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小专题（十二） 不等式（组）的应用
第十一章 不等式与不等式组
类型一 购物问题
1. （2024·泸州）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A种商品比购进4件B种商品的费用多60元；购进5件A种商品和2件B种商品的总费用为620元.
（1） 求A，B两种商品每件的进价各为多少元.
解：（1） 设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元.根据题意，得 解得 ∴ A种商品每件的进价是100元，B种商品每件的进价是60元
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（2） 该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B种商品的件数不少于A种商品件数的2倍.若A种商品按每件150元销售，B种商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则最多购进A种商品多少件？
解：（2） 设购进m件A种商品，则购进（60－m）件B种商品.根据题意，得 解得19≤m≤20.∴ m的最大值为20.∴ 最多购进A种商品20件
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类型二 工程问题
2. 某工厂采购了两批原材料.第一批128吨，租用了8辆甲型货车和4辆乙型货车恰好全部满载运完；第二批340吨，租用了10辆甲型货车和20辆乙型货车也恰好全部满载运完.
（1） 每辆甲型货车和乙型货车满载分别能运多少吨原材料？
解：（1） 设每辆甲型货车满载能运x吨原材料，每辆乙型货车满载能运y吨原材料.根据题意，得 解得 ∴ 每辆甲型货车满载能运10吨原材料，每辆乙型货车满载能运12吨原材料
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（2） 该工厂后续又要采购280吨原材料，现已租用了6辆甲型货车.通过计算说明至少需要再租用多少辆乙型货车才能一次性将这批原材料运回.
解：（2） 设需租用m辆乙型货车.根据题意，得6×10＋12m≥280，解得m≥18 .∵ m为正整数，∴ m的最小值为19.∴ 至少需要租用19辆乙型货车才能一次性将这批原材料运回
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类型三 积分问题
3. 某次考试共有100道题，每道题1分，做错不扣分.甲、乙、丙3名同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80％的是“容易题”，但又不全是“容易题”.“特难题”共有多少道？
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解：设“特难题”共有a道，“容易题”有b道，则“较难题”有3a道，有2个人做出来的题有（100－a－3a－b）道.根据题意，得3a＋2（100－a－3a－b）＋3b＝90＋70＋50.整理，得b＝5a＋10.根据题意，得 解得6＜a＜10.∵ a为正整数，∴ a＝7，8，9.当a＝7时，b＝45，符合题意.当a＝8时，b＝50，不符合题意，舍去.当a＝9时，b＝55，不符合题意，舍去.∴ “特难题”共有7道
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类型四 配套问题
4. 某工厂为新建的希望学校免费定制A，B两种型号的学生桌椅共500套，已知生产一套A型桌椅需木板2m2，生产一套B型桌椅需木板1.2m2.若该工厂现有库存木板882m2，求最多能生产A型桌椅多少套.
解：设能生产A型桌椅x套.根据题意，得2x＋1.2（500－x）≤882，解得x≤352.5.∴ x的最大值352.∴ 最多能生产A型桌椅352套
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类型五 方案问题
5. 为倡导读书风尚，打造书香校园，学校计划购买一批图书.若同时购买A种图书8本和B种图书5本，共需301元；若同时购买A种图书4本和B种图书3本，共需163元.
（1） 求A，B两种图书的单价各是多少元.
解：（1） 设A种图书的单价为x元，B种图书的单价为y元.根据题意，得 解得 ∴ A种图书的单价为22元，B种图书的单价为25元
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（2） 若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且A种图书的数量少于B种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1420元.请问学校共有哪几种购买方案？
解：（2） 设购买A种图书n本，则购买B种图书（60－n）本.根据题意，得 解得 ≤n＜30.∵ n为正整数，∴ n可以取27，28，29.∴ 60－n＝33或32或31.∴ 学校共有三种购买方案：方案一，购买A种图书27本，购买B种图书33本；方案二，购买A种图书28本，购买B种图书32本；方案三，购买A种图书29本，购买B种图书31本
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11.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式及其解法
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题5分，共20分）
1. （2024·池州贵池段考）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ D ）
A. ＋1＞0 B. x2≥4
C. 2x＋y＜－3 D. ≤1
D
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2. 对于任意数a，b，c，d，规定 ＝ad－bc.若 ＜8，则x的取值范围是（ A ）
A. x＞－3 B. x＜－3 C. x＜5 D. x＞－5
3. 若关于x的不等式3m－2x＜9的解集是x＞3，则实数m的值为（ A ）
A. 5 B. 4 C. 3 D.
A
A
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4. （2024·宿州砀山二模）已知关于x的不等式（3－2a）x＞3－2a的解集是x＜1，则a的取值范围在数轴上可表示为（ B ）
A
B
B
C
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. （2024·宿州泗县期末）若不等式2ax｜a－1｜＞5是关于x的一元一次不等式，则a＝ 2 .
6. 使式子4x－ 的值不大于3x＋5的值的x的最大整数值是 6 .
7. 若关于x的方程 ＝ 的解为负数，则点（m，m＋2）在第 三 象限.
8. 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x＋y≤0，则m的取值范围是 m≤－2 .
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三
m≤－2
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三、 解答题（共56分）
9. （18分）解下面的不等式并把解集在数轴上表示出来：
（1） （连云港中考）2x－1＞ ；
解：x＞1 解集在数轴上表示如图①所示
第9题①答案
第9题①答案
（2） （宜昌中考） ≥ ＋1.
解：x≤1 解集在数轴上表示如图②所示
第9题②答案
第9题②答案
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10. （18分）下面是乐乐同学解不等式的过程，请认真阅读并完成下列各题.
