(共15张PPT)
8.1 平行四边形
第3课时 由对边的关系判定平行四边形
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的为（ D ）
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB∥DC，∠A＝∠C
C. AB＝DC，AD＝BC
D. AD∥BC，AB＝CD
D
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2. 如图，在四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，∠ABD＝∠CDB＝25°.要使四边形ABCD为平行四边形，则可以添加的一个条件为（ B ）
A. AD＝6
B. CD＝4
C. BD＝8
D. ∠CBD＝25°
第2题
B
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3. 如图，甲、乙两人给出条件来证明四边形ABCD为平行四边形，甲：AB∥CD，AD＝BC；乙：∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶2∶1.下列判断正确的是（ B ）
A. 甲可以，乙不可以
B. 甲不可以，乙可以
C. 两人都可以
D. 两人都不可以
第3题
B
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4. 在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，－1），B（2，0）为顶点构造平行四边形.下列各坐标中，不能作为平行四边形第四个顶点的坐标的是（ D ）
A. （3，－1）
B. （－1，－1）
C. （1，1）
D. （－2，－1）
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. （益阳中考）如图，在 ABCD中，AB＝8，E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为 3 .
第5题
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6. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 .
第6题
两组对边分别相等的四
边形是平行四边形
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7. 如图所示为由4个边长为1的正方形构成的网格，在网格中可以作出的一组对边长为 的平行四边形（顶点均在格点上）的个数是 6 .
第7题
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8. ★★ 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.点E，F同时出发，设运动时间为t s.当t＝ 2或6 时，以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形.
第8题
2或6
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三、 解答题（共52分）
9. （14分）（教材变式）如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF. 求证：
（1） AE∥FB.
第9题
解：（1） ∵ 点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，
∴ AD＋DC＝BC＋CD，即AC＝BD.
在△ACE和△BDF中，
∴ △ACE≌△BDF. ∴ ∠A＝∠B. ∴ AE∥FB
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（2） 四边形CFDE是平行四边形.
解：（2） ∵ AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF，
∴ △ADE≌△BCF. ∴ DE＝CF. 又∵ CE＝DF，
∴ 四边形CFDE是平行四边形
第9题
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10. （18分）如图，在△ABC的边BC的同侧分别作等边三角形ABD、等边三角形BCF和等边三角形ACE，连接DF，EF. 求证：
（1） △ABC≌△DBF.
解：（1） ∵ △ABD，△BCF是等边三角形，
∴ AB＝DB，BC＝BF，∠CBF＝∠ABD＝60°.
∴ ∠CBF－∠ABF＝∠ABD－∠ABF，即∠CBA＝∠FBD.
∴ △ABC≌△DBF
第10题
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（2） 四边形AEFD是平行四边形.
解：（2） ∵ △ABC≌△DBF，∴ AC＝DF.
∵ △ACE是等边三角形，∴ AC＝AE. ∴ DF＝AE.
同理（1），可得△ABC≌△EFC. ∴ AB＝EF.
∵ △ABD是等边三角形，∴ AB＝AD. ∴ EF＝AD.
又∵ DF＝AE，∴ 四边形AEFD是平行四边形
第10题
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11. ★（20分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BD，E是BC上一点，且∠ADB＝∠EDC，DE＝DC，AE交BD于点O，且OB＝OE. 求证：
（1） △ADE≌△BDC.
解：（1） ∵ ∠ADB＝∠EDC，∴ ∠ADB＋∠BDE＝∠EDC＋∠BDE，
即∠ADE＝∠BDC.
又∵ AD＝BD，DE＝DC，∴ △ADE≌△BDC
第11题
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（2） 四边形ABCD是平行四边形.
解：（2） ∵ OB＝OE，∴ ∠OBE＝∠OEB.
∵ △ADE≌△BDC，∴ AE＝BC，∠DAE＝∠OBE.
∴ ∠OEB＝∠DAE. ∴ AD∥BC. ∴ ∠ADB＝∠OBE.
∴ ∠ADB＝∠DAE. ∴ OA＝OD.
∴ OA＋OE＝OD＋OB，即AE＝BD.
又∵ AD＝BD，AE＝BC，∴ AD＝BC.
又∵ AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形
第11题
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第8章小测
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则BC的长为（ A ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 8 cm
第1题
A
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2. 在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO. 若∠OBC＝65°，则∠DAC的度数为（ B ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
B
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3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，E为直线AB上一点，连接EC，平移EC至DF，连接DE，CF，则四边形DECF的面积是（ B ）
A. 15 B. 40 C. 20 D. 30
第3题
B
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4. ★如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，延长BE交AC于点F. 若AC＝6，则AF的长为（ B ）
A. 3 B. 2 C. D.
第4题
B
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5. ★★如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，BC的中点，DM，AN交于点O，连接OC，AN的延长线交DC的延长线于点P. 有下列结论：① DM⊥AN；② ∠ADM＝∠P；③ △COD 为等边三角形；④ DP＝4AM. 其中，正确的有（ B ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第5题
B
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二、 填空题（每题8分，共32分）
6. 已知 ABCD的周长为20 cm，对角线AC，BD相交于点O. 若△BOC的周长比△AOB的周长大2 cm，则CD＝ 4 cm.
7. 在边长为6的菱形ABCD中，M，N分别是AD，AB上的点，且DM＝AN＝1，P是直线AC上的动点，则｜PM－PN｜的最大值为 4 .
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8. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，在边AD上取一点E，使BE＝BC. 过点C作 CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 .
第8题
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9. ★如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝5，AC，BD相交于点O，且∠BOC＝60°，顺次连接等腰梯形各边中点所得四边形的周长是 16 .
第9题
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三、 解答题（共38分）
10. （12分）如图，四边形ABCD是正方形，△DCE是等边三角形，AC，BD交于点O，连接AE交BD于点F，连接OE交CD于点G.
（1） 求∠AED的度数.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ADC＝90°，AD＝CD＝BC，OA＝OC＝OB＝OD.
∵ △DCE是等边三角形，
∴ ∠CDE＝60°，CD＝DE＝CE.
∴ ∠ADE＝90°＋60°＝150°，AD＝DE.
∴ ∠AED＝∠DAE＝ ×（180°－150°）＝15°
第10题
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（2） 若OG＝1，求△CDE的周长.
解：（2） ∵ OC＝OD，DE＝CE，∴ 点O在CD的垂直平分线上，点E在CD的垂直平分线上.
∴ OE垂直平分CD. ∴ G是CD的中点.
∵ OB＝OD，∴ OG是△BCD的中位线.
∴ BC＝2OG＝2.∴ DE＝CE＝CD＝2.
∴ △CDE的周长＝DE＋CE＋CD＝6
第10题
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11. （12分）如图，在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，P，Q分别是BM，DN的中点.
（1） 求证：BM＝DN.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°.
∵ M，N分别是AD，BC的中点，
∴ AM＝ AD，CN＝ BC.
∴ AM＝CN. ∴ △MBA≌△NDC. ∴ BM＝DN
第11题
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（2） 连接MQ，PN，判断四边形MPNQ的形状，并说明理由.
解：（2） 四边形MPNQ是菱形
理由：如图，连接MN.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD＝BC，AD∥BC，AB⊥AD.
∵ M，N分别是AD，BC的中点，
∴ AM＝BN＝ AD＝ BC.
∴ 四边形ABNM是平行四边形.
又∵ ∠BAM＝90°，∴ 四边形ABNM是矩形.
第11题
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∴ ∠MNB＝90°.
∵ P是BM的中点，∴ MP＝PB＝PN＝ BM.
同理，可得MQ＝DQ＝NQ＝ DN.
∵ BM＝DN，∴ MP＝PN＝MQ＝NQ.
∴ 四边形MPNQ是菱形.
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（3） 矩形ABCD的边AB与AD满足什么长度关系时，四边形MPNQ是正方形？请说明理由.
解：（3） 当AD＝2AB时，四边形MPNQ是正方形
理由：如图，连接PQ，AP.
由（2），知四边形ABNM是矩形，P是BM的中点，
∴ 点A，P，N共线.
由（2），知四边形MPNQ是菱形，∴ PQ⊥MN.
∵ AD⊥MN，∴ PQ∥AD.
第11题
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∵ P，Q分别是AN，DN的中点，
∴ PQ为△ADN的中位线.∴ AD＝2PQ.
∵ AD＝2AB，∴ PQ＝AB.
∵ 四边形ABNM是矩形，∴ MN＝AB.
