重庆市育才中学校2026届高三下学期3月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 重庆市育才中学校2026届高三下学期3月月考数学试题（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 309.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-02 00:00:00 | ||
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文档简介
重庆育才中学高 2026 届高三 (下) 三月月考 数学试题
注意事项:
1. 答卷前, 请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号.
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答 题.
3. 请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效.
4. 请保持答题卡卡面清洁, 不要折叠、损毁; 考试结束后, 将答题卡交回. 第I卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 设 为虚数单位,复数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 某科技实验室采用分层抽样的方法, 从 AI 训练、AI 测试、AI 运维三个小组抽取 20 名技术员，调查每月完成的项目数. 其中训练组抽取 6 人，平均每月完成 10 个项目；测试组抽取 8 人，平均每月完成 15 个项目；运维组抽取 6 人，平均每月完成 20 个项目，则该样本的平均每月完成项目数是 ( )
A. 15 B. 16 C. 18 D. 20
4. 过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 两点,若线段 的中点 的纵坐标为 2,则 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知等比数列 的公比为 ,则“数列 是递增数列”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设 ,随机变量 的分布列是
0 1
1 4
则当 在 内增大时,( )
A. 增大 B. 减小
C. 先增大再减小 D. 先减小再增大
7. 一条直线分别与曲线 和圆 相切于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
8. 如图, 在正四面体 中,放置 1 大、 4 小共 5 个球,其中,大球为正四面体 的内切球,小球与大球及正四面体三个面均相切,若正四面体 的体积为 ,则 5 个球的表面积之和为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ,则下列不等式正确的是 ( )
A. B. C. D.
10. 杨辉三角是第 1 行为 1,第 行 的元素是组合数 按 依次增大排列的一个三角数阵,它具有对称性 、递推性 . 关于杨辉三角与组合数的下列结论正确的有( )
A. 第 10 行所有数字之和为 512
B. 对任意正整数
C. D.
11. 已知函数 ,则( )
A. 为 的一个周期 B. 图象关于直线 对称
C. 的最大值为 4 D. 的最小值为 -1
第II卷
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 用模型 拟合一组数据 ,设 ,其变换后的线性回归方程为 ,若 为自然对数底数,则 _____.
13. 已知数列 是等比数列,数列 是等差数列,若 , 则 的值是_____
14. 平面向量 为两个相互垂直的单位向量. 满足 , ，则 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 中，角 所对的边分别为 ，且
(1)求 的值；
(2)点 是 边上一点，且 ，若 ，求 面积S的最大值.
16. 已知 分别为双曲线 的左，右顶点， 为双曲线 上异于 的任意一点，直线 斜率之积为 的焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 作直线 与双曲线 交于 两点( 不与 重合)，记 的斜率分别为 ,证明: 为定值.
17. 已知斜三棱柱 ，侧面 是边长为 2 的菱形， . 平面 平面 为棱 的中点， ，且 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知 (e为自然对数底数， ).
(1)若 在 上单调递减，求 的取值范围.
(2)若 存在两个极值点 ，求证: .
(3)试探究:对 ，是否存在不为 1 的正整数 使得 恒成立.
19. 现有编号为 1,2,3, 的 个二进制码元,对应数字通信系统中待传输的离散信息序列, 每个码元仅包含 0 或 1 两种基带信号状态. 在高斯白噪声信道的实际传输场景中, 信号会因信道噪声干扰产生随机畸变:设单个码元传输正确(即接收端收到的信号与发送端原始码元一致)的概率为 ，发生比特翻转(误码)的概率为 ， . 且不同码元的传输相互独立.
定义随机变量 为编号为奇数的码元中,传输正确的码元个数,随机变量 为编号为偶数的码元中,发生比特翻转 (误码) 的码元个数. 记 . (参考公式: 设 为 个随机变量,则有 )
(1)若 ,计算 的值;
(2)若 ，求 ；
(3)证明:对任意奇数 ， ； .