解不等式： －1≤ .
解：3（x＋5）－6≤2（3x＋2）……第一步
3x＋15－6≤6x＋4……第二步
3x－6x≤4＋6－15……第三步
－3x≤－5……第四步
x≤ ……第五步
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（1） 填空：① 以上解题过程中，第一步是依据 不等式的性质2 ；
② 第 五 步出现错误，这一步错误的原因是 不等式两边同除以一个负数，不等号的方向未改变 .
（2） 请直接写出该不等式的正确解集： x≥ .
（3） 请你根据平时的学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
解：去分母和化系数为1时可能用到不等式的性质3，不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（合理即可）
不等式的性质2
五
不等式两边同除以一
个负数，不等号的方向未改变
x≥
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11. （20分）式子3（ －m）的值为P.
（1） 当m＝2时，求P；
解：（1） 根据题意，得P＝3×（ －2）＝3×（－ ）＝－5
第11题
（2） 若P的范围如图所示，求m的负整数值.
解：（2） 由图中数轴知，P≤7，即3（ －m）≤7，解得m≥－2.
∵ m为负整数，∴ m＝－1或m＝－2
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（附加题）（20分） （2024·淮北段考）定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“蕴含不等式”.例如：不等式x＜－3的解都是不等式x＜－1的解，则x＜－3是x＜－1的“蕴含不等式”.
（1） 在不等式x＞1，x＞3，x＜4中，是x＞2的“蕴含不等式”的为 x＞3 ；
x＞3
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（2） 若x＞－6是3（x－1）＞2x－m的“蕴含不等式”，求m的取值范围；
解：（3） x＜－n＋3是x＜2的“蕴含不等式” 理由：根据题意，得－2n＋4≤2，解得n≥1.∴ －n＋3≤2.∴ x＜－n＋3是x＜2的“蕴含不等式”.
（3） 若x＜－2n＋4是x＜2的“蕴含不等式”，试判断x＜－n＋3是否为x＜2的“蕴含不等式”，并说明理由.
解：（2） 解不等式3（x－1）＞2x－m，得x＞3－m.根据题意，得3－m≤－6，解得m≥9.∴ m的取值范围是m≥9
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11.1 不 等 式
第1课时 不等式及其解集
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 有下列式子：① －2＜0；② 2x－5＞0；③ x＝1；④ x2－x；⑤ x≠－2；⑥ x＋2＜x－1.其中，属于不等式的有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 若2x－y□5是不等式，则“□”中的符号不能是（ C ）
A. ≠ B. ＞ C. ＋ D. ＜
3. 下列数是不等式5x－3＜7的一个解的是（ A ）
A. B. 2 C. D. 3
C
C
A
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4. 下列不等关系中，表示正确的是（ D ）
A. a不是负数表示为a＞0
B. x不大于5可以表示为x＞5
C. x与1的和是非负数可表示为x＋1＞0
D. m与4的差是负数可表示为m－4＜0
5. 用不等式表示图中的解集，正确的是（ C ）
A. x＞2 B. x≠2 C. x＜2 D. x＜4
第5题
D
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 在3，4，5，6这四个数中，能使不等式 x－2＜0成立的是 3 .
7. 如图，数轴上所表示的关于x的不等式的解集是 x＞－1 .
第7题
3
x＞－1
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8. 不等式x＋1＜5的正整数解是 1，2，3 .
9. 一所中学的男子百米赛跑的纪录是11.7秒，设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒.若这名男运动员破纪录，则x ＜ 11.7（填“＞”“＜”或“＝”）.
1，2，3
＜
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三、 解答题（共51分）
10. （16分）用不等式表示：
（1） x的5倍大于－3；
（2） x的 与－5的和小于1；
解：5x＞－3
解： x－5＜1
（3） y的4倍与9的和是正数；
（4） x小于y与4的和.
解：4y＋9＞0
解：x＜y＋4
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11. （14分）在数轴上表示下面不等式的解集：
（1） x＞7；
解：如图①所示
第11题①答案
第11题①答案
（2） x＜－2 .
解：如图②所示
第11题②答案
第11题②答案
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12. （21分）直接写出下列不等式的解集：
（1） x－4＞0；
（2） 3x＜12；
（3） x＋3＜4.
解：x＞4
解：x＜4
解：x＜1
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（附加题）（20分） 若方程（m＋2）x＝2的解为x＝2，想一想，－2，－1，0，1，2这五个数中哪些数是不等式（m－2）x＞－3的解.
解：∵ 方程（m＋2）x＝2的解为x＝2，∴ 2m＋4＝2，解得m＝
－1.∴ 不等式（m－2）x＞－3可变为－3x＞－3.∴ －2，－1，0，1，2这五个数中的－2，－1，0是不等式（m－2）x＞－3的解
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11.3 一元一次不等式组
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列说法正确的是（ C ）
A. 若a＜b，则ax＜bx
B. 若a为任意实数，则a＋2一定大于a，同时a＋2也一定大于2
C. 不等式 ＋1＞x－3有无数个解
D. 不等式组 的解集是x＜
C
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2. （2024·合肥瑶海段考）已知关于x的不等式组 的解集是－2＜x＜0，则（m＋n）2024的值为（ B ）
A. 2024 B. 1 C. 0 D. －1
B
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3. （2024·合肥肥东模拟）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ D ）
A
D
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C
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4. （邵阳中考）若关于x的不等式组 有且只有三个整数解，则a的最大值是（ C ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
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5. 已知关于x，y的方程组 其中－3≤a≤1，给出下列说法：① 当a＝1时，方程组的解也是方程x＋y＝2－a的解；② 当a＝－2时，x，y的值互为相反数；③ 若x≤1，则1≤y≤4；④ 是方程组的解.其中，正确的是（ D ）
A. ①②③④ B. ①②③
C. ②④ D. ②③
D
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二、 填空题（每题5分，共20分）
6. 在平面直角坐标系中，若点M（6－2m，3m－13）在第三象限，则整数m的值为 4 .
