安徽淮南市2026届高三下学期3月数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽淮南市2026届高三下学期3月数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 169.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-02 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 ( )
A. B. C. 1 D. -1
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 二项式 的展开式中,含 的项的系数是( )
A. -10 B. 10 C. -5 D. 5
4. 已知正方形 的边长为 2,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. 2 D. 3
6. 测量地震级别的里氏震级 的计算公式为: ，其中 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，而此次地震的里氏震级恰好为 6 级，那么里氏 9 级地震的最大的振幅是里氏 5 级地震最大振幅的( )倍.
A. 10 ; B. 100; C. 1000; D. 10000.
7. 若点 是圆 上的任一点,直线 与 轴、 轴分别相交于 两点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为 和 ,则()
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一组互不相等的数据从小到大排列为 ,去掉 后,则()
A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 中位数变小 D. 80% 分位数变大
10. 函数 在一个周期内的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
11. 将数列 中的所有项排成如下数阵. 从第 2 行开始每一行比上一行多两项,且从左到右均构成以 2 为公比的等比数列; 第 1 列数 成等差数列. 若 ,则 ( )
A.
B.
C. 位于第 46 行第 1 列
D. 2026 在数阵中出现两次
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若奇函数 满足当 时， ，则 _____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 与 的左、右两支分别交于 两点，若四边形 为矩形，则 的离心率为_____.
14. 如表为一个开关阵列, 每个开关只有 “开” 和 “关”两种状态, 按其中一个开关 1 次, 将导致自身和所有相邻的开关改变状态. 例如,按 将导致 改变状态. 如果要求只改变 的状态,则需按开关的最少次数为_____.
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 记 的内角 的对边分别为 ，若 . (1) 求 ；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
16. 函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若函数 在区间(1,2)是增函数，求 的取值范围.
17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,所得的点数分别为 ,记 的取值为随机变量 ,其中 表示不超过 的最大整数.
(1)求在 的条件下， 的概率；
(2)求 的分布列及其数学期望.
18. 如图,球 的半径为 是球 的一条直径， 是线段 上的动点,过点 且与 垂直的平面与球 的球面交于 是 的一个内接正六边形.
(1)若 是 的中点.
(i) 求六棱锥 的体积;
(ii) 求二面角 的余弦值;
(2)设 的中点为 ，求证: 为定值.
19. 已知 为坐标原点，点 为 和 的公共点， ， 与直线 相切,记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若 ,直线 与 交于点 ,直线 与 交于点 , ,点 在第一象限,记直线 与 的交点为 ,直线 与 的交点为 ,线段 的中点为 .
①证明: ， ， 三点共线；
②若 ，过点 作 的平行线，分别交线段 ， 于点 ， ，求四边形 面积的最大值.
1. D
2. A
3. A
的展开式的通项为 ,
则含 的项的系数是 .
故选: A.
4. C
.
故选: C.
5. C
由于 ,
那么 ,
,则 ,
故选: C.
6. D
由条件可知: ,
设里氏 9 级地震的最大的振幅为 ，里氏 5 级地震最大振幅为 ，
所以 ,所以 ,
故选: D
7. A
如下图所示:
直线 的斜率为 -1,倾斜角为 ,故 ,
圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 ,
易知直线 交 轴于点 ,所以, ,
由图可知,当直线 与圆 相切,且切点位于 轴下方时, 取最小值,
由圆的几何性质可知 ,且 ,则 ,
故 .
故选: A.
8. B
设正方体棱长为 ,正四面体棱长为 ,球的半径为 ,面积为 .
正方体表面积为 ,所以 ,
所以, ;
如图，正四面体 ， 为 的中点， 为 的中心，则 是 底面 上的高.
则 ,所以 ,
所以 ，
所以,正四面体 的表面积为 ,所以 .
又 为 的中心,所以 .
又根据正四面体的性质,可知 ,
所以 ,
所以, ;
球的表面积为 ,所以 ,
所以, .
因为 ,
所以， ，
所以, .
故选: B.