∴ MN＝PQ. ∴ 四边形MPNQ是正方形.
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12. ★★（14分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，FH交BD于点G.
（1） 求证：线段FH与线段BE互相平分.
解：（1） 如图，连接BF，EH.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC.
∵ E，F，H分别是OD，OA，CB的中点，
∴ EF∥AD，EF＝ AD，BH＝ BC.
∴ EF∥BH，EF＝BH. ∴ 四边形BFEH是平行四边形.
∴ GH＝GF，GE＝GB，即线段FH与线段BE互相平分
第12题
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（2） 若EF＝12，求GH的长.
解：（2） ∵ EF＝ AD，EF＝12，∴ AD＝BC＝24.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BD＝2OB.
∵ BD＝2AB，∴ AB＝OB.
∵ F为OA的中点，∴ BF⊥OA.
∵ H为BC的中点，∴ FH＝ BC.
∵ GH＝GF，∴ GH＝ BC＝6
第12题
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（3） 求OG∶CD的值.
解：（3） 由（1）（2），得GE＝GB，OB＝AB.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD，OB＝OD.
∵ E为OD的中点，∴ OE＝ OD.
设OG＝x，CD＝y，
则OB＝OD＝AB＝CD＝y，OE＝ OD＝ y.
∴ GE＝OE＋OG＝ y＋x，GB＝OB－OG＝y－x.
∴ y＋x＝y－x.∴y＝4x.∴ OG∶CD＝x∶y＝
第12题
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小专题（六） 与中点有关的问题
第8章 四边形
类型一 直接构造中位线
1. 如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝4，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2的值为（ C ）
A. 4
B. 8
C. 16
D. 36
第1题
C
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2. 如图，BD，CE为△ABC的中线，BD，CE交于点G，M，N分别是BG，CG的中点.求证：EM∥DN.
第2题
解：连接AG. ∵ BD，CE为△ABC的中线，M，N分别是BG，CG的中点，∴ AE＝BE，BM＝GM，AD＝CD，CN＝GN.
∴ EM∥AG，DN∥AG. ∴ EM∥DN
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类型二 先取某条线段的中点，再构造中位线
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，E是CA延长线上一点，且AE＝AC. 若BC＝4，AC＝2，求DE的长.
第3题
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解：如图，取AC的中点K，连接DK，
则AK＝ AC＝ ×2＝1.
∵ D是AB的中点，K是AC的中点，
∴ DK是△ABC的中位线.
∴ DK＝ BC＝ ×4＝2，DK∥BC.
∴ ∠EKD＝∠C＝90°.
∵ AE＝AC，∴ AE＝2.∴ EK＝AE＋AK＝2＋1＝3.
在Rt△DEK中，由勾股定理，得DE2＝DK2＋EK2＝13.
∴ DE＝
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4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.求证：4EF2＝AC2＋BD2.
第4题
解：如图，取BC的中点H，连接EH，FH.
又∵ E，F分别是AB，CD的中点，
∴ EH是△ABC的中位线，FH是△BCD的中位线.
∴ EH＝ AC，FH＝ BD，EH∥AC，FH∥BD.
设EH，AC与BD分别交于点G，N，FH交AC于点M，
则易得四边形GHMN是平行四边形.∴ ∠GHM＝∠GNM.
∵ AC⊥BD，∴ ∠GNM＝90°.∴ ∠GHM＝90°.
∴ 在Rt△EHF中，由勾股定理，得EF2＝EH2＋FH2.
∴ EF2＝2＋2.∴ 4EF2＝AC2＋BD2
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类型三 先构造线段，再取构造出的线段中点，构造中位线
5. ★在四边形ABCD中，AB＝4，CD＝6，M，N分别是AD，BC的中点，则线段MN长的取值范围是（ B ）
A. 1＜MN＜5
B. 1＜MN≤5
C. 2＜MN＜10
D. 2＜MN≤10
B
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6. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别交BA，CD的延长线于点M，N，∠M＝∠CNE，求证：AB＝CD.
第6题
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解：如图，连接BD，取BD的中点G，连接EG，FG.
∵ E，G分别为AD，BD的中点，
∴ GE为△ABD的中位线.∴ GE＝ AB，GE∥AB.
同理，可得GF＝ CD，GF∥CD.
∵ GE∥MB，∴ ∠GEF＝∠M.
∵ GF∥CN，∴ ∠GFE＝∠CNE.
∵ ∠M＝∠CNE，∴ ∠GEF＝∠GFE.
∴ GE＝GF. ∴ AB＝CD
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类型四 证明中点得中位线
7. ★如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AE是∠BAC的平分线，CE⊥AE于点E，连接DE. 若AC＝5，DE＝1，则AB的长为（ A ）
A. 7
B. 6.5
C. 6
D. 5.5
第7题
A
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8. ★如图，在△ABC中，AB＝8，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点.若DE＝10，求AC的长.
第8题
解：延长BA，CD交于点F.
∵ AD平分∠CAF，∴ ∠DAF＝∠DAC.
∵ AD⊥CD，∴ ∠ADF＝∠ADC＝90°.
在△ADF和△ADC中，
∴ △ADF≌△ADC. ∴ CD＝DF，AC＝AF.
∵ E为BC的中点，∴ CE＝EB.
∴ DE是△BCF的中位线.∴ BF＝2DE＝20.
∴ AF＝BF－AB＝20－8＝12.∴ AC＝AF＝12
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小专题（二） 平行四边形判定与性质的综合
第8章 四边形
类型一 求线段长
1. 如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交BC，AD于点G，H.
（1） 求证：四边形AHCG是平行四边形.
第1题
解：（1） ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AED＝∠HFD＝90°.
∴ AG∥CH. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，
即AH∥CG. ∴ 四边形AHCG是平行四边形
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（2） 若BG＝5，AH＝3，求AD的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC.
由（1）可知，四边形AHCG是平行四边形，
∴ CG＝AH＝3.
∴ BC＝BG＋CG＝5＋3＝8.∴ AD＝BC＝8
第1题
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2. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过A，C两点分别作AG⊥BD，CH⊥BD，垂足分别为M，N，且分别交CD，AB于点G，H. 若DG＝3，AH＝2，AC＝2a，BD＝2b，求AB的长及△AOB的周长.
第2题
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解：∵ AG⊥BD，CH⊥BD，
∴ ∠AMB＝∠HNB＝90°.∴ AG∥CH.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD.
∴ CG∥AH. ∴ 四边形AHCG是平行四边形.∴ CG＝AH＝2.
∵ DG＝3，∴ AB＝CD＝DG＋CG＝3＋2＝5.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝ AC＝a，BO＝ BD＝b.
∴ △AOB的周长为AO＋BO＋AB＝a＋b＋5
第2题
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类型二 求面积
3. （杭州中考）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA.
（1） 求证：四边形AECF是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO＝CO，BO＝DO.
∵ BE＝DF，∴ BO－BE＝DO－DF，
即EO＝FO.
∴ 四边形AECF是平行四边形
第3题
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（2） 若△ABE的面积为2，求△CFO的面积.
解：（2） ∵ BE＝EF，∴ S△ABE＝S△AEF＝2.
∵ 四边形AECF是平行四边形，∴ S△AEF＝S△CEF＝2.
由（1），得EO＝FO，
∴ S△CFO＝S△CEO＝ S△CEF＝1
第3题
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4. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点E，且E是BD的中点，延长CD到点F，使DF＝CD，连接AF.
第4题
（1） 求证：AE＝CE.
∵ AD∥BC，∴ ∠ADE＝∠CBE.
在△ADE和△CBE中，
∴ △ADE≌△CBE. ∴ AE＝CE
解：（1） ∵ E是BD的中点，∴ BE＝DE.
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（2） 求证：四边形ABDF是平行四边形.
第4题
解：（2） ∵ AE＝CE，BE＝DE，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AB∥DC，AB＝CD. ∴ DF∥AB.
∵ DF＝CD，∴ DF＝AB. ∴ 四边形ABDF是平行四边形
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（3） 若AB＝3，AF＝6，∠F＝30°，求四边形ABCF的面积.
第4题
解：（3） 过点C作CH⊥BD于点H，过点D作DQ⊥AF于点Q.
∵ 四边形ABCD和四边形ABDF是平行四边形，AB＝3，AF＝6，∠F＝30°，
∴ DF＝AB＝3，CD＝AB＝3，BD＝AF＝6，BD∥AF.
∴ ∠BDC＝∠F＝30°.
