人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用三导数在研究函数中的应用导学1函数的单调性与导数课件

(共21张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
导学1　函数的单调性与导数
一元函数的导数及其应用
第五章
知识点一
知识点一　函数的单调性与导数的关系
1. 在区间(a，b)内函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系如 下表所示：
f'(x)的正负 f(x)的单调性
f'(x)＞0 单调递
f'(x)＜0 单调递
例如函数f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，f'(x)＞0；f(x)＝x2在
(－∞，0)上单调递减，f'(x)＜0，如图所示.
增　
减　
2. 对于可导函数y＝f(x)来说，“f'(x)＞0”是“f(x)在某个区间上单调 递增”的 条件，“f'(x)＜0”是“f(x)在某个区间上单调 递减”的 条件.
充分不必要　
充分不必要　
(3)f(x)＝x－ex(x＞0).
(3)∵f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，
∴f'(x)＝1－ex＜0，
∴f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减.
[反思感悟]　利用导数判断函数单调性的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f'(x)；
(3)确定f'(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、 分解因式等变形；
(4)得出结论.
知识点二
知识点二　利用导数求函数的单调区间
例2　求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
x
f'(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 单调递增
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
解： (2)f'(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2).
令f'(x)＝0，解得x＝－3，或x＝2，x＝－3和x＝2把函数的定义域划 分为三个区间，
f'(x)在各个区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示，
x (－∞，－3) －3 (－3，2) 2 (2，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(－3) 单调递减 f(2) 单调递增
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(2，＋∞)，
单调递减区间为(－3，2).
[反思感悟]　用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导函数f'(x)；
(3)解不等式f'(x)＞0(或f'(x)＜0)；
(4)写出结论.
知识点三
知识点三　由导数的信息画函数的大致图象
例3　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f'(x)的图象 可能是 (填序号).
②　
【解析】 由函数y＝f(x)的图象可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递 增，在(0，＋∞)上单调递减，故在区间(－∞，0)上有f'(x)＞0，在区间 (0，＋∞)上有f'(x)＜0，即导函数y＝f'(x)的图象可能是②.
(2)已知函数f(x)的导函数f'(x)的信息如下：
当0＜x＜5时，f'(x)＞0；当x＞5，或x＜0时，f'(x)＜0；
当x＝5，或x＝0时，f'(x)＝0.
若f(0)＜0，f(5)＞0，试画出函数f(x)的大致图象.
解： 当0＜x＜5时，f'(x)＞0，可知f(x)在区间(0，5)上单 调递增；当x＞5，或x＜0时，f'(x)＜0，可知f(x)在区间(－∞，0)和
(5，＋∞)上单调递减；当x＝5，或x＝0时，f'(x)＝0.
又f(0)＜0，f(5)＞0，∴函数f(x)的大致图象如图所示.
[反思感悟]　1. 由导函数图象画原函数图象的依据：若f'(x)＞0，则f(x) 单调递增；若f'(x)＜0，则f(x)单调递减.
2. 由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f'(x)的图象 一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方； 若f(x)是常函数，则f'(x)＝0.
随堂巩固
A. 0个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
1
2
3
4
A. f(x)在区间(－2，1)上单调递增
B. f(x)在区间(1，3)上单调递减
C. f(x)在区间(4，5)上单调递增
D. f(x)在区间(3，5)上单调递增
C
1
2
3
4
B. (e，＋∞)
C
1
2
3
4
4. 函数f(x)＝x＋2 cos x，x∈(0，π)的单调递减区间是 .
1
2
3
4