人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用三导数在研究函数中的应用导学3函数的极值与导数课件

(共25张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
导学3　函数的极值与导数
一元函数的导数及其应用
第五章
知识点一
知识点一　函数极值的概念
1. 极小值点与极小值
对于函数y＝f(x)，若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点
x＝a附近其他点处的函数值都 ，f'(a)＝ ，而且在点x＝a附 近的左侧 ，右侧 ，我们就把 叫做函数
y＝f(x)的极小值点， 叫做函数y＝f(x)的极小值.
小　
0　
f'(x)＜0　
f'(x)＞0　
a　
f(a)　
2. 极大值点与极大值
对于函数y＝f(x)，若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x ＝b附近其他点处的函数值都 ，f'(b)＝ ，而且在点x＝b附 近的左侧 ，右侧 ，我们就把 叫做函数y ＝f(x)的极大值点， 叫做函数y＝f(x)的极大值.
大　
0　
f'(x)＞0　
f'(x)＜0　
b　
f(b)　
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
【解析】 ∵极小值点两侧函数的单调性是左侧减右侧增，对应导函数 值是左侧负右侧正，由图得：导函数值左侧负右侧正的点有1个，
∴函数f(x)在区间内极小值点的个数是1.
A. 函数f(x)有极大值f(2)
B. 函数f(x)有极大值f(－2)
C. 函数f(x)有极小值f(－2)
D. 函数f(x)有极小值f(2)
BD
【解析】 由题图可知，当x＜－2时，f '(x)＞0；当－2＜x＜1时，
f '(x)＜0；当1＜x＜2时，f '(x)＜0；当x＞2时，f '(x)＞0.由此可得
函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
[反思感悟]　解答此类问题时，要先弄清楚所给的图象是原函数还是导 函数的，对于导函数的图象，重点考虑哪个区间上为正，哪个区间上为 负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若由 正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该 点处取得极小值.
知识点二
知识点二　求函数的极值
求函数极值的步骤
一般地，可按如下方法求函数y＝f(x)的极值：
解方程f'(x)＝0，当f'(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极 值；
大　
小　
x x0的左侧 x0 x0的右侧
f'(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增 极大值 单调递减
x x0的左侧 x0 x0的右侧
f'(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
可将x，f'(x)，f(x)的变化情况列成如下表格：
例2　求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
解： (1)函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝3x2－6x－9，
令f'(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如下表所示：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R).
∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取 得极小值a－aln a，无极大值.
[反思感悟]　求函数极值的步骤
(1)求导数，令f'(x)＝0，求方程的根；
(2)列表，判断极大值点和极小值点；
(3)求极值.
知识点三
知识点三　由极值求参数的值或范围
例3　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，
则a＋b＝ .
－7　
[反思感悟]　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在 的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某 区间内恒成立的问题，即转化为f'(x)≥0，或f'(x)≤0在某区间内恒成立 的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
随堂巩固
A. y＝x3 B. y＝x2＋1
C. y＝｜x｜ D. y＝2x
BC
1
2
3
4
A. x＝1 B. x＝－1
C. x＝1或－1或0 D. x＝0
C
1
2
3
4
A. x＝1为f(x)的极大值点
B. x＝1为f(x)的极小值点
C. x＝－1为f(x)的极大值点
D. x＝－1为f(x)的极小值点
D
1
2
3
4
2　
－4　
1
2
3
4