重庆市礼嘉中学校2025-2026学年度高三下期第二次月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 重庆市礼嘉中学校2025-2026学年度高三下期第二次月考数学试题（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 130.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-02 00:00:00 | ||
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文档简介
重庆市礼嘉中学校 2025-2026 学年度高三下期第二次月考 数学试题
全卷满分 150 分 考试时间:120 分钟
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项.
3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. {1} C. D.
2. 若复数 的共轭复数 满足 ,则复数 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若向量 在 方向上的投影向量为 ，则 ( )
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ,过 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
5. 有 5 名同学 参加唱歌比赛,抽签决出出场顺序. 若 和 都不是第 1 个出场,且 不是最后一个出场,则这 5 人不同的出场顺序种数为( )
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
6. 若一组样本数据 的平均数为 2,方差为 4,则数据 , 的平均数和方差分别为( )
A. 4,14 B. 4,6 C. 3,14 D. 3,6
7. 已知函数 在区间 上有且仅有 3 个零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 在长方体 中, ,点 在四边形 内(含边界) 移动，且满足 ，则点 到直线 距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题自要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有( )
A. 若 ,则
B. 已知事件 互斥, ,则
C. 已知事件 相互独立, ,则
D. 若 ,且 ,则
10. 定义在 上的连续函数 ,对 都有 ,且 ，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列 的前 项和为 ,则
C. D. 若 ,则 的最小值为4
11. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 和 ,下顶点为 为第一象限内 上的动点,当 时, 的面积为 ,则下列说法正确的是( )
A. 双曲线 的离心率
B. 双曲线 的渐近线方程为
C.
D. 的内心 满足
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ,则 _____.
13. 已知正三棱台 ， ， ， ，则该正三棱台的体积为_____.
14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和, 形成新的数列, 再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列,现将数列1,2进行构造,第 1 次得到数列1,3,2; 第 2 次得到数列 ; 第 次得到数列 ,记 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 已知抛物线 与双曲线 的渐近线在第一、四象限的交点分别为 ,且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2) 为 上异于 的两动点，且以线段 为直径的圆恰好经过 ，证明:直线 过定点.
16. 在 中,角 所对的边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 是边 上一点， ， ，求 的面积.
17. 如图,在直平行六面体 中,点 在棱 上.
(1)若 平面 ,证明: ;
(2)若 ，直线 与平面 D所成的角为 ，平面 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
18. 抛掷一枚质地均匀的骰子 次, ,记 为第 次抛掷得到的点数, .
(1) 求 的概率；
(2)若前 次点数之和为 7 的概率为 ，且 ， 与 互质， 设
(i) 求 的值;
(ii) 已知正项数列 的前 项和为 ,证明:
19. 设函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上单调递增,求 的最大值;
(3)已知数列 满足:
① ; ② 且 .
设 ,求证: .
注: .
1. C
由 ,又因为
所以 ,
故选: C.
2. C
因为 ,所以 ,所以 .
3. D
(方法一) 由题意, ,
向量 在 方向上的投影向量为 ,
,
.
(方法二) 由题意, 向量 在 方向上的投影向量为 ,
.
故选: D.
4. B
椭圆 的右焦点 ,
过 且倾斜角为 的直线 的方程为 ,即 ,
将 代入 ,得到 ,
即 ,
设 ,
则 ,
则 ,故选项 B 正确.
5. D
根据题意,分 是第 1 个和 不是第 1 个且不是最后一个,两类情况讨论:
当 是第 1 个时,此时剩余的 全排列,共有 种不同的排法;
当 不是第 1 个且不是最后一个时,先排第 1 个,从 中选一人为第 1 个,有 2 种选法; 再排 ,有三个位置可选,有 3 种排法,最后三人全排列,有 种排法,
所以共有 种不同的排法,
由分类计数原理得,共有 种不同的排列情况.
6. A
因为一组样本数据 的平均数为 2,方差为 4, 则 ,可得 ,方差为 ,可得 , 因此,对于数据 , 平均数为 , 方差为
故选: A.
