上海市卢湾高级中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷（含答案）

卢湾高级中学 2025 学年第二学期阶段性教学质量反馈 高三年级数学试卷
考试时间:120 钟 满分:150 分
一、填空题: 本大题共 12 题, 1-6 题每题 4 分, 7-12 题每题 5 分, 共 54 分. 填 对得全分, 否则一律得零分.
1. 已知集合 ，则 _____.
2. 若抛物线的准线为 ，则其标准方程为_____.
3. 已知向量 ，若 ，则 _____.
4. 已知一个圆锥的母线长为 3,侧面积 ,则此底面半径为_____.
5. 若 的展开式中 的系数是 -80,则实数 _____.
6. 已知 是第二象限角，且 ，则 _____.
7. 若数据1,2,3,4,5的均值和标准差分别为 和 ，则 _____.
8. 若实系数方程 有一个虚数根的模为 4，则实数 的取值范围为_____.
9. 从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取 3 个不同的数字,组成无重复数字的三位数,该三位数为偶数的概率为_____.
10. 已知给定的等差数列 的前 项和为 ,若当 与 时, 取得最大值,则 _____.
11. 已知函数 点 是函数 图象上不同的两个点,则 ( 为坐标原点) 的取值范围是_____.
12. 如图,某水库有一个半径为 1 百米的半圆形小岛,其圆心为 且直径 平行坝面. 坝面上点 满足 ,且 长度为 3 百米,为便于游客到小岛观光,打算从点 到小岛修建三段栈道 与 ,在半圆小岛上再修建栈道 以及 ,水面上的点 在线段 上，且 均与圆 相切，切点分别为 ，其中栈道 和小岛在同一个平面上. 设 ，则需要修建的栈道总长度的最小值为_____百米.
坝面
二、选择题: 本大题共 4 题, 13-14 题每题 4 分, 15-16 题每题 5 分, 共 18 分, 每题有且只有一个正确选项.
13. 已知一项统计结果表明有 99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则()
A. 吸烟者一定会患肺癌
B. 吸烟者患肺癌的概率为 99%
C. 100 个吸烟者大约有 99 个会患肺癌
D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过 1%
14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措. 某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类,对垃圾分类后处理垃圾 (千克) 所需的费用 (角) 的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则下列说法错误的是 ( )
2 3 4 5
2 2.3 3.4
A. 变量 之间呈正相关关系 B. 可以预测当 时, 的值为 6
C. D. 由表格中数据知样本中心点为
15. 已知椭圆 的短轴长为 分别为左、右焦点,过椭圆上顶点 作椭圆所在平面的垂线，在垂线上取点 ，使得直线 与椭圆所在平面所成角为 ，则空间中的点 到平面 的距离为( )
A. 2 B. C. D.
16. 若存在实数 及正整数 ,使得 在区间 内恰有 2026 个零点, 则满足条件的正整数 的值的个数共有( )
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
三、解答题:本大题共 6 题, 17-19 题每题 14 分, 20-21 题每题 18 分. 解答下 列各题必须写出必要的步骤.
17. 已知函数 .
(1)若函数 为奇函数，求实数 的值；
(2)若 ，解不等式 .
18. 如图,点 是以 为直径的半圆上的动点,已知 平面 .
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若线段 上存在一点 满足 ，当三棱锥 的体积取得最大值时，求二面角 大小.
19. 某学校有 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近 100 天选择餐厅就餐情况统计如下:
选择餐厅情况(午餐，晚餐) (A, A) (A, B) (B, A)
甲 30 天 20 天 40 天 10 天
乙 20 天 25 天 15 天 40 天
为了吸引学生就餐, 餐厅推出就餐抽奖活动,获奖的概率为 ,而 餐厅推出就餐送贴纸活动, 每次就餐送一张.
假设甲、乙选择餐厅就餐相互独立, 用频率估计概率.
(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择 A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 B 餐厅就餐的概率;
( 2 )记 为学生乙在一天中获得贴纸的数量，求 的分布列和数学期望 ；
(3)A餐厅推出活动当天学生甲就参加了抽奖活动，已知如果学生甲抽中奖品，则第二天午餐再次去 餐厅就餐的概率为 ，如果学生甲并没有抽中奖品，第二天午餐依然在 餐厅就餐的概率为 ,若 餐厅推出活动的第二天学生甲午餐去 餐厅就餐的概率是 ,求 .
20. 已知双曲线 与圆 在第一象限的交点为 , 定义曲线 .
