北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025七下·深圳期中）将纸片沿EF折叠，使得落在处，已知平分平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：在△AA'BC中，∠BA'C＝118°，
∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-118°=62°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴ ∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，
∴ ∠ABC + ∠ACB=2(∠A'BC+ ∠A'CB) = 62°x 2=124°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=56°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，
由折叠的性质可得∠A'EF= ∠AEF，∠A'FE= ∠AFE，
∴∠A'EA+ ∠A'FA=2(∠AEF+∠AFE)=2x 124°= 248°
∴∠BEA'+∠CFA'=360°-248°=112°，
故答案为：A.
【分析】由三角形内角和可推∠A＝56°，从而可求∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，再根据折叠的性质可得∠A'EF=∠AEF，∠A'FE=∠AFE，最后根据平角的定义求解即可。
2．（2024·织金期末） 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为( )
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴点 D到的距离为；
故答案为：C
【分析】过作于，根据角平分线的性质得到，进而即可求解.
3．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：
则AD=A'D，
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，
即AD+DE的最小值为A'E，
∵，
∴，
即AD+DE的最小值为.
故答案为：C.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解.
4．（2024七下·新兴期末）如图，，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：设，
如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】设∠ABD=∠c=∠DEB=x°，如图，过B作BT∥DF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DF∥BT∥CG，由两直线平行，内错角相等，得，，由垂直的定义可得，由角平分线的定义，据此建立方程求解即可.
5．（2024七下·嘉兴月考）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP，
∵PP'∥MN，PP'=MN
∴四边形PP'NM是平行四边形
∴PM=P'N
∴PM+MN+QN=P'N+MN+QN=P'Q+MN最小
故答案为：C.
【分析】将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP，构造平行四边形，根据两点之间，线段最短，将PM转化为P'N，从而PM+QN=P'Q，河宽不变，故P'Q+MN最小.
6．（2024七下·惠来期末）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：①、在AE取点F，使．
，，
，
，
，
，故①正确；
②、AB上取点F，使，连接CF．
垂直平分BF，
，
．
在与中，
，，，
，
．
又，
，
，
故②正确；
③、由②知，，
，
又，
，故③正确；
④、在△BCE与△FCE中，
∴，
∴△BCE≌△FCE(SAS)
，
又，
，
，
故④正确．
综上可知 ①②③④ 正确；
故答案为：D．
【分析】
①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，利用线段垂直平分线的性质可得CF=CB再由AB=AD+2BE即可求解；
②利用SAS证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解；
③由△ACD和△ACF全等可得CD=CF，结合CF=CB即可得解；
④由SAS证明△BCE≌△FCE，从而可得到面积关系，即可得解．
7．（2024七下·博罗期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
延长交于P，延长交于Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
设，，
∴＋，
∵平分，
∴＋，
∵平分，
∴，
∴，
∴＋＋＋，
∴，
∴，故④错误，
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，由平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质，即可得到结论．
8．（2024七下·荣成期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴， 如图，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于H，
又∵和的平分线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，故④正确，
综上，正确的有②③④.
故答案为：C．
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求得与∠C的关系，据此判定①；过O点作于P，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，用SAS证得，得到，结合平角定义推出∠AOH=∠AOF，由ASA证，得到，进而判定③正确；作于N，于H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ON=OH=OD=2a，根据三角形的面积可证得④正确．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·达州期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，，中，，
如图，延长至，使，设与交于点，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
故①符合题意；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
故②不符合题意；
设，则，
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
，
，
，
，
，
故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】根据．且，构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，可判断①，也可以通过线段的等量代换运算判断④，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，可判断③，当时，可以推导出，否则不垂直于，可判断②．
10．（2024七下·西安月考）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，
是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，
此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
故答案为：．
【分析】在上截取，连接，，连接，与交于点，连接，用边角边可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质和最短路径可知：当⊥时，最小，即最小；根据S△ABC=×AB×CQ1=×AC×BC可得关于CQ1的方程，解方程即可求解．
11．（2025七下·武汉期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接，
平分，
，
同理可得，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，（平行线间间距相等），
，
，
在和中，
，
，
．
的周长
，
∴，
设，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据HL得到，即可得到，然后推理，即可得到，然后推导，即可得到，再推理得到，进而得到．求出，设，根据，即可得到；然后根据得到，即可求出面积．
12．（2023七下·大竹期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵ 点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴当OP最小时， 的面积也最小.