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∴ DQ＝ DF＝ ×3＝ ，CH＝ DC＝ ×3＝ .
∴ S四边形ABCF＝S BDFA＋S△BDC＝6× ＋ ×6× ＝13.5，即四边形ABCF的面积为13.5
第4题
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类型三 平行四边形中的折叠问题
5. 如图，在 ABCD中，E是边BC上的一动点，现将△ABE沿AE折叠，B′是点B的对应点，连接DE. 当点B′恰好落在边AD上时，求证：四边形ABEB′是平行四边形.
第5题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠ADC.
由折叠，得∠B＝∠AB′E，∴ ∠AB′E＝∠ADC.
∴ B′E∥DC. ∵ AB∥DC，∴ AB∥B′E.
又∵ AB′∥BE，∴ 四边形ABEB′是平行四边形
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6. ★ 如图，综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是边BC上的一动点，F是边AD上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AB上的点C′处，点D的对应点为D′，连接CC′.当点D′落在BA的延长线上时，求证：四边形EC′D′F为平行四边形.
第6题
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解：由折叠，得CE＝C′E，DF＝D′F，∠CEF＝∠C′EF，∠EFD＝∠EFD′，∠D＝∠D′.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC，AD∥BC，∠D＝∠B.
∴ ∠D′＝∠B，∠CEF＋∠EFD＝180°.
∴ ∠C′EF＋∠EFD′＝180°.∴ C′E∥D′F.
∴ ∠BC′E＝∠D′.∴ ∠BC′E＝∠B.
∴ BE＝C′E＝CE. ∴ C′E＝ BC.
∵ AD∥BC，∴ ∠B＝∠D′AF＝∠D′.
第6题
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∴ AF＝D′F＝DF. ∴ D′F＝ AD.
∵ AD＝BC，∴ C′E＝D′F.
又∵ C′E∥D′F，∴ 四边形EC′D′F为平行四边形
第6题
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6(共15张PPT)
8.2 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （泸州中考）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是（ D ）
A. ∠A＝90°
B. ∠B＝∠C
C. AC＝BD
D. AC⊥BD
D
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2. 在四边形ABCD中，AC与BD交于点O. 已知AB＝CD且AB∥CD，下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ C ）
A. ∠AOB＝∠BOC
B. AB＝BC
C. ∠ABC＝∠BCD
D. ∠BAC＝∠DAC
C
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3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE为矩形的是（ D ）
A. AB＝BE
B. CE⊥DE
C. ∠ADB＝90°
D. BE⊥AB
D
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4. 在同一平面内，设a，b，c是三条互相平行的直线.已知a与b之间的距离为4 cm，b与c之间的距离为1 cm，则a与c之间的距离为（ C ）
A. 1 cm
B. 3 cm
C. 5 cm或3 cm
D. 1 cm或3 cm
C
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5. ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，M是边AB上一点（不与点A，B重合），过点M作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F. 若P是EF的中点，则CP长的最小值是（ A ）
A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5
第5题
A
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二、 填空题（每题8分，共24分）
6. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E. 若AB＝4，BE＝5，则CE的长为 3 .
第6题
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7. 如图，AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 20 .
第7题
20
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8. ★如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA运动.若AC＝12，BD＝8，则经过 2或10 秒后，四边形BEDF是矩形.
第8题
2或10
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三、 解答题（共46分）
9. （14分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是边AC的中点，连接DE，过点A作平行于BC的射线交DE的延长线于点F，连接AD，CF.
（1） 求证：△AFE≌△CDE.
第9题
解：（1） ∵ E是边AC的中点，∴ AE＝CE.
∵ AF∥BC，∴ ∠FAE＝∠DCE.
在△AFE与△CDE中，
∴ △AFE≌△CDE
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（2） 若D是BC的中点，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？请说明理由.
解：（2） 当AB＝AC时，四边形ADCF是矩形
理由：∵ △AFE≌△CDE，∴ AF＝CD.
∵ AF∥CD，∴ 四边形ADCF是平行四边形.
∵ D是BC的中点，AB＝AC，∴ AD⊥BC.
∴ ∠ADC＝90°.
∴ 四边形ADCF是矩形.
第9题
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10. （16分）如图，将 ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，BD，DE交BC于点O.
（1） 求证：△ABD≌△BEC.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD.
∵ AB＝BE，∴ BE＝CD.
又∵ BE∥CD，∴ 四边形BECD是平行四边形.∴ BD＝EC.
又∵ AB＝BE，AD＝BC，∴ △ABD≌△BEC
第10题
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（2） 若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形.
解：（2） ∵ 四边形BECD是平行四边形，
∴ BC＝2OC，DE＝2OD.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A＝∠OCD.
∵ ∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，
∴ 易得∠OCD＝∠ODC. ∴ OC＝OD. ∴ BC＝DE.
∴ 四边形BECD是矩形
第10题
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11. （16分）如图，在 ABCD中，E是AD的中点，连接BE并延长，与CD的延长线相交于点F，连接AF，BD. 若∠BEA＋2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形.
第11题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，∠BAE＝∠C.
∴ ∠BAE＝∠FDE.
∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE.
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在△BEA和△FED中，
∴ △BEA≌△FED. ∴ AB＝DF.
又∵ AB∥DF，∴ 四边形ABDF是平行四边形.
∴ BE＝EF.
第11题
∵ ∠BEA＋∠BAE＋∠ABE＝180°，∠BEA＋2∠C＝180°，∠BAE＝∠C，∴ ∠BAE＝∠ABE＝∠C. ∴ BE＝AE.
∵ AE＝DE，BE＝EF，∴ BF＝AD. ∴ 四边形ABDF是矩形
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11(共17张PPT)
小专题（五） 正方形中的常见模型
第8章 四边形
类型一 “十字架”模型
1. ★如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的点G处，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上.若DE＝5，则AH的长为（ D ）
A. B. C. D.
第1题
D
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2. 如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在边BC上.若BG＝1，求BE和EF的长.
第2题
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解：如图，连接AG，过点E作EM⊥CD于点M.
设BE＝x，则AE＝4－x.
由折叠，得EG＝AE＝4－x，∠AEF＝∠GEF，EF⊥AG.
∴ ∠BAG＋∠AEF＝90°.
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD＝AB，∠B＝∠BAD＝∠D＝90°.
∵ EM⊥CD，∴ ∠EMD＝90°.
∴ ∠EAD＝∠D＝∠EMD＝90°.∴ 四边形AEMD是矩形.
∴ ∠AEM＝90°，AD＝EM.
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∴ ∠AEF＋∠MEF＝90°，AB＝EM.
∴ ∠BAG＝∠MEF.
又∵ ∠B＝∠EMF，∴ △ABG≌△EMF.
∴ EF＝AG.
在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG2＝AB2＋BG2＝42＋12＝17，
∴ AG＝EF＝ .
在Rt△EBG中，由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2，
∴ （4－x）2＝x2＋12，解得x＝ .∴ BE＝
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类型二 直角顶点在正方形的对角线上模型
3. 如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的射线OM，ON分别交AB，BC于点E，F，且∠EOF＝90°，BO，EF交于点P. 有下列结论：① 图形中全等的三角形只有三对；② △EOF是等腰直角三角形；③ 正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④ BE＋BF＝ OA. 其中，正确的是（ B ）
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③ D. ①③④
第3题
B
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4. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交边BC于点F. 探究线段CF，DE的数量关系并加以证明.
第4题
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解：CF＝ DE
如图，过点E作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ ∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，
AD＝DC，∠ADB＝45°.
∵ MN⊥AD，∴ ∠NMD＝90°.∴ 四边形NCDM为矩形.
∴ ∠MNC＝90°，MN＝CD. ∴ ∠ENF＝90°，AD＝MN.
∵ ∠ADB＝45°，∠NMD＝90°，
∴ 易得△MED是等腰直角三角形.
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∴ MD＝ME. ∴ AD－MD＝MN－ME，即AM＝EN.
∵ AE⊥EF，∴ ∠AEF＝90°.
∴ ∠AEM＋∠FEN＝90°.
∵ MN⊥AD，∴ ∠AME＝∠ENF＝90°.
∴ ∠AEM＋∠MAE＝90°.
∴ ∠FEN＝∠MAE. ∴ △AEM≌△EFN.
∴ EM＝FN. ∴ ME＝FN＝MD.
∵ 四边形NCDM为矩形，∴ CN＝MD.
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∴ CF＝2MD. ∴ CF2＝4MD2.
