上海市天山中学2026届高三下学期3月月考数学试题（含答案）

2026 天山中学 高三年级 下学期 3 月 月考
一、填空题(1-6 每小题 4 分，7-12 每小题 5 分，共 54 分)
1. 不等式 的解集是_____.
2. 在平面直角坐标系中,角 的终边经过点 ,则 _____.
3. 若复数 是 的一个根，则 _____.
4. 的展开式中， 的系数为_____.(用数字作答)
5. 将 10 个数据按照从小到大的顺序排列如下: ,若该组数据的 40% 分位数为 22,则 _____.
6. 公差不为零的等差数列 ,如果 成等比数列,求数列 的通项_____.
7. 已知函数 的图象在 处的切线与直线 平行,则 _____.
8. 将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在 家庭的不同安排方法数有_____种.
9. 若向量 在向量 上的投影向量为 ，且 ，则向量 与向量 夹角大小为_____.
10. 已知 在 上是严格增函数,且该函数在 上有最小值,那么 的取值范围是_____.
11. 在三棱锥 中, ,且三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表面积为_____.
12. 定义: 若 ,则称 是函数 的 倍伸缩周期函数. 设 ,且 是 的 2 倍伸缩周期函数. 若对于任意的 ,都有 ，则实数 的最大值为_____
二、选择题 (13-14 每小题 4 分, 15-16 每小题 5 分, 共 18 分)
13. 已知直线 . 则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
14. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中真命题是( )
A. 若 ,则 ; B. 若 ,则 ;
C. 若 ,则 ; D. 若 ,则 .
15. 有 6 个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6从中有放回地随机取两次,每次取 1 个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1 ”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是 5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 6”, 则 ( ).
A. 甲与乙相互独立 B. 乙与丙相互独立
C. 甲与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立
16. 对于无穷数列 ,给出如下三个性质: ; ②对于任意正整数 ,都有 ; ③对于任意正整数 ,存在正整数 ,使得 定义: 同时满足性质①和 ②的数列为“ 数列”，同时满足性质①和③的数列为“ 数列”，则下列说法正确的是( )
A. 若 为“ 数列”，则 为“ 数列”
B. 若 ，则 为 “ 数列”，
C. 若 ,则 为 “ 数列”
D. 若等比数列 为“ 数列” 则 为“ 数列”
三、解答题(共 78 分)
17. 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, 平面 分别为棱 的中点, .
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 已知向量 ,设函数 .
(1)当 时，求函数 的值域；
(2)已知在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，求 面积的最大值.
19. 垃圾分类能减少有害垃圾对环境的破坏, 同时能提高资源循环利用的效率. 目前上海社区的垃圾分类基本采用四类分类法, 即干垃圾, 湿垃圾, 可回收垃圾与有害垃圾. 某校为调查学生对垃圾分类的了解程度, 随机抽取 100 名学生作为样本, 按照了解程度分为 等级和 等级,得到如下列联表:
男生 女生 总计
等级 40 20 60
等级 20 20 40
总计 60 40 100
(1)根据表中的数据回答:学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关(规定:显著性水平 )
附: ,其中 .
(2)为进一步加强垃圾分类的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛. 每局比赛由二人参加，主持人 和 轮流提问，先赢 3 局者获得奖项并结束比赛. 甲，乙两人参加比赛，
已知主持人 提问甲赢的概率为 ，主持人 提问甲赢的概率为 ，每局比赛互相独立， 且每局都分输赢. 现抽签决定第一局由主持人 提问.
(i) 求比赛只进行 3 局就结束的概率;
(ii) 设 为结束比赛时甲赢的局数,求 的分布和数学期望 .
20. 已知椭圆 的焦距为 ，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设与坐标轴不垂直的直线 交椭圆 于 ， 两点(异于椭圆顶点)，点 为线段 的中点, 为坐标原点.
①若点 在直线 上,求证: 线段 的垂直平分线恒过定点 ,并求出点 的坐标;
② 求证:当 的面积最大时，直线 与 的斜率之积为定值.
21. 已知函数 .
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)对任意的 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)记 ，若 ，且 ，求证: .
1.
由 .
所以不等式 的解集是 .
2.
由题意,角 的终边经过点 ,
所以 ,
所以 .
3.
由题意得 ,设 ,
则 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,故 ,
故 .
故答案为:
4. 5
的展开式的通项公式为 , 令 ,得 ,
所以 的系数为 .
故答案为: 5
5. 21
因为 ,
所以 40% 分位数是第 4、5 个数据的平均数，
所以 ,解得 .
故答案为: 21
6.
设数列 的公差为 ,由 ,得 ,即 ,
由 成等比数列,得 ,化简整理得 ,
因此 ,所以数列 的通项为 .
故答案为:
7.
由 求导得 ,则 ,
因为函数 的图像在 处的切线与直线 平行,
所以 ,即 ,解得 .
8. 60
由题可分以下两种情形:
① 家庭只有志愿者甲，另外 4 人分配到其他的 3 个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者,此时有 种;
② A 家庭除了甲还有另一名志愿者，另外 3 人分配到其他的 3 个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有 种.
故志愿者甲恰好被安排在 家庭共有 种不同安排方法.
故答案为:60.
9.
因为向量 在向量 上的投影向量为 ,所以 .
又 ,
所以 .
所以 ,又 ,
所以 ,即向量 与向量 夹角为 .
10.
当 时, ,
又因为 在 上是严格增函数,
所以 且 ,即 ,
又 ,取 ,得到 ,
当 时, ,又 ,所以 ,
又该函数在 上有最小值,所以 ,得到 ,
综上所述， .
故答案为: .
11.
如图:
在 中， ， ，所以 .