(1)若 ,求 的离心率;
(2)若 与 轴的交点是 上的点 满足 ，求 的大小； (3)若过点 且斜率为 的直线 交曲线 于 ， ，试用 的代数式表示 ，并求出 的取值范围.
21. 三个互不相同的函数 和 在区间 上恒有 或恒有 ,则称 为 与 在区间 上的“分割函数”.
(1)设 ,试分别判断 是否是 与 在区间 上的“分割函数”，请说明理由；
(2)若二次函数 是 与 在区间 上的“分割函数”，求 ； (3)设 ，若存在函数 ，使得 为 与 在区间 上的“分割函数”,求 的最大值.
1.
由题意得: .
2.
设其标准方程为 ,则其准线方程为 ,解得 . 所以标准方程为
3. 1
由向量 ,
得 ,所以 .
4. 2
设圆锥的底面圆半径为 ,由题意知: ,所以 .
5. -2
通项公式为 ,
令 ,解得 ,
故 ,解得 .
故答案为: -2
6.
由 ,得 , 而 是第二象限角,则 , 所以 .
7. 11
由均值的计算公式,可得数据的均值为 ,
标准差为 , 所以 .
8.
由题意可知实系数方程 有两个虚数根,
设实系数一元二次方程 的两个虚数根为 和 ,
则 .
所以 ,则 ,
实系数方程 有虚数根,
则 ,
则实数 的取值范围为 .
9.
从数字1,2,3,4,5,6中随机抽取 3 个不同的数字,组成无重复数字的三位数共有 种情况,
该三位数为偶数共有 种情况,
所以该三位数为偶数的概率为 .
10.
由 可知 ,化简得 ,
即 ,所以 .
可知等差数列 递增,且首项 ,公差 ,
当 时 递减, 时 递增,
所以 在 时取得最小值,最大值在 或 时产生.
因为 ,所以 最大,
若取最大值,即 与 差值最大,需 或 ,
则
11.
当 时, ,求导得 ,即函数 在 上单调递增,
当 时,由 ,得 ,于是函数 的图象是焦点在 轴上的双曲线在第二象限的部分, 是其渐近线,如图,
令过原点的直线与曲线 相切的切点为 ,则 , 整理得 ,令 ,函数 在 上单调递增,
而 ,因此当且仅当 时, ,则 的解为 ,
即过原点的直线与曲线 相切的切点为 ,切线方程为 ,设其倾斜角为 ,有 ,
因为点 是函数 图象上不同的两个点,但 三点可共线,则
而正切函数 在 上单调递增,因此 ,
又 ,
所以 的取值范围是 .
故答案为:
12.
连接 ,由半圆半径为 1 得: .
坝面
由对称性,可设 ,又 ,
所以 ,
易知 ,所以 的长为 .
又 ,故 ,故 ,
令 且 ,则 ,
所以 .
当 时, ,函数 在 上单调递减,
当 时, ,函数 在 上单调递增,
所以栈道总长度最小值 .
故答案为: .
13. D
根据独立性检验思想可知, 有 99% 的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的, 也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过 1%.
故选: D
14. C
对于 A 选项,因为回归直线方程 ,故变量 之间呈正相关关系, A 对;
对于 选项,当 时, 对;
对于 CD 选项, ,则 ,
故样本的中心点的坐标为 ,
另一方面, ,解得 , 错 对.
故选: C.
15. B
由题意知椭圆 的短轴长为 2,即 ,
故椭圆方程为 ,则 ,
由题意知 平面 ,则 为直线 与椭圆所在平面所成角,
即 ,
在 中， ， ，故 ，
则 ,
如图建立空间直角坐标系，
则 ,
,
设平面 的法向量为 ,则 ,
取 ,则可得 ,
则点 到平面 的距离为 .
16. A
,
令 ,则函数可转化为 ,
而
(1)若 ，则 ， ，故 在 仅有一个零点 ，
因为在 中, 有且只有两个解,且这个两个解在 中,
故若 在 内恰有 2026 个零点,需 或 .
(2)若 ，则 ， ，
故 在 两个零点 ,或 ,
因为在 中, 只有一个解为 ,
有且只有两个解,且这个两个解在 中,
而 ,故 ,但当 时,
在 内恰有 2027 个零点,不合题意,
此时不存在 使得 在 内恰有 2026 个零点.
(3)若 ，则 ， ，
故 在 两个零点 ,或 ,
在 上 有且只有两个不同的解,且均在 中,
有且只有两个不同的解,且均在 中,
因 在 内恰有 2026 个零点,故 .