7. （大庆中考）不等式组 的整数解是 2 .
8. （绥化中考）若关于x的不等式组 的解集为x＞2，则m的取值范围是 m≤2 .
9. （2024·宣城宣州期中）已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是 a≤－1 .
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m≤2
a≤－1
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三、 解答题（共55分）
10. （16分）解下面的不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（1） （常州中考）
解：－1＜x≤2 解集在数轴上表示如图①所示
第10题①答案
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第10题①答案
解：－1≤x＜2 解集在数轴上表示如图②所示
第10题②答案
第10题②答案
（2） （毕节中考）
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11. （15分）某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务.若每个小区安排4名志愿者，则还剩下78名志愿者；若每个小区安排8名志愿者，则最后一个小区不足8名志愿者，但不少于4名志愿者.这个街道共选派了多少名志愿者？
解：设共到x个小区服务，则共有（4x＋78）名志愿者.由题意，得 解得19.5＜x≤20.5.又∵ x为正整数，
∴ x＝20.∴ 4x＋78＝158.∴ 这个街道共选派了158名志愿者
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12. （24分）（2024·阜阳界首期末）已知方程组 的解中x≤0，y＜0.
（1） 求a的取值范围；
解：（1） 解方程组 得 ∵ x≤0，y＜0，∴ 解得－2＜a≤3
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（2） 化简｜a＋2｜＋｜3－a｜；
解：（2） ∵ －2＜a≤3，∴ a＋2＞0，3－a≥0.∴ ｜a＋2｜＋｜3－a｜＝a＋2＋3－a＝5
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（3） 在a的取值范围中，当a为何整数值时，不等式2ax＋x＞2a＋1的解集为x＜1？
解：（3） ∵ 2ax＋x＞2a＋1，∴ （2a＋1）x＞2a＋1.∵ 不等式的解集为x＜1，∴ 2a＋1＜0，解得a＜－ .∴ 在－2＜a≤3范围内的整数有－1，0，1，2，3这5个数，其中符合a＜－ 的只有－1.∴ 当a＝－1时，不等式2ax＋x＞2a＋1的解集为x＜1
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（附加题）（20分） 阅读材料：
根据有理数乘法（除法）法则可知：
若ab＞0 ，则 或 若ab＜0 ，则 或
根据上述知识，求不等式（x－2）（x＋3）＞0的解集.
解：由题意，得 或 解得x＞2或x＜－3
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阶段检测（11.2～11.3）
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如果不等式3x－m≤0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（ A ）
A. 9≤m＜12 B. 9＜m＜12
C. m＜12 D. m≥9
A
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2. 不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ A ）
A
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3. （2024·安庆大观段考）某商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折.如果小明现有270元钱，那么他最多可以购买该商品的件数是（ B ）
A. 9件 B. 10件 C. 11件 D. 12件
4. 已知关于x的方程2x－（mx－1）＝5有负整数解，且关于x的不等式x－m≤－3有正整数解，则符合条件的所有m的值的和是（ B ）
A. 13 B. 10 C. 7 D. 6
B
B
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5. 某学校准备购买单价分别为5元和7元的A，B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 若点P（3－a，a）在第一象限，则关于x的不等式（a－3）x＞3－a的解集为 x＜－1 .
7. 把一些书分给若干同学，若每人分10本，则余8本；若每人分13本，则不够.那么至少有 3 名同学.
8. 火车站检票口以每分钟15人匀速通过.若开放2个检票口，则20分钟可以检票到无人等候检票；若开放3个检票口，则14分钟可以检票到无人等候检票.检票口至少有 586 人等候检票.
9. 定义新运算：对于任意实数a，b均有a※b＝a（a－b）＋1，则不等式4※x≥1的解集为 x≤4 .
x＜－1
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586
x≤4
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）（1） 解不等式1－ ≤ ，并把解集在数轴上表示出来；
解：（1） x≤－1，将解集表示在数轴上如图所示
第10题答案
第10题答案
（2） 解不等式组：
解：（2） －2≤x＜1
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11. （16分）某商店准备购进甲、乙两种玩具360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元.其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件.
（1） 求甲、乙两种玩具的进价；
解：（1） 设甲种玩具的进价为m元/件，乙种玩具的进价为n元/件.根据题意，得 解得 ∴ 甲种玩具的进价为90元/件，乙种玩具的进价为70元/件
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（2） 若甲种玩具的数量不多于80件，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种购进方案；
解：（2） 设该商店购进甲种玩具x件，则购进乙种玩具（360－x）件.根据题意，得 解得76≤x≤80.∵ x为正整数，∴ x可以取76，77，78，79，80.∴ 该商店有5种购进方案
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（3） 若甲种玩具每件售价降低a（20＜a＜28）元，乙种玩具售价不变，在（2）的购进方案中，该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，求a的值.
解：（3） ∵ 20＜a＜28，∴ 12＜130－90－a＜20.∵ 90－70＝20（元），∴ 甲种玩具降价后，每件甲种玩具的销售利润小于每件乙种玩具的销售利润.∴ 要尽可能少购进甲种玩具才能使销售利润最大.
∴ 当m＝76时，有（130－90－a）×76＋（90－70）×（360－76）＝7048，解得a＝22.∴ a的值为22
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12. （16分）【阅读理解】
已知a，b，c是三个实数，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数.