∵点P在直线MN上运动，
∴OP⊥MN时，OP的值最小.
当OP⊥MN时，如图所示：
∵，
∴OP=6，
∴的面积的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，根据对称性可得，，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当OP⊥MN时，取得最小值，的面积最小，利用三角形的面积公式求出OP的长，即可得到面积的最小值.
13．（2023七下·道县月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ．
【答案】；
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
过点作，过点作，过点作交于点，
同（1）法可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案；
（2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025七下·普宁期末） 如图，已知中，
（1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC、AB于点D、E（不写作法，保留作图痕迹并标明字母）；
（2） 连接AD，若，的周长是18，求的周长.
【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求，
（2）解：连接AD，
∵的周长是18，
∴AB+AC+BC=8+AC+BC=18，
∴AC+BC=10，
∵直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图求解即可；
（2）根据题意先求出AB+AC+BC=8+AC+BC=18，再根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，最后计算求解即可.
15．（2024七下·利津期末）如图，点C在线段上，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角平分线性质可得，由垂直平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
16．（2024七下·丰城期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，，结合的周长为19，的周长为7，可得，即可求解；
（2）根据三角形内角和是180°求出，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
17．（2023七下·西安期末）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
【答案】（1）解：，，
，
垂直平分，
，
，
（2）解：垂直平分，
，
，
，，
周长为12．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据题意得到的大小，再根据垂直平分线的性质得到，，最后求出 的度数；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，最后求出周长即可.
18．（2024七下·镇平县月考）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）依题意，边上的高如图所示：
（2）；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
（4）过点B作交于一点，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
【分析】
本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键.
（1）过点B作交于一点E，即可作答．
（2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系： ，代入三角形面积计算公式：，化简得：，结合AB=AC，化简即可得出答案．
（3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由点D为中点，可知：，由，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：，即可得出答案．
（4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由AB=AC，化简即可得出答案．
19．（2025七下·榕城期末） 如图， 在 中， 射线AD，AE的夹角为 过点B作 BF⊥AD于点 F， 直线BF交AE于点G， 连接CG.
（1）如图1， 射线AD， AE都在 的内部.
①设 则 ∠CAG= (用含有α的式子表示)；
②作点B关于直线AD 的对称点 则线段 与图1 中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线AE在 的内部，射线AD在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 BF，BG，CG之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）55°-α；CG
（2）解：CG=BG+2BF，
证明如下：
作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，如下图，
由对称的性质可得AB=AP，∠BAD=∠PAD，BF=PF，
∵AB=AC，∴AP=AC，
设∠BAD=∠PAD=β，
∵DAG=55°，∴BAG=∠DAG-∠BAF=55°-β，
∴∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+β，
∵∠BAC=110°，∴∠CAG=∠BAC+∠BAF-∠DAG=55°+β，
∴∠CAG=∠PAG，
在△CAG和△PAG中，
∴△CAG≌△PAG（SAS)，∴CG=PG
∵PG=PF+BF+BG=2BF+BG，∴CG=BG+2BF.
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）① ∠CAG =∠BAC-∠EAD-BAD=110°-55°-α=55°-α；
②连接AB'，
根据对称性可得：∠B'AD=∠BAD=α，
又∠EAD=55°，
∴∠GAB'=55°-α，
又由①知：∠CAG =55°-α，
∴∠GAB'=∠CAG，
在和中：∵AC=AB=AB'，∠GAB'=∠CAG，AG=AG，
∴≌，
∴B'G=CG；
故答案为：CG；
【分析】（1）①根据角度的和差进行计算，即可得出答案；
②根据对称性可得∠B'AD=∠BAD=α，结合结论①，可得出∠GAB'=∠CAG，然后根据SAS可证明≌，得出B'G=CG；，即可得出答案；
（2）CG=BG+2BF，作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，设∠BAD=∠PAD=β，仿（1）①可得∠CAG=55°+β，然后根据SAS证明≌，得出CG=PG，进而根据线段的和及对称的性质，得出CG=BG+2BF。
20．（2024·七下成都期中） 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【答案】（1）＝
（2）解：①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴NO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO＝∠ANM＝30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°+α，
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO＝ [180°﹣（60°+α）]＝60°﹣α，
∴∠MON＝60°﹣α，
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣α．
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作
∴
∵AB∥CD，
∴
∴
∴
故答案为：=.
