沪科版数学八年级下册期中仿真模拟试题（一）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2026九上·德惠期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026九上·常宁期末）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2
3．（2026九上·双流期末）若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-1 B．k＞-1 C．k≤-1 D．k≥-1
4．（2026九上·温岭期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026八上·惠来期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．6 D．24
7．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
8．（2024八上·徐汇月考）关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
9．（2022八下·金东期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13
10．（2023八下·温州期中）用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7
11．（2026七上·邛崃期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
12．（2025八上·诸暨期中）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上， 设CE=a， HG=b， 则正方形BDFA的面积是 ( )
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2026八上·金东期末） 若 是整数，则正整数n的最小值为 ．
14．（2024九上·南京月考）一元二次方程的解是
15．（2026八上·余杭期末） 如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，AD=AC，过C作于点 E，交AD于点 F，且∠DAC=2∠ACE，若AE=1，BD=3，则AD的长为 .
16．（2025八下·金平期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了 米（的长）（假设绳子是直的）．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2026八上·深圳期末）计算：
（1）
（2）
18．（2026八上·宁波期末）解一元二次方程：
（1）
（2）
19．（2023八上·郁南期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段、、的长；
（2）判断的形状，并说明你的理由．
20．（广东省汕尾市陆丰市碣北中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
21．（2026八上·二道期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子AB的高度．(注：1丈尺)
22．（2026九上·双流期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200元销售；若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不低于1050元.
（1）设一次购买该产品的数量为x件，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由.
23．（2026八上·深圳期末）定义：在中，若斜边长为，则称是系直角三角形。
例：如图1，在中，，，，则称是5系直角三角形。
（1）【任务一：概念理解】
①若，，则是系直角三角形；
②若是系直角三角形，，请在图2中画出一个满足条件的；
（2）【任务二：实践应用】如图3，在以为原点的平面直角坐标系中，，点在直线上，是以为直角顶点的系直角三角形，求的值；
（3）【任务三：拓展提升】已知，，是系直角三角形，直线上有且仅有两个满足条件的点，请在图4中画出一个符合题意的，并求出所有可能的取值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的加减运算法则，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
∴根的判别式Δ>0.
∴22-4×1×(-k)>0，
4+4k>0，
4k>-4
∴k>-1
故选：B.
【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程 中，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，据此解题即可.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：解：由题意，列出方程为
故选： D.
【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率)2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设AB=a、BC=b、AC=c，则S1=a2、S2=b2、S3=c2，
在中，a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3，
∵，
∴，解得，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】本题依据正方形面积和勾股定理，首先得出S1+S2=S3，然后结合条件“ ”推出，最后再结合三角形的面积与正方形的面积列式计算求解即可．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，且，
解得：，
故选：C．
【分析】把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的二次项系数不为0得出，确定k的解解答即可．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵p，q是一元二次方程的两个根，
∴，，且，即，
则
=
=
=
=12
故选：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，且，然后把原代数式化为，然后整体代入计算即可．
10．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0，
x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7.
故答案为：C
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边写成完全平方公式的形式即可.
11．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接AB，
，
则，
如图2，把右侧面展开到正面上，连接AB，
，
则；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接AB，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是25cm，
故答案为：A .
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况：把左侧面展开到水平面上；把右侧面展开到正面上；把向上的面展开到正面上；分别利用勾股定理计算，再比较即可得解．
12．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设CD=x，则DE=a-x，
∵HG=b，
∴AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x，
∴x=，
∴BC=DE=a-=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=（）2+（）2=，
∴正方形BDFA的面积为。
故答案为：.
【分析】 设CD=x，则DE=a-x，求得x=，在Rt△BCD中，利用勾股定理求解即可.
13．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴ 正整数n的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据被开方数是平方数解答即可.
14．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知一元二次方程的解法是解题关键.
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
将方程移项得：，再提取公因式x可得：，令x=0或2x-1=0，解得：，由此可得出答案．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】 解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示，
∵AD=AC，AH⊥CD
∴DH=CH，∠CAD=2∠CAH
又∵∠CAD=2∠ACE
∴∠CAH=∠ACE
又∵AC=CA，∠AEC=∠AHC
∴△ACE≌△CAH(AAS)
∴CH=AE=1
∴DH=1
∴BC=BD+DH+CH=3+1+1=5
∵△ACE≌△CAH
∴∠CAE=∠ACH
∴BA=BC=5
∴BE=BA-AE=5-1=4
∴EC=
∴AC=
∴AD=
故答案：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质知∠CAD=2∠CAH，结合条件得△ACE≌△CAH，由此得BC=5，BE=4，得EC=3，即可得AC的长，即AD的长.