例如：M{－1，2，3}＝ ＝ ，min{－1，2，3}＝－1；
M{－1，2，a}＝ ＝ ，min{－1，2，a}＝
根据以上信息解决下面的问题：
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（1） 若min{2，2x＋2，4－2x}＝2，求x的取值范围；
解：（1） 根据题意，得 解得0≤x≤1
（2） 若M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，求x的值.
解：（2） ∵ M{2，x＋1，2x}＝ ＝x＋1，M{2，x＋1，2x}＝min{2，x＋1，2x}，∴ min{2，x＋1，2x}＝x＋1.
∴ 解得x＝1
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12(共15张PPT)
11.2 一元一次不等式
第3课时 利用一元一次不等式解决方案问题
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题8分，共24分）
1. 某商店搞促销：某种饮用水原价每瓶5元，现有两种优惠方案：① 买一赠一；② 一瓶按原价，其余一律四折.小华为同学选购，若要使第二种方案更便宜，则至少买这种饮用水（ C ）
A. 5瓶 B. 6瓶 C. 7瓶 D. 8瓶
C
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2. 甲、乙两市出租车的收费标准如下表：
城 市 起步价/元 超过3千米的部分的价格/（元/千米）
甲市 10 2
乙市 8 2.5
某人分别在甲、乙两市乘坐出租车各行驶x千米（其中x＞3），若甲市的收费高于乙市，则x的值（ A ）
A. 小于7 B. 大于3
C. 大于10 D. 小于10
A
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3. 某通信公司推出两种手机收费方案.方案A：月租费30元，本地通话话费为0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分.设婷婷的爸爸一个月的通话时间为x分钟，若婷婷的爸爸选择方案A比方案B更优惠，则x的值可能为（ D ）
A. 100 B. 150 C. 200 D. 250
D
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二、 填空题（每题8分，共24分）
4. 某种笔记本原售价是每本7元，凡一次购买3本及以上可享受优惠.现有两种优惠方案：第1种方案，3本按原价，其余按七折优惠；第2种方案，全部按原价的九折优惠.若想在购买相同数量的情况下，选择第1种方案比第2种方案更优惠，则至少购买 5 本笔记本.
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5. 某校计划组织师生乘坐A，B两种型号的客车去参加一次大型公益活动，每辆A型客车的乘客座位数是35个，每辆B型客车的乘客座位数是18个，这样租用6辆A型客车和5辆B型客车恰好全部坐满.由于最后参加活动的人数增加了30，在保持租用车辆总数不变的情况下，该校决定调整租车方案，以确保全部参加活动的师生乘坐，则该校最后参加活动的总人数为 330 ，最多租用B型客车 3 辆.
330
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6. 某小区内有甲、乙两种儿童电动汽车可被租用，租用一次甲种儿童电动汽车前15分钟内收费15元，超过15分钟的部分每分钟加收1元（不足1分钟都按1分钟收费）；租用一次乙种儿童电动汽车前10分钟内收费5元，超过10分钟的部分每2分钟加收3元（不足2分钟都按2分钟收费）.
（1） 小明租用的是乙种儿童电动汽车，一次用时15分钟需付 14 元；
（2） 如果小明租用了其中一种儿童电动汽车，一次用时x分钟，那么当x满足 18＜x≤19或x＞20 时，租用一次甲种儿童电动汽车比一次乙种儿童电动汽车费用少.
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18＜x≤19或x＞20
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三、 解答题（共52分）
7. （24分）某中学组织本校师生参加红色研学实践活动，现租用甲、乙两种型号的客车（每种型号至少一辆）送549名学生和11名教师参加此次实践活动，每辆客车上至少要有1名教师.甲、乙两种型号的客车的载客量和租金如下表：
型 号 甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆） 40 55
租金/（元/辆） 500 600
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（1） 共需租 11 辆客车.
（2） 最多可以租用多少辆甲种客车？
解：（2） 设租用x辆甲种客车，则租用（11－x）辆乙种客车.由题意，得40x＋55（11－x）≥549＋11，解得x≤3.∴ 最多可以租用3辆甲种客车
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（3） 有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
解：（3） ∵ x≤3，且x为正整数，∴ x＝1或2或3.∴ 有3种租车方案，方案1：租用1辆甲种客车，10辆乙种客车，所需租车费用为500×1＋600×10＝6500（元）；方案2：租用2辆甲种客车，9辆乙种客车，所需租车费用为500×2＋600×9＝6400（元）；方案3：租用3辆甲种客车，8辆乙种客车，所需租车费用为500×3＋600×8＝6300（元）.
∵ 6500＞6400＞6300，∴ 选择租用3辆甲种客车，8辆乙种客车最省钱
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8. （28分）某学校计划同时购买一定数量的甲、乙两种品牌消毒液，若购买甲品牌消毒液20瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金1300元；若购买甲品牌消毒液10瓶和乙品牌消毒液10瓶，共需资金800元.
（1） 甲、乙两种品牌消毒液的单价分别是多少元？
解：（1） 设甲品牌消毒液的单价为x元，乙品牌消毒液的单价为y元.由题意，得 解得 ∴ 甲品牌消毒液的单价为50元，乙品牌消毒液的单价为30元
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（2） 该学校计划购买甲、乙两种品牌消毒液共40瓶，要求甲品牌消毒液的数量不少于乙品牌消毒液数量的一半，那么甲品牌消毒液最少购买多少瓶？
解：（2） 设购买甲品牌消毒液m瓶，则购买乙品牌消毒液（40－m）瓶.由题意，得m≥ （40－m），解得m≥ .又∵ m为正整数，∴ m的最小值为14.∴ 甲品牌消毒液最少购买14瓶
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解：（3） 由题意，得50m＋30（40－m）≤1500，解得m≤15.