9. AD
10. AC
函数 ,
其中 ,
因为 ,所以 ,
又函数 是由 向左或向右平移 个单位得到的,
AC 符合题意,
故选: AC
11. AC
由第 1 列数 成等差数列,设公差为 ,
又由 ,可得 ,解得 ,
则第一列的通项公式为 ,
又从第 2 行开始每一行比上一行多两项, 且从左到右均构成以 2 为公比的等比数列,
可得 ,所以 正确, 错误;
又因为每一行的最后一个数为 ,
且 ,可得 是 的后一个数,且 在第 46 行第 1 列,所以 正确;
由题设可知第 行第 个数的大小为 ,
当 时， ，与题意不符，
当 时,令 ,若 ,则 无整数解;
若 ,则 即 ; 若 ,无整数解,故 错误.
故答案为: AC.
12. -22
13.
14. 5
由题意可得,只有在 以及周边按动开关才可以使得按开关的次数最少,具体操作如下:
假设开始按动开关前所有开关都是“开“的状态，
要求只改变 的状态,在按动 后, 的状态也发生了改变,
下一步可以同时恢复或逐一恢复,同时恢复需按动 ,但会导致周边 状态也会改变,
因此导致按动开关的次数更多,
所以接下来逐一恢复, 则至少按开关 3 次,
依次类推, 沿着周边的开关再按动, 可以使得按动开关的次数最少,
即按动 5 次可以满足题意,
按动开关的情况如下表所示:
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,3) (3,3)
按 关 关 开 关 开 开 开 开 开
按 关 开 关 关 开 关 开 开 开
按 关 开 开 关 关 开 开 开 关
按 关 开 开 关 开 开 关 关 开
按 关 开 开 开 开 开 开 开 开
故答案为: 5 .
15.
(2)1
(1)因为 ，所以 ，即 ， 由余弦定理得 ,因为 , 所以 .
(2)由(1)得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立， 设 边上的高为 ,则 ,
所以 ,
所以 边上的高的最大值为 1 .
16. (1) 首先求出函数的导数,然后求出使 或 的解集即可.
(2)分类讨论在区间(1,2)上使 成立的条件,并求出参数 的取值范围即可试题解析: (1) 的判别式 .
(i) 若 ,则 ,且 当且仅当 ,故此时 在 上是增函数.
(ii) 由于 ,故当 时, 有两个根: , 若 ,则当 或 时, ,故 在 , 上是增函数;
当 时， ，故 在 上是减函数；
若 ,则当 或 时, ,故 在 , 上是减函数;
当 时， ，故 在 上是增函数；
(2)当 时， ，所以当 时， 在区间 是增函数.
若 时， 在区间 是增函数当且仅当 且 ，解得 . 综上, a 的取值范围是 .
考点: 1. 函数的导数; 2. 导数性质的应用.
17. (1)记抛掷骰子的样本点为 ,
则样本空间为 ,
则 ,
记事件 “ ”,记事件 “ ”,
则 ,且 ,
又 ,
,
则 ,
所以 ,
即在 的条件下, 的概率为 ;
(2) 所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4 5 6
5 12 1 3 1 9
所以 .
18. (1) (i) 因为 到 的距离为 2,所以 的半径为 ,
所以正六边形 的边长为 ,
所以正六边形 的面积为 ,
且 到 的距离为 6,所以六棱锥 的体积为 ;
(ii) 以 为原点, 为 轴, 的中垂线为 轴, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则
令 ,得 ,
设平面 的一个法向量
则 ,
令 ,得 ,
所以 .
(2)由已知, 点在过 且与 所在平面垂直的一个平面内,记这个平面为 .
在平面 内,以 为坐标原点,以 为 轴,以 中垂线为 轴建立平面直角坐标系,
设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,又 的坐标分别为 ,
所以
19. (1) 设 与直线 的切点为 ,则
所以
化简得 ,所以 的方程为: ;
(2)①设线段 的中点为 ，
因为 ,所以可设 ,
又因为 ,
所以 三点共线,同理, 三点共线,
所以 三点共线.
② 设 中点为 中点为 ，
将 代入 得: ，所以 ， ，
所以 ,
同理 ( 均在定直线 上)
因为 ,所以 与 面积相等, 与 面积相等;
所以四边形 的面积等于四边形 的面积,
设 ,
直线 ,即
整理得: 直线 ,又因为 ,所以 ,
同理,直线 ,所以
所以
所以四边形 面积
,
当且仅当 ,即 ,即 时取等号, 所以四边形 面积的最大值为 16 .