16．【答案】9
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
故答案为：9．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在中，已知，，根据勾股定理求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为，在中，再次利用勾股定理求出AD的长度；最后由，代入数值计算即可。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
∴；
（2）解：，
因式分解，得，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据提公因式因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：由勾股定理，得：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：由勾股定理，得：；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
20．【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）∵，是该方程的两个根，∴，
，
∴，
整理得：，
解得，
∵，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据题意代入计算，从而解一元二次方程即可求解。
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）∵，是该方程的两个根，
∴，
，
∴，
整理得：，
解得，
∵，
∴．
21．【答案】解：设折断后竹子的高度为尺，则长为尺.
在中，
，
.
即：，
解得：.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可.
22．【答案】（1）解：由题意，设一次购买数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，
∴①当0∴y=1200
∵销售单价最低为1050元，
∴令1200-5(x-10)=1050，解得x=40
∴当购买数量超过10件、且不超过40件时，单价随购买数量增加而降低；
②当10∴y=1200-5(x-10)，即y=-5x+1250；
③当x>40时，单价已降至最低1050元，不再继续降价，
∴y=1050
综上，函数关系式为：
（2）解：①当0∴200x=3125
∴，不在0②当10∴(-5x+250)x=3125
∴x=25
∵10<25≤40，符合题意，
∴此时销售单价：y=-5×25+1250=1125元；
③当x>40时，销售单价y=1050，单件利润1050-1000=50
∴50x=3125
∴
∵购买数量必须为正整数，
∴此情况不成立.
综上，公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，设一次购买数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，进而分①当040时，三种情形分析计算可以得解；
(2)依据题意，结合(1)分三种情况分析可以得解.
23．【答案】（1）①∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是系直角三角形；
②∵是系直角三角形，，
∴的另外一条直角边的长为，
如图所示，即为所求：
（2）如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形，且；
∵是以M为直角顶点的a系直角三角形，
∴，
∴M、N、T三点共线，即点N为与直线的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵是系直角三角形，
∴的另一条直角边的长为，
∴是等腰直角三角形，
如图所示，点即为所求；
如图所示，过点作轴，过点D作于点G，过点作于点H，
∵，，
∴；
∵是等腰直角三角形，且，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
当直线经过点时，则，
解得；
同理可得当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，’
当直线经过点时，此时，不符合题意；
当直线经过点时，；
综上所述，k所有可能的取值为或或2．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查新定义“系直角三角形”的应用，涉及勾股定理及其逆定理、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的判定与性质。
（1）①先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，确定斜边后结合新定义得到答案；②先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再结合网格画出直角三角形；
（2）先取特殊点，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，确定点在直线上，再求出直线的解析式，联立直线求出点的坐标，最后利用勾股定理求出斜边的长度即为的值；
（3）先利用勾股定理求出的长度，结合系直角三角形的定义证明为等腰直角三角形，再利用一线三垂直模型构造全等三角形求出所有满足条件的点的坐标，最后根据“直线上有且仅有两个满足条件的点”，求出经过任意两个点的直线的斜率，即为的可能取值。
1 / 1沪科版数学八年级下册期中仿真模拟试题（一）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2026九上·德惠期末）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：A、，故此选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据算术平方根、立方根的定义及二次根式的加减运算法则，即可求解.
2．（2026九上·常宁期末）要使二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x=2
【答案】C
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
故选：C．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可.
3．（2026九上·双流期末）若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜-1 B．k＞-1 C．k≤-1 D．k≥-1
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，
∴根的判别式Δ>0.
∴22-4×1×(-k)>0，
4+4k>0，
4k>-4
∴k>-1
故选：B.
【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围.
4．（2026九上·温岭期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程 中，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，据此解题即可.
5．为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：解：由题意，列出方程为
故选： D.