1. C
由题意得 ,
当 时,即 ;
当 时,即 ,解得 ,
综上不等式的解集为 或 ,故 或 ,
又 ,根据交集的定义即可得 .
2. B
设 ,
3. A
该样本的平均每月完成项目数是:
4. C
抛物线 ,则 ,准线方程为 ,
又过抛物线焦点 的直线 交抛物线于 两点,设 ,
则 ,
根据抛物线的定义可得 .
5. A
若等比数列 是递增数列,则 或 ,则必有 ;
取 ,数列 的公比 ,而数列 是递减数列,
所以 “数列 是递增数列” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A
6. D
由题意得 ,则 ,故 ,
所以 ,
故当 在 时, 增大 减小; 当 在 时, 增大 增大.
7. B
,设曲线 的切点为 ,
所以切线方程为 ,
由题意可知 也是圆的 的切线,
所以 ,或 ,
因为 ,
所以 ,或 ,
当 时,切点 方程为 ,
由 ,
此时 ,
当 时,切点 ,切线方程为 , 由 ,
综上所述: .
8. D
在正四面体 中,设棱长为 ,高为 为正四面体 内切球的球心,
延长 交底面 于 是等边三角形 的中心, 延长线交 于 ,连接 ,
则点 是 的中点, 为正四面体 内切球的半径,
由正四面体 的体积为 ，得 ，解得 ，
由 ,解得 ,
则 ,最大球半径 ,
因此最大球的表面积为 ;
小球也可看作一个小的正四面体的内切球,则小正四面体的高 , 因此最小球半径 ,
因此最小球的表面积为 ,
所以 5 个球的表面积之和为 .
9. ABD
对于 ,因为 ,所以 ,故 正确.
对于 ,故 正确.
对于 ,举反例, 时, ,故 错误.
对于 ,由于 ,所以 ,即 ,故 正确.
10. ABD
A: 第 10 行所有数字之和为 ,正确;
B: 由二项式展开式中二项式系数的性质可知:
,正确;
C: 令 ,则 ,而 ,
显然 不成立,不正确;
D:
在 中, 的系数为 ,
在 中,
的系数为 ,
所以 ,正确.
11. BC
对 A: 因为 ,
所以 不是函数 的一个周期,故选项 不正确;
对 B: ,所以函数 图象关于直线 对称,故 选项正确;
对 : 因为 在 时取得最大值 在 时取得最小值 -1,所以 在 时取得最大值 4 . 故 选项正确；
对 D: 因为 ,所以 ,当 , 时取等号.
但当 时, 或 ,此时 不是 的整数倍,故 不成立,所以函数 的最小值不是 -1,故选项 不正确.
12.
因为 , ,
由线性回归方程 过点 可得: .
13.
由题意得: ，解得: ，
,解得: ,
所以 .
故答案为: .
14.
为两个相互垂直的单位向量,故设平面向量 分别在平面 坐标系的 轴和 轴上,且起点均为坐标原点,
设 ,则 可表示点 可表示点 可表示点 ,
由椭圆的定义可知,点 在椭圆 上,
由圆的定义知,点 在圆 上,
其中点 到圆心 的距离为 ,最大值为 ,
而 .
15. (1)
(2)
(1)由 结合正弦定理得: ，即
由余弦定理: ,
因为 ,所以 ;
(2) ，
即 ,
两边同时平方:
,当且仅当 即 时,取等号.
,
即 S 的最大值为 .
16.(1)设 ， ， ，且 ，
则 .
又焦距为 ,则 ,
双曲线 的标准方程为: .
(2)由(1)知 ，设 ， .
因为 不与 重合,所以可设直线 .
联立 ,消 得: ,
故 ,
,
可得 ,
.
17.(1)如图连接 .
由于侧面 是边长为 2 的菱形, ,所以 为等边三角形,
因为 为 的中点,所以 ,
又因为 ，所以 .