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 ( )
A. B. C. 1 D. -1
2. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 二项式 的展开式中,含 的项的系数是( )
A. -10 B. 10 C. -5 D. 5
4. 已知正方形 的边长为 2,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,则 ( )
A. B. C. 2 D. 3
6. 测量地震级别的里氏震级 的计算公式为: ，其中 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数 是相应的标准地震的振幅. 假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1000，而此次地震的里氏震级恰好为 6 级，那么里氏 9 级地震的最大的振幅是里氏 5 级地震最大振幅的( )倍.
A. 10 ; B. 100; C. 1000; D. 10000.
7. 若点 是圆 上的任一点,直线 与 轴、 轴分别相交于 两点，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为 和 ,则()
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 一组互不相等的数据从小到大排列为 ,去掉 后,则()
A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 中位数变小 D. 80% 分位数变大
10. 函数 在一个周期内的图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
11. 将数列 中的所有项排成如下数阵. 从第 2 行开始每一行比上一行多两项,且从左到右均构成以 2 为公比的等比数列; 第 1 列数 成等差数列. 若 ,则 ( )
A.
B.
C. 位于第 46 行第 1 列
D. 2026 在数阵中出现两次
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若奇函数 满足当 时， ，则 _____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,直线 与 的左、右两支分别交于 两点，若四边形 为矩形，则 的离心率为_____.
14. 如表为一个开关阵列, 每个开关只有 “开” 和 “关”两种状态, 按其中一个开关 1 次, 将导致自身和所有相邻的开关改变状态. 例如,按 将导致 改变状态. 如果要求只改变 的状态,则需按开关的最少次数为_____.
(1,1) (1,2) (1,3)
(2,1) (2,2) (2,3)
(3,1) (3,2) (3,3)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 记 的内角 的对边分别为 ，若 . (1) 求 ；
(2)若 ，求 边上的高的最大值.
16. 函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若函数 在区间(1,2)是增函数，求 的取值范围.
17. 抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子,所得的点数分别为 ,记 的取值为随机变量 ,其中 表示不超过 的最大整数.
(1)求在 的条件下， 的概率；
(2)求 的分布列及其数学期望.
18. 如图,球 的半径为 是球 的一条直径， 是线段 上的动点,过点 且与 垂直的平面与球 的球面交于 是 的一个内接正六边形.
(1)若 是 的中点.
(i) 求六棱锥 的体积;
(ii) 求二面角 的余弦值;
(2)设 的中点为 ，求证: 为定值.
19. 已知 为坐标原点，点 为 和 的公共点， ， 与直线 相切,记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)若 ,直线 与 交于点 ,直线 与 交于点 , ,点 在第一象限,记直线 与 的交点为 ,直线 与 的交点为 ,线段 的中点为 .
①证明: ， ， 三点共线；
②若 ，过点 作 的平行线，分别交线段 ， 于点 ， ，求四边形 面积的最大值.
1. D
2. A
3. A
的展开式的通项为 ,
则含 的项的系数是 .
故选: A.
4. C
.
故选: C.
5. C
由于 ,
那么 ,
,则 ,
故选: C.
6. D
由条件可知: ,
设里氏 9 级地震的最大的振幅为 ，里氏 5 级地震最大振幅为 ，
所以 ,所以 ,
故选: D
7. A
如下图所示:
直线 的斜率为 -1,倾斜角为 ,故 ,
圆 的标准方程为 ,圆心为 ,半径为 ,
易知直线 交 轴于点 ,所以, ,
由图可知,当直线 与圆 相切,且切点位于 轴下方时, 取最小值,
由圆的几何性质可知 ,且 ,则 ,
故 .
故选: A.
8. B
设正方体棱长为 ,正四面体棱长为 ,球的半径为 ,面积为 .
正方体表面积为 ,所以 ,
所以, ;
如图，正四面体 ， 为 的中点， 为 的中心，则 是 底面 上的高.
则 ,所以 ,
所以 ，
所以,正四面体 的表面积为 ,所以 .
又 为 的中心,所以 .
又根据正四面体的性质,可知 ,
所以 ,
所以, ;
球的表面积为 ,所以 ,
所以, .
因为 ,
所以， ，
所以, .
故选: B.
