人教版数学七年级下册同步分层训练10.1 二元一次方程组的概念
一、夯实基础
1．（2025七下·雷州期中）下列方程中，哪个是二元一次方程？（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·广州期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
3．对实数，，定义运算．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或
4．（2025七下·广州期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
5．（2025七下·滨江期中）现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程，若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
6．（2025七上·慈利期末）已知是方程的一组解，则m的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当．这个题目的意思是：甲、乙两人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为( )
A． B．
C． D．
8．（2020七下·镇平月考）在方程3x－ y＝5中，用含x的代数式表示y为 .
9．若(a－2)x|a|－1＋3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为 .
10．写出有一个解为的二元一次方程是 .
二、能力提升
11．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
12．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”，例如：m＝2 136，因为2＋6＝2×(1＋3)，所以2 136是“共生数”；再如m＝5 479，因为5＋9≠2×(4＋7)，所以5 479不是“共生数”．若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为 .
13．方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
14．若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ．
15．（2025七下·南湖期中）已知是二元一次方程的一个解，则 .
16．（2025·浙江竞赛）已知关于x与y的方程组，那么当a= 方程无解，当a= 方程有无穷多的解。
三、拓展创新
17．已知方程2x2m+3+3y5n-7=4是关于x，y的二元一次方程，求m2-3n的值．
18．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果.小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg同样品种的苹果和1kg同样品种的梨，共花了28元.这种苹果和梨的价格各为多少
根据题意，小明列出方程组
而小丽列出的是
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的.他们列的方程组正确吗 你认为他们产生分歧的原因是什么
19．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程是二元二次方程，故A不符合题意；
B、方程是二元二次方程，故B不符合题意；
C、方程不是整式方程，故C不符合题意；
D、方程是二元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
【分析】根据二元一次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】将x，y值代入方程可得关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：①当3≥m时，
解得：m=4(舍去)
②当3故答案为：C
【分析】分类讨论，根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
且，
且，
解得：，
故选：．
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程x-y=9，左边=-7-（-8）=1≠右边，所以不是方程x-y=9的解；
将代入方程2x-3y=-9，左边=-7×2-3（-8）=10≠右边，所以不是方程2x-3y=-9的解；
将代入方程x-y=1，左边=-7-（-8）=1=右边，所以是方程x-y=1的解；
将代入方程3x-2y=-5，左边=-7×3-2（-8）=-5=右边，所以是方程3x-2y=-5的解，
所以 是③与④两张卡片上的方程组成方程组的解.
故答案为：D.
【分析】使方程组中每一个方程的左边等于右边的解就是方程组的解，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】
把解代入方程得关于m的一元一次方程并求解即可．
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意得，
故选： B.
【分析】根据“甲+9=2(乙-9)”，“乙+9=甲-9”，可以列出相应的方程组，本题得以解决.
8．【答案】y＝12x－20
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】3x－ y＝5，
两边同时乘以4，得12x-y=20，
两边同时减去12x，得-y=-12x+20，
两边同时乘以-1，得y=12x-20，
故答案为：y=12x-20.
【分析】根据等式的性质将方程变形得到y等于一个含有x的代数式的形式.
9．【答案】-2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程 是关于x、y的二元一次方程，
且
解得：a=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据二元一次方程的定义得出a-2≠0且 1，求出即可.
10．【答案】x＋y＝0(答案不唯一)
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵写出一个解为 的二元一次方程，
∴该方程为：x+y=0.
故答案为：x+y=0(答案不唯一)。
【分析】使二元一次方程等号左右两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，据此即可作答.
11．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件， 根据题意得
，
故选：C．
【分析】设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，根据“现在需要37个毛绒玩具，18套文具”，即可得出关于x，y的二元一次方程组.
12．【答案】1137
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则十位上的数字为3x，百位上的数字为
根据题意得： 或 =16.
当 时，3y=5x+16，
∵x， y， 3x， (2y﹣x)均为一位正整数，
=1，
∴满足条件的“共生数”为1137；
当 时，3y=5x+32，
∵x， y， 3x， (2y-x)均为一位正整数，
∴无解.
综上所述，满足条件的“共生数”为1137.
故答案为： 1137.