因为平面 平面 ,且平面 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
由 ,设 ,则 ,得 ,
即 ,得 ,即 ,所以 ,则 ,所以 .
(2)由(1)知 平面 ，因为 平面 ，所以 ， ， 又因为 ,
故以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,所以 ,
平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,则
取 ,可得 ,
设平面 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1) ,由 在 上单调递减,则 恒成立,
令 ,则 ,令 ,得 ; 令 ,得 .
故 在 单调递增,在 单调递减.
则 .
则 .
(2)由若 存在两个极值点 ，
结合 (1) 知 时 时 ，
则 且 为 的两根, .
有 ,则 .
则 .
记 ,则 ,
因为 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 .
(3)不等式 即 ，即 .
当 时, 且 均成立.
当 时, . 记 .
则 .
记 ,则 .
因 ,则 恒成立,则 在 单调递增.
则 ,由 得 ; 由 得 .
则 在 单调递减,在 单调递增.
,故 .
记 ,则 ,则 在 单调递减,在 单调递增.
且 时 时 .
同时观察到 .
故存在 使得 ,由 可知 .
则存在正整数 使得不等式成立.
19.(1) , .
(2)法 1:由题意知: 可以取 可以取 可以取 ，
.
可以取 可以取 可以取 ,
.
,
解得 .
法 2. 由题意 ,
, 解得 .
(3)设 原不等式等价于
.
一方面,考虑由 个码元的传输情况到 个码元的传输情况:
,第 个码元传输正确
个码元传输正确 ;
,第 个码元发生误码
个码元发生误码
.
下面证明 :
i)
由于 ,所以 .
ii)
.
另一方面,考虑由 个码元的传输情况到 个码元的传输情况:
,第 个码元传输正确) 个码元传输正确
,第 个码元发生误码
.
下面证明 :
i)
由于 ,所以 .
ii)
,证毕.
注意事项:
1. 答卷前, 请考生先在答题卡上准确工整地填写本人姓名、准考证号.
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使用 0.5mm 黑色签字笔答 题.
3. 请在答题卡中题号对应的区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效.
4. 请保持答题卡卡面清洁, 不要折叠、损毁; 考试结束后, 将答题卡交回. 第I卷
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 设 为虚数单位,复数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 某科技实验室采用分层抽样的方法, 从 AI 训练、AI 测试、AI 运维三个小组抽取 20 名技术员，调查每月完成的项目数. 其中训练组抽取 6 人，平均每月完成 10 个项目；测试组抽取 8 人，平均每月完成 15 个项目；运维组抽取 6 人，平均每月完成 20 个项目，则该样本的平均每月完成项目数是 ( )
A. 15 B. 16 C. 18 D. 20
4. 过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于 两点,若线段 的中点 的纵坐标为 2,则 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
5. 已知等比数列 的公比为 ,则“数列 是递增数列”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设 ,随机变量 的分布列是
0 1
1 4
则当 在 内增大时,( )
A. 增大 B. 减小
C. 先增大再减小 D. 先减小再增大
7. 一条直线分别与曲线 和圆 相切于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
8. 如图, 在正四面体 中,放置 1 大、 4 小共 5 个球,其中,大球为正四面体 的内切球,小球与大球及正四面体三个面均相切,若正四面体 的体积为 ,则 5 个球的表面积之和为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知实数 满足 ,则下列不等式正确的是 ( )
A. B. C. D.
10. 杨辉三角是第 1 行为 1,第 行 的元素是组合数 按 依次增大排列的一个三角数阵,它具有对称性 、递推性 . 关于杨辉三角与组合数的下列结论正确的有( )
A. 第 10 行所有数字之和为 512
B. 对任意正整数
C. D.
11. 已知函数 ,则( )
A. 为 的一个周期 B. 图象关于直线 对称
C. 的最大值为 4 D. 的最小值为 -1
第II卷
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 用模型 拟合一组数据 ,设 ,其变换后的线性回归方程为 ,若 为自然对数底数,则 _____.