(4)若 ，则 ， ，
故 在 两个零点 ,或 ,同 (2) 分析得 .
(5) 若 ,则 ,
故 在 上有一个零点 ,
因 在 内恰有 2026 个零点,同 (1) 分析得 或 , 所以满足条件的正整数 的值为1013,1351,2025,2026,2027,共 5 个.
17.
(2)
(1)因为函数 为奇函数,所以 ,即
化简得 ,
所以 ,即 .
(2) 时，原不等式可化为 ，设 ，则 .
所以不等式变为 ,化简得 ,
因为 ,所以 ,所以要使得不等式成立,则 .
即 ,即 ,根据指数函数的性质可知 .
所以不等式的解集为 .
18. (1)证明见解析
(2)
(1) 证明: 由 平面 ,且 平面 ,则 ,
又 为半圆的直径,则 ,
又 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 .
(2)由 平面 ， 为半圆的直径，且 ，
,
当且仅当 时， 达到最大，
设圆心为 ,连接 ,作 ,且点 在 上,
连接 ，作 ，且点 在 上，如下图所示，
由 ,则 ,且 ,
又 平面 ，且 平面 ，则平面 平面 ，
由 平面 ,平面 平面 ,且 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 ,
又 ,且 平面 ,则 平面 ,
又 平面 ,则 ,所以 为二面角 的平面角,
在平面 上,有 ,且 ,
则 ,得 ,
则 ,
又 ,有 ,得 ,
则 ,所以 ,
故二面角 大小为 .
19.(1)设事件 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”，
事件 为“乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐”,
因为 100 个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的天数为 30,
乙员工午餐和晚餐都选择 餐厅就餐的天数为 40,
所以 .
(2)由题意知， 可以取的值为: 0,1,2
故 的分布为:
0 1 2
0.2 0.4 0.4
.
(3)设 表示事件“去 餐厅就餐获奖”，
表示事件“学生甲午餐去 餐厅就餐”,
由题知, ,
则 ,
解得 .
即如果学生甲并没有抽中奖品,第二天午餐依然在 餐厅就餐的概率 .
20.
(2) 或
(3) ，取值范围为 .
(1) 因为 ,所以代入双曲线方程中得 ,解得 .
因为点 在第一象限,所以 .
将 代入圆的方程得, ,解得 . 所以双曲线的离心率为 .
(2)因为 ，所以圆 .
令 ,则 ,所以 ,恰好是双曲线 的焦点.
因为 上的点 满足 ,根据双曲线的定义可知 .
所以 或 ,因为 ,
在 中，由余弦定理
时, ,解得 ,
此时 ;
时, ,解得 ;
此时 .
(3)过点 且斜率为 的直线 的方程为 ，即 . 联立直线 与圆 的方程为: .
展开化简得: .
因为 ,则上式可化简得 ,解得 ,记为 ;
联立直线 与双曲线 的方程为: .
展开化简得: ,解得 ,
则 ,记 ,
故 ,
因为直线 与曲线 有两个交点,如图可知,点 在 的上方,所以 .
由 得 ,则 ,解得 ,
又 ,故 ,则 ,
故
所以 的取值范围是 .
21. (1) 是 与 在区间 上的“分割函数”; 不是 与 在区间 上的“分割函数”
(2)
(3)2√3
(1) 因为 恒成立,且 恒成立,
所以当 时, 恒成立,
故 是 与 在区间 上的“分割函数”;
又因为 ,当 与 1 时,其值分别为 1 和 -1,
所以 与 在 上都不恒成立,
故 不是 与 在区间 上的“分割函数”.
(2)设 是 与 在区间 上的 “分割函数”,
则 对一切实数 恒成立,
因为 ,当 时,它的值为 4,
可知 的图象在 处的切线为直线 ,
它也是 的图象在 处的切线,如图:
所以 ,可得 ,
所以 对一切实数 恒成立,
可得 且 ,即 ,
又因为 时, 与 为相同函数,不合题意, 故所求的函数为 .
(3)关于函数 ，令 ，可得 ，
当 与 时， ，
当 与 时, ,
可知 是函数 的极小值点,0是极大值点,
该函数与 的图象如图所示:
若函数 是 与 在区间 上的“分割函数”,
故存在 使得 且直线 与 的图象相切,
并且切点横坐标 ,
此时切线方程为 ,即 ,
设直线 与 的图象交于点 ,
则由 ,可得 ,
所以
令 ,(当且仅当 时, ,
所以 严格减,故 的最大值为 ,
可知 的最大值为 ,所以 的最大值为 .