【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率)2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．（2026八上·惠来期末）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．8 B．12 C．6 D．24
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设AB=a、BC=b、AC=c，则S1=a2、S2=b2、S3=c2，
在中，a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3，
∵，
∴，解得，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：A．
【分析】本题依据正方形面积和勾股定理，首先得出S1+S2=S3，然后结合条件“ ”推出，最后再结合三角形的面积与正方形的面积列式计算求解即可．
7．如图，已知钓鱼竿AC的长为6 m，露在水面上的渔线BC长为3 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的渔线B'C'为 m，则BB'的长为（ ）
A． m B．2 m C． m D．2 m
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵ AC=AC'=6 m，BC=3 m，B'C'= m，
∴AB= (m)，
AB'= (m)，
∴BB'=AB-AB'=3 - =2 (m)．
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB'的长，再根据线段的和差关系求BB'长即可.
8．（2024八上·徐汇月考）关于的一元二次方程有一个根为，则的值（ ）
A． B．或 C． D．以上都不对
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为，
，且，
解得：，
故选：C．
【分析】把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的二次项系数不为0得出，确定k的解解答即可．
9．（2022八下·金东期末）若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵p，q是一元二次方程的两个根，
∴，，且，即，
则
=
=
=
=12
故选：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，且，然后把原代数式化为，然后整体代入计算即可．
10．（2023八下·温州期中）用配方法解方程x2-4x-3=0，则配方正确的是（ ）
A．(x-2)2=1 B．(x+2)2=1 C．(x-2)2=7 D．(x+2)2=7
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-4x-3=0，
x2-4x+4=3+4，
∴（x-2）2=7.
故答案为：C
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边写成完全平方公式的形式即可.
11．（2026七上·邛崃期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接AB，
，
则，
如图2，把右侧面展开到正面上，连接AB，
，
则；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接AB，
，
则；
∵，
∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是25cm，
故答案为：A .
【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，分三种情况：把左侧面展开到水平面上；把右侧面展开到正面上；把向上的面展开到正面上；分别利用勾股定理计算，再比较即可得解．
12．（2025八上·诸暨期中）数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上， 设CE=a， HG=b， 则正方形BDFA的面积是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设CD=x，则DE=a-x，
∵HG=b，
∴AH=CD=AG-HG=DE-HG=a-x-b=x，
∴x=，
∴BC=DE=a-=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=（）2+（）2=，
∴正方形BDFA的面积为。
故答案为：.
【分析】 设CD=x，则DE=a-x，求得x=，在Rt△BCD中，利用勾股定理求解即可.
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2026八上·金东期末） 若 是整数，则正整数n的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：，
∵是整数，
∴ 正整数n的最小值为2，
故答案为：2.
【分析】先化为最简二次根式，然后根据被开方数是平方数解答即可.
14．（2024九上·南京月考）一元二次方程的解是
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟知一元二次方程的解法是解题关键.
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
将方程移项得：，再提取公因式x可得：，令x=0或2x-1=0，解得：，由此可得出答案．
15．（2026八上·余杭期末） 如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，AD=AC，过C作于点 E，交AD于点 F，且∠DAC=2∠ACE，若AE=1，BD=3，则AD的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】 解：过点A作AH⊥BC于点H，如图所示，
∵AD=AC，AH⊥CD
∴DH=CH，∠CAD=2∠CAH
又∵∠CAD=2∠ACE
∴∠CAH=∠ACE
又∵AC=CA，∠AEC=∠AHC
∴△ACE≌△CAH(AAS)
∴CH=AE=1
∴DH=1
∴BC=BD+DH+CH=3+1+1=5
∵△ACE≌△CAH
∴∠CAE=∠ACH
∴BA=BC=5
∴BE=BA-AE=5-1=4
∴EC=
∴AC=
∴AD=
故答案：.
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由等腰三角形的性质知∠CAD=2∠CAH，结合条件得△ACE≌△CAH，由此得BC=5，BE=4，得EC=3，即可得AC的长，即AD的长.