13. 已知数列 是等比数列,数列 是等差数列,若 , 则 的值是_____
14. 平面向量 为两个相互垂直的单位向量. 满足 , ，则 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 中，角 所对的边分别为 ，且
(1)求 的值；
(2)点 是 边上一点，且 ，若 ，求 面积S的最大值.
16. 已知 分别为双曲线 的左，右顶点， 为双曲线 上异于 的任意一点，直线 斜率之积为 的焦距为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 作直线 与双曲线 交于 两点( 不与 重合)，记 的斜率分别为 ,证明: 为定值.
17. 已知斜三棱柱 ，侧面 是边长为 2 的菱形， . 平面 平面 为棱 的中点， ，且 .
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. 已知 (e为自然对数底数， ).
(1)若 在 上单调递减，求 的取值范围.
(2)若 存在两个极值点 ，求证: .
(3)试探究:对 ，是否存在不为 1 的正整数 使得 恒成立.
19. 现有编号为 1,2,3, 的 个二进制码元,对应数字通信系统中待传输的离散信息序列, 每个码元仅包含 0 或 1 两种基带信号状态. 在高斯白噪声信道的实际传输场景中, 信号会因信道噪声干扰产生随机畸变:设单个码元传输正确(即接收端收到的信号与发送端原始码元一致)的概率为 ，发生比特翻转(误码)的概率为 ， . 且不同码元的传输相互独立.
定义随机变量 为编号为奇数的码元中,传输正确的码元个数,随机变量 为编号为偶数的码元中,发生比特翻转 (误码) 的码元个数. 记 . (参考公式: 设 为 个随机变量,则有 )
(1)若 ,计算 的值;
(2)若 ，求 ；
(3)证明:对任意奇数 ， ； .
1. C
由题意得 ,
当 时,即 ;
当 时,即 ,解得 ,
综上不等式的解集为 或 ,故 或 ,
又 ,根据交集的定义即可得 .
2. B
设 ,
3. A
该样本的平均每月完成项目数是:
4. C
抛物线 ,则 ,准线方程为 ,
又过抛物线焦点 的直线 交抛物线于 两点,设 ,
则 ,
根据抛物线的定义可得 .
5. A
若等比数列 是递增数列,则 或 ,则必有 ;
取 ,数列 的公比 ,而数列 是递减数列,
所以 “数列 是递增数列” 是 “ ” 的充分不必要条件.
故选: A
6. D
由题意得 ,则 ,故 ,
所以 ,
故当 在 时, 增大 减小; 当 在 时, 增大 增大.
7. B
,设曲线 的切点为 ,
所以切线方程为 ,
由题意可知 也是圆的 的切线,
所以 ,或 ,
因为 ,
所以 ,或 ,
当 时,切点 方程为 ,
由 ,
此时 ,
当 时,切点 ,切线方程为 , 由 ,
综上所述: .
8. D
在正四面体 中,设棱长为 ,高为 为正四面体 内切球的球心,
延长 交底面 于 是等边三角形 的中心, 延长线交 于 ,连接 ,
则点 是 的中点, 为正四面体 内切球的半径,
由正四面体 的体积为 ，得 ，解得 ，
由 ,解得 ,
则 ,最大球半径 ,
因此最大球的表面积为 ;
小球也可看作一个小的正四面体的内切球,则小正四面体的高 , 因此最小球半径 ,
因此最小球的表面积为 ,
所以 5 个球的表面积之和为 .
9. ABD
对于 ,因为 ,所以 ,故 正确.
对于 ,故 正确.
对于 ,举反例, 时, ,故 错误.
对于 ,由于 ,所以 ,即 ,故 正确.
10. ABD
A: 第 10 行所有数字之和为 ,正确;
B: 由二项式展开式中二项式系数的性质可知:
,正确;
C: 令 ,则 ,而 ,
显然 不成立,不正确;
D:
在 中, 的系数为 ,
在 中,
的系数为 ,
所以 ,正确.