在Rt△MED中，MD＝ME，
由勾股定理，得MD2＋ME2＝DE2，即2MD2＝DE2， ∴4MD2＝2DE2.
∴ CF2＝2DE2.∴ CF＝ DE
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类型三 “半角”模型
5. 如图，在正方形ABCD中，M，N是对角线BD上的两点，且∠MAN＝45°.若BM＝1，DN＝2，则MN的长为 .
第5题
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6. ★★ 小明遇到这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，E，F分别为边DC，BC上的点，∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE＋BF＝EF. 小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上.他发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG（如图②），此时GF＝DE＋BF.
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（1） 利用图②证明：EF＝DE＋BF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABC＝∠BAD＝∠D＝90°.
∵ 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG，
∴ ∠ABG＝∠D＝90°.
∴ ∠ABC＋∠ABG＝90°＋90°＝180°.
∴ G，B，C三点在一条直线上.
∵ 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABG，
∴ ∠GAB＝∠EAD，AG＝AE，DE＝GB.
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∵ ∠BAD＝∠BAF＋∠EAF＋∠DAE＝90°，∠EAF＝45°，
∴ ∠BAF＋∠EAD＝45°，即∠BAF＋∠GAB＝45°.
∴ ∠GAF＝45°.∴ ∠GAF＝∠EAF.
在△AGF和△AEF中，
∴ △AGF≌△AEF. ∴ EF＝GF＝GB＋BF.
∵ GB＝DE，∴ EF＝DE＋BF
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（2） 如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，E是CD上一点.若∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的长.
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解：（2） 如图③，过点A作AF⊥CB 交CB的延长线于点F，则∠F＝90°.
∵ AD∥BC，∠D＝90°，∴ ∠C＝180°－∠D＝90°.
∴ ∠D＝∠C＝∠F＝90°.∴ 四边形AFCD是矩形.
∵ AD＝CD＝10，∴ 四边形AFCD是正方形.
∴ CF＝AD＝10.
由（1），易得BE＝DE＋BF. 设BE＝x.
∵ DE＝4，∴ BF＝BE－DE＝x－4.
∴ CB＝CF－BF＝10－x＋4＝14－x，CE＝CD－DE＝10－4＝6.
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在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE2＋CB2＝BE2，
∴ 62＋（14－x）2＝x2，解得x＝ .∴ BE＝
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6(共17张PPT)
8.1 平行四边形
第1课时 平行四边形及其性质1
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （贵州中考）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论正确的是（ B ）
A. AB＝BC B. AD＝BC
C. OA＝OB D. AC⊥BD
第1题
B
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2. 如图，在 ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD，分别交AD于点E，F. 若AB＝3，BC＝5，则EF的长为（ B ）
A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2
第2题
B
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3. （教材变式）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝135°，∠ACD＝80°，∠CBD＝20°，则∠COD的度数为（ A ）
A. 75° B. 53° C. 85° D. 90°
第3题
A
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4. （乐山中考）如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F. 若AB＝6，AC＝8，DE＝4，则BF的长为（ B ）
A. 4 B. 3 C. D. 2
第4题
B
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5. ★ 在 ABCD中，AD＝8，AE平分∠BAD，交BC于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，且EF＝2，则AB的长为（ D ）
A. 3 B. 5 C. 2或3 D. 3或5
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （兰州中考）如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E. 若∠C＝70°，则∠BAE＝ 50 °.
第6题
50
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7. 如图，E是 ABCD内任一点，若S ABCD＝8，则图中涂色部分的面积是 4 .
第7题
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8. 如图，在 ABCD中，BE⊥CD于点E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于点F，连接EF，则∠EFA的度数为 45° .
第8题
45°
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9. ★如图，在正八边形ABCDEFGH的内部作 ABIG，则∠1＝
45 °.
第9题
45
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）（广元中考）如图，在 ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的一条直线交AD于点E，交BC于点F.
第10题
（1） 求证：△AOE≌△COF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠EAO＝∠FCO.
∵ O是AC的中点，∴ OA＝OC.
又∵ ∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF
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（2） 若AE∶AD＝1∶2，△AOE的面积为2，求 ABCD的面积.解
解： （2） 连接OD. ∵ AE∶AD＝1∶2，∴ S△AOD＝2S△AOE＝4.
∵ OA＝OC，∴ S△COD＝S△AOD＝4.∴ S△ACD＝8.
∵ AC是 ABCD的对角线，∴ S△ABC＝S△ACD＝8.∴ S ABCD＝16
第10题
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11. （16分）（徐州中考）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF. 求证：
（1） ∠ECB＝∠FCG.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A＝∠BCD. 由折叠，得∠A＝∠ECG. ∴ ∠BCD＝∠ECG. ∴ ∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF，即∠ECB＝∠FCG
第11题
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（2） △EBC≌△FGC.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠D＝∠B，AD＝BC. 由折叠，得∠D＝∠G，AD＝CG.
∴ ∠B＝∠G，BC＝GC. 又∵ ∠ECB＝∠FCG，
∴ △EBC≌△FGC
第11题
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12. ★★（16分）（扬州中考）如图，在 ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
（1） 求证：BE∥DG，BE＝DG.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，AD＝BC. ∴ ∠DAC＝∠BCA. ∵ BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴ ∠ADG＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC. ∴ ∠ADG＝∠CBE. ∵ ∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，∴ ∠DGE＝∠BEG. ∴ BE∥DG.
第12题
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在△ADG和△CBE中，
∴ △ADG≌△CBE. ∴ BE＝DG
第12题
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（2） 过点E作EF⊥AB，垂足为F. 若 ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积.
解：（2） 过点E作EH⊥BC于点H.
又∵ BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴ EH＝EF＝6.
∵ ABCD的周长为56，∴ AB＋BC＝28.
∴ S△ABC＝ AB EF＋ BC EH＝ EF （AB＋BC）＝ ×6×28＝84
第12题
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12(共16张PPT)
阶段检测（8.1～8.2）
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，BA＝BE，则∠BAE的度数为（ A ）
A. 70° B. 40° C. 75° D. 30°
第1题
A
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2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点E在边AB上，AE＝4 cm.若点P从点B出发在线段BC上以2 cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上从点C出发以2 cm/s的速度向点D运动，则当△BPE与△CQP全等时，运动时间为（ A ）
A. 1 s B. 2 s C. 3 s D. 4 s
第2题
A
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10
11
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，结合作图痕迹，有下列结论：① EF与BD垂直；② AG＝CH；③ DB平分∠ADC；④ 若△AGB的周长为4，则 ABCD的周长为8.其中，正确的个数是（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第3题
C
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11
4. ★如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，BD＝2CD，F为AD的中点，E为OC的中点.若BC＝18，则EF的长为（ C ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
第4题
C
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2
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4
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7
8
9
10
11
二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 在 ABCD中，若∠A＋∠C＝80°，则∠B的度数为 140° .
140°
6. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝78°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF＝ 63 °.
第6题
63
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6
7
8
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10
11
7. 如图，在 ABCD中，对角线BD＝10，AE⊥BD于点E，且AE＝6，BC＝8，则边AD与边BC之间的距离为 7.5 .
第7题
7.5
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6
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11
8. ★在平面直角坐标系xOy中，四边形OABP是矩形，点A的坐标为（6，0），∠POA，∠BAO的平分线OE，AF分别与直线PB交于点E，F. 当点P，B，E，F相邻两点间的距离相等时，点P到原点O的距离为 4或2 .
4或2
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11
三、 解答题（共44分）
9. （14分）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，连接DE，EB，BF，FD，且AE＝CF.
（1） 求证：BE∥DF.
第9题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥DC，AB＝DC. ∴ ∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF. ∴ ∠AEB＝∠CFD.
∴ 180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠BEF＝∠DFE.
∴ BE∥DF
第9题
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（2） 过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，连接BM. 若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长.
解：（2） 由（1），得△ABE≌△CDF，
∴ BE＝DF.
∵ BE∥DF，∴ 四边形BEDF是平行四边形.
∴ DO＝BO.
又∵ OM⊥BD，∴ DM＝BM.
∵ △BFM的周长为12，∴ BM＋MF＋BF＝DM＋MF＋BF＝DF＋BF＝12.∴ 四边形BEDF的周长为12×2＝24
第9题
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11
10. （14分）如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于点G.
（1） 求证：DE＝BF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，AB＝CD. ∵ E，F分别为边AB，CD的中点，∴ BE＝ AB，DF＝ CD. ∴ BE＝DF.