【分析】（1）过P点作根据平行线的性质可得进而可求出等量关系；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠NOM＝∠ANO＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解.
1 / 1北师大版数学七年级下册第五单元图形的轴对称单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025七下·深圳期中）将纸片沿EF折叠，使得落在处，已知平分平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·织金期末） 如图， 在△ABC中， BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB， 若DE=3cm， 则点 D到BC的距离为( )
A．1.5cm B．2cm C．3cm D．4cm
3．（2024七下·揭西期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是BC，AB上的动点，连接AD，DE，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024七下·新兴期末）如图，，，，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七下·嘉兴月考）如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接P，Q两镇．已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024七下·惠来期末）如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2024七下·博罗期中）如图，E在线段的延长线上，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分．则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024七下·荣成期中）如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025七下·达州期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ．
10．（2024七下·西安月考）如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．
11．（2025七下·武汉期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ．
12．（2023七下·大竹期末）如图，，点M、N分别在射线上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为 ．
13．（2023七下·道县月考）如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025七下·普宁期末） 如图，已知中，
（1） 尺规作图：作线段AB的垂直平分线DE，分别交边BC、AB于点D、E（不写作法，保留作图痕迹并标明字母）；
（2） 连接AD，若，的周长是18，求的周长.
15．（2024七下·利津期末）如图，点C在线段上，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的面积．
16．（2024七下·丰城期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．
（2）若，，求的度数．
17．（2023七下·西安期末）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的长为5，求的周长．
18．（2024七下·镇平县月考）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F．
【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高；
【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的：
证明：∵__________，
∴__________．
∵，∴__________．
【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由．
【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
19．（2025七下·榕城期末） 如图， 在 中， 射线AD，AE的夹角为 过点B作 BF⊥AD于点 F， 直线BF交AE于点G， 连接CG.
（1）如图1， 射线AD， AE都在 的内部.
①设 则 ∠CAG= (用含有α的式子表示)；
②作点B关于直线AD 的对称点 则线段 与图1 中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线AE在 的内部，射线AD在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段 BF，BG，CG之间的数量关系，并证明.
20．（2024·七下成都期中） 如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：在△AA'BC中，∠BA'C＝118°，
∴ ∠A'BC+∠A'CB=180°-118°=62°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴ ∠ABC=2∠A'BC，∠ACB=2∠A'CB，
∴ ∠ABC + ∠ACB=2(∠A'BC+ ∠A'CB) = 62°x 2=124°，
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=56°，
∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，
由折叠的性质可得∠A'EF= ∠AEF，∠A'FE= ∠AFE，
∴∠A'EA+ ∠A'FA=2(∠AEF+∠AFE)=2x 124°= 248°
∴∠BEA'+∠CFA'=360°-248°=112°，
故答案为：A.
【分析】由三角形内角和可推∠A＝56°，从而可求∠AEF+∠AFE=180°-∠A=124°，再根据折叠的性质可得∠A'EF=∠AEF，∠A'FE=∠AFE，最后根据平角的定义求解即可。
2．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴点 D到的距离为；
故答案为：C
【分析】过作于，根据角平分线的性质得到，进而即可求解.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】 解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，如图：
则AD=A'D，
∴AD+DE=A'D+DE≥A'E，
即AD+DE的最小值为A'E，
∵，
∴，
即AD+DE的最小值为.
故答案为：C.
【分析】作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D，则AD=A'D，所以AD+DE=A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E，根据三角形的面积公式即可求解.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：设，
如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
∴，
∴；
故答案为：D．
【分析】设∠ABD=∠c=∠DEB=x°，如图，过B作BT∥DF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得DF∥BT∥CG，由两直线平行，内错角相等，得，，由垂直的定义可得，由角平分线的定义，据此建立方程求解即可.