11. BC
对 A: 因为 ,
所以 不是函数 的一个周期,故选项 不正确;
对 B: ,所以函数 图象关于直线 对称,故 选项正确;
对 : 因为 在 时取得最大值 在 时取得最小值 -1,所以 在 时取得最大值 4 . 故 选项正确；
对 D: 因为 ,所以 ,当 , 时取等号.
但当 时, 或 ,此时 不是 的整数倍,故 不成立,所以函数 的最小值不是 -1,故选项 不正确.
12.
因为 , ,
由线性回归方程 过点 可得: .
13.
由题意得: ，解得: ，
,解得: ,
所以 .
故答案为: .
14.
为两个相互垂直的单位向量,故设平面向量 分别在平面 坐标系的 轴和 轴上,且起点均为坐标原点,
设 ,则 可表示点 可表示点 可表示点 ,
由椭圆的定义可知,点 在椭圆 上,
由圆的定义知,点 在圆 上,
其中点 到圆心 的距离为 ,最大值为 ,
而 .
15. (1)
(2)
(1)由 结合正弦定理得: ，即
由余弦定理: ,
因为 ,所以 ;
(2) ，
即 ,
两边同时平方:
,当且仅当 即 时,取等号.
,
即 S 的最大值为 .
16.(1)设 ， ， ，且 ，
则 .
又焦距为 ,则 ,
双曲线 的标准方程为: .
(2)由(1)知 ，设 ， .
因为 不与 重合,所以可设直线 .
联立 ,消 得: ,
故 ,
,
可得 ,
.
17.(1)如图连接 .
由于侧面 是边长为 2 的菱形, ,所以 为等边三角形,
因为 为 的中点,所以 ,
又因为 ，所以 .
因为平面 平面 ,且平面 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 ,
因为 ,且 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 .
由 ,设 ,则 ,得 ,
即 ,得 ,即 ,所以 ,则 ,所以 .
(2)由(1)知 平面 ，因为 平面 ，所以 ， ， 又因为 ,
故以 为坐标原点, 的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,所以 ,
平面 的一个法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,则
取 ,可得 ,
设平面 与平面 所成的角为 ,
则 ,
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18.(1) ,由 在 上单调递减,则 恒成立,
令 ,则 ,令 ,得 ; 令 ,得 .
故 在 单调递增,在 单调递减.
则 .
则 .
(2)由若 存在两个极值点 ，
结合 (1) 知 时 时 ，
则 且 为 的两根, .
有 ,则 .
则 .
记 ,则 ,
因为 ,即 ,所以 ,所以 ,所以 .
(3)不等式 即 ，即 .
当 时, 且 均成立.
当 时, . 记 .
则 .
记 ,则 .
因 ,则 恒成立,则 在 单调递增.
则 ,由 得 ; 由 得 .
则 在 单调递减,在 单调递增.
,故 .
记 ,则 ,则 在 单调递减,在 单调递增.
且 时 时 .
同时观察到 .
故存在 使得 ,由 可知 .
则存在正整数 使得不等式成立.
19.(1) , .
(2)法 1:由题意知: 可以取 可以取 可以取 ，
.
可以取 可以取 可以取 ,
.
,
解得 .
法 2. 由题意 ,
, 解得 .
(3)设 原不等式等价于
.
一方面,考虑由 个码元的传输情况到 个码元的传输情况:
,第 个码元传输正确
个码元传输正确 ;
,第 个码元发生误码
个码元发生误码
.
下面证明 :
i)
由于 ,所以 .
ii)
.
另一方面,考虑由 个码元的传输情况到 个码元的传输情况:
,第 个码元传输正确) 个码元传输正确
,第 个码元发生误码
.
下面证明 :
i)
由于 ,所以 .
ii)
,证毕.
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