7. D
对 进行化简:
令 ,即 ,则 .
根据正弦函数的性质，所以 或 ，解得 或 .
因为 且 ,
当 时, ;
当 时, .
如图函数 和 大致图像,
由于函数 在区间 上有且仅有 3 个零点,则需满足 ,解不等式组得到可得
所以实数 的取值范围是 .
故选: D.
8. D
长方体 中, ,
四边形 是正方形,
,
平面 平面 ，
平面 ,
以 为原点， 为 轴，过 作 的平行线作为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系, 如图所示,
,
在四边形 内(含边界)移动, 设 ,
,
,
,
,
为点 的轨迹方程,
,
在平面 内直线 的方程为 ,即 ,
到直线 的距离为
当 时, 取最小值为 ,
则点 到直线 距离的最小值为 .
故选: D.
9. BC
对 A: 由 ,则 ,故 A 错误;
对 : 由 互斥,则 ,故 正确;
对 : 由 相互独立,则由 相互独立,又 ,
故 ,故 正确;
对 D: 由 ,则 , 则 ,解得 ,故 D 错误.
10. ABD
对于选项 : 由 ,令 ,可得
又 ,可推出 ,即 为首项为 1,公比为 2 的等比数列,
可得 ,对任意正整数成立,则 正确.
对于选项 B : 数列 的前 项和 ,正确.
对于选项 : 对 都有 ,且 ,
令 ,则 ,即 ,
由于 是连续函数,则 也是连续函数,满足函数方程 的连续函数,
其解的形式为 ,
故可设 ,则 ,结合 ,得 ,
故 ,满足 ;
则 , C 错误.
对于选项 D : 若 ,且 ,则
,当且仅当 时取等号,
即 的最小值为 4, D 正确.
11. ACD
对于 : 由双曲线定义得 ,平方得 , 在 中由余弦定理得, ,
代入 ,整理得 ,即 ,
的面积 ,
得 ,即 ,
又因为 ,所以 ,则离心率 , A 正确;
对于选项 B:焦点在 轴的双曲线渐近线为 ，代入 ，得 ，B 错误;
对于选项 ,设 ,满足 ,
设 ,则 ,
代入 ,化简得 。
设 ,同理得 ,且 ,故 正确;
对于选项 D: 首先考虑选项 C 的逆命题即若点 在第一象限且满足 ,则点 在双曲线 上.
化简得 ,所以点 在双曲线 上,该命题成立.
又因为内心是三角形各角平分线的交点,所以 , 根据上述命题, 在双曲线上,所以 ,所以 .
12.
由题意可得, ,
两式相加得, ,即 .
故答案为:
13.
将正三棱台 补成正三棱锥 ,
设点 在平面 的射影点为点 ，则 为正 的中心，如下图所示:
由棱台的性质可知 ,所以 ,故 ,
所以 为 的中点,所以 ,
由正弦定理可得 ,故 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,
同理可知,点 到平面 的距离为 ,
故 ,
因此正三棱台 的体积为 .
故答案为: .
14.
依题意, ,
,
因此 ,即 ,而 ,
则数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列, ,
所以 .
15.(1) 的渐近线为 ,
联立 ,解得 或 ,故 ,
由对称性可得 ,则 ,
故 (负值舍去),即抛物线 的方程为 ;
(2)由(1)知 ，设 、 ，
由以线段 为直径的圆恰好经过 ,则 ,
由 ,
则
由 异于 ,故 ,
则 ,
设 ,则 ,
,则 ,
,即 ,
故 ,即 ,
则 ,
当 时， ，故直线 过定点 .
16.
(2)
(1)由已知可得 ,所以 ,故 .
因为 ,
即 ,
故 ,
所以 ,
又 ,
所以 或 ,所以 (舍) 或 ,
因为 ,所以 ;
(2)设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ,可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
所以可得 ,所以
17.(1) 连接 交 于点 ,连接 ,
因为 平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
因为 为直平行六面体,
所以 为平行四边形,可得 为 的中点,
所以 为 的中点,即 .