5．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP，
∵PP'∥MN，PP'=MN
∴四边形PP'NM是平行四边形
∴PM=P'N
∴PM+MN+QN=P'N+MN+QN=P'Q+MN最小
故答案为：C.
【分析】将P向下平移，使PP'=河宽，连接P'Q交直线L于点N，过点N作MN⊥L，交河的另一边于点M，连接MP，构造平行四边形，根据两点之间，线段最短，将PM转化为P'N，从而PM+QN=P'Q，河宽不变，故P'Q+MN最小.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：①、在AE取点F，使．
，，
，
，
，
，故①正确；
②、AB上取点F，使，连接CF．
垂直平分BF，
，
．
在与中，
，，，
，
．
又，
，
，
故②正确；
③、由②知，，
，
又，
，故③正确；
④、在△BCE与△FCE中，
∴，
∴△BCE≌△FCE(SAS)
，
又，
，
，
故④正确．
综上可知 ①②③④ 正确；
故答案为：D．
【分析】
①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，利用线段垂直平分线的性质可得CF=CB再由AB=AD+2BE即可求解；
②利用SAS证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解；
③由△ACD和△ACF全等可得CD=CF，结合CF=CB即可得解；
④由SAS证明△BCE≌△FCE，从而可得到面积关系，即可得解．
7．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
延长交于P，延长交于Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③错误；
设，，
∴＋，
∵平分，
∴＋，
∵平分，
∴，
∴，
∴＋＋＋，
∴，
∴，故④错误，
故选：B．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，对顶角性质，由平行线的判定定理得到，故①正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得平分；故②正确；根据平行线同旁内角互补得，再根据题目已知，得，又根据，得，但根据现有条件无法证明，故③错误；设，得到，根据角平分线的性质，即可得到结论．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵和的平分线相交于点O，
∴，，
∴，故①错误；
过O点作于P，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，分别是与的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴， 如图，在上取一点H，使，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
作于N，于H，
又∵和的平分线相交于点O，，
∴，
∵，
∴，故④正确，
综上，正确的有②③④.
故答案为：C．
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求得与∠C的关系，据此判定①；过O点作于P，由角平分线上的点到角两边的距离相等得，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，用SAS证得，得到，结合平角定义推出∠AOH=∠AOF，由ASA证，得到，进而判定③正确；作于N，于H，由角平分线上的点到角两边的距离相等得ON=OH=OD=2a，根据三角形的面积可证得④正确．
9．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，，中，，
如图，延长至，使，设与交于点，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
故①符合题意；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
故②不符合题意；
设，则，
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
，
，
，
，
，
故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】根据．且，构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，可判断①，也可以通过线段的等量代换运算判断④，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，可判断③，当时，可以推导出，否则不垂直于，可判断②．
10．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，，
是的平分线，
在与中
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，
此时，
是动点，
也是动点，当与垂直时，最小，即最小．
此时，由面积法得．
故答案为：．
【分析】在上截取，连接，，连接，与交于点，连接，用边角边可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质和最短路径可知：当⊥时，最小，即最小；根据S△ABC=×AB×CQ1=×AC×BC可得关于CQ1的方程，解方程即可求解．
11．【答案】
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接，
平分，
，
同理可得，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，（平行线间间距相等），
，
，
在和中，
，
，
．
的周长
，
∴，
设，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据HL得到，即可得到，然后推理，即可得到，然后推导，即可得到，再推理得到，进而得到．求出，设，根据，即可得到；然后根据得到，即可求出面积．
12．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵ 点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴当OP最小时， 的面积也最小.
∵点P在直线MN上运动，
∴OP⊥MN时，OP的值最小.
当OP⊥MN时，如图所示：
∵，
∴OP=6，
∴的面积的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接，根据对称性可得，，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当OP⊥MN时，取得最小值，的面积最小，利用三角形的面积公式求出OP的长，即可得到面积的最小值.
