝115°，∴ ∠2＝∠1＝115°.∵ EF∥MN，∴ ∠2＋∠3＝180°.∴ ∠3＝180°－∠2＝180°－115°＝65°
第10题
（2） 本题隐含着一个规律，请你根据（1）中的结果进行归纳，试着用文字表述出来；
解：（2） 如果一个角的两边分别平行（或重合）于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
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（3） 利用（2）中的规律解答：已知两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数.
解：（3） 设其中一个角的度数为x，则另一个角的度数为2x.由（2），得x＋2x＝180°，解得x＝60°.∴ 2x＝120°.∴ 这两个角的度数分别为60°，120°
第10题
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（附加题）（20分） （2024·合肥肥西期末）如图所示为某射箭运动员射箭的一个瞬间，AB∥CD，AF∥DE，∠1＝90°，∠2＝110°，∠C＝135°，求∠CBE的度数.
答案图
解：如图，延长AB交DE于点K，过点E作EM∥AK，交AF于点M. ∵ AF∥DE，∴ ∠BKE＋∠1＝180°.∵ ∠1＝90°，∴ ∠BKE＝90°.∴ ∠KBE＋∠BEK＝90°.∵ EM∥AK，∴ ∠MEK＝180°－∠BKE＝90°，∠KBE＝∠BEM. ∴ ∠BEM＋∠BEK＝90°，即∠MEK＝90°.∵ ∠2＝110°，∴ ∠BEK＝180°－∠2＝180°－110°＝70°.∴ ∠KBE＝∠BEM＝∠MEK－∠BEK＝90°－70°＝20°.∵ AB∥CD，∴ ∠C＋∠CBK＝180°.∵ ∠C＝135°，
∴ ∠CBK＝45°.∴ ∠CBE＝∠CBK＋∠KBE＝45°＋20°＝65°
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阶段检测（7.2）
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·合肥瑶海期末）如图，当光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫作光的折射.如图，一束光沿AB方向射入水平液面EF，在点B处发生折射，折射光沿BC方向射出，D为AB延长线上一点.若∠1＝51°，∠2＝24°，则BC与水平底面形成的∠3的度数为（ C ）
A. 27° B. 60° C. 75° D. 81°
第1题
C
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2. （2024·六安霍邱期末）如图，现给出下列条件：① ∠1＝∠2；② ∠3＝∠4；③ ∠5＝∠B；④ ∠B＋∠BAD＝180°；⑤ ∠B＋∠BCD＝180°.若从中任选一个条件，则能够直接得到AB∥CD的条件的个数是（ C ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第2题
C
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3. （2024·滁州期末）如图，a∥b，AC⊥AB，点A在直线b上.若∠1＝62°，则下列结论错误的是（ D ）
A. ∠2＝62° B. ∠4＝118°
C. ∠3＝∠2 D. ∠5＝38°
第3题
D
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4. （2024·亳州期末）如图，某生态公园要修建一条健身跑道，跑道先从点A沿北偏东α°方向到点B，再从点B沿北偏西β°方向到点C，最后沿CE方向修建.若直线AB∥CE，则α，β与γ满足的数量关系是（ C ）
A. 2α－β＝γ B. α＋β＋γ＝180
C. α＋β＝γ D. 2α－β＋γ＝180
第4题
C
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5. （2024·合肥庐江段考）中华武术，博大精深.小明把如图①所示的武术动作抽象成数学问题.如图②，AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是（ B ）
第5题
A. 106° B. 110°
C. 118° D. 120°
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·亳州利辛期末）在两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤.如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知∠2＝78°，则∠1的度数为 102° .
第6题
102°
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7. 如图，直线b，c，d交于一点，c⊥a，c⊥b.若∠1＝50°，则∠2的度数是 40° .
第7题
8. （2024·淮南段考）已知∠A的两条边和∠B的两条边分别平行，且∠A的度数比∠B的度数的4倍少30°，则∠B＝ 42°或10° .
40°
42°或10°
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9. （2024·合肥肥西期末）将一块三角尺按如图所示的方式摆放，直线MN与直线GH相交于点P，∠BAC＝30°，∠MPH＝45°.现将三角尺ABC绕点A以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，设旋转的时间为t秒，且0≤t≤150，则当t＝ 5或35或65或95或125 时，MN与三角尺的直角边平行.
第9题
5或35或65或95或125
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三、 解答题（共46分）
10. （13分）（2024·淮南凤台段考）如图，F，E分别是射线AB，CD上的点.连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3.
（1） 试说明：AB∥CD；
解：（1） ∵ AE平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2.∵ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3.∴ AB∥CD
第10题
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（2） 若∠AFE－∠2＝30°，求∠AFE的度数.
解：（2） ∵ ∠AFE－∠2＝30°，∴ ∠AFE＝∠2＋30°.∵ AB∥CD，∴ ∠AFE＝∠FED＝∠2＋30°.
∵ EF平分∠AED，∴ ∠AED＝2∠FED＝2∠2＋60°.
∵ ∠3＋∠AED＝180°，∴ ∠3＋2∠2＋60°＝180°.
