人教A版高中数学选择性必修第二册第五章一元函数的导数及其应用三导数在研究函数中的应用导学6导数与函数的零点与实际应用课件

(共22张PPT)
三、导数在研究函数中的应用
导学6　导数与函数的零点与实际应用
一元函数的导数及其应用
第五章
知识点一
知识点一　利用导数研究函数的零点与图象
画函数f(x)的大致图象的步骤：
(1)求出函数f(x)的定义域；
(2)求导数f'(x)及函数f'(x)的零点；
(3)用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各 区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5)画出f(x)的大致图象.
点拨：可以根据函数极值的范围判断函数的零点.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
①当0＜a＜1时，f(x)与f'(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如表所示：
x (0，a) a (a，1) 1 (1，＋∞)
f'(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 f(a) 单调递减 f(1) 单调递增
③当a＜0时，f(x)与f'(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如表所示：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f'(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 f(1) 单调递增
[反思感悟]　利用导数研究函数的零点个数时，一般优先考虑定义域， 利用导数研究函数的单调性、极值，结合区间端点值，画出函数的大致 图象，数形结合判断函数零点的个数.
例2　(2024·丽水高二期末)已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
解： (1)函数f(x)＝x3－3x＋a(a∈R)的导数f'(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
当x＜－1，或x＞1时，f'(x)＞0；当－1＜x＜1时，f'(x)＜0，
∴f(x)的单调递减区间为(－1， 1).
(2)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围.
[反思感悟]　利用导数研究函数的零点或方程的根的方法是借助导 数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数 的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数或通过零点个数 求参数的范围.
知识点二
知识点二　生活中的优化问题
例3　请设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正 方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚 线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P处，正好形成一 个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在
边AB上，是被切去的一个等腰直角三
角形的斜边的两个端点.设AE＝FB＝
x(单位：cm).
某厂商要求包装盒的容积V(单位：cm3)最大，请求出此时x的取值，及 包装盒的高与底面边长的比值.
[反思感悟]　解决最优问题应从以下几个方面入手
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域.
(2)在实际应用问题中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则它就 是最值点.
随堂巩固
B
1
2
3
4
A. 6千台 B. 7千台 C. 8千台 D. 9千台
A
1
2
3
4
A. (－∞，1] B. (e－1，＋∞)
C
1
2
3
4
1
2
3
4