∴ 四边形DEBF是平行四边形.∴ DE＝BF
第10题
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6
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10
11
（2） 若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.
解：（2） 矩形
连接DG. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∵ AG∥DB，∴ 四边形AGBD是平行四边形.又∵ E为边AB的中点，∴ 易得AE＝BE，DE＝CE. ∵ 四边形BEDF是菱形，∴ DE＝BE. ∴ 易得AB＝DG. ∴ 四边形AGBD是矩形
第10题
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11. ★★（16分） 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF.
第11题
（1） 求证：四边形BFDE是菱形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ OB＝OD，OA＝OC，且AC⊥BD.
∵ CF＝AE，∴ OC＋CF＝OA＋AE，即OF＝OE.
∴ 四边形BFDE是菱形
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（2） 若∠ABC＝50°.
① 当∠ABE＝ 20 °时，四边形BFDE是正方形，并将横线处作为条件，对结论加以证明.
20
第11题
解： （2） ① ∵ ∠ABC＝50°，四边形ABCD是菱形，
∴ ∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝25°.
∵ ∠ABE＝20°，∴ ∠EBD＝∠ABD＋∠ABE＝45°.
∵ 四边形BFDE是菱形，∴ ∠EBF＝2∠EBD＝90°.
∴ 四边形BFDE是正方形
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（2） 若∠ABC＝50°.
② 若四边形BFDE是正方形，且面积为50，CF＝3，求OC的长.
第11题
解： ② ∵ 四边形BFDE是正方形，面积为50，
∴ DF2＝50，OD＝OF.
在Rt△DOF中，由勾股定理得，
OD2＋OF2＝DF2＝50.
∴ OD＝OF＝5.∴ OC＝OF－CF＝2
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11(共14张PPT)
小专题（三） 特殊四边形中的折叠问题
第8章 四边形
类型一 折叠平行四边形
1. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3，将纸片沿对角线AC对折，点B的对应点为B′，边B′C与边AD交于点E. 若△CDE恰为等边三角形，则AD的长是（ B ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
第1题
B
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2. 如图，在 ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C处，连接B′D，B′C交AD于点E.
（1） 求证：B′D∥AC.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠DAC＝∠ACB.
∵ 将△ABC沿AC翻折至△AB′C处，
∴ ∠ACB′＝∠ACB，B′C＝BC. ∴ ∠DAC＝∠ACB′，B′C＝AD.
∴ AE＝CE. ∴ B′C－CE＝AD－AE，即B′E＝DE.
∴ ∠CB′D＝∠ADB′.
第2题
∵ ∠AEC＝∠B′ED，∴ 易得∠DAC＋∠ACB′＝∠CB′D＋∠ADB′.∴ 2∠DAC＝2∠ADB′.
∴ ∠ADB′＝∠DAC. ∴ B′D∥AC
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（2） 若∠B＝45°，AB＝ ，BC＝3，求△AEC的面积.
解：（2） 如图，过点C作CG⊥AD于点G，
则∠CGD＝90°.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB＝CD＝ ，∠ADC＝∠B＝45°.
∴ 易得△CDG是等腰直角三角形.∴ CG＝DG.
在Rt△CDG中，由勾股定理，得CG2＋DG2＝CD2，
∴2CG2＝2.∴ CG＝1.∴ CG＝DG＝1.
∵ BC＝3，∴ AD＝BC＝3.∴ AG＝AD－DG＝2.
第2题
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5
6
7
8
由（1），得AE＝CE.
∴ 设AE＝CE＝x，则EG＝2－x.
在Rt△CEG中，由勾股定理，得CG2＋EG2＝CE2，
∴ 12＋（2－x）2＝x2，解得x＝ .∴ AE＝ .
∴ △AEC的面积＝ AE CG＝ × ×1＝
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类型二 折叠矩形
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，将矩形折叠，使得点B落在线段CD上的点F处，则线段BE的长为（ C ）
A. 1
B. 2
C. 2.5
D. 3
第3题
C
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5
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4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，连接BF.
（1） 求证：四边形BGDF是菱形.
解：（1） ∵ 将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，
∴ AF＝EF，AB＝ED，BG＝DG，∠A＝∠E.
∴ △AFB≌△EFD. ∴ BF＝DF.
又∵ GF＝GF，BG＝DG，∴ △FBG≌△FDG.
∴ ∠BFG＝∠DFG.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC.
∴ ∠DFG＝∠BGF. ∴ ∠BFG＝∠BGF.
∴ BF＝BG. ∴ BF＝DF＝BG＝DG.
∴ 四边形BGDF是菱形
第4题
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（2） 求BG的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C＝90°，CD＝AB＝6.
设BG＝DG＝x，则CG＝8－x.
在Rt△CDG中，由勾股定理，得CD2＋CG2＝DG2，
即62＋（8－x）2＝x2，解得x＝ .∴ BG＝
第4题
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类型三 折叠菱形
5. 如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF. 若EF＝2，则此菱形纸片ABCD的对角线BD的长为（ C ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
第5题
C
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6. ★ 如图，将菱形ABCD的四个角沿相邻两边中点的连线向内折叠，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝8，EF＝6.
（1） 四边形EFGH是什么特殊四边形？并证明.
解：（1） 四边形EFGH是矩形
如图，由折叠，得∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵ ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴ 2∠2＋2∠3＝180°.
∴ ∠2＋∠3＝90°.∴ ∠HEF＝90°.
同理，可得∠EFG＝90°，∠FGH＝90°.
∴ 四边形EFGH是矩形
第6题
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（2） 求AD的长.
解：（2） 在Rt△HEF中，EH＝8，EF＝6，
由勾股定理，得HF＝ ＝10.
∵ 四边形EFGH是矩形，∴ EG＝HF＝10.
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝CD，AB∥CD.
∵ E，G分别是AB，CD的中点，
∴ AE＝ AB，DG＝ CD.
∴ AE＝DG. 又∵ AE∥DG，
∴ 四边形AEGD是平行四边形.∴ AD＝EG＝10
第6题
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类型四 折叠正方形
7. 如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E，F分别在边BC，CD上，将AB，AD分别沿AE，AF折叠，点B，D恰好都落在点G处.已知BE＝1，则EF的长为（ B ）
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5
第7题
B
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8. ★★如图，在正方形ABCD中，F为边CD的中点，连接BF. 将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q. 若AB＝4，求QF的长.
第8题
解：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C＝90°，AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD.
∵ F为边CD的中点，∴ CF＝ CD＝2.
∵ 将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，
∴ PB＝BC＝4，FP＝FC＝2，
∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝∠C＝90°.∴ ∠QPB＝90°.
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∵ CD∥AB，∴ ∠CFB＝∠ABF.
∴ ∠ABF＝∠PFB. ∴ QF＝QB.
设QF＝QB＝x，则PQ＝x－2.
在Rt△BPQ中，由勾股定理，得QB2＝PQ2＋PB2，
∴ x2＝（x－2）2＋42，解得x＝5.∴ QF＝5
第8题
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8(共17张PPT)
8.2 特殊的平行四边形
第4课时 菱形的判定
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，再添加下列一个条件能使其成为菱形的是（ B ）
A. ∠A＝∠B
B. AC⊥BD
C. ∠A＝∠C
D. AC＝BD
B
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2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列条件：① AB＝BC＝CD＝AD；② ∠ABC＝∠BCD，∠CDA＝∠DAB；③ OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD；④ ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°.其中，能得到“四边形ABCD是菱形”的条件有（ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
第2题
B
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3. 已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判定 ABCD为菱形的是（ D ）
A. ∠BAC＝∠BCA
B. ∠ABD＝∠CBD
C. OA2＋OB2＝AD2
D. AD2＋OA2＝OD2
D
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4. 如图，P是△ABC的边AB上一点，过点P作PD∥BC，PE∥AC，分别交AC，BC于点D，E，连接CP. 若四边形CDPE是菱形，则CP满足的条件是（ A ）
A. CP平分∠ACB
B. CP⊥AB
C. CP＝AP
D. CP是△ABC的中线
第4题
A
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5. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法错误的是（ C ）
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接AD. 当△ABC满足条件 答案不唯一，如AC＝BC 时，能够判定四边形ACED为菱形（填一个条件即可）.
第6题
答案不唯一，如AC＝BC
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7. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 有下列条件：① AB∥CD； ② OA＝OC；③ AB＝AD；④ AC平分∠DAB. 从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形的是 答案不唯一，如①②③ （填序号，写出一种即可）.