9. AD
10. AC
函数 ,
其中 ,
因为 ,所以 ,
又函数 是由 向左或向右平移 个单位得到的,
AC 符合题意,
故选: AC
11. AC
由第 1 列数 成等差数列,设公差为 ,
又由 ,可得 ,解得 ,
则第一列的通项公式为 ,
又从第 2 行开始每一行比上一行多两项, 且从左到右均构成以 2 为公比的等比数列,
可得 ,所以 正确, 错误;
又因为每一行的最后一个数为 ,
且 ,可得 是 的后一个数,且 在第 46 行第 1 列,所以 正确;
由题设可知第 行第 个数的大小为 ,
当 时， ，与题意不符，
当 时,令 ,若 ,则 无整数解;
若 ,则 即 ; 若 ,无整数解,故 错误.
故答案为: AC.
12. -22
13.
14. 5
由题意可得,只有在 以及周边按动开关才可以使得按开关的次数最少,具体操作如下:
假设开始按动开关前所有开关都是“开“的状态，
要求只改变 的状态,在按动 后, 的状态也发生了改变,
下一步可以同时恢复或逐一恢复,同时恢复需按动 ,但会导致周边 状态也会改变,
因此导致按动开关的次数更多,
所以接下来逐一恢复, 则至少按开关 3 次,
依次类推, 沿着周边的开关再按动, 可以使得按动开关的次数最少,
即按动 5 次可以满足题意,
按动开关的情况如下表所示:
(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,3) (3,3)
按 关 关 开 关 开 开 开 开 开
按 关 开 关 关 开 关 开 开 开
按 关 开 开 关 关 开 开 开 关
按 关 开 开 关 开 开 关 关 开
按 关 开 开 开 开 开 开 开 开
故答案为: 5 .
15.
(2)1
(1)因为 ，所以 ，即 ， 由余弦定理得 ,因为 , 所以 .
(2)由(1)得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立， 设 边上的高为 ,则 ,
所以 ,
所以 边上的高的最大值为 1 .
16. (1) 首先求出函数的导数,然后求出使 或 的解集即可.
(2)分类讨论在区间(1,2)上使 成立的条件,并求出参数 的取值范围即可试题解析: (1) 的判别式 .
(i) 若 ,则 ,且 当且仅当 ,故此时 在 上是增函数.
(ii) 由于 ,故当 时, 有两个根: , 若 ,则当 或 时, ,故 在 , 上是增函数;
当 时， ，故 在 上是减函数；
若 ,则当 或 时, ,故 在 , 上是减函数;
当 时， ，故 在 上是增函数；
(2)当 时， ，所以当 时， 在区间 是增函数.
若 时， 在区间 是增函数当且仅当 且 ，解得 . 综上, a 的取值范围是 .
考点: 1. 函数的导数; 2. 导数性质的应用.
17. (1)记抛掷骰子的样本点为 ,
则样本空间为 ,
则 ,
记事件 “ ”,记事件 “ ”,
则 ,且 ,
又 ,
,
则 ,
所以 ,
即在 的条件下, 的概率为 ;
(2) 所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.
所以 的分布列为:
0 1 2 3 4 5 6
5 12 1 3 1 9
所以 .
18. (1) (i) 因为 到 的距离为 2,所以 的半径为 ,
所以正六边形 的边长为 ,
所以正六边形 的面积为 ,
且 到 的距离为 6,所以六棱锥 的体积为 ;
(ii) 以 为原点, 为 轴, 的中垂线为 轴, 为 轴建系,
则 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量 ,
则
令 ,得 ,
设平面 的一个法向量
则 ,
令 ,得 ,
所以 .
(2)由已知, 点在过 且与 所在平面垂直的一个平面内,记这个平面为 .
在平面 内,以 为坐标原点,以 为 轴,以 中垂线为 轴建立平面直角坐标系,
设 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,又 的坐标分别为 ,
所以
19. (1) 设 与直线 的切点为 ,则
所以
化简得 ,所以 的方程为: ;
(2)①设线段 的中点为 ，
因为 ,所以可设 ,
又因为 ,
所以 三点共线,同理, 三点共线,
所以 三点共线.
② 设 中点为 中点为 ，
将 代入 得: ，所以 ， ，
所以 ,
同理 ( 均在定直线 上)
因为 ,所以 与 面积相等, 与 面积相等;
所以四边形 的面积等于四边形 的面积,
设 ,
直线 ,即
整理得: 直线 ,又因为 ,所以 ,
同理,直线 ,所以
所以
所以四边形 面积
,
当且仅当 ,即 ,即 时取等号, 所以四边形 面积的最大值为 16 .
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