取 中点 ，则 为 外接圆的圆心，且 外接圆半径为 .
连接 ,因为 ,所以 .
又 (SSS) .
所以 ,即 .
又 平面 ,所以 平面 .
所以 .
所以三棱锥 外接球的球心在线段 上，设为 ，再设三棱锥 外接球的半径为 ,
在 中, ,
由 .
所以三棱锥 外接球的表面积为 .
故答案为:
12.
依题意, ,
当 时, ,则 , 当 时, ,于是 ,
当 时, 恒成立; 当 时, ,即
由 ,解得 或 ,即 或 ,
观察图象知,当 时,恒有 ,依题意, ,
所以实数 的最大值为 .
故答案为:
13. A
当 时,直线 的斜率为 的斜率为 -9,
又 ,所以 ,充分性成立;
直线 ,
若 ,则有 ,解得 或 ,必要性不成立.
所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A.
14. C
若 ,则 或 与 相交或 与 异面,故 错误;
若 ,则 或 与 相交,故 错误;
若 ,由直线与平面垂直的性质可得 ,故 正确;
若 ,当 与 相交时,有 ,否则, 与 不一定平行,
故 D 错误.
故选: C.
15. A
由题意得, .
对于 ，所以甲与乙相互独立，故 正确； 对于 ,所以乙与丙不是相互独立,故 不正确;
对于 ,所以 ,所以甲与丙不是相互独立,故 不正确;
对于 ,所以 ,所以乙与丁不是相互独立,故 不正确.
故选: A.
16. C
设 ,此时满足 ,
也满足 ,
即 为 “ 数列”,
因为 ,所以 错误;
若 ,则 ,满足①,
,令 ,
若 为奇数,此时 ,存在 ,且为奇数时,此时满足 ,
若 为偶数,此时 ,则此时不存在 ,使得 ,所以 错误; 若 ,则 ,满足①,
,
因为 ,所以 ,满足②,所以 正确;
不妨设 ,满足 ,且 ,
当 为奇数,取 ,使得 ;
当 为偶数,取 ,使得 ,所以 为 “ 数列”,
但此时不满足 ,不妨取 ,
则 ,而 ,
则 为“ 数列”，所以 错误.
故选: C.
17.(1) 证明: 在四棱锥 中,
取 的中点 ,连接 ,
因为 是 的中点,所以 ,且 .
又因为底面 是正方形, 是 的中点,
所以 ,且 . 所以 .
所以四边形 是平行四边形,所以 .
由于 平面 平面 ,所以 平面 .
(2)因为底面 是正方形，所以 . 又因为 平面 .
所以以点 为坐标原点, 分别为 轴,如图建立空间直角坐标系.
设平面 的法向量为 . 有: 即 令 ,则 ,
所以 . 设直线 与平面 所成角为 .
有: .
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. (1)
(2)1
(1) ,
,
当 时, ,
,
所以函数 的值域为 .
(2)由(1)可知 ，
又 ,所以 ,
因为 ,所以 ,故 ,
因为 ,由 可知, ,
由基本不等式得 ,
解得 ,当且仅当 时,等号成立,
故三角形面积 ，
即 面积最大值为 1 .
19.
(1)提出原假设 : 学生对垃圾分类的了解程度与性别无关，
确定显著性水平 ,由题意得,
可得 ,
由 ,且 ,
所以接受原假设, 学生对垃圾分类的了解程度与性别无关.
(2)(i)比赛只进行 3 局就结束，甲赢得比赛的概率为
比赛只进行 3 局就结束,乙赢得比赛的概率为 ,
故比赛只进行 3 局就结束的概率为 ;
(ii) 的可能取值为0,1,2,3, ,即进行了 3 场比赛,且乙赢得比赛,故 ,
,即进行了 4 场比赛,且乙赢得比赛,前 3 场中,甲赢得 1 场比赛,乙第 4 场赢,
故 ,
,即进行了 5 场比赛,且乙赢得比赛,前 4 场中,甲赢得 2 场比赛,乙第 5 场赢,
故
,
,即最后甲赢得比赛,由概率性质得
所以分布为
0 1 2 3
1 18 5 36 13 108 37 54
故数学期望为 .
20.(1) 因为焦距为 ,即 ,所以 , 又因为椭圆过点 ,所以 ,解得 , 所以椭圆 的方程为 .
(2)由题意知，直线 斜率存在，设直线 方程为 ，设 ， ， . 由 得 ,
①因为点 为线段 的中点，点 在直线 上，所以 ，即
所以 .
所以线段 的垂直平分线方程为 ,即 ,即
故线段 的垂直平分线恒过定点 .
② 由弦长公式得 , 坐标原点到直线 的距离为 ,
所以 的面积为 .
当且仅当 ,即 时等号成立.
所以
所以直线 与 的斜率之积为定值 .
21.(1) 解: 因为 ,所以 ,
所以 ,又因为 ,
所以 在点 处的切线方程为 ,即 ;
( 2 )解:因为 ，所以 ，
设 ,
则 ,
令 ,则 ,
可得 在 上为增函数,即 在 上为增函数,
所以 ,
当 时, ,此时 在 上为增函数,
故 ,即 ,所以 ,符合题意.
当 时， ，
因为 在 上为增函数,当 时, ,
故存在 满足 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,
因此当 时， ，不合题意；
综上所述，实数 的取值范围为 .
(3)证明:由题意得， ，所以 ， 由 可得 ,
所以 ,
又 ,两边同时除以 ,得 ,
因此 ,
所以 ,
令 ,得 ,
因此 ,
令 ,则 ,
所以 在 上为减函数,故 ,即 时, .
因为 ,
所以 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,故 ,得 .