北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2026届高三下学期3月练习数学试题（含答案）

北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高 2026 届 3 月练 习 数学试题
本试卷共 4 页, 共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上, 在 试卷上作答无效.
第一部分 (选择题 共 40 分)
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合 ,若 ，则 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
2. 设复数 的共轭复数为 ,则 ( )
A. -3 B. 3 C. 5 D.
3. 抛物线 的准线方程是( )
A.
B.
C.
D.
4. 已知 ,则 ( )
A. -1 B. 1 C. 32 D. 243
5. 在 中, 是 边上的中线,且 ,则 ( )
A. -20 B. 20 C. -10 D. 10
6. 存在实数 使得点 在直线 上,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列， ,则 的最小值是( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
8. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 如图 1,取边长为 6 的正方形纸板 分别为三边 的中点,先将等腰直角三角形 沿虚线段 裁去,再将剩下的五边形 沿线段 折起,连接 ,就得到了一个《九章算术》中所载的“刍甍”五面体(如图 2). 若棱 的长为 5， 则该五面体的体积为( )
图1
图2
A. B. C. D. 30
10. 关于定义域为 的函数 ,下列说法中正确的个数为( ).
①存在两个单调递减函数 与
②存在奇函数 与偶函数
③存在单调递增函数 与偶函数
④存在单调递增函数 与减函数
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题(共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
11. 函数 的定义域为_____.
12. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线,则双曲线 的离心率为_____.
13. 能说明“若 ,则 ”为假命题的一组 的值可以是_____.
14. 已知在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则 _____. 若 为锐角三角形，则 的取值范围为_____.
15. 已知数列 满足 ，则下列说法正确的是_____.
①. 若 且 ，则 单调递减
②. 若存在无数多个 使得 ,则 或
③ 当 时,存在 使
④. 当 时,
三、解答题(共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)
16. 如图,在边长为 2 的正方体 中， 是棱 上的点，平面 交棱 于点 .
(1)证明: ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度及此时点 到平面 的距离.
17. 函数 .
(1)若 ，求 及 的单调递增区间；
(2) 在 上单调递增，且存在 ，使 在 至少有 3 个零点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数 存在唯一确定，求 的最小正周期.
条件①: ;
条件②: ;
条件③: .
注:如果选择的条件不符合要求, 第 (2) 问得 0 分; 如果选择多个符合要求的条件分别解答, 第一个解答计分.
18. 某汽车品牌计划推出两款新车型:纯电动版(EV)和插电混动版(PHEV)在某市随机调查了 300 名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表 (单位:人).
车型 低收入群体(<20 万/ 年) 中收入群体(20 万/年-50 万 /年) 高收入群体(>50万/ 年)
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 70 30 70 50 40 40
PHEV 20 80 60 60 60 20
假设所有消费者的购买意愿相互独立, 用频率估计概率.
(1)从该市全体消费者中随机抽取 1 人，估计其愿意购买纯电动版(EV)的概率 ；
(2)从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取 2 人，记 为这 4 人中愿意购买插电混动版 (PHEV) 的人数,求 的分布列和数学期望 ;
(3)假设该市 社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为 3:1:1，从 社区的全体消费者中随机抽取 1 人，将其愿意购买纯电动版(EV)的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小.
19. 已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 在 上存在极大值,求 的取值范围.
20. 已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 2 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点,且 .
① 求证: 的面积为定值；
② 椭圆 上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出点 横坐标的取值范围; 若不存在, 说明理由.
21. 项数为 的数列 满足如下两个性质,则称 为一个满足“绝对值 关联” 的 阶数列;
① (其中 );
② .
(1)判断数列 ， ，、 ，1，1 是否为一个满足 “绝对值 关联”的 5 阶数列 是否为一个满足 “绝对值 1 关联”的 5 阶数列 说明理由;
(2)若数列 为一个满足 “绝对值 关联”的 6 阶数列，证明: 的最小值为 ；
(3)若数列 为一个满足 “绝对值 关联” 的 阶数列，求 的最小值.
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校高 2026 届高三 3 月练习
参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
4. C 5. A 6. A 7. B 8. B
三、解答题共 6 小题, 共 85 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
16. (本小题 13 分)
(1)证明:连 由正方体可知 ， ，所以四边形 为平行四边形， 所以 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 3 分
因为 平面 ,平面 平面 ,所以 分
(2)由正方体可知 两两垂直，以 为原点，如图建立空间直角坐标系 分
设 的长为 ,则 ,
-6 分
设平面 的一个法向量为 ,则 ,令 ,可得
分
设直线 与平面 所成角为 ,则 , ——10 分
解得 ,即线段 的长度为 1 .