答案不唯一，如①②③
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8. 如图，在 ABCD中，AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于点E，交BC于点F，连接AF，CE. 现添加下列条件中的一个：① OE＝OA；② EF⊥AC；③ E为AD的中点.其中，能判定四边形AFCE是菱形的有 2 个.
第8题
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9. ★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作 CDEB. 当AD＝ 时， CDEB为菱形.
第9题
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，BA⊥AC，E为BC的中点，连接AE. 若∠BAE＋∠CAD＝90°，AE∥CD. 求证：四边形AECD是菱形.
第10题
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解：∵ BA⊥AC，∴ ∠BAC＝90°.∴ ∠BAE＋∠EAC＝90°.
∵ ∠BAE＋∠CAD＝90°，∴ ∠CAE＝∠CAD.
∵ E为BC的中点，BA⊥AC，∴ AE＝CE.
∴ ∠EAC＝∠ACE. ∴ ∠CAD＝∠ACE.
∴ AD∥BC.
∵ AE∥CD，∴ 四边形AECD是平行四边形.
∵ AE＝CE，∴ 四边形AECD是菱形
第10题
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11. （14分） 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，M，N分别在AD及其延长线上，CM∥BN，连接BM，CN. 当△ABC满足什么条件时，四边形BMCN是菱形？请说明理由.
第11题
解：当△ABC满足AB＝AC时，四边形BMCN是菱形
理由：∵ CM∥BN，∴ ∠DBN＝∠DCM.
∵ D是边BC的中点，∴ BD＝CD.
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理由：∵ CM∥BN，∴ ∠DBN＝∠DCM.
∵ D是边BC的中点，∴ BD＝CD.
在△BDN和△CDM中，
∴ △BDN≌△CDM. ∴ DN＝DM.
又∵ BD＝CD，∴ 四边形BMCN是平行四边形.
∵ AB＝AC，D是边BC的中点，
∴ AD⊥BC，即MN⊥BC. ∴ 四边形BMCN是菱形.
第11题
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12. ★★（18分）（教材变式）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，F是BD的中点，连接CF并延长到点E，使FE＝CF，连接BE，AE.
（1） 求证：四边形AEBD是菱形.
第12题
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解：（1） ∵ F是BD的中点，∴ DF＝BF.
∵ CF＝EF，∠CFD＝∠EFB，
∴ △CDF≌△EBF.
∴ CD＝BE，∠FCD＝∠FEB. ∴ BE∥CD.
∵ ∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴ BD＝ AC＝AD＝CD. ∴ BE＝CD＝AD.
∴ 四边形AEBD是平行四边形.
∵ BD＝AD，∴ 四边形AEBD是菱形
第12题
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（2） 若BC＝8，BE＝5，求△AEC的面积.
解：（2） 连接ED. ∵ BE∥CD，CD＝BE，
∴ 四边形BCDE是平行四边形.∴ DE＝BC＝8.
∵ AD＝BE＝5，BD是△ABC的中线，
∴ AC＝2AD＝10.
∵ ∠ABC＝90°，BC＝8，
∴ AB＝ ＝ ＝6.
由（1），知△CDF≌△EBF，四边形AEBD是菱形，
第12题
∴ S△AEC＝S四边形AEFD＋S△CDF＝S四边形AEFD＋S△EBF＝
S菱形AEBD＝ AB DE＝ ×6×8＝24
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12(共17张PPT)
8.1 平行四边形
第4课时 由对角线的关系判定平行四边形
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 已知在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，则添加的条件可以是（ D ）
A. AC＝BD B. OA＝OB
C. OA＝AD D. OB＝OD
D
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2. 已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，能判定它是平行四边形的为（ D ）
A. AB∥CD，AD＝BC
B. AB＝CD，AO＝CO
C. AB＝CD，∠DAB＝∠BCD
D. AB∥CD，DO＝BO
D
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3. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点.有下列条件：① AE＝CF；② DE＝BF；③ ∠ADE＝∠CBF；④ ∠ABE＝∠CDF. 其中，不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ B ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第3题
B
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4. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为（ D ）
A. 6 B. 12 C. 20 D. 24
第4题
D
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5. ★如图①，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角.要在对角线BD上找出点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙两种方案，则（ C ）
第5题
C
A. 甲正确，乙不正确 B. 乙正确，甲不正确
C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都不正确
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二、 填空题（每题8分，共24分）
6. 已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且OB＝OD.
若AC＝24 cm，则当OA＝ 12 cm时，四边形ABCD是平行四边形.
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7. 如图，点D在△ABC的边AB上，E为边AC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接AF，FC，CD，则四边形ADCF 是 平行四边形（填“是”或“不是”）.
第7题
是
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8. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，有下列四个条件：① AB∥CD；② AD∥BC；③ OA＝OC；④ OB＝OD. 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法共有 6 种.
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三、 解答题（共46分）
9. （14分）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连接EO并延长交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC.
（1） 求证：O是线段AC的中点.
解：（1） ∵ ∠AEF＝∠CFE，∴ AD∥BC.
∵ AD＝BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.
∴ AC，BD互相平分，即O是线段AC的中点
第9题
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（2） 连接AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形.
解：（2） ∵ AD∥BC，∴ ∠EAC＝∠FCA.
∵ O是线段AC的中点，∴ OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE＝OF.
又∵ OA＝OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形
第9题
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10. （16分） 如图，有下列条件：① 四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD，AC，BC于点E，O，F；② EF⊥AC；③ OA＝OC.
（1） 求证：四边形AFCE是平行四边形.
第10题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AE∥CF. ∴ ∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
∴ △AOE≌△COF. ∴ OE＝OF.
又∵ OA＝OC，∴ 四边形AFCE是平行四边形
第10题
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（2） 小明发现：本题①②③三个已知条件中，有一个多余条件，去掉这个条件，四边形AFCE是平行四边形的结论依然成立，则可以去掉的这个条件是 ② （填序号）.
②
第10题
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11. ★（16分）（教材变式）如图①，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，直线EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，直线GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
第11题
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（1） 求证：四边形EGFH是平行四边形.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴ ∠EAO＝∠FCO.
∵ O是AC的中点，∴ OA＝OC.
又∵ ∠AOE＝∠COF，
∴ △OAE≌△OCF. ∴ OE＝OF.
同理，可得OG＝OH.
∴ 四边形EGFH是平行四边形
第11题
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（2） 如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的平行四边形.
解：（2） 图②中与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH
第11题
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11(共18张PPT)
8.2 特殊的平行四边形
第3课时 菱形及其性质
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （常州中考）如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，AB＝5.若∠ABD＝30°，则AC的长是（ B ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 10
第1题
B
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2. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝140°，AE⊥CD于点E，AE与对角线BD交于点F，则∠DFE的度数为（ A ）
A. 70° B. 40° C. 75° D. 30°
第2题
A
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3. （教材变式）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ A ）
A. B. 6
C. D. 12
第3题
A
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4. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH. 若∠BCD＝50°，则∠DHO的度数为（ B ）
A. 20° B. 25°.
C. 27° D. 40°
第4题
B
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5. ★★如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6.过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ A ）
A. 24 B. 30
C. 36 D. 48
第5题
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （福建中考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F. 若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为 1 .
第6题
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7. （教材变式）如图，一个木制的活动衣架由3个全等的菱形构成.已知菱形的边长为13 cm，当挂钩B，D间的距离是30 cm时，则挂钩A，C间的距离是 24 cm.
第7题
24
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8. （广州中考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（－2，0）.若点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是 （－5，4） .
第8题
（－5，4）
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9. ★★ 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF＋BF的最小值为 .
第9题
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）（教材变式）如图，E为菱形ABCD的对角线BD上一点，连接AE，CE.
（1） 求证：AE＝CE.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC，∠ABD＝∠CBD.
在△ABE和△CBE中，
∴ △ABE≌△CBE. ∴ AE＝CE
第10题
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（2） 若AE＝DE，∠BCE＝75°，求∠ABC的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD.
∴ ∠ABD＝∠ADB.
∵ AE＝DE，∴ ∠EAD＝∠ADB＝∠ABD.
由（1）知，△ABE≌△CBE，∴ ∠BAE＝∠BCE＝75°.
∵ ∠ABD＋∠ADB＋∠DAE＋∠BAE＝180°，
∴ 3∠ABD＋75°＝180°.∴ ∠ABD＝35°.
∴ ∠ABC＝2∠ABD＝70°
第10题
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11. （16分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°，且边EF与直线DC相交于点F. 求证：AE＝EF.
