人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用三导数在研究函数中的应用导学4函数的最大(小)值与导数课件

(共23张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
导学4　函数的最大(小)值与导数
一元函数的导数及其应用
第五章
知识点一
知识点一　函数最值的定义
1. 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值.
连续不断
2. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，区间I是D的一个子区间， 如果存在实数M满足：
(1)对任意x∈I，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)在区间I上的最大值(或最小值).
A. f(x)的极值点一定是最值点
B. f(x)的最值点一定是极值点
C. f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点
D. f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点
C
【解析】 根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值 点，f(x)的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点，连续可导函数 在闭区间上一定有最值，∴A，B，D都错误，若函数f(x)在区间[a，b] 上单调，则函数f(x)在区间[a，b]上没有极值点，∴C正确.
(2)如图所示为函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大 值、极小值、最大值和最小值.
解： 由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大 值，∴极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知 函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值是f(b).
[反思感悟]　最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体 而言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一 个(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点在定义域内，但不能是区间的端点，而最值点可以 是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点 处取得.
知识点二
知识点二　求函数的最值
求函数的最大值与最小值的步骤
一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 比较，其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
极值　
f(a)，f(b)　
例2　求下列函数的最值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2， 4]；
解： (1)∵f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2， 4]，
∴f '(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3).
令f '(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，f '(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x －2 (－2，－ 1) －1 (－1，3) 3 (3，4) 4
f '(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 3 ↗ 10 ↘ －22 ↗ －15
由表格可以看出，当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10；当x＝3 时，f(x)有极小值f(3)＝－22.又f(－2)＝3，f(4)＝－15，∴函数y＝ f(x)的最大值是f(－1)＝10，最小值是f(3)＝－22.
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0， a]，a为正常数.
[反思感悟]　1. 求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上 导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对 应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大 值，最小的就是函数的最小值.
2. 求函数最值的过程中要利用函数的单调性，所以函数的单调区间是 求函数极值与最值的基础.
知识点三
知识点三　利用最值证明不等式
例3　(1)已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，证明：f(x)≥0恒成立.
[反思感悟]　证明不等式恒成立时，用导数的方法求出函数的最值，进 而可求出结果；有时也可根据不等式直接构造函数，利用导数的方法， 通过分类讨论研究函数的最值，得到结果.
随堂巩固
A. 若f(x)在[a， b]上有极大值，则极大值一定是[a， b]上的最大值
B. 若f(x)在[a， b]上有极小值，则极小值一定是[a， b]上的最小值
C. 若f(x)在[a， b]上有极大值，则极小值一定是x＝a，和x＝b时取得
D. 若f(x)在[a， b]上连续，则f(x)在[a， b]上存在最大值和最小值
D
1
2
3
4
A. π－1 C. π D. π＋1
C
1
2
3
4
3. 已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x) 的极大值，则实数m的取值范围是 .
(－4，－2)　
1
2
3
4
4. 函数f(x)＝(x＋1)ex的最小值是 .
1
2
3
4