∵ ∠2＝∠3，∴ 3∠2＋60°＝180°，解得∠2＝40°.
∴ ∠AFE＝∠2＋30°＝70°
第10题
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11. （15分）如图，点C，D在直线AB上，EF∥AB，∠DFE的平分线FG交AB于点G，∠ACE＋∠BDF＝180°.
（1） 试说明：CE∥DF；
解：（1） ∵ ∠ACE＋∠BDF＝180°，∠BDF＋∠CDF＝180°，∴ ∠ACE＝∠CDF. ∴ CE∥DF
第11题
（2） 若∠CEF＝130°，求∠DGF的度数.
解：（2） 由（1）知，CE∥DF，∴ ∠DFE＝180°－∠CEF＝180°－130°＝50°.∵ FG平分∠DFE，
∴ ∠EFG＝ ∠DFE＝ ×50°＝25°.∵ EF∥AB，
∴ ∠DGF＝∠EFG＝25°
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12. （18分）如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的平分线交CD于点P.
（1） ∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由.
解：（1） ∠EPF与∠PEF相等 理由：∵ EP是∠AEF的平分线，∴ ∠PEA＝∠PEF. ∵ AB∥CD，∴ ∠PEA＝∠EPF. ∴ ∠EPF＝∠PEF.
第12题
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（2） 若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数.
解：（2） ∵ EF∥GH，∴ ∠PFE＝∠FHG.
∵ ∠EPF＋∠PEF＋∠PFE＝180°，∴ ∠EPF＋∠PEF＋∠FHG＝180°.由（1）知，∠EPF＝∠PEF，又∠FHG＝3∠EPF，∴ 5∠EPF＝180°.
∴ ∠EPF＝36°.∴ ∠FHG＝∠PFE＝108°.∴ ∠EFD＝180°－∠PFE＝180°－108°＝72°
第12题
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（3） Q为射线GH上一点，连接EQ，FQ. 若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ－∠EQF＝50°，求∠EQF的度数.
解：（3） 设∠EQF＝β.∵ ∠PEQ－∠EQF＝50°，∴ ∠PEQ＝50°＋β.∵ Q为射线GH上一点，∴ 分两种情况讨论.① 当点Q在线段GH上时，如图①.
第12题
∵ EF∥GH，∴ ∠1＝∠FQH. ∵ ∠QFH＝∠FQH，∴ ∠1＝∠QFH. ∴ ∠1＝ ∠EFD. ∵ EP是∠AEF的平分线，∴ ∠2＝ ∠AEF. ∵ AB∥CD，∴ ∠AEF＝∠EFD. ∴ ∠1＝∠2.∴ PE∥FQ. ∴ ∠PEQ＋∠EQF＝180°，即50°＋β＋β＝180°，解得β＝65°.∴ ∠EQF＝65°.
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② 当点Q在线段GH的延长线上时，过点Q作QR∥CD交EF的延长线于点R，如图②.∵ EF∥GH，∴ ∠3＝∠FQH，∠5＝∠QFH. ∵ ∠QFH＝∠FQH，∴ ∠3＝∠QFH＝∠5.∴ ∠RFH＝2∠3＝2∠5.∵ ∠RFH＝∠PFE，∴ ∠PFE＝2∠5.∵ EP是∠AEF的平分线，∴ ∠AEF＝2∠4.∵ AB∥CD，∴ ∠AEF＋∠PFE＝180°.∴ 2∠4＋2∠5＝180°.∴ ∠4＋∠5＝90°.∵ AB∥CD，QR∥CD，∴ AB∥QR. ∴ ∠AEQ＋∠EQR＝180°，即∠4＋50°＋β＋∠5＋β＝180°，解得β＝20°.∴ ∠EQF＝20°.综上所述，∠EQF的度数为65°或20°
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12(共15张PPT)
7.1 相 交 线
第1课时 两条直线相交
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·黄山期中）下列各图中，∠1与∠2互为对顶角的是（ B ）
A
B
B
C
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2. （2024·亳州利辛期末）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是（ D ）
A
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B
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3. （苏州中考）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ D ）
A. 25° B. 30° C. 40° D. 50°
第3题
D
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4. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠AOC＝40°，则∠BOE的度数为（ D ）
A. 50° B. 60° C. 65° D. 70°
第4题
D
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5. （2024·合肥庐江期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠DOE＝α，∠DOF∶∠AOD＝2∶3，射线OE平分∠BOF，则∠BOC的度数为（ D ）
A. 90°－α B. 180°－2α
C. 360°－4α D. 540°－6α
第5题
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·合肥庐江段考）如图①，有一座古塔，其外墙底部的示意图如图②所示，为了测量这座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，小李同学设计了如下测量方案：分别作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数.这个测量方案的依据是 对顶角相等 .
第6题
对顶
角相等
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7. 若一个角的对顶角比它的邻补角的3倍还大20°，则这个角的邻补角的度数为 40° .
8. 如图，AB，CD相交于点O，OD平分∠EOB. 若∠BOC＝150°，则∠AOE＝ 120° .