点 到平面 的距离 -13 分
1. D
,
由 ,则 ,故 ,
即 的取值范围为 .
2. C
因为复数 ,所以 ,
所以 .
3. D
抛物线 可化为 ,焦点在 轴上, ,则 ,所以 , 所以抛物线 的准线方程是 .
故选: D.
4. C
由 , 令 ,得 ,所以 .
5. A
由向量的运算法则,可得 ,
则 ,
因为在 中, 是 边上的中线,所以 ,
可得 ,则
又因为 和 大小相等,且方向相反,且 ,
所以
因为 ,可得 ,
所以 .
6. A
由同角三角函数基本关系 ,可知点 一定在单位圆 上.
存在 使得 在直线 上,等价于直线 与单位圆 有公共点. 将直线整理为一般式: ,单位圆圆心为 ,半径 .
直线与圆有公共点时,圆心到直线的距离 两边平方得:
整理得 ,即 ,解得: .
因此 的取值范围是 .
7. B
设等比数列 的公比为 ,
因为 成等差数列,
则 ,即 ,
化简得 ,得 ,
所以 ,
因为 ,所以 的最小值是 11 .
8. B
由 ,若 ,则 ,故 ;
若 ,则 ,故 ;
取 ,此时有 ,但 ,不能得到 ,
故“ ”不是“ ”的充分条件;
若 ,则 ,即 ,
故“ ”是“ ”的必要条件;
综上所述: “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
9. C
将五面体补回三棱柱 ,由题得 底面 ,
五面体的体积 可以看作是三棱柱 的体积减去三棱锥 的体积.
过点 向 作垂线,交 于点 ,则有 ,
在四边形 中, 且 ,则四边形 为平行四边形,
故 ，所以 ，
在 中, ,
则 ,进而 ,
在 中， ，所以 ，
所以 ,
则 ,
最终有 .
故选: C.
10. D
对于①:取 (单调递减)， (单调递减)， 满足 ,故①正确；
对于②:取 (奇函数)， (偶函数)，
满足 ,故②正确；
对于③:设 ，若 是偶函数，则 的图象关于 轴对称，
要单调递增,则 需在 上单调递增,
而 在 上单调递减,在 单调递增,无法满足,故③ 错误;
对于④:取 (单调递增)， ，
由于 ,
故 在 上单调递减,且满足 ,故④正确.
故①②④正确，共 3 个正确说法.
故选: D.
11.
函数 有意义,等价于 ,
解得
即函数的定义域为 . 故答案为: .
12.
因为双曲线 的渐近线方程为 ,所以 ,即 , 因此双曲线方程为 ,所以双曲线 的离心率 . 故答案为:
13.
由 ,可得 ,
所以 或 ,
即 或 ,
取 ,
当 时， ，不妨令 ，则 ，
此时 ,
此时满足 ,但不满足 ,
所以 “若 ,则 ”为假命题的一组 的值可以是 .
14.
① 已知 ,由正弦定理得 ,
又 ,故 ,
代入上式得
化简得 中 ,因此 ,即 ,
②由 得 ，故 ，即 ，
因为 为锐角三角形，
所以由正弦定理得 ,
因为 ,故 ,代入得 ,设 ,则 ,
对所求式子变形: ,
函数 在 单调递增,代入端点得 ,
因此 .
15. ①②④
因为 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立.
对于①:因为 且 ，由 ，得
,即 .
若 ,则 ,解得 或 ,
即 或 ,与条件 且 矛盾,所以 .
同理 ,即 . 若 ,则 ,
解得 或 ,与 矛盾. 若 ,则 ,即 ,
此方程的判别式 ,方程无实数解,故 ,所以 .
依次类推,可得 ,即 单调递减,所以①正确；
对于②: 若 ,则 ,即 ,解得 .
所以若存在无数多个 使得 等价于存在无数个 使得 .
若 ,则 . 由 ,得 ,依次类推,得 ,符合题意;
若 ,则 ,同理得 ,依次可得 ,符合题意.
若 且 ,则由选项①可知数列 单调递减,即 ,
所以不存在无数个 使得 ,所以②正确；
对于③:由 ，
令 是开口向下,对称轴为 的抛物线,且 .
