福建南平市浦城县荣华实验高中2026届高三下学期三月月考数学试卷（含答案）

2026 届高三下学期三月月考 数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 ( )
A. B. -i C. D.
2. 在平行四边形 中, ,则 ( )
A. -3 B. 1 C. 2 D. 3
3. 设 ，则在复平面内， 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 若 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. 5 B. 17 C. 25 D. 36
5. 如图,双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线交 的左支于 两点,若 成等差数列,且 ,则此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
6.1,3,4,6,8,12的第 60 百分位数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7. 设 分别为双曲线 的左右焦点,过 的直线交双曲线右支于 两点,若 ,则双曲线的离心率可以是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,则 “ 成等差数列” 是 “存在不相等的正整数 ，使得 ， ， 成等差数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 对于一个古典概型的样本空间 和事件 与 ,其中
,则 ( )
A. B.
C. 事件 与 互斥但不对立 D. 事件 与 相互独立
10. 如图,圆台的上下底面半径分别为 1 和 分别为上下底面圆周上的点, 为圆台的轴截面且 ，则()
A. 为母线
B.
C.
D. 平面 与平面 的夹角等于
11. 已知等式 其中 是自然对数的底数,将 视为自变量 , ， 为 的函数，记为 ，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 若方程 有 4 个不等的实根,则
D. 当 时,若 的两实根为 ,则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在该抛物线上，且 ，则 到 轴的距离为_____.
13. 已知 的外心为 ， ，则 _____.
14. 一个正八面体, 八个面分别标以数字 1 到 8 , 任意抛掷一次这个正八面体, 观察它与地面接触的面上的数字. 事件 ,事件 ,若事件 满足
,则满足条件的事件 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求 的大小；
(2)已知 ，证明: 是等腰三角形.
16. 如图，在直三棱柱 中， 、 分别为 ， 的中点，点 在 上， 且 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17. 设数列 满足 .
(1)证明:数列 为等差数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，求证: ；
(3)设 ，求数列 的最大项.
18. 某校举行知识竞赛，甲乙两位同学组队答题，甲先依次答一二题，乙再依次答三四题， 若两人合计答对题数大于或等于 3 ，则取得胜利，并获得纪念品(恰好答对前三题时应继续答完第四题); 若两人合计答错两题则中止答题, 已知, 甲、乙答对每道题的概率分别为 ,假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响.
(1) 当 时,设 为乙答题的道数,求 的分布列及期望;
( 2 )当 时，求甲乙获得纪念品的概率的最小值.
19. 已知函数 ,其中
(1)证明: 在区间 上存在唯一的极小值点 ；
(2)若极小值 ，证明: ；
(3)当 有两个不同的零点 ， 时，证明: .
1. D
因为 ,则 ,
故选: D.
2. B
因为 ,
在平行四边形 中, ,
所以 .
3. D
显然 ,故 ,其对应的点位于第四象限, 故选:D
4. C
由 ,得 ,
则 ,解得 ,因此 ,
当且仅当 时取等号,所以当 时, 取得最小值 25 .
故选: C
5. C
设 ,则 ,令 ,即 .
因为 成等差数列,所以
代入得: ，解得 ，则 .
所以 ，
在 中,
即
化简可得: .
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 .
所以
求得: ,
所以 .
故选: C.
6. B
,
所以第 60 百分位数为第 4 个数,即为 6 ,
故选: B
7. A
如图,设 ,
由双曲线的定义知 ,所以 ,又 ,所以
又, ,则 ,在 中, ,
由 ,得到 ,又 ,所以 ,
结合各个选项, 正确, 错误,
故选: A.
8. A
因为 是公比不为 1 的等比数列 的前 项和,所以若 成等差数列,则
从而 ,结合 化简得 ,
若 成等差数列,则 ,即 ,所以 ,
故当 时,有 ,
即“ 成等差数列”能推出“存在不相等的正整数 ,使得 成等差数列”;
反之,满足 不一定是 ,如 ,
满足 ,但不满足 ,
即“存在不相等的正整数 ，使得 成等差数列”推不出“ 成等差数列”; 所以“ 成等差数列”是“存在不相等的正整数 ,使得 成等差数列”的充分不必要条件.
故选: A
9. BD
对于选项 ,因为 ,所以 , 所以 A 错误,
对于选项 B, 因为 ,又由选项 A 知 ,
所以 ,故 正确,
对于选项 ,因为 ,所以事件 与 不互斥,故 错误,
对于选项 ,由选项 知 ,则有 , 所以选项 D 正确,
故选: BD.
10. BC
由母线的概念可知, 不是母线,所以 A 错误;
如图所示,作上底面圆心 ,下底面圆心 ,线段 中点 ,连接 , 可知 ,因为 ,所以 ,
因为 为 中点， 为 中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形,
因为 平面 ,所以 平面 ,所以 ,
因为 为 中点,所以 ,所以 正确;
因为 平面 平面 ,所以 ,
又因为 面 面 ,
所以 平面 ,所以 ,所以 正确;
因为四边形 为平行四边形,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 面 ,
所以 平行于平面 与平面 的交线,
因为 平面 , ,
所以 是平面 与平面 的夹角的平面角,
可知 ,所以 不正确.