16．（2025八下·金平期中）如图，小明站在离水面高度为8米的岸上点处用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，小明以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了 米（的长）（假设绳子是直的）．
【答案】9
【知识点】勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【解答】在Rt△ABC中：∵∠CAB=90°，BC=17米，AC=8米，
∴（米），
∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
故答案为：9．
【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的思路是分两次利用勾股定理，先求出初始时船到岸边的距离AB，再求出收绳后船到岸边的距离AD，最后通过线段差求出BD。首先在中，已知，，根据勾股定理求出AB的长度；再根据收绳速度和时间求出CD的长度为，在中，再次利用勾股定理求出AD的长度；最后由，代入数值计算即可。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2026八上·深圳期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可．
18．（2026八上·宁波期末）解一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
因式分解，得，
∴或，
∴；
（2）解：，
因式分解，得，
∴或，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据提公因式因式分解法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
19．（2023八上·郁南期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段、、的长；
（2）判断的形状，并说明你的理由．
【答案】（1）解：由勾股定理，得：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：由勾股定理，得：；
（2）是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴是直角三角形．
20．（广东省汕尾市陆丰市碣北中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题）已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根．
（1）求实数的取值范围；
（2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
【答案】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）∵，是该方程的两个根，∴，
，
∴，
整理得：，
解得，
∵，
∴．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再根据题意代入计算，从而解一元二次方程即可求解。
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
即，
解得：；
（2）∵，是该方程的两个根，
∴，
，
∴，
整理得：，
解得，
∵，
∴．
21．（2026八上·二道期末）《九章算术》是我国古代重要的数学著作.书中记载的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处C点离竹子底部A点3尺远．求折断后竹子AB的高度．(注：1丈尺)
【答案】解：设折断后竹子的高度为尺，则长为尺.
在中，
，
.
即：，
解得：.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可.
22．（2026九上·双流期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本1000元，销售单价定为1200元.为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过10件，每件按1200元销售；若一次购买该产品超过10件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低5元，但销售单价均不低于1050元.
（1）设一次购买该产品的数量为x件，销售单价为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利3125元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：由题意，设一次购买数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，
∴①当0∴y=1200
∵销售单价最低为1050元，
∴令1200-5(x-10)=1050，解得x=40
∴当购买数量超过10件、且不超过40件时，单价随购买数量增加而降低；
②当10∴y=1200-5(x-10)，即y=-5x+1250；
③当x>40时，单价已降至最低1050元，不再继续降价，
∴y=1050
综上，函数关系式为：
（2）解：①当0∴200x=3125
∴，不在0②当10∴(-5x+250)x=3125
∴x=25
∵10<25≤40，符合题意，
∴此时销售单价：y=-5×25+1250=1125元；
③当x>40时，销售单价y=1050，单件利润1050-1000=50
∴50x=3125
∴
∵购买数量必须为正整数，
∴此情况不成立.
综上，公司能恰好获利3125元，此时该产品的销售单价为1125元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)依据题意，设一次购买数量为x件(x为正整数)，销售单价为y元，进而分①当040时，三种情形分析计算可以得解；
(2)依据题意，结合(1)分三种情况分析可以得解.
23．（2026八上·深圳期末）定义：在中，若斜边长为，则称是系直角三角形。
例：如图1，在中，，，，则称是5系直角三角形。
（1）【任务一：概念理解】
①若，，则是系直角三角形；
②若是系直角三角形，，请在图2中画出一个满足条件的；
（2）【任务二：实践应用】如图3，在以为原点的平面直角坐标系中，，点在直线上，是以为直角顶点的系直角三角形，求的值；
（3）【任务三：拓展提升】已知，，是系直角三角形，直线上有且仅有两个满足条件的点，请在图4中画出一个符合题意的，并求出所有可能的取值。
【答案】（1）①∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴是系直角三角形；
②∵是系直角三角形，，
∴的另外一条直角边的长为，
如图所示，即为所求：
（2）如图所示，取点，连接，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形，且；
∵是以M为直角顶点的a系直角三角形，
∴，
∴M、N、T三点共线，即点N为与直线的交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵是系直角三角形，
∴的另一条直角边的长为，
∴是等腰直角三角形，
如图所示，点即为所求；
如图所示，过点作轴，过点D作于点G，过点作于点H，
∵，，
∴；
∵是等腰直角三角形，且，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得，
当直线经过点时，则，
解得；
同理可得当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，’
当直线经过点时，此时，不符合题意；
当直线经过点时，；
综上所述，k所有可能的取值为或或2．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-AAS；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查新定义“系直角三角形”的应用，涉及勾股定理及其逆定理、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的判定与性质。
（1）①先根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，确定斜边后结合新定义得到答案；②先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再结合网格画出直角三角形；
（2）先取特殊点，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，确定点在直线上，再求出直线的解析式，联立直线求出点的坐标，最后利用勾股定理求出斜边的长度即为的值；
（3）先利用勾股定理求出的长度，结合系直角三角形的定义证明为等腰直角三角形，再利用一线三垂直模型构造全等三角形求出所有满足条件的点的坐标，最后根据“直线上有且仅有两个满足条件的点”，求出经过任意两个点的直线的斜率，即为的可能取值。
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