因为 ,所以 ,即 ,
再由①知数列单调递减，所以 ，而 ，所以不存在 使 . 故③ 不正确;
对于④:由 ，
所以
.
当 时, .
又由 结合①可知数列 单调递减,且 ,
所以 .
所以 ,即 . 所以④正确.
故答案为:①②④.
16.(1)连接 ,由正方体可知 ,
四边形 为平行四边形, ,
平面 平面 平面 ,
平面 ,平面 平面 ,
.
(2)
如图,以 为原点,建立空间直角坐标系 ,
设 的长为 ,则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,故可得 ;
设直线 与平面 所成角为 ,
则 ,解得 ,
,故 的长度为 1 ; 点 到平面 的距离 .
17. (1)
(2)
(1)
由 ,则 ,可得 ,
令 ,解得 ,
所以函数 的单调递增区间为 .
(2)由 ，则当 时，即 ，
由函数 在 上单调递增,则 ,解得 .
由函数 在 上至少存在 3 个零点,则 ，解得 .
选择条件①:
由 ,解得 ,即 , 令 ,化简可得 ,即 或 2,不符合题意.
选择条件②:
由 ，且 ，则直线 为函数 图像上的一条对称轴， 令 ,化简可得 ,则 ,化简可
得 ,
令 ,解得 ,即 ,符合题意,
可得 ,则 ,此时最小正周期 .
选择条件③: ,
由 ,
结合三角函数的诱导公式,可得 ,
或 ,解得 或 ,可知存在 或 符合条件, 不唯一.
综上所述,选择条件②,此时 存在且唯一,最小正周期 .
18. (1)由表可知 300 名调查者中愿意购买纯电动版人数为 180 人，频率为 , 用频率估计概率, 从顾客中随机抽取 1 人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为
(2)用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽 1 人，愿意购买插电混动版(PHEV) 的概率估计 ,从全市高收入群体中随机抽取 1 人，愿意购买插电混动版
(PHEV) 的概率 ,
由题意 的可能取值为0,1,2,3,4
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
1
.
(3)低收入者愿意购买纯电动版(EV)的概率为 ；
中收入者愿意购买纯电动版 (EV) 的概率为 ;
高收入者愿意购买纯电动版 (EV) 的概率为 .
利用全概率公式可得: .
19.
(1) 由 .
所以 .
由 .
设 .
则 .
由 ; 由 .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
又 ,所以 在 上恒成立.
即不等式 的解集为 .
(2)因为 .
所以 .
当 即 时， 在 上恒成立,
由 ; 由 .
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增.
故函数 在 上只有极小值,无极大值;
当 即 时,
由 或 ; 由 .
所以函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
所以函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值;
当 即 时, 在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递增,无极值;
当 即 时,
由 或 ; 由 .
所以函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减.
所以函数 在 处取得极大值,在 处取得极小值.
综上,当 时,函数 在 上存在极大值.
20.
(1) 由题意知,焦距 ,故 ,又 ,故 ,
所以 ,故椭圆 的方程为 .
(2)① 由 消去 ，化简得: ，
设 ,则 ,
故 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
坐标原点到直线 的距离为 ,
所以 的面积为 ,
故 的面积为定值.
②假设存在椭圆上的点 ，使得 为平行四边形，则 ，
设 ,则 ,
又因为 ,即 ,得 ,
与 矛盾,
故椭圆上不存在点 ,使得 为平行四边形.
21. (1)不是一个满足 “绝对值 关联”的 5 阶数列,是一个满足 “绝对值 1 关联” 的 5 阶数列. (2)
(3)1
(1) 不是一个满足“绝对值 关联”的 5 阶数列,
因为 .
是一个满足 “绝对值 1 关联” 的 5 阶数列,
因为 ,且 满足两个性质.
(2)因为数列 为一个满足“绝对值 关联”的 6 阶数列，
所以 ,即 .
又 ，所以 ，同时 ，
所以 解得 .
又数列 是一个满足 “绝对值 关联” 的 6 阶数列, 所以 的最小值为 .
(3)数列 为一个满足“绝对值 关联”的 阶数列，
所以 ,且 ,
不妨设 ,其中 ,
记 ,不妨设 (否则用 代替 即可),
,所以 .
因为 ,
所以 且 ,即 不小于 和 中的最大者,
当 或 时, 和 中的最大者均为 1,所以 ,
当 或 时, 或者 ,所以 .
综上 ,当数列 前 项为正,后 项为负时取等号,
此时数列 可为: 符合题意.
所以 的最小值为 1 .