人教A版高中数学选择性必修第二册第四章数列三等比数列导学1等比数列的概念及通项公式课件

(共29张PPT)
三、等比数列
导学1　等比数列的概念及通项公式
数列
第四章
知识点一
知识点一　等比数列的相关概念
一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比都等 于同一个常数，那么这个数列叫做 数列，这个常数叫做等比数 列的 ，公比通常用字母q表示(显然q≠0).
第2项　
等比　
公比　
例1　判断下列数列是否为等比数列：
(1)1，3，32，33，…，3n－1，…；
(2)－1，1，2，4，8，…；
(3)a1，a2，a3，…，an，….
(3)当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；
当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比 数列，且公比为a.
[反思感悟]　定义法判断一个数列是等比数列：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常 数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任 意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
知识点二
1. 定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 那么G叫做a与b的 ，此时，G2＝ .
等比中项　
ab　
知识点二　等比中项及应用
C
A. x＞y B. x＜y
C. a，b，c同号 D. x与y同号
【解析】 由题可知，b2＝ac，abc≠0，x2＝ab，abx≠0，y2＝bc， bcy≠0.当a＝b＝c＝x＝y＝1时，满足题目条件，∴A，B错误；
由b2＝ac＞0，且y2＝bc＞0知a，b，c同号，C正确；当a＝b＝c＝1，x＝1，y＝－1时，满足题目条件，但是x与y不同号，∴D错误.
C
(3)已知各项均为正数的等比数列{an}，若a1a2＝3，a7a8＝27，
则a4a5＝ .
9　
知识点三
知识点三　等比数列的通项公式
1. 通项公式
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为 .
an＝a1qn－1　
2. 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(2)任给函数f(x)＝kax(k， a为常数，k≠0， a＞0，且a≠1)， 则f(1) ＝ka， f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列 {kan}， 其首 项为 ，公比为 .
指数　
一群孤立的点　
ka　
a　
例3　在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
解： (1)∵a4＝a1q3，∴8＝q3，
∴q＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[反思感悟]　1. 等比数列的通项公式涉及4个量：a1， an， n， q，只要 知道其中任意三个，就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比 数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.
2. 求等比数列{an}的通项公式时通常有以下两种方法：
(1)根据已知条件，建立关于a1， q的方程组，求出a1， q后再求an，这 是常规方法.
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an.这种 方法带有一定的技巧性，能简化运算.
A. ｜q｜＜1，且q≠0
B. a1＞0，0＜q＜1
C. a1＜0，q＞1
D. a1＞0，0＜q＜1，或a1＜0，q＞1
D
【解析】 由题意得等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1.当a1＞0时， 若q＜0，则{an}为摆动数列；若0＜q＜1，则{an}为递减数列；若q＝1，则{an}为常数列；若q＞1，则{an}为递增数列.当a1＜0时，若q＜0，则{an}为摆动数列；若0＜q＜1，则{an}为递增数列；若q＝1，则{an}为常数列；若q＞1，则{an}为递减数列.综上，{an}为递减数列的充要条件是a1＞0，0＜q＜1，或a1＜0，q＞1.
[反思感悟]　判断等比数列的单调性的方法
(1)当q＞1，a1＞0，或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列.
(2)当q＞1，a1＜0，或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列.
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q＜0时，{an}是摆动数列.
随堂巩固
A. 6 B. －6 C. －12 D. 12
AB
1
2
3
4
A. 9 B. 3
A
1
2
3
4
3. 写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列：
an＝ .
1
2
3
4
1
2
3
4