第8题
40°
120°
9. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角的度数分别是（2x－10）°和（110－x）°，则x＝ 40或80 .
40或80
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三、 解答题（共46分）
10. （20分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°.
（1） 若∠BOE＝70°，求∠AOF的度数；
解：（1） 因为OE平分∠BOC，∠BOE＝70°，所以∠BOC＝2∠BOE＝2×70°＝140°.所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－140°＝40°.因为∠COF＝90°，所以∠AOF＝90°－∠AOC＝90°－40°＝50°
第10题
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（2） 若∠BOD∶∠BOE＝1∶2，求∠AOF的度数.
解：（2） 因为OE平分∠BOC，所以∠BOE＝∠EOC. 又因为∠BOD∶∠BOE＝1∶2，所以∠BOD∶∠BOE∶∠EOC＝1∶2∶2.因为∠BOD＋∠BOE＋∠EOC＝180°，所以∠BOD＝180°× ＝36°.所以∠AOC＝∠BOD＝36°.因为∠COF＝90°，所以∠AOF＝90°－∠AOC＝90°－36°＝54°
第10题
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11. （26分）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE.
（1） 若∠AOC＝76°，求∠BOF的度数；
解：（1） 因为∠BOD＝∠AOC＝76°，OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝ ∠BOD＝ ×76°＝38°.所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－38°＝142°.因为OF平分∠COE，所以∠EOF＝ ∠COE＝ ×142°＝71°.所以∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝71°－38°＝33°
第11题
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（2） 若∠BOF＝36°，求∠AOC的度数；
解：（2） 因为OE平分∠BOD，OF平分∠COE，所以∠BOE＝∠DOE，∠COF＝∠EOF. 设∠BOE＝∠DOE＝x，则∠AOC＝∠BOD＝2x，∠EOF＝∠COF＝x＋36°.所以∠AOC＋∠COF＋∠BOF＝2x＋x＋36°＋36°＝180°，解得x＝36°.所以∠AOC＝72°
第11题
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（3） 请探究∠AOC与∠BOF的数量关系.
解：（3） 因为OE平分∠BOD，OF平分∠COE，所以∠DOE＝∠BOE＝ ∠BOD，∠EOF＝ ∠COE. 又因为∠BOD＝∠AOC，所以∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝ ∠COE－ ∠BOD＝ （180°－∠DOE）－ ∠AOC＝90°－ ∠BOD－ ∠AOC＝90°－ ∠AOC－ ∠AOC＝90°－ ∠AOC
第11题
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（附加题）（20分） 观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：
（1） 如图①，图中共有 2 对对顶角；
（2） 如图②，图中共有 6 对对顶角；
（3） 如图③，图中共有 12 对对顶角；
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（4） 若10条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？
解：由以上可知，n条直线相交，形成n（n－1）对对顶角，则10条直线相交于一点，可形成10×（10－1）＝90（对）对顶角
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7.1 相 交 线
第2课时 两条直线垂直
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·合肥庐江期中）过点P作AB的垂线CD，下列选项中，三角尺的放法正确的是（ C ）
A
C
B
C
D
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2. 两条直线相交构成四个角，给出下列条件：① 有一个角是直角；② 有一对对顶角互补；③ 有三个角都相等；④ 有一组邻补角相等.其中，能判定这两条直线互相垂直的有（ A ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
A
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3. 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（ D ）
4. 过线段外一点画这条线段的垂线，垂足在（ D ）
A. 这条线段上 B. 这条线段的端点上
C. 这条线段的延长线上 D. 以上都有可能
D
D
A
B
C
D
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5. 直线AB，CD相交于点O，OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD. 下列说法正确的是（ D ）
A. OE，OF在同一条直线上 B. OE，OG在同一条直线上
C. OG⊥OF D. OE⊥OF
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·阜阳界首期末）如图，AC⊥BC，直线EF经过点C. 若∠1＝35°，则∠2的度数为 55° .
第6题
55°
7. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD. 若∠AOE＝2∠AOC，则∠BOD＝ 30° .
第7题
30°
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8. 如图，AO⊥BO于点O，直线CD经过点O，且∠BOD∶∠AOC＝2∶5，则∠AOD的度数为 30° .
第8题
9. 在同一平面内，若直线AB⊥m，AC⊥m，则AB和AC的关系是 重合 ，理由是 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
30°
重合
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知
直线垂直
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三、 解答题（共46分）
10. （20分）（2024·合肥庐江段考）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，ON是∠AOD内的一条射线.
（1） 若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；
解：（1） 因为OM⊥AB，所以∠AOM＝90°.所以∠AOC＋∠1＝90°.因为∠1＝∠2，所以∠AOC＋∠2＝90°，即∠NOC＝90°.所以∠NOD＝180°－∠NOC＝180°－90°＝90°
第10题
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（2） 若∠BOC＝4∠1，求∠MOD的度数.