(2)因为 ，所以平行四边形 为菱形，所以 ，
由直平行六面体 ,可得 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,
所以 为直线 与平面 所成的角,故 ,
因为 ，可得 为等边三角形,设 ，则 ，
所以 ,
在 中，由勾股定理可得 ，所以 ，
取 的中点 ,连接 ,则 ,
以 为坐标原点, 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,可得 ,
令 ,则 ,
又 是平面 的一个法向量,
因为平面 与平面 所成角的正弦值为 ，所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ,
则 ,解得 ,所以 .
18.(1) 即“前两次点数之和为 7”,设为事件 ,
样本空间 ,
,
,
,
,
即 的概率为 .
(2)(i)当 时，由(1)， ，
当 时， ， ，
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
,
互质, 互质,
,
;
(ii) 证明:
,
当 时, ,
,
,
,
,
,
.
19.( 1 )
故 ,
又 ,
故曲线 在 处的切线方程为 ;
(2)由题意， 对任意 恒成立，
则 ,令 ,
则 ,
令 ,
则 ,其中 ,
令 ,即 ,解得 ,
下面证明 时, 在 上恒成立,
令 ,注意到 ,
则 ,注意到 ,
令 ,则 ,
其中 在 上恒成立,令 ,
故 ,故 在 上单调递减,
其中 ,故 在 上恒成立,
故 在 上恒成立,
故 在 上恒成立,
故 在 上单调递增,
故 ,故 在 上单调递增,
,故 ,所以 .
下面证明 时, 在 上不成立,
若 ,使得 时, 在 单调递减,
所以当 时, ,即 在 单调递减,
所以 时,
故 在 上不成立. 综上所述， 的最大值为 .
(3)令 ，则 ， ，
均大于 0,设 ,
因为 ,
所以 ,
若 ,上式不成立,所以 ,
由于 在 上单调递增,
故 ,
故 为等差数列,首项和公差均为 ,故 , 故 ,
由(2)当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增,由于 ,所以 在 上恒成立, 即 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以
,所以 .
全卷满分 150 分 考试时间:120 分钟
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项.
3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. {1} C. D.
2. 若复数 的共轭复数 满足 ,则复数 ( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若向量 在 方向上的投影向量为 ，则 ( )
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
4. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ,过 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点,则 ( )
A. B. C. D.
5. 有 5 名同学 参加唱歌比赛,抽签决出出场顺序. 若 和 都不是第 1 个出场,且 不是最后一个出场,则这 5 人不同的出场顺序种数为( )
A. 42 B. 50 C. 54 D. 60
6. 若一组样本数据 的平均数为 2,方差为 4,则数据 , 的平均数和方差分别为( )
A. 4,14 B. 4,6 C. 3,14 D. 3,6
7. 已知函数 在区间 上有且仅有 3 个零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 在长方体 中, ,点 在四边形 内(含边界) 移动，且满足 ，则点 到直线 距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题自要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的有( )
A. 若 ,则
B. 已知事件 互斥, ,则
C. 已知事件 相互独立, ,则
D. 若 ,且 ,则
10. 定义在 上的连续函数 ,对 都有 ,且 ，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列 的前 项和为 ,则
C. D. 若 ,则 的最小值为4
11. 已知双曲线 的上、下焦点分别为 和 ,下顶点为 为第一象限内 上的动点,当 时, 的面积为 ,则下列说法正确的是( )
A. 双曲线 的离心率
B. 双曲线 的渐近线方程为
C.
D. 的内心 满足
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若 ,则 _____.
13. 已知正三棱台 ， ， ， ，则该正三棱台的体积为_____.
14. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和, 形成新的数列, 再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列,现将数列1,2进行构造,第 1 次得到数列1,3,2; 第 2 次得到数列 ; 第 次得到数列 ,记 ，则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 已知抛物线 与双曲线 的渐近线在第一、四象限的交点分别为 ,且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2) 为 上异于 的两动点，且以线段 为直径的圆恰好经过 ，证明:直线 过定点.
16. 在 中,角 所对的边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 是边 上一点， ， ，求 的面积.
