人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用三导数在研究函数中的应用导学2函数的单调性的综合问题课件

(共24张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
导学2　函数的单调性的综合问题
一元函数的导数及其应用
第五章
知识点一
知识点一　求含参数的函数的单调区间
例1　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，讨论f(x)的单调性；
(2)已知函数f(x)＝(x－2)(aex－x)(a∈R)，讨论f(x)的单调性.
[反思感悟]　1. 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集 的影响进行分类讨论.
2. 划分函数的单调区间时，要在其定义域内讨论.
知识点二
知识点二　由单调性求参数的取值范围
例2　已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取 值范围.
解： f'(x)＝3x2－a.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f'(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵3x2≥0，∴只需a≤0.
又a＝0时，f'(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，
∴a≤0，即实数a的取值范围是(－∞， 0].
[延伸探究]　已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1， 1)上单调 递减，试求a的取值范围.
解： 由f'(x)＝3x2－a≤0在(－1， 1)上恒成立，得a≥3x2在(－1， 1)
上恒成立.∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴a≥3，即当a的取值范围是
[3，＋∞)时，f(x)在(－1， 1)上单调递减.
[反思感悟]　1. 已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f'(x)≥0(或f'(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出 参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取 值是f'(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足 题意.
2. 若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f'(x)＝0在(a，b)上 有解(需验证解的两侧导数是否异号).
知识点三
知识点三　函数图象的增长快慢的比较
B
【解析】 由导函数的图象可知，当x∈[－1，1]时，f'(x)＞0，
∴函数f(x)在[－1，1]上单调递增.∵f'(x)在[－1，0]上单调递增，
∴函数f(x)在[－1，0]上的图象越来越陡峭，又f'(x)在[0，1]上单调递减，∴函数f(x)在[0，1]上的图象越来越平缓.
D
【解析】 由y＝f'(x)，y＝g'(x)的图象知，y＝f(x)，y＝g(x)的图象都 是上升的，但是y＝f(x)的图象上升得越来越慢，y＝g(x)的图象上升 得越来越快，排除A，C；又f'(x0)＝g'(x0)，∴函数y＝f(x)，y＝g(x)的 图象在x＝x0处的切线斜率相等，排除B.
[反思感悟]　导数绝对值的大小反映了函数值变化的快慢：函数值变化 (增大或减小)越快，导数的绝对值越大，函数的图象越陡峭；函数值变 化(增大或减小)越慢，导数的绝对值越小，函数的图象越平缓.
随堂巩固
D
1
2
3
4
A. a≥0 B. a＞1 C. a＞2
A
1
2
3
4
A. －1≤a≤2 B. －2≤a≤1
C. a＞2，或a＜－1 D. a＞1，或a＜－2
D
1
2
3
4
(－∞，－1]　
1
2
3
4