【分析】设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则十位上的数字为3x，百位上的数字为 根据百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x， y， 3x，(2y-x))均为一位正整数，即可得出结论.
13．【答案】或
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程是关于x，y的二元一次方程，
，，，
解得，，
或．
故答案为：或．
【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，来确定m、n的值，进而求出 .
14．【答案】7
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故答案为：7．
【分析】直接把 代入到方程ax-2y=3中求出a的值即可.
15．【答案】-8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将已知的解 代入 可得：
把 代入 得：
故答案为：
【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解 代入 可得然后再整体代入代数式即可求解.
16．【答案】-1；2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由ax+2y=1+a得2y=(1+a)-ax，
将2y=(1+a)-ax代入2x+2(a-1)y=3，
化简整理得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).
当(a-2)(a+1)=0，(a-2)(a+2)≠0，即a=-1时，方程组无解；
当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0，即a=2时，方程组有无穷多组解.
故答案为：-1；2.
【分析】代用代入消元法求出用含a的式子表示x的值，然后根据一元一次方程根的情况解答即可.
17．【答案】解：∵已知方程是关于x，y的二元一次方程，
∴
解得：
∴
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，据此得到：解此方程组即可得到m和n的值，进而即可求解.
18．【答案】解：两个人的方程组都正确；
他们产生分歧的原因是：两个人设的未知数的意义不同，小明设的x，y分别是苹果和梨的价格；而小丽设的x，y分别是梨和苹果的价格.
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】设苹果的价格为x元/千克，梨的价格为y元/千克，根据“小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
19．【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
1 / 1人教版数学七年级下册同步分层训练10.1 二元一次方程组的概念
一、夯实基础
1．（2025七下·雷州期中）下列方程中，哪个是二元一次方程？（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程是二元二次方程，故A不符合题意；
B、方程是二元二次方程，故B不符合题意；
C、方程不是整式方程，故C不符合题意；
D、方程是二元二次方程，故D符合题意．
故选：D．
【分析】根据二元一次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025七下·广州期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】将x，y值代入方程可得关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
3．对实数，，定义运算．已知，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：①当3≥m时，
解得：m=4(舍去)
②当3故答案为：C
【分析】分类讨论，根据新定义建立方程，解方程即可求出答案.
4．（2025七下·广州期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
且，
且，
解得：，
故选：．
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案.
5．（2025七下·滨江期中）现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程，若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程x-y=9，左边=-7-（-8）=1≠右边，所以不是方程x-y=9的解；
将代入方程2x-3y=-9，左边=-7×2-3（-8）=10≠右边，所以不是方程2x-3y=-9的解；
将代入方程x-y=1，左边=-7-（-8）=1=右边，所以是方程x-y=1的解；
将代入方程3x-2y=-5，左边=-7×3-2（-8）=-5=右边，所以是方程3x-2y=-5的解，
所以 是③与④两张卡片上的方程组成方程组的解.
故答案为：D.
【分析】使方程组中每一个方程的左边等于右边的解就是方程组的解，据此逐一判断得出答案.
6．（2025七上·慈利期末）已知是方程的一组解，则m的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】
把解代入方程得关于m的一元一次方程并求解即可．
7．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当．这个题目的意思是：甲、乙两人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意得，
故选： B.
【分析】根据“甲+9=2(乙-9)”，“乙+9=甲-9”，可以列出相应的方程组，本题得以解决.
8．（2020七下·镇平月考）在方程3x－ y＝5中，用含x的代数式表示y为 .
【答案】y＝12x－20
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】3x－ y＝5，
两边同时乘以4，得12x-y=20，
两边同时减去12x，得-y=-12x+20，
两边同时乘以-1，得y=12x-20，
故答案为：y=12x-20.
【分析】根据等式的性质将方程变形得到y等于一个含有x的代数式的形式.
9．若(a－2)x|a|－1＋3y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为 .
【答案】-2
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵方程 是关于x、y的二元一次方程，
且
解得：a=-2，
故答案为：-2.
【分析】根据二元一次方程的定义得出a-2≠0且 1，求出即可.
10．写出有一个解为的二元一次方程是 .
【答案】x＋y＝0(答案不唯一)
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵写出一个解为 的二元一次方程，
∴该方程为：x+y=0.