解：（2） 因为OM⊥AB，所以∠BOM＝90°.因为∠BOC＝4∠1，所以∠BOM＋∠1＝4∠1，即90°＋∠1＝4∠1，解得∠1＝30°.所以∠MOD＝180°－∠1＝180°－30°＝150°
第10题
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11. （26分）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD，∠BOD＝24°.
（1） 求∠AOG的度数.
解：（1） 因为AB，CD相交于点O，∠BOD＝24°，所以∠AOC＝∠BOD＝24°.因为OG⊥CD，所以∠COG＝90°，即∠AOC＋∠AOG＝90°.所以∠AOG＝90°－∠AOC＝90°－24°＝66°
第11题
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（2） 若OC是∠AOE的平分线，则OG是∠AOF的平分线吗？请说明理由.
解：（2） OG是∠AOF的平分线 理由：因为OC是∠AOE的平分线，所以∠AOC＝∠COE. 又因为∠DOF＝∠COE，所以∠COA＝∠DOF. 因为OG⊥CD，所以∠COG＝∠DOG＝90°，即∠AOC＋∠AOG＝∠DOF＋∠GOF＝90°.所以∠AOG＝∠GOF. 所以OG是∠AOF的平分线.
第11题
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（附加题）（20分） 如图①②，两块相同的三角尺的两个直角顶点重合于点O，∠AOB＝∠COD＝90°.
（1） 如图①，若∠BOC＝60°，求∠AOD的度数；
解：（1） 因为∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，所以∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝90°－60°＝30°.又因为∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝30°＋90°＝120°
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（2） 如图②，若∠BOC＝70°，求∠AOD的度数；
解：（2） 因为∠AOB＋∠COD＋∠BOC＋∠AOD＝360°，∠AOB＝∠COD＝90°，∠BOC＝70°，所以∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD－∠BOC＝360°－90°－90°－70°＝110°
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（3） 猜想∠AOD与∠BOC之间的关系，并说明理由.
解：（3） ∠AOD＋∠BOC＝180° 理由：如图①，当两块三角尺重叠时，因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB＝90°，∠BOD＋∠BOC＝∠COD＝90°，所以∠AOC＝∠BOD. 因为∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝∠AOC＋90°，∠BOC＝∠COD－∠BOD＝90°－∠BOD，所以∠AOD＋∠BOC＝∠AOC＋90°＋90°－∠BOD＝180°.如图②，当两块三角尺不重叠时，因为∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOD＝360°，∠AOB＝∠COD＝90°，所以∠AOD＋∠BOC＝180°.综上所述，∠AOD＋∠BOC＝180°.
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7.1 相 交 线
第3课时 两条直线被第三条直线所截
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·合肥庐江期末）如图，在“A”字型图中，AB，AC被DE所截，则∠A和∠1是（ A ）
A. 同位角 B. 内错角
C. 同旁内角 D. 邻补角
第1题
A
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2. （2023·宣城期末）如图，直线AB，CD被直线EF所截，则∠3的内错角是（ D ）
A. ∠1 B. ∠2 C. ∠4 D. ∠5
第2题
D
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3. （2024·合肥庐江段考）如图，在“A”字型图中，AC，AE被BD所截，则∠1和∠2是（ C ）
A. 同位角 B. 内错角
C. 同旁内角 D. 邻补角
第3题
C
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4. （2023·淮北期末）如图，下列结论中错误的是（ C ）
A. ∠1与∠2是同旁内角 B. ∠1与∠6是内错角
C. ∠2与∠5是内错角 D. ∠3与∠5是同位角
第4题
C
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5. 在如图所示的图形中，内错角共有（ B ）
A. 4对 B. 6对 C. 8对 D. 10对
第5题
B
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二、 填空题（第6，7题每题8分，第8题9分，共25分）
6. 如图，∠B与 ∠FAC 是直线 BC 和直线 AC 被直线 FB 所截形成的同位角.
第6题
∠FAC
BC
AC
FB
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7. 如图.
第7题
（1） ∠AED和∠ACB是直线 DE 和直线 BC 被直线 AC 所截形成的 同位 角；
DE
BC
AC
同位
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（2） ∠EDC 和∠ BCD 是直线DE和直线BC被直线 DC 所截形成的内错角；
（3） ∠ EDB 和∠ B 是直线DE和直线BC被直线AB所截形成的同旁内角；
（4） 直线AB和直线AC被直线DE所截形成的内错角是 ∠ADE和∠CED，∠BDE和∠AED .
BCD
DC
EDB
B
∠ADE和
∠CED，∠BDE和∠AED
第7题
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8. 如图，如果∠1＝40°，∠2＝100°，那么∠3的同位角的度数为 80° ，∠3的内错角的度数为 80° ，∠3的同旁内角的度数为 100° .
第8题
80°
80°
100°
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三、 解答题（共45分）
9. （15分）如图，直线CD与∠AOB的边OB相交.
（1） 写出图中的同位角、内错角和同旁内角.
解：（1） ∠1与∠4是同位角；∠1与∠2是内错角；∠1与∠5是同旁内角
第9题
（2） 如果∠1＝∠2，那么∠1与∠4相等吗？∠1与∠5互补吗？请说明理由.