∵ m≥ ，且m为正整数，∴ m的值为14或15.∴ 该学校有2种购买方案，方案1：购买甲品牌消毒液14瓶，乙品牌消毒液40－14＝26（瓶），所需费用为50×14＋30×26＝1480（元）；方案2：购买甲品牌消毒液15瓶，乙品牌消毒液40－15＝25（瓶），所需费用为50×15＋30×25＝1500（元）.∵ 1480＜1500，∴ 购买甲品牌消毒液14瓶，乙品牌消毒液26瓶花费最少
（3） 在（2）的条件下，可用于购买这两种消毒液的资金不超过1500元，该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？
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（附加题）（20分） 某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植甲、乙两种树苗.已知甲种树苗的单价比乙种树苗的单价贵10元，3棵甲种树苗与4棵乙种树苗的总价相等.
（1） 求甲、乙两种树苗的单价分别为多少元.
解：（1） 设甲种树苗的单价为x元，则乙种树苗的单价为（x－10）元.根据题意，得3x＝4（x－10），解得x＝40.∴ x－10＝30.∴ 甲种树苗的单价为40元，乙种树苗的单价为30元
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解：（2） 设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500－a）棵.根据题意，得a≥2（500－a），解得a≥ .∵ a为正整数，∴ a≥334.设购买500棵甲、乙两种树苗的总费用为y元，则y＝40a＋30（500－a）＝10a＋15000.∴ 当a＝334时，y取得最小值，最小值为10×334＋15000＝18340.∴ 最省钱的方案为购买甲种树苗334棵，乙种树苗500－334＝166（棵），此时的总费用为18340元
（2） 若购买甲、乙两种树苗共500棵，且甲种树苗的数量不少于乙种树苗的两倍.请为该学校设计最省钱的方案，并求出此时的总费用.
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11.2 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的应用
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 在一次体育课上，赵老师让同学们进行投篮比赛，投进一球可得3分，未投进一球扣1分，每人投篮12次.小珂要想使得分不低于28分，则小珂至少要投进的球的个数是（ B ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. 现用甲、乙两种运输车共10辆，要将46t抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t，乙种运输车载重4t，则甲种运输车至少应安排（ C ）
A. 4辆 B. 5辆 C. 6辆 D. 7辆
B
C
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3. 爆破员要爆破一座危桥，根据爆破情况，安全距离是70米（人员要撤到70米或以外）.已知人员撤离速度是5米/秒，导火索的燃烧速度是10厘米/秒，为了确保安全，这次爆破的导火索至少长（ B ）
A. 130厘米 B. 140厘米
C. 150厘米 D. 160 厘米
4. （2024·滁州期末）某商店购进一种笔记本200本，进价为2元/本，标价为5元/本.现准备打折出售，若商店要保证售完这种笔记本的利润不少于300元，则至多可打（ C ）
A. 九折 B. 八折 C. 七折 D. 六折
B
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 某次数学测验中有16道选择题，评分办法：答对一道得6分，答错一道扣2分，不答得0分.某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对 12 道题，成绩才能在60分以上.
6. 某超市销售一批闹钟，先以55元/个的价格售出60个，然后调低价格，以50元/个的价格将剩下的闹钟全部售出，销售总额超过了5500元，则这批闹钟至少有 105 个.
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105
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7. 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米，已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分.若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，则至少需要跑步 3.75 分钟.
8. 去年某市空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数（365）之比达到60％，若明年（365天）这样的比值要超过75％，则明年空气质量良好的天数比去年至少要增加 55 .
3.75
55
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三、 解答题（共52分）
9. （16分）（邵阳中考）某商店购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售.已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个.
（1） 若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量.
解：（1） 设购进“冰墩墩”摆件x个，“冰墩墩”挂件y个.由题意，得 解得 ∴ 购进“冰墩墩”摆件80个，“冰墩墩”挂件100个
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（2） 该商店计划将“冰墩墩”摆件的售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件的售价定为60元/个.若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，则购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
解：（2） 设购进“冰墩墩”挂件m个，则购进“冰墩墩”摆件（180－m）个.由题意，得（60－50）m＋（100－80）（180－m）≥2900，解得m≤70.∴ 购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个
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10. （16分）（2024·宿州埇桥三模）某商场购进一批某品牌A，B两种型号的上衣共80件，其进价和售价如下表：
型 号 进价/（元/件） 售价/（元/件）
A 260 340
B 220 280
该商场预计获得利润不少于6000元，则至少购进A型号上衣多少件？
解：设购进A型号上衣x件，则购进B型号上衣（80－x）件.由题意，得（340－260）x＋（280－220）（80－x）≥6000，解得x≥60.
∴ x的最小值为60，即商场至少购进A型号上衣60件
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11. （20分）（2024·马鞍山花山期末）周末小明在家开启日常锻炼，第一组运动是30个开合跳，40个深蹲，完成后，运动检测软件显示共消耗热量47大卡（大卡是热量单位）；第二组运动是做40个开合跳，30个深蹲，完成后，软件显示两组运动下来共消耗热量91大卡（每个动作之间的衔接时间忽略不计）.