13．【答案】；
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（1）过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：；
（2）由题意，得：，
过点作，过点作，过点作交于点，
同（1）法可得：，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案；
（2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可．
14．【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求，
（2）解：连接AD，
∵的周长是18，
∴AB+AC+BC=8+AC+BC=18，
∴AC+BC=10，
∵直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法作图求解即可；
（2）根据题意先求出AB+AC+BC=8+AC+BC=18，再根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，最后计算求解即可.
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角平分线性质可得，由垂直平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵平分，
∴，
∴垂直平分，
∵．
∴，
∴，
即的面积是12．
16．【答案】（1）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为19，的周长为7，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出，，结合的周长为19，的周长为7，可得，即可求解；
（2）根据三角形内角和是180°求出，根据三组对应边分别相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解.
17．【答案】（1）解：，，
，
垂直平分，
，
，
（2）解：垂直平分，
，
，
，，
周长为12．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据题意得到的大小，再根据垂直平分线的性质得到，，最后求出 的度数；
（2）根据垂直平分线的性质得到，，最后求出周长即可.
18．【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）依题意，边上的高如图所示：
（2）；
证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（3）过点B作交于一点G，
∵，
∴，
∵点D为中点，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
（4）过点B作交于一点，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
【分析】
本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积．熟练运用数形结合思想是解题关键.
（1）过点B作交于一点E，即可作答．
（2）通过观察、测量可确定DE、DF、BG之间的数量关系：，根据猜想的数量关系，通过三角形面积之间的关系： ，代入三角形面积计算公式：，化简得：，结合AB=AC，化简即可得出答案．
（3）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由点D为中点，可知：，由，点D是BC中点。结合等腰三角形性质：三线合一可知：DE=DF，等量代换化简得：，即可得出答案．
（4）过点B作BG⊥AC于点G，由三角形面积之间的关系：，代入三角形面积计算公式：，化简得：，由AB=AC，化简即可得出答案．
19．【答案】（1）55°-α；CG
（2）解：CG=BG+2BF，
证明如下：
作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，如下图，
由对称的性质可得AB=AP，∠BAD=∠PAD，BF=PF，
∵AB=AC，∴AP=AC，
设∠BAD=∠PAD=β，
∵DAG=55°，∴BAG=∠DAG-∠BAF=55°-β，
∴∠PAG=∠PAD+∠BAD+∠BAG=55°+β，
∵∠BAC=110°，∴∠CAG=∠BAC+∠BAF-∠DAG=55°+β，
∴∠CAG=∠PAG，
在△CAG和△PAG中，
∴△CAG≌△PAG（SAS)，∴CG=PG
∵PG=PF+BF+BG=2BF+BG，∴CG=BG+2BF.
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（1）① ∠CAG =∠BAC-∠EAD-BAD=110°-55°-α=55°-α；
②连接AB'，
根据对称性可得：∠B'AD=∠BAD=α，
又∠EAD=55°，
∴∠GAB'=55°-α，
又由①知：∠CAG =55°-α，
∴∠GAB'=∠CAG，
在和中：∵AC=AB=AB'，∠GAB'=∠CAG，AG=AG，
∴≌，
∴B'G=CG；
故答案为：CG；
【分析】（1）①根据角度的和差进行计算，即可得出答案；
②根据对称性可得∠B'AD=∠BAD=α，结合结论①，可得出∠GAB'=∠CAG，然后根据SAS可证明≌，得出B'G=CG；，即可得出答案；
（2）CG=BG+2BF，作点B关于直线AD的对称点P，连接AP，设∠BAD=∠PAD=β，仿（1）①可得∠CAG=55°+β，然后根据SAS证明≌，得出CG=PG，进而根据线段的和及对称的性质，得出CG=BG+2BF。
20．【答案】（1）＝
（2）解：①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴NO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO＝∠ANM＝30°+α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°+α，
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO＝ [180°﹣（60°+α）]＝60°﹣α，
∴∠MON＝60°﹣α，
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣α．
综上所述，∠MON的度数为30°+α或60°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图，过点P作
∴
∵AB∥CD，
∴
∴
∴
故答案为：=.
【分析】（1）过P点作根据平行线的性质可得进而可求出等量关系；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠NOM＝∠ANO＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解.
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