解：（2） 如果∠1＝∠2，那么∠1与∠4相等，∠1与∠5互补 理由：因为∠1＝∠2，∠2＝∠4，∠2＋∠5＝180°，所以∠1＝∠4，∠1＋∠5＝180°.
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10. （15分）如图.
（1） 指出DC和AB被AC所截得的内错角；
解：（1） ∠1与∠5
第10题
（2） 指出AD和BC被AE所截得的同位角；
解：（2） ∠9与∠BAD
（3） 指出∠4与∠7，∠2与∠6，∠ADC与∠DAB是什么关系的角，并指出是哪两条直线被哪一条直线所截得到的.
解：（3） ∠4与∠7是直线DC与直线AB被直线BD所截得到的内错角，∠2与∠6是直线AD与直线BC被直线AC所截得到的内错角，∠ADC与∠DAB是直线DC与直线AB被直线AD所截得到的同旁内角
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11. （15分）两条直线被第三条直线所截，∠1和∠2是同旁内角，∠3和∠2是内错角.
（1） 根据上述条件，画出符合题意的示意图；
解：（1） 画法不唯一，如图所示
第11题答案
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（2） 若∠1＝3∠2且∠2＝3∠3，求∠1，∠2的度数.
解：（2） 因为∠1＝3∠2，∠2＝3∠3，所以∠1＝9∠3.因为∠1＋∠3＝180°，所以9∠3＋∠3＝180°.所以∠3＝18°.所以∠1＝162°，∠2＝54°
第11题答案
第11题答案
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小专题（二） “相交线与平行线”中的数学思想
第七章 相交线与平行线
类型一 分类思想
1. 有两个角的两边分别平行，并且一个角与另一个角的 的差为10°，求这两个角的度数.
解：∵ 有两个角的两边分别平行，∴ 设其中一个角的度数为x，则另一个角的度数为x或（180°－x）.根据题意，得x－ x＝10°，解得x＝50°；或x－ （180°－x）＝10°，解得x＝ °，此时180°－x＝ °.综上所述，这两个角的度数分别为50°，50°或 °， °
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2. 如图①，直线AB与CD相交于点O，∠BOD＝50°，OE平分∠BOD，∠EOF＝55°，OG平分∠AOF.
第2题
（1） 图①中与∠BOE互补的角是 ∠AOE和∠COE ；
∠AOE和∠COE
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（2） 求∠DOG的度数；
解：（2） ∵ ∠BOD＝50°，∴ ∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－50°＝130°.∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOE＝∠DOE＝ ∠BOD＝25°.∵ ∠EOF＝55°，∴ ∠DOF＝∠EOF－∠DOE＝55°－25°＝30°.∴ ∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝130°－30°＝100°.∵ OG平分∠AOF，∴ ∠FOG＝ ∠AOF＝50°.∴ ∠DOG＝∠FOG＋∠DOF＝50°＋30°＝80°
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（3） 如图②，若射线OM从射线OF的位置出发，绕点O以每秒10°的速度按逆时针方向旋转一周，当旋转时间为t秒时，OD，OM，OG三条射线中恰好有一条射线是另外两条射线所组成的角的平分线，请你求出t的值（旋转过程中∠DOM，∠GOM，∠DOG都只考虑小于180°的角）.
解：（3） ① 如答案图①，当OM平分∠DOG时，
∵ ∠DOG＝80°，∴ ∠DOM＝∠DOF＋∠FOM＝ ∠DOG，即30°＋∠FOM＝40°.∴ ∠FOM＝10°.∴ t＝10÷10＝1.
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② 如答案图②，当OG平分∠DOM时，则∠GOM＝∠DOG＝80°.
∴ ∠FOM＝∠GOM＋∠FOG＝80°＋50°＝130°.∴ t＝130÷10＝13.③ 如答案图③，当OD平分∠GOM时，则∠DOM＝∠DOG＝80°.
∴ ∠FOM＝∠DOF＋∠DOM＝30°＋80°＝110°.∴ 射线OM旋转的角度为360°－∠FOM＝360°－110°＝250°.∴ t＝250÷10＝25.综上所述，t的值为1或13或25
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类型二 整体思想
3. 如图，AB∥CD，∠DBC＝2∠ABC，∠BCD的平分线CE交BD于点E，连接AE. 若∠D＝6∠A，求∠AEC的度数.
第3题
解：如图，过点E作EF∥AB. ∵ AB∥CD，∴ AB∥CD∥EF.
∴ ∠ABC＝∠BCD，∠A＝∠AEF，∠DCE＝∠CEF. ∴ ∠AEC＝∠AEF＋∠CEF＝∠A＋∠DCE. ∵ CE平分∠BCD，∴ 可设∠DCE＝∠BCE＝α，则∠CEF＝α，∠ABC＝∠BCD＝2α.∴ ∠DBC＝2∠ABC＝4α.设∠A＝β，则∠D＝6∠A＝6β.∵ 在三角形BCD中，∠BCD＋∠D＋∠DBC＝180°，∴ 2α＋6β＋4α＝180°.∴ α＋β＝30°.∴ ∠CEF＋∠AEF＝30°，即∠AEC＝30°
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4. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠F的度数.