第11题
解：连接EC. ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB＝BC＝AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝60°.
∵ ∠ABC＝60°，∴ △ABC是等边三角形.
∴ AC＝BA.
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BD⊥AC，AO＝CO.
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∴ BD垂直平分AC. ∴ EA＝EC. ∴ ∠EAC＝∠ECA.
∵ DA＝DC，∴ ∠DAC＝∠DCA.
∴ ∠EAC＋∠DAC＝∠ECA＋∠DCA.
∴ ∠DAE＝∠DCE.
∵ ∠AEF＝120°，∠ADC＝60°，
∴ ∠DAE＋∠F＝360°－∠AEF－∠ADC＝180°.
第11题
∵ ∠DCE＋∠ECF＝180°，∴ ∠DAE＋∠ECF＝180°.
∴ ∠F＝∠ECF. ∴ EF＝EC. ∴ AE＝EF
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12. ★★（16分）已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF.
第12题
（1） 如图①，当E是线段AC的中点，且AB＝2时，求△ABC的面积.
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BA＝BC.
∵ ∠ABC＝60°，∴ △ABC是等边三角形.
∴ AC＝AB＝BC＝2.
∵ BA＝BC，E是线段AC的中点，
∴ BE⊥AC，AE＝ AC＝1.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE2＝AB2－AE2＝3，
∴ BE＝ .∴ △ABC的面积＝ ×AC×BE＝ ×2× ＝
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（2） 如图②，当E不是线段AC的中点时，求证：BE＝EF.
解：（2） 如图②，过点E作EG∥BC交AB于点G.
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°.
∴ ∠AGE＝∠ABC＝∠AEG＝∠ACB＝60°.
∴ △AGE 是等边三角形，180°－∠AGE＝180°－∠ACB，
即∠BGE＝∠ECF. ∴ AE＝EG＝AG.
∴ AB－AG＝AC－AE，即BG＝CE.
∵ CF＝AE，∴ EG＝CF.
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在△BGE和△ECF中，
∴ △BGE≌△ECF. ∴ BE＝EF
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12(共16张PPT)
8.3 三角形的中位线
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. （教材变式）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，FD得△DEF. 如果△ABC的周长是24 cm，那么△DEF的周长是（ B ）
A. 6 cm B. 12 cm C. 18 cm D. 48 cm
第1题
B
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2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，N是边BC上的一点，M为边AB上的动点（不与点B重合），D，E分别为CN，MN的中点，则DE长的取值范围是（ D ）
A. ＜DE＜4
B. 3≤DE＜4
C. 3≤DE≤4
D. ≤DE＜4
第2题
D
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3. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，AE⊥BC，垂足为E，D是AC上一点，连接BD，F是BD的中点.当EF＝1时，AD的长为（ C ）
A. B. 2 C. 1 D.
第3题
C
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4. ★★如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝3，BD＝4，E，F分别是边AB，CD的中点，则EF的长是（ C ）
A. B. 3 C. D. 2
第4题
C
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二、 填空题（每题8分，共32分）
5. （浙江中考）如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE. 若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 4 .
第5题
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6. 如图，△ABC的周长为28，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，连接MN. 若BC＝12，则MN的长为 2 .
第6题
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7. 如图，点P在线段AB上，CA⊥AB，DB⊥AB，AB＝4，AC＝5，DB＝2，M，N分别是PC，PD的中点，则线段MN长为 2.5 .
第7题
2.5
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8. ★★如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长为 .
第8题
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三、 解答题（共44分）
9. （14分） 如图，E，F，G，H分别为线段AB，BC，CD，AD的中点.
第9题
（1） 求证：四边形EFGH为平行四边形.
解：（1） ∵ E，F，G，H分别为线段AB，BC，
CD，AD的中点，
∴ EH是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线.
∴ EH∥BD且EH＝ BD，FG∥BD且FG＝ BD.
∴ EH∥FG且EH＝FG. ∴ 四边形EFGH为平行四边形
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（2） 当AC，BD满足 AC＝BD 时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足 AC⊥BD 时，四边形EFGH为矩形；当AC，BD满足 AC＝BD且AC⊥BD 时，四边形EFGH为正方形.
AC＝BD
AC⊥BD
AC＝BD且AC⊥BD
第9题
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10. （12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使AD＝ AB，连接DE，DF，DE交AF于点P.
（1） 求证：AP＝FP.
第10题
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解：（1） 如图，连接EF，AE.
∵ E，F分别是BC，AC的中点，
∴ EF∥AB，EF＝ AB.
又∵ AD＝ AB，∴ EF＝AD.
又∵ EF∥AD，∴ 四边形AEFD是平行四边形.
∴ AF与DE互相平分，∴ AP＝FP
第10题
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（2） 若BC＝10，求DF的长.
解：（2） 在Rt△ABC中，
∵ E为BC的中点，BC＝10，
∴ AE＝ BC＝5.
又∵ 四边形AEFD是平行四边形，
∴ DF＝AE＝5
第10题
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11. ★★（18分）（教材变式）在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，连接MP，NP.
第11题
（1） 如图①，连接MN，求证：∠PMN＝∠PNM.
解：（1） ∵ P，M，N分别是BD，DC，AB的中点，∴ PN，PM分别是△ABD，△BCD的中位线.∴ PN＝ AD，PM＝ BC.
∵ AD＝BC，∴ PN＝PM. ∴ ∠PMN＝∠PNM
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第11题
（2） 如图②，连接AC，Q是AC的中点，连接MQ，NQ.
① 若AD＝8，则四边形PMQN的周长为 16 .
16
② 若AD＝4，且∠DAB＋∠ABC＝90°，则四边形PMQN的面积为 4 .
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11(共18张PPT)
小专题（四） 特殊四边形中的动点问题
第8章 四边形
类型一 矩形中的动点问题
1. 如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一动点，F是CD边的中点，连接AE，EF，M，N分别为AE，EF的中点，连接MN. 在点E从点B运动到点C的过程中，线段MN的变化为（ C ）
A. 越来越长 B. 越来越短
C. 长度不变 D. 无法确定
第1题
C
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2. ★★如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，M是线段BC上一动点，连接DM，沿DM翻折△DCM，点C的对应点为N，连接BN. 当BN的长最小时，CM的长是 3 .
第2题
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3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝16，AB＝6，E为AD的中点.点F从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动，连接AF，EF，CE. 设点F运动的时间为t秒.
（1） 当t为何值时，AF＝CE？
第3题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，
AD＝16，AB＝6，E为AD的中点，
∴ AE＝DE＝8，BC＝AD＝16，
CD＝AB＝6，∠D＝90°.
在Rt△DEC中，由勾股定理，得CE＝ ＝10.
∴ AF＝10.由题意，得BF＝t.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2＝AF2，
即62＋t2＝102，解得t＝8（负值舍去），
即当t＝8时，AF＝CE
第3题
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7
（2） 当△CEF为直角三角形时，求△CEF的面积.
解：（2） 当∠CEF＝90°时，过点F作FG⊥AD于点G，则易得四边形ABFG为矩形.
∴ AG＝BF＝t，FG＝AB＝6，∠AGF＝90°.
∴ CF＝16－t，GE＝AE－AG＝8－t，∠FGE＝90°.
在Rt△FGE中，由勾股定理，得FE2＝GE2＋FG2＝（8－t）2＋62；在Rt△CEF中，由勾股定理，得FE2＝CF2－CE2＝（16－t）2－102.
第3题
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∴ （8－t）2＋62＝（16－t）2－102，解得t＝ .
∴ CF＝16－t＝ .
∴ △CEF的面积＝ × ×6＝ ；
当∠EFC＝90°时，易得四边形ABFE为矩形，
∴ EF＝AB＝6，AE＝BF＝t＝8.
∴ CF＝16－8＝8.∴ △CEF的面积＝ ×8×6＝24.
综上所述，当△CEF为直角三角形时，△CEF的面积为 或24
第3题
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类型二 菱形中的动点问题
4. 如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一动点.已知菱形的边长为5，对角线AC的长为6，则△PMN周长的最小值是（ C ）
A. 11 B. 10 C. 9 D. 8
第4题
C
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5. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16.若M，N分别是边AD，BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E，F，则ME＋NF的值为 6 .
第5题
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6. 已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，M，N分别是边BC，CD上的动点，且∠MAN＝60°.
第6题
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（1） 如图①，求证：CM＋CN＝BC.
解：（1） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ABC＝60°，
∴ AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°.