故答案为：x+y=0(答案不唯一)。
【分析】使二元一次方程等号左右两边相等的未知数的值是二元一次方程的解，据此即可作答.
二、能力提升
11．现有两种礼包，甲种礼包里面含有4个毛绒玩具和1套文具，乙种礼包里面含有3个毛绒玩具和2套文具．现在需要37个毛绒玩具，18套文具，设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件， 根据题意得
，
故选：C．
【分析】设需要采购甲种礼包的数量为x件，乙种礼包的数量为y件，根据“现在需要37个毛绒玩具，18套文具”，即可得出关于x，y的二元一次方程组.
12．对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”，例如：m＝2 136，因为2＋6＝2×(1＋3)，所以2 136是“共生数”；再如m＝5 479，因为5＋9≠2×(4＋7)，所以5 479不是“共生数”．若“共生数”中，十位上的数字是千位上的数字的3倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，则满足条件的“共生数”为 .
【答案】1137
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则十位上的数字为3x，百位上的数字为
根据题意得： 或 =16.
当 时，3y=5x+16，
∵x， y， 3x， (2y﹣x)均为一位正整数，
=1，
∴满足条件的“共生数”为1137；
当 时，3y=5x+32，
∵x， y， 3x， (2y-x)均为一位正整数，
∴无解.
综上所述，满足条件的“共生数”为1137.
故答案为： 1137.
【分析】设千位上的数字为x，个位上的数字为y，则十位上的数字为3x，百位上的数字为 根据百位上的数字与个位上的数字之和能被8整除，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x， y， 3x，(2y-x))均为一位正整数，即可得出结论.
13．方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】或
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程是关于x，y的二元一次方程，
，，，
解得，，
或．
故答案为：或．
【分析】根据二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，来确定m、n的值，进而求出 .
14．若是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ．
【答案】7
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得，
故答案为：7．
【分析】直接把 代入到方程ax-2y=3中求出a的值即可.
15．（2025七下·南湖期中）已知是二元一次方程的一个解，则 .
【答案】-8
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将已知的解 代入 可得：
把 代入 得：
故答案为：
【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解 代入 可得然后再整体代入代数式即可求解.
16．（2025·浙江竞赛）已知关于x与y的方程组，那么当a= 方程无解，当a= 方程有无穷多的解。
【答案】-1；2
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：由ax+2y=1+a得2y=(1+a)-ax，
将2y=(1+a)-ax代入2x+2(a-1)y=3，
化简整理得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2).
当(a-2)(a+1)=0，(a-2)(a+2)≠0，即a=-1时，方程组无解；
当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0，即a=2时，方程组有无穷多组解.
故答案为：-1；2.
【分析】代用代入消元法求出用含a的式子表示x的值，然后根据一元一次方程根的情况解答即可.
三、拓展创新
17．已知方程2x2m+3+3y5n-7=4是关于x，y的二元一次方程，求m2-3n的值．
【答案】解：∵已知方程是关于x，y的二元一次方程，
∴
解得：
∴
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【分析】根据二元一次方程的定义：如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，据此得到：解此方程组即可得到m和n的值，进而即可求解.
18．小明和小丽两人同时到一家水果店买水果.小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg同样品种的苹果和1kg同样品种的梨，共花了28元.这种苹果和梨的价格各为多少
根据题意，小明列出方程组
而小丽列出的是
交流后，他们发现两个方程组不同，于是展开了争论，都说自己是正确的，而对方是错误的.他们列的方程组正确吗 你认为他们产生分歧的原因是什么
【答案】解：两个人的方程组都正确；
他们产生分歧的原因是：两个人设的未知数的意义不同，小明设的x，y分别是苹果和梨的价格；而小丽设的x，y分别是梨和苹果的价格.
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【分析】设苹果的价格为x元/千克，梨的价格为y元/千克，根据“小明买了1kg苹果和2kg梨，共花了26元；小丽买了2kg苹果和1kg梨，共花了28元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
19．（2024九上·重庆市开学考）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
【答案】；
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
【分析】①根据“差中数”定义列出方程，解之即可；
②设满足条件的四位自然数是，再根据“差中数”的定义可得，从而得出或，再利用各数位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
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