（1） 小明每做一个开合跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
解：（1） 设小明每做一个开合跳消耗热量x大卡，每做一个深蹲消耗热量y大卡.由题意，得 解得 ∴ 小明每做一个开合跳消耗热量0.5大卡，每做一个深蹲消耗热量0.8大卡
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（2） 若小明只做开合跳和深蹲两个动作，每个开合跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒，小明想要通过10分钟的锻炼，消耗至少75大卡，至少要做多少个深蹲？
解：（2） 设小明做m个深蹲.由题意，得0.8m＋0.5× ≥75，解得m≥50.∴ 至少要做50个深蹲
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（附加题）（20分） （2024·淮北期末）如图所示为某大院窗格的一部分，其中“ ”代表窗格上所贴的剪纸，设第x个窗格上所贴“ ”的个数为y.
（1） 填写下表.
x 1 2 3 4 5 … x
y 5 8 11 14 17 … 3x＋2 （用含x的代数式表示）
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3x＋2
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（2） 若第x个窗格上所贴的“ ”的个数大于50，求x的取值范围.
解：根据题意，得3x＋2＞50，解得x＞16
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11.1 不 等 式
第2课时 不等式的性质
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （包头中考）若m＞n，则下列不等式正确的是（ D ）
A. m－2＜n－2 B. － m＞－ n
C. n－m＞0 D. 1－2m＜1－2n
D
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2. 下列说法错误的是（ C ）
A. 若a＜b，则a＋2022＜b＋2022
B. 若－2022a＞－2022b，则a＜b
C. 若a＜b，则ac＜bc
D. 若a（c2＋1）＜b （c2＋1），则a＜b
3. 若a＞b，则下列不等式变形正确的是（ B ）
A. a－5＞b＋5 B. ＞
C. －a＞－b D. 3a－2＜3b－2
C
B
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4. 在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是 （ B ）
A. 1 B. － C. D. 4或－4
5. 已知实数a，b满足a＋1＞b＋1，则下列不等式错误的是（ D ）
A. a＞b B. a＋2＞b＋2
C. －a＜－b D. 2a＜3b
B
D
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二、 填空题（每题5分，共20分）
6. 若不等式（a－b）x＞a－b的解集是x＜1，则a与b的大小关系是 a＜b .
7. 若x＜y，则－x－2 ＞ －y－2（填“＞”“＜”或“＝”）.
8. 若不等式a－x＞0的解集为x＜－2，则关于y的方程ay＋2＝0的解为y＝ 1 .
9. 若关于x的方程4x－m＋1＝3x－2的解是负数，则m的取值范围是 m＜3 .
a＜b
＞
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m＜3
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三、 解答题（共55分）
10. （18分）根据不等式的性质，把下列不等式表示为x＞a或x＜a的形式：
（1） 10x－1＞9x；
（2） 2x＋2＜3；
解：x＞1
解：x＜
（3） 5－6x＞2.
解：x＜
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11. （16分）用不等式表示下面语句，写出解集，并在数轴上表示解集.
（1） a的 大于6；
解：（1） 根据题意，得 a＞6，解得a＞18.在数轴上表示解集如图①所示
（2） b的3倍小于15.
解：（2） 根据题意，得3b＜15，解得b＜5.在数轴上表示解集如图②所示
第11题答案
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12. （21分）在数轴上有A，B两点，点A在点B的左侧，其中点A表示的数是a，点B表示的数是1.已知A，B两点之间的距离小于3，请你利用数轴解决下面的问题.
（1） 写出a所满足的不等式；
解：（1） 由点A在点B的左侧，得a＜1.又∵ A，B两点之间的距离小于3，∴ 1－a＜3，解得a＞－2
（2） 数－3，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？
解：（2） 由（1），得在－3，0，4这三个数中，－3对应的点到点B的距离大于3，4对应的点到点B的距离等于3，只有0对应的点到点B的距离小于3
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（附加题）（20分） 阅读材料：
小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对任意两个实数a，b进行比较大小，有如下规律：若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b.上面的规律，反过来也成立.课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的.
参考小明发现的规律，解决下面的问题：
（1） 比较大小：3＋ ＜ ＋ （填“＞”“＜”或“＝”）.
＜
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（2） 已知x＋2y－2＝0，且x是正数.若A＝5xy＋y＋1，B＝5xy＋2y，试比较A和B的大小.
解：∵ x＋2y－2＝0，∴ x＝2－2y.∵ x是正数，即x＞0，∴ 2－2y＞0.∴ 易得－y＋1＞0.∴ A－B＝（5xy＋y＋1）－（5xy＋2y）＝－y＋1＞0.∴ A＞B
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11.1 不 等 式
第3课时 不等式性质的应用
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·长春）不等关系在生活中广泛存在.如图，a，b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是（ A ）
A. 若a＞b，则a＋c＞b＋c
B. 若a＞b，b＞c，则a＞c
C. 若a＞b，c＞0，则ac＞bc
D. 若a＞b，c＞0，则 ＞
第1题
A
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2. （2024·合肥庐江期末）如图，有三种不同的小球，质量分别为a，b，c，放置在天平的托盘中，结果天平右侧向下倾斜，则可得到（ D ）
A. a＞b B. a＞c C. c＞b D. b＞c
第2题
D
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3. 一个长方体盒子的最短棱长为50cm，最长棱长为90cm，则盒子的体积可能是（ D ）
A. 4500cm3 B. 180000cm3
C. 90000cm3 D. 360000cm3
D
4. 利用不等式的性质解不等式 x＋3≤3x－2，得出解集在数轴上表示正确的是（ B ）
A
B
B
C
D
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5. 某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克x元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克y元，后来他以每千克 元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（ B ）
A. x＜y B. x＞y C. x≤y D. x≥y
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 某品牌计算机键盘的单价在60元至70元之间（包括60元、70元），则用200元买2个这样的键盘剩下的钱数x元所在的范围是 60≤x≤80 .