11. ABD
由题意知, ,故 ,即 ,
且 ,故 ,
对于 ,故 正确;
对于 ,故 在 上, 单调递增;
在 和 上, 单调递减;
故 且 ,故 ,故 B 正确;
对于 ,故 为偶函数,
则 有 4 个不等的实根,即 有 2 个不等的实根,
且 在 和 上单调递减,在 上单调递增,
故 ,即 ,故 错误;
对于 ,由 的单调性可知,当 时,若 的两实根为 ,
则 ,且 ,故 ,
引入不等式 ,
证明过程如下: 不妨设 ,
因为 ,
设 ,则问题转化为: .
令 ,
所以 在 上恒成立,
所以 在 上单调递增; 所以 ,
故 成立,所以 .
故 ,
故 ,故 正确.
故选: ABD
12. 2
依题意,抛物线上点 到抛物线的准线 的距离为 ,
所以 到 轴的距离为 .
故答案为: 2
13.
如图,根据平行四边形法则由 知,
为 中点,又 的外心为 ,
所以 为 的直角三角形,
又由 ,
所以 为等边三角形， ，
可得 ， ，
所以 ,
故答案为: .
14. 8
事件 ,事件 ,故 ,
又 ,故 ,即 ,
因为 ,
所以 ,故 ,即 ,
又 ,
故 ,所以 ,
即 ,所以 ,故 ,
其中 ,则 或 2,
若 ,则 ,
又 ,故 ,
,故 ,
若 ,可令 或 或 或 ;
若 ,可令 或 或 或 ,
事件 ,事件
若 ,则 ,此时 ,
此时 ,故 ,不合要求,舍去,
综上,满足条件的事件 的个数为 8 .
故答案为: 8
15.(1)在 中，由 及正弦定理，得 ， 整理得 ,由余弦定理得 ,而 , 所以 .
( 2 )由 及正弦定理，得 ，由( 1 )知 ， 因此 ,即 ,所以 是等腰三角形.
16. (1)证明见解析
(2)
(1)取 的中点 ，连接 ，
由 为 的中点知 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 ,
由 为 的中点且 ,知 ,所以 ,
因为 平面 平面 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以平面 平面 .
又因 平面 ,所以 平面 .
(2)取 的中点 ，由 知 ，
以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,所以 ,
则 , 所以 ,
由 得 ，所以 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
取 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 .
因为平面 的一个法向量为 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. (1) 由 可得, ,即 , 又 ,因此 是以 1 为公差,1 为首项的等差数列.
(2)由(1)得， ， ，
设其前 项和为 ,则 ,
所以 ,
即 ,
所以 ,
又 ，所以 ，因此 .
(3)由(2)得 ，所以 ， ，
所以 .
当 时, ,得 ,即 .
又因为 ,所以 ,
所以 的最大项是 .
18.(1) 的可能取值为 0,1,2,
当 时，甲前 2 题都答错，此时乙不需要答题，
所以 ,
当 时,甲前 2 道题只答对 1 道题,且乙答第 3 题时答错,此时不会继续答第 4 题, 甲前 2 道题只答对 1 道题的概率为 ,乙答错第 3 题的概率为 ,
所以 ,
当 时,有 2 种情况,
①甲前 2 道题只答对 1 道题，乙第 3 题答对，此时必答第 4 题， 概率为 ,
②甲答对 2 题，此时乙必答第 3 和第 4 道题，概率为 ，
所以 ,分布列如下,
0 1 2
1 1 4
期望 .
(2)两人合计答对题数大于或等于 3 获得纪念品，分三种情况:
①甲答对 1 题，乙答对 2 题，概率为 ；
②甲答对 2 题，乙答对 1 题，概率为 ；
③甲答对 2 题，乙答对 2 题，概率为 .
所以获得纪念品的概率 ,
又因为 ,所以 ,即 ,
对 进行变形,
由 可得 ,即 ,所以 ,
当且仅当 即 时等号成立.
所以 的最小值 .
综上,甲乙获得纪念品的概率的最小值为 .
19.(1) 的定义域为 ,求导得 ,
因为 均是 上的增函数,所以 在 上单调递增.
又 ,当 时, ,
根据零点存在定理,存在唯一的 ,使得 .
且当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以 在区间 上存在唯一的极小值点 ;
(2)由 ，且 ，
所以 ,
构造函数 ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 在 上单调递减,
又因为 ,所以 的解为 ;
(3)由 ，可得 ，等价于 .
由 两边取对数得 ,
令 ,则 ,代入化简得 ,
设 ,则 ,
由 在 上都是减函数,
在 上单调递减,
又因为 ,所以当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减.
有两个不同的零点 ,等价于方程 有两个不同的实数根 , 其中 .
不妨令 ,则由 的单调性可知 ,
要证明 ,即 ,即 .
因为 ,所以 ,而 ,又 在 上单调递减,
只需证明 ,即证明 对任意 成立.
设 ,
则 .
由 ,
构造函数 ,
求导得: ,
当 时, 在 上单调递减,
当 时， 在 上单调递增,
所以 ,则有 ,
即可证得: ,当且仅当 时,等号成立,
所以当 时,有 ,所以 ,
因此,当 时, 恒成立, 在 上单调递减,
所以当 时,有 ,
即 ,
也即 . 故原不等式成立.