第4题
解：∵ AB⊥BC，DC⊥BC，∴ ∠B＝∠C＝90°.∴ ∠B＋∠C＝180°.∴ AB∥CD. ∵ EM⊥EN，∴ ∠MEN＝90°.如图，过点F作FQ∥AB，过点E作EH∥AB. ∵ AB∥CD，
∴ AB∥CD∥EH∥FQ. ∴ ∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠1＝∠MFQ，∠8＝∠NFQ.
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∴ ∠MEN＝∠4＋∠5＝∠3＋∠6＝90°，∠MFN＝∠MFQ＋∠NFQ＝∠1＋∠8.∵ MF平分∠AME，NF平分∠DNE，∴ ∠1＝∠2，∠7＝∠8.∵ ∠1＋∠2＝180°－∠3，∠7＋∠8＝180°－∠6，∴ ∠1＋∠2＋∠7＋∠8＝2∠1＋2∠8＝180°－∠3＋180°－∠6＝360°－（∠3＋∠6）＝360°－90°＝270°.∴ ∠1＋∠8＝135°.
∴ ∠MFN＝135°
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类型三 方程思想
5. 如图，直线MD，CN相交于点O，OA是∠MOC内的一条射线，OB是∠NOD内的一条射线，∠MON＝70°.若∠AOD＝2∠BOD，∠BOC＝3∠AOC，求∠BON的度数.
第5题
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解：∵ ∠MON＝70°，∴ ∠COD＝∠MON＝70°.设∠AOC＝x，则∠BOC＝3x，∠AOD＝x＋70°.∴ ∠BOD＝∠BOC－∠COD＝3x－70°.∵ ∠AOD＝2∠BOD，∴ x＋70°＝2（3x－70°），解得x＝42°.∴ ∠BOC＝3×42°＝126°.∴ ∠BON＝180°－∠BOC＝180°－126°＝54°
第5题
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7.2 平 行 线
第4课时 平行线的判定与性质的综合应用
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2023·蚌埠五河模拟）如图，∠1＝36°，∠2＝36°，∠3＝135°，则∠4的度数是（ C ）
A. 36° B. 54° C. 45° D. 135°
第1题
C
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2. 如图，∠1＋∠2＝180°，∠3＝50°，则∠4的度数为（ B ）
A. 40° B. 50° C. 55° D. 60°
第2题
B
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3. 如图，下列结论中，不一定正确的是（ B ）
A. 若∠1＝∠2，则AD∥BC
B. 若AD∥BC，则∠1＝∠B
C. 若∠2＝∠C，则AE∥CD
D. 若AE∥CD，则∠1＋∠3＝180°
第3题
B
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4. （黔东南中考）将一块直角三角尺按如图所示的方式放置在一张长方形纸条上.若∠1＝28°，则∠2的度数为（ D ）
A. 28° B. 56° C. 36° D. 62°
第4题
D
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5. 将一副三角尺（厚度不计）按如图所示的方式摆放，使含45°角的三角尺的一条直角边与含30°角的三角尺的斜边垂直，则∠α的度数为（ D ）
A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°
第5题
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 如图，将一副三角尺重叠摆放，DE⊥AB于点D，则∠BCD的度数为 15° .
第6题
15°
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7. 如图，AC∥BD，请添加一个条件，使得AB∥CD，则添加的条件是 答案不唯一，如∠C＝∠B .
第7题
答案不唯一，如∠C＝∠B
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8. 如图，∠1＝∠2，有下列结论：① AB∥CD；② AD∥BC；③ ∠3＝∠4；④ ∠B＝∠BCD；⑤ ∠B＋∠BCD＝180°.其中，正确的是 ①⑤ （填序号）.
第8题
①⑤
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9. （2024·宿州埇桥段考）如图所示为一款护眼灯的示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE＝ 100 °.
第9题
100
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三、 解答题（共46分）
10. （20分）（2024·安庆期末）如图，直线BD分别交射线AE，CF于点B，D，连接AD，BC，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，AD平分∠BDF，试说明：
（1） AD∥BC；
解：（1） ∵ ∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴ ∠1＝∠BDC. ∴ AB∥CF. ∴ ∠C＝∠EBC. ∵ ∠A＝∠C，∴ ∠A＝∠EBC. ∴ AD∥BC
第10题
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（2） BC平分∠DBE.
解：（2） ∵ AD平分∠BDF，∴ ∠FDA＝∠ADB. 由（1）知，AD∥BC，∴ ∠FDA＝∠C，∠ADB＝∠DBC. ∴ ∠C＝∠DBC. 由（1）知，∠C＝∠EBC，∴ ∠EBC＝∠DBC. ∴ BC平分∠DBE
第10题
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11. （26分）如图，D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，F在线段CD上，且∠1＋∠2＝180°，DE∥BC.