7. 若a＜b＜0，则m，m－a，m－b三个数之间的大小关系是 m＜m－b＜m－a （用“＜”连接）.
8. 已知x＝1不是不等式ax－3a＋2≥0的解，则实数a的取值范围是 a＞1 .
9. 若x≤2且3x＋y＝2，则y的取值范围是 y≥－4 .
60≤x≤80
m＜
m－b＜m－a
a＞1
y≥－4
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三、 解答题（共46分）
10. （24分）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集.
（1） x＋7＞13；
解：x＞6，将解集表示在数轴上如图①所示
第10题①答案
（2） 3x≤2x－8；
解：x≤－8，将解集表示在数轴上如图②所示
第10题②答案
第10题①答案
第10题②答案
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（3） － x＜2；
解：x＞－ ，将解集表示在数轴上如图③所示
第10题③答案
（4） 5x≥－15.
解：x≥－3，将解集表示在数轴上如图④所示
第10题④答案
第10题③答案
第10题④答案
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11. （22分）某次数学竞赛中出了10道题，每答对1道题得5分，每答错1道题或不答扣3分.问：至少要答对几道题，得分才能不低于10分？
解：设答对了x道题，则答错或不答（10－x）道题.根据题意，得5x－3（10－x）≥10，解得x≥5.∴ 至少要答对5道题，得分才能不低于10分
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（附加题）（20分） 如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”.
（1） 在不等式① 2x－1＜0，② x≤2，③ x－（3x－1）＜－5中，与不等式x≥2互为“友好不等式”的是 ②③ （填序号）；
②③
（2） 若关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不是“友好不等式”，求m的取值范围；
解：（2） 解不等式x＋2m≥0，得x≥－2m.解不等式2x－3＜x＋m，得x＜m＋3.∵ 关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不是“友好不等式”，∴ －2m≥m＋3，解得m≤－1.∴ m的取值
范围是m≤－1
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（3） 若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“友好不等式”，求a的取值范围.
解：（3） 由x＋3≥a，解得x≥a－3.由ax－1＜a－x，得（a＋1）x＜a＋1.∵ a≠－1，∴ a＋1≠0.① 当a＋1＞0，即a＞－1时，x＜1.由题意，得a－3＜1，即a＜4.∴ －1＜a＜4.② 当a＋1＜0，即a＜－1时，x＞1，符合题意.∴ a＜－1.综上所述，a的取值范围是a＜－1或－1＜a＜4
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小专题（十一） 不等式（组）中的参数问题
第十一章 不等式与不等式组
类型一 常数含参不等式（组）
1. 若关于x的不等式－k－x＋6＞0的正整数解为1，2，3，求k的取值范围.
解：解不等式－k－x＋6＞0，得x＜6－k.∵ 不等式的正整数解为1，2，3，∴ 3＜6－k≤4，解得2≤k＜3.∴ k的取值范围是2≤k＜3
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2. 已知关于x的一元一次不等式组 的解集为x＞－5，求m的取值范围.
解：解不等式 － ＜1，得x＞－5.又x＞m，且不等式组的解集为x＞－5，∴ m≤－5
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3. 已知关于x的不等式组 的整数解是－1，0，1，2.若m，n为整数，求m－n的值.
解：解不等式2x－m≥0，得x≥ m.解不等式x－n＜0，得x＜n.
∵ 不等式组的整数解是－1，0，1，2，∴ －2＜ m≤－1，2＜n≤3，即－4＜m≤－2，2＜n≤3.∵ m，n为整数，∴ n＝3，m＝－3或m＝－2.当m＝－3时，m－n＝－3－3＝－6；当m＝－2时，m－n＝－2－3＝－5.综上所述，m－n的值为－5或－6
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类型二 系数含参不等式（组）
4. 若不等式mx＋2＞x－3和3x－5＜0有相同的解集，求m的值.
解：解不等式3x－5＜0，得x＜ .由mx＋2＞x－3，得（m－1）x＞－5.∵ 两个不等式的解集相同，∴ m－1＝－3，解得m＝－2
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5. 已知关于x的不等式组若该不等式组的解集为≤x≤3，求k的值.
解：解不等式4 ≥x－1，得x≥ .由不等式x＋2≤5－kx，得（k＋1）x≤3.∵ 不等式组的解集为 ≤x≤3，∴ k＋1＝1，解得k＝0
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类型三 常数与系数同时含参不等式（组）
6. 解关于x的不等式mx－2＞3m＋5x（m≠5）.
解：移项，得mx－5x＞3m＋2.合并同类项，得（m－5）x＞3m＋2.① 当m＞5时，m－5＞0，则x＞ ；② 当m＜5时，m－5＜0，则x＜
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7. 已知关于x的不等式 ＞ x－1.当m取何值时，该不等式有解？并求出其解集.
解：由 ＞ x－1，得2m－mx＞x－2.移项，得－mx－x＞－2－2m.合并同类项，得（m＋1）x＜2m＋2.∴ 当m＋1≠0，即m≠－1时，该不等式有解.当m＞－1时，不等式的解集为x＜2；当m＜
－1时，不等式的解集为x＞2
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8. 已知关于x的不等式组 只有2个正整数解，求a的取值范围.
解：由2x＞3（x－2）＋3a，得x＜6－3a；由ax＋（1＋a）（1－a）≤x，得（a－1）x≤（a＋1）（a－1）.当a－1＞0，即a＞1时， 此时a＋1＞2，6－3a＜3.∵ 关于x的不等式组 只有2个正整数解，∴ 这2个正整数解为1，2.① 当a＋1＜6－3a，即1＜a＜ 时，不等式组的解集为x≤a＋1，则a＋1＜3，即a＜2，∴ 1＜a＜ .