17. 如图,在直平行六面体 中,点 在棱 上.
(1)若 平面 ,证明: ;
(2)若 ，直线 与平面 D所成的角为 ，平面 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .
18. 抛掷一枚质地均匀的骰子 次, ,记 为第 次抛掷得到的点数, .
(1) 求 的概率；
(2)若前 次点数之和为 7 的概率为 ，且 ， 与 互质， 设
(i) 求 的值;
(ii) 已知正项数列 的前 项和为 ,证明:
19. 设函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上单调递增,求 的最大值;
(3)已知数列 满足:
① ; ② 且 .
设 ,求证: .
注: .
1. C
由 ,又因为
所以 ,
故选: C.
2. C
因为 ,所以 ,所以 .
3. D
(方法一) 由题意, ,
向量 在 方向上的投影向量为 ,
,
.
(方法二) 由题意, 向量 在 方向上的投影向量为 ,
.
故选: D.
4. B
椭圆 的右焦点 ,
过 且倾斜角为 的直线 的方程为 ,即 ,
将 代入 ,得到 ,
即 ,
设 ,
则 ,
则 ,故选项 B 正确.
5. D
根据题意,分 是第 1 个和 不是第 1 个且不是最后一个,两类情况讨论:
当 是第 1 个时,此时剩余的 全排列,共有 种不同的排法;
当 不是第 1 个且不是最后一个时,先排第 1 个,从 中选一人为第 1 个,有 2 种选法; 再排 ,有三个位置可选,有 3 种排法,最后三人全排列,有 种排法,
所以共有 种不同的排法,
由分类计数原理得,共有 种不同的排列情况.
6. A
因为一组样本数据 的平均数为 2,方差为 4, 则 ,可得 ,方差为 ,可得 , 因此,对于数据 , 平均数为 , 方差为
故选: A.
7. D
对 进行化简:
令 ,即 ,则 .
根据正弦函数的性质，所以 或 ，解得 或 .
因为 且 ,
当 时, ;
当 时, .
如图函数 和 大致图像,
由于函数 在区间 上有且仅有 3 个零点,则需满足 ,解不等式组得到可得
所以实数 的取值范围是 .
故选: D.
8. D
长方体 中, ,
四边形 是正方形,
,
平面 平面 ，
平面 ,
以 为原点， 为 轴，过 作 的平行线作为 轴， 为 轴，
建立空间直角坐标系, 如图所示,
,
在四边形 内(含边界)移动, 设 ,
,
,
,
,
为点 的轨迹方程,
,
在平面 内直线 的方程为 ,即 ,
到直线 的距离为
当 时, 取最小值为 ,
则点 到直线 距离的最小值为 .
故选: D.
9. BC
对 A: 由 ,则 ,故 A 错误;
对 : 由 互斥,则 ,故 正确;
对 : 由 相互独立,则由 相互独立,又 ,
故 ,故 正确;
对 D: 由 ,则 , 则 ,解得 ,故 D 错误.
10. ABD
对于选项 : 由 ,令 ,可得
又 ,可推出 ,即 为首项为 1,公比为 2 的等比数列,
可得 ,对任意正整数成立,则 正确.
对于选项 B : 数列 的前 项和 ,正确.
对于选项 : 对 都有 ,且 ,
令 ,则 ,即 ,
由于 是连续函数,则 也是连续函数,满足函数方程 的连续函数,
其解的形式为 ,
故可设 ,则 ,结合 ,得 ,
故 ,满足 ;
则 , C 错误.
对于选项 D : 若 ,且 ,则
,当且仅当 时取等号,
即 的最小值为 4, D 正确.
11. ACD
对于 : 由双曲线定义得 ,平方得 , 在 中由余弦定理得, ,
代入 ,整理得 ,即 ,
的面积 ,
得 ,即 ,
又因为 ,所以 ,则离心率 , A 正确;
对于选项 B:焦点在 轴的双曲线渐近线为 ，代入 ，得 ，B 错误;
对于选项 ,设 ,满足 ,
设 ,则 ,
代入 ,化简得 。
设 ,同理得 ,且 ,故 正确;
对于选项 D: 首先考虑选项 C 的逆命题即若点 在第一象限且满足 ,则点 在双曲线 上.