（1） 试说明：∠3＝∠B；
解：（1） ∵ ∠1＋∠DFE＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴ ∠2＝∠DFE. ∴ AB∥EF. ∴ ∠3＝∠ADE.
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ ∠3＝∠B
第11题
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（2） 若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数.
解：（2） ∵ DE平分∠ADC，∴ ∠ADE＝∠EDC.
∵ DE∥BC，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ ∠ADE＝∠EDC＝∠B. ∵ ∠2＝3∠B，∠2＋∠ADE＋∠EDC＝180°，∴ 5∠B＝180°，解得∠B＝36°.又由（1）知，∠3＝∠B，∴ ∠3＝∠EDC＝36°.∴ ∠DFE＝180°－∠3－∠EDC＝180°－36°－36°＝108°.∴ ∠1＝180°－∠DFE＝180°－108°＝72°
第11题
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（附加题）（20分） 综合与实践.
（1） 问题情境：如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数.
小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC的度数.按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110° .
110°
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（2） 问题迁移：如图②，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA，PD. 若∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数.
解：（2） 如图②，过点P作EF∥AB.
∵ ∠A＝50°，∴ ∠APE＝∠A＝50°.∵ AB∥CD，∴ EF∥CD. ∴ ∠D＋∠EPD＝180°.∵ ∠D＝150°，∴ ∠EPD＝180°－150°＝30°.∴ ∠APD＝∠APE＋∠EPD＝50°＋30°＝80°
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（3） 问题拓展：如图③，直线AB∥CD，则∠PAB，∠CDP，∠APD之间的数量关系为 ∠CDP＋∠PAB－∠APD＝180° .
∠CDP＋∠PAB－∠APD＝180°
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7.3 定义、命题、定理
第1课时 定义、命题
第七章 相交线与平行线
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·淮北期末）下列语句中，不是命题的为（ C ）
A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 作角A的平分线 D. 内错角相等
2. 下列语句是定义的为（ C ）
A. 对顶角相等
B. 两直线平行，内错角相等
C. 到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点
D. 过一点只有一条直线与已知直线垂直
C
C
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3. 下列命题属于假命题的是（ B ）
A. 在同一平面内，不重合的两条直线不相交就平行
B. 若a2＝b2，则a＝b
C. 若x＝y，则｜x｜＝｜y｜
D. 同角的补角相等
4. 对于命题“若m＜n，则m2＜n2”，下列关于m，n的值，能说明这个命题属于假命题的是（ D ）
A. m＝1，n＝2 B. m＝0，n＝2
C. m＝－1，n＝2 D. m＝－2，n＝2
B
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5. 有下列命题：① 如果两个角互补，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角；② 两个负数，绝对值大的反而小；③ a，b，c是同一平面内的三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④ 若∠α与∠β互余，∠β与∠γ互余，则∠α与∠γ互余；⑤ 过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中，是真命题的有（ B ）
A. 0个 B. 1个
C. 2个 D. 3个
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 命题“任意两个直角都相等”的题设是 两个角都是直角 ，结论是 这两个角相等 ，它是 真 （填“真”或“假”）命题.
7. 平行线的定义是“在同一平面内，两条 不相交 的直线”.
8. （2024·淮南凤台段考）把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果……，那么……”的形式： 如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行 .
两个角都是直角
这两个角相等
真
不相交
如果两条直线平行于同一条直
线，那么这两条直线互相平行
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9. 在数学课上，小明提出如下命题：“在同一平面内，如果直线l1，l2相交于点P，且l1∥l，那么l2与l一定相交.”你认为小明提出的命题是 真命题 （填“真命题”或“假命题”），你的依据是 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 .
真命题
经过直线
外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
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三、 解答题（共46分）
10. （22分）将下面的命题改写成“如果……那么……”的形式，指出它们的题设和结论，判断其真假.
（1） 有理数一定是自然数；
解：（1） 如果一个数是有理数，那么这个数一定是自然数 题设：一个数是有理数 结论：这个数一定是自然数 是假命题
（2） 负数之和仍为负数.
解：（2） 如果一个数是几个负数的和，那么这个数是负数 题设：一个数是几个负数的和 结论：这个数是负数 是真命题
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11. （24分）请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假.
（1） 绝对值相等的两个数相等；
解：（1） 题设：两个数的绝对值相等 结论：这两个数相等 是假命题
（2） 两个钝角的和一定大于180°.
解：（2） 题设：两个角是钝角 结论：这两个角的和一定大于180° 是真命题
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（附加题）（20分） 对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：① a∥b；② b∥c；③ a⊥b；④ a∥c；⑤ a⊥c.请以其中两个论断作为题设，一个论断作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出两个真命题.
解：在同一平面内，如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c；在同一平面内，如果a∥b，b∥c，那么a∥c（答案不唯一）
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小专题（一） 平行线中的“拐点”问题
第七章 相交线与平行线
类型一 单个拐点问题
1. 乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是（ B ）
第1题
A. 30° B. 29° C. 28° D. 27°
B
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2. （2024·芜湖南陵期末）如图所示为某路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1＝160°，∠2＝50°，则∠3的度数为（ B ）
A. 40° B. 30° C. 60° D. 50°
第2题
B
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3. 如图，AB∥CD，∠1＝150°，∠2＝110°，则∠3＝ 80 °.