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② 当a＋1≥6－3a，即a≥ 时，不等式组的解集为x＜6－3a，则6－3a＞2，即a＜ ，∴ ≤a＜ .综合①②可知，1＜a＜ .当a－1＝0，即a＝1时， 即不等式组的解集为x＜3，只有1，2这两个正整数解，符合题意.当a－1＜0，即a＜1时， 此时6－3a＞3，a＋1＜2，∴ 不等式组的解集为a＋1≤x＜6－3a.∵ 不等式组 只有2个正整数解，∴ 这2个正整数解为2，3.∴ 解得a≥ .∴ ≤a＜1.综上所述，a的取值范围是 ≤a＜
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8(共15张PPT)
第十一章小测
第十一章 不等式与不等式组
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 若x＝3是某个一元一次不等式的一个解，则这个一元一次不等式可能是（ D ）
A. 2x－1≤3 B. －3x＋1≥4
C. 6x＋2＞11x－3 D. － x＋4＜1＋ x
D
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2. 某学校开设篮球、足球两门选修课，需要购买一批篮球和足球，学校的预算经费是5400元.已知篮球的单价是120元，足球的单价是90元，购买30个篮球后，最多还能购买多少个足球？设还能购买x个足球，则下列不等式正确的是（ D ）
A. 90×30＋120x＜5400 B. 90×30＋120x≤5400
C. 120×30＋90x＜5400 D. 120×30＋90x≤5400
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3. （2024·安庆一模）已知a，b，c为非零实数，且满足a＋b＋c＝0，4a＋2b＋c＜2，则下列结论一定正确的是（ B ）
A. 2a－c＞2 B. 3a－b－3c＜4
C. 3a＜2 D. a＋3b＋4c＞0
4. 学校组织300名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬1张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（1桌1椅为一套）的套数为（ B ）
A. 80 B. 120 C. 160 D. 200
B
B
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5. 关于x的不等式组 有解，且其解都是不等式3x≤15的解，则a的取值范围是（ D ）
A. a＜ B. －1≤a＜
C. －2＜a≤ D. －2≤a＜
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·蚌埠期末）已知关于x的不等式（a－1）x＞a－1的解集是x＜1，则a的取值范围是 a＜1 .
7. 某水果店以4元/千克的价格批发了一批苹果，已知在销售的过程中会有5％的苹果正常损耗.如果要求这批苹果全部售完后的利润率不低于42.5％，那么售价至少应定为 6 元/千克.
a＜1
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8. 对于两个关于x的不等式，若有且仅有一个整数使得这两个不等式同时成立，则称这两个不等式是“互联”的，例如：不等式x＞1和不等式x＜3是“互联”的.若关于x的不等式x＋1＞2b和x＋2b≤3是“互联”的，则b的取值范围是 ＜b＜1 .
9. 如图，用长为50m的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为40m.如果要使靠墙的一边不小于35m，那么与墙垂直的一边AB的取值范围是 m≤AB≤5m .
＜b＜1
m≤AB≤5m
第9题
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）解下面的不等式（组），并将解集表示在数轴上.
（1） 10－4（x－3）≤2（x－1）；
解：x≥4，将解集表示在数轴上如图①所示
第10题①答案
第10题①答案
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（2）
解：3＜x≤4，将解集表示在数轴上如图②所示
第10题②答案
第10题②答案
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11. （16分）“文房四宝”是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚.某中学开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”.经过调查得知，每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，购买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元.
（1） 求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少.
解：（1） 设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x－40）元.根据题意，得5x＋10（x－40）＝1100，解得x＝100.∴ x－40＝60.∴ 每套甲型号“文房四宝”
的价格是100元，每套乙型号“文房四宝”的价格是60元
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（2） 若该中学需购买甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购买乙型号“文房四宝”的数量必须少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？
解：（2） 设购买乙型号“文房四宝” m套，则购买甲型号“文房四宝” （120－m）套.根据题意，得 解得87.5≤m＜90.又∵ m为正整数，∴ m可以取88，89.∴ 共有2种购买方案：方案一，购买120－88＝32（套）甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”，总费用为32×100＋88×60＝8480（元）；方案二， 购买120－89＝31（套）甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”，总费用为31×100＋89×60＝8440（元）.∵ 8440＜8480，
∴ 最低费用是8440元
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12. （16分）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”.
例：已知方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0，当x＝2时，2x－3＝2×2－3＝1，x＋3＝2＋3＝5＞0同时成立，则称x＝2是方程2x－3＝1与不等式x＋3＞0的“理想解”.
（1） 若 是方程x－2y＝4与不等式组 的“理想解”，求x0＋2y0的取值范围.
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解：（1） 由方程x－2y＝4，得x0＝2y0＋4，代入不等式组 得 解得－ ＜y0＜1.∴ －1＜2y0＜2.∴ 3＜2y0＋4＜6，即3＜x0＜6.∴ 2＜x0＋2y0＜8
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（2） 已知关于x的方程 ＝ －1与关于x的不等式组 有“理想解”，且不等式组有7个整数解.若3m－n＋p＝4，m＋n＋p＝6，求M＝2m＋3n－p的取值范围.
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解：（2） 解方程 ＝ －1，得x＝2m－1.解不等式组 得 ＜x≤7.由题意，得 ＜2m－1≤7①，且0≤ ＜1②.解不等式组①，得－ ＜m≤4.解不等式组②，得3≤m＜5.∴ 3≤m≤4.联立 解得 ∴ 3≤ ≤4，解得19≤M≤26.∴ M的取值范围是19≤M≤26
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