化简得 ,所以点 在双曲线 上,该命题成立.
又因为内心是三角形各角平分线的交点,所以 , 根据上述命题, 在双曲线上,所以 ,所以 .
12.
由题意可得, ,
两式相加得, ,即 .
故答案为:
13.
将正三棱台 补成正三棱锥 ,
设点 在平面 的射影点为点 ，则 为正 的中心，如下图所示:
由棱台的性质可知 ,所以 ,故 ,
所以 为 的中点,所以 ,
由正弦定理可得 ,故 ,
所以 ,
又因为 ,所以 ,
同理可知,点 到平面 的距离为 ,
故 ,
因此正三棱台 的体积为 .
故答案为: .
14.
依题意, ,
,
因此 ,即 ,而 ,
则数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列, ,
所以 .
15.(1) 的渐近线为 ,
联立 ,解得 或 ,故 ,
由对称性可得 ,则 ,
故 (负值舍去),即抛物线 的方程为 ;
(2)由(1)知 ，设 、 ，
由以线段 为直径的圆恰好经过 ,则 ,
由 ,
则
由 异于 ,故 ,
则 ,
设 ,则 ,
,则 ,
,即 ,
故 ,即 ,
则 ,
当 时， ，故直线 过定点 .
16.
(2)
(1)由已知可得 ,所以 ,故 .
因为 ,
即 ,
故 ,
所以 ,
又 ,
所以 或 ,所以 (舍) 或 ,
因为 ,所以 ;
(2)设 ，则 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ,可得 ,
在 中，由余弦定理可得 ，
所以可得 ,所以
17.(1) 连接 交 于点 ,连接 ,
因为 平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 ,
因为 为直平行六面体,
所以 为平行四边形,可得 为 的中点,
所以 为 的中点,即 .
(2)因为 ，所以平行四边形 为菱形，所以 ，
由直平行六面体 ,可得 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,
所以 为直线 与平面 所成的角,故 ,
因为 ，可得 为等边三角形,设 ，则 ，
所以 ,
在 中，由勾股定理可得 ，所以 ，
取 的中点 ,连接 ,则 ,
以 为坐标原点, 的方向分别为 轴, 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设 ,所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,可得 ,
令 ,则 ,
又 是平面 的一个法向量,
因为平面 与平面 所成角的正弦值为 ，所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ,
则 ,解得 ,所以 .
18.(1) 即“前两次点数之和为 7”,设为事件 ,
样本空间 ,
,
,
,
,
即 的概率为 .
(2)(i)当 时，由(1)， ，
当 时， ， ，
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
,
互质, 互质,
,
;
(ii) 证明:
,
当 时, ,
,
,
,
,
,
.
19.( 1 )
故 ,
又 ,
故曲线 在 处的切线方程为 ;
(2)由题意， 对任意 恒成立，
则 ,令 ,
则 ,
令 ,
则 ,其中 ,
令 ,即 ,解得 ,
下面证明 时, 在 上恒成立,
令 ,注意到 ,
则 ,注意到 ,
令 ,则 ,
其中 在 上恒成立,令 ,
故 ,故 在 上单调递减,
其中 ,故 在 上恒成立,
故 在 上恒成立,
故 在 上恒成立,
故 在 上单调递增,
故 ,故 在 上单调递增,
,故 ,所以 .
下面证明 时, 在 上不成立,
若 ,使得 时, 在 单调递减,
所以当 时, ,即 在 单调递减,
所以 时,
故 在 上不成立. 综上所述， 的最大值为 .
(3)令 ，则 ， ，
均大于 0,设 ,
因为 ,
所以 ,
若 ,上式不成立,所以 ,
由于 在 上单调递增,
故 ,
故 为等差数列,首项和公差均为 ,故 , 故 ,
由(2)当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增,由于 ,所以 在 上恒成立, 即 ,所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,
所以
,所以 .
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