第3题
80
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4. （2024·马鞍山花山期末）如图，一条道路修在湖边时，需要拐弯绕道而过，第一次的拐角∠A＝100°，第二次的拐角∠ABC＝150°，第三次的拐角是∠C，这时的道路CF恰好和第一次拐弯之前的道路AD平行，则∠C的度数为 130° .
第4题
130°
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5. 问题情境：如图①，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数.小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC.
第5题
（1） 按照小明的思路，则∠APC的度数为 110° .
110°
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（2） 问题迁移：如图②，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB＝∠α，∠PCD＝∠β.当点P在B，D两点之间运动时，∠APC与∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由.
解：（2） ∠APC＝∠α＋∠β 理由：如答案图①，过点P作PE∥AB交AC于点E.
∵ AB∥CD，∴ AB∥PE∥CD. ∴ ∠α＝∠APE，∠β＝∠CPE.
∴ ∠APC＝∠APE＋∠CPE＝∠α＋∠β.
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（3） 在（2）的条件下，如果点P不在B，D两点之间运动（点P与O，B，D三点均不重合），请直接写出∠APC与∠α，∠β之间的数量关系.
解：（3） 如答案图②，当点P在线段BD的延长线上时，∠APC＝∠α－∠β；如答案图③，当点P在线段OB上时，∠APC＝∠β－∠α
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类型二 多个拐点问题
6. 如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，∠1＝15°，则∠2的度数为（ A ）
A. 15° B. 25° C. 35° D. 20°
第6题
A
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7. 如图，AB∥CD，∠1＝∠2，那么∠E和∠F相等吗？为什么？
第7题
解：∠E＝∠F 如图，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB.
∵ AB∥CD，∴ AB∥EM∥FN∥CD. ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠6，∠4＝∠5.∵ ∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠6.∵ ∠BEF＝∠3＋∠4，∠CFE＝∠5＋∠6，∴ ∠BEF＝∠CFE
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8. 问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与山外的世界.如图①所示为一段盘山公路，数学活动课上，老师把山路抽象成数学模型，并提出了以下问题：
第8题
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（1） 如图②，AB∥CD，∠B＝120°，∠C＝30°，求∠BPC的度数.
解：（1） 如图②，过点P作PN∥AB.
∵ ∠B＝120°，∴ ∠BPN＝180°－∠B＝180°－120°＝60°.
∵ AB∥CD，∴ PN∥CD. 又∵ ∠C＝30°，∴ ∠CPN＝∠C＝30°.∴ ∠BPC＝∠BPN＋∠CPN＝60°＋30°＝90°
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（2） 如图③，AB∥CD，∠B＝125°，∠PQC＝70°，∠C＝140°，求∠BPQ的度数.
解：（2） 如图③，过点P作PN∥AB，过点Q作QM∥AB.
∵ AB∥CD，∴ AB∥PN∥QM∥CD. ∴ ∠B＋∠BPN＝180°，∠NPQ＝∠PQM，∠MQC＋∠C＝180°.∵ ∠B＝125°，∠C＝140°，∴ ∠BPN＝180°－∠B＝180°－125°＝55°，∠CQM＝180°－∠C＝180°－140°＝40°.∵ ∠PQC＝70°，∴ ∠PQM＝∠PQC－∠CQM＝70°－40°＝30°.∴ ∠NPQ＝∠PQM＝30°.
∴ ∠BPQ＝∠BPN＋∠NPQ＝55°＋30°＝85°
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（3） 如图④，AB∥CD，则∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，∠7之间有什么数量关系？
解：（3） ∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.如图④，过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥AB，过点M作MG∥AB，过点N作NH∥AB，过点O作OI∥AB. ∵ AB∥CD，
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∴ AB∥CD∥PE∥QF∥MG∥NH∥OI. ∴ ∠BPE＝∠1，∠EPQ＝∠PQF，∠FQM＝∠QMG，∠GMN＝∠MNH，∠HNO＝∠NOI，∠IOC＝∠7.又∵ ∠EPQ＝∠2－∠BPE＝∠2－∠1，∠FQM＝∠3－∠PQF，∠GMN＝∠4－∠QMG，∠HNO＝∠5－∠MNH，∠IOC＝∠6－∠NOI，∴ ∠7＝∠IOC＝∠6－∠NOI＝∠6－∠HNO＝∠6－（∠5－∠MNH）＝∠6－∠5＋∠MNH＝∠6－∠5＋∠GMN＝∠6－∠5＋∠4－∠QMG＝∠6－∠5＋∠4－∠FQM＝∠6－∠5＋∠4－（∠3－∠PQF）＝∠6－∠5＋∠4－∠3＋∠PQF＝∠6－∠5＋∠4－∠3＋∠EPQ＝∠6－∠5＋∠4－∠3＋∠2－∠1.
∴ ∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7
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