∴ △ABC，△ACD都是等边三角形.
∴ AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°＝∠MAN.
∴ 易得∠BAM＝∠CAN. ∵ AB＝AC，∠B＝∠ACN＝60°，
∴ △BAM≌△CAN. ∴ BM＝CN.
∴ BC＝BM＋MC＝CN＋CM，即CM＋CN＝BC
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（2） 如图②，AM，AN分别交BD于点E，F，过点E作EG∥AN交DC的延长线于点G，求证：EA＝EG.
解：（2） 如图②，连接EC，AC.
∵ BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴ △ABE≌△CBE. ∴ AE＝EC，∠BAE＝∠BCE.
∴ ∠ECB＝∠CAN.
∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB∥CD.
∴ ∠BCG＝∠ABC＝60°.
∵ EG∥AN，∴ ∠G＝∠AND.
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∵ ∠AND＝∠CAN＋∠ACN＝60°＋∠CAN，
∠ECG＝60°＋∠ECB，∠ECB＝∠CAN，
∴ ∠ECG＝∠AND＝∠G.
∴ EC＝EG. ∴ EA＝EG
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类型三 正方形中的动点问题
7. 如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
（1） 求证：四边形DEFG是正方形.
第7题
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解：（1） 如图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则易得四边形EMCN是矩形.
∴ ∠MEN＝90°.
∵ E是对角线AC上一动点，∴ EM＝EN.
∵ 四边形DEFG是矩形，∴ ∠DEF＝90°.
∴ ∠DEN＝∠MEF＝90°－∠FEN.
在△DEN和△FEM中，
∴ △DEN≌△FEM. ∴ EF＝DE.
∵ 四边形DEFG是矩形，∴ 四边形DEFG是正方形
第7题
1
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3
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5
6
7
（2） 猜想CE与CG之间的位置关系，并说明理由.
解：（2） CE⊥CG
理由：∵ 四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴ DE＝DG，AD＝DC，∠ADC＝∠EDG＝90°.
∴ ∠CDG＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE.
∴ ∠CDG＝∠ADE.
第7题
在△ADE和△CDG中，
∴ △ADE≌△CDG. ∴ ∠CAD＝∠DCG.
1
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7
∵ ∠ACD＋∠CAD＋∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，
∴ ∠ACG＝∠ACD＋∠DCG＝∠ACD＋∠CAD＝90°.
∴ CE⊥CG.
第7题
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7
（3） 若AB＝ ，则CE＋CG的值为 2 .
第7题
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7(共20张PPT)
8.2 特殊的平行四边形
第5课时 正方形及其性质与判定
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD为正方形的是（ A ）
A. AB＝AD B. OA＝OB
C. AC＝BD D. DC⊥BC
A
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2. （自贡中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，－2）.若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（ A ）
A. （－3，5） B. （5，－3）
C. （－2，5） D. （5，－2）
第2题
A
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11
3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AD∥BC，AD＝BC. 有下列条件：① AB＝CD；② AB＝AD；③ AC＝BD；④ AC⊥BD. 若要使四边形ABCD为正方形，则需要添加的条件是（ D ）
A. ①② B. ①③
C. ①④ D. ②③或③④
D
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4. ★ 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上.若AE＝3，CF＝2，△BEF的面积为11，则正方形ABCD的面积为（ B ）
A. 25 B. 28 C. 33 D. 36
第4题
B
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11
5. ★（恩施中考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上，且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BEF周长的最小值为（ B ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
第5题
B
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8
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10
11
二、 填空题（每题8分，共24分）
6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF. 现添加一个条件： 答案不唯一，如AC＝BC ，可使四边形BECF是正方形.
第6题
答案不唯一，
如AC＝BC
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7. （德州中考）如图，正方形ABCD的边长为4，点G在BC上，且BG＝3，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，则EG的长为 2.6 .
第7题
2.6
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11
8. ★★ 将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为 （5，1）或（－1 .
（5，1）或（－1，5）
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三、 解答题（共46分）
9. （15分）（广安中考）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：△ADE≌△CBF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD＝BC，BC∥AD. ∴ ∠ADE＝∠CBF.
在△ADE 和△CBF 中，
∴ △ADE≌△CBF
第9题
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11
（2） 若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长.
解：（2） 连接AC交BD于点O.
∵ 四边形ABCD为正方形，BD＝10，
∴ BD垂直平分AC，OA＝OC＝OB＝OD＝ BD＝5.
∴ AF＝CF，AE＝CE.
由（1）可知，△ADE≌△CBF，∴ AE＝CF.
∴ AF＝CF＝AE＝CE. ∴ 四边形AECF是菱形.
∴ OF＝OE＝ EF.
第9题
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11
∵ 四边形AECF的周长为4AF＝4 ，∴ AF＝ .
在Rt△AOF中，由勾股定理，得OF＝ ＝ ＝3，
∴ EF＝2OF＝6，即EF的长为6
第9题
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10. （15分）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠BEF，∠DFE的平分线交于点A，过点A分别作AB⊥CE，交CE的延长线于点B，AD⊥CF，交CF的延长线于点D. 求证：四边形ABCD是正方形.
第10题
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11
解：过点A作AG⊥EF于点G. ∴ ∠AGE＝∠AGF＝90°.
∵ AB⊥CE，AD⊥CF，∴ ∠B＝∠D＝90°＝∠C.
∴ 四边形ABCD是矩形.∵ AE平分∠BEF，AF平分∠DFE，
∴ ∠AEB＝∠AEG，∠AFG＝∠AFD.
在△AEB和△AEG中，
∴ △AEB≌△AEG. ∴ AB＝AG. 同理，可得AD＝AG.
∴ AB＝AD. ∴ 四边形ABCD是正方形
第10题
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11. ★★（16分） 如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是线段AO上的一个动点（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，交边CD于点E.
（1） 求证：PB＝PE.
第11题
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解：（1） 如图①，过点P作MN∥AD，交AB于点M，交CD于点N.
∵ PB⊥PE，∴ ∠BPE＝90°.∴ ∠MPB＋∠EPN＝90°.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DAC＝45°，∠BAD＝∠D＝∠BCD＝90°.
∵ AD∥MN，∴ ∠BMP＝∠BAD＝∠PNE＝
∠D＝90°，∠NPC＝∠DAC＝45°.
∴ ∠MPB＋∠MBP＝90°.∴ ∠EPN＝∠MBP.
在Rt△NCP中，∠NPC＝45°，
∴ 易得△NCP是等腰直角三角形.∴ PN＝CN.
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∵ ∠BMP＝∠PNC＝∠BCD＝90°，∴ 四边形MBCN是矩形.
∴ BM＝CN. ∴ BM＝PN.
在△BMP和△PNE中，
∴ △BMP≌△PNE. ∴ PB＝PE
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11
（2） 如图②，过点E作EF⊥AC于点F. 若正方形ABCD的边长为2，则在点P运动的过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，请求出PF的长；若变化，请说明理由.
第11题
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11
解：（2） 不发生变化
如图②，连接OB.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC.
∵ O是AC的中点，∴ OB⊥AC. ∴ ∠AOB＝90°.
∴ ∠OBP＋∠BPO＝90°.
∵ EF⊥AC，∴ ∠EFP＝90°.∴ ∠AOB＝∠EFP.
∵ ∠BPE＝90°，∴ ∠BPO＋∠OPE＝90°.∴ ∠OBP＝∠OPE.
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11
在△OBP和△FPE中，
∴ △OBP≌△FPE. ∴ PF＝OB.
∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAC＝45°.
又∵ ∠AOB＝90°，∴ 易得△ABO是等腰直角三角形.
∴ OA＝OB.
在Rt△ABO中，由勾股定理，得OA2＋OB2＝AB2，
∴ 2OB2＝4.∴ OB＝ .∴ PF＝OB＝
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11(共15张PPT)
8.4 梯 形
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，把梯形ABCD沿AD方向平移得到梯形EFGH，其中∠C＝90°，HG＝24 cm，WG＝8 cm，WC＝6 cm，则涂色部分的面积为（ D ）
A. 120 cm2 B. 144 cm2
C. 148 cm2 D. 168 cm2
第1题
D
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2. 如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，以AB为边作一个三角形，使四边形EBCD成为一个平行四边形.若AB＝6 cm，BC－AD＝4 cm，则下列所给的量中，可以求的是（ A ）
A. △ABE的周长
B. △ABE边上的高
C. 等腰梯形ABCD与△ABE周长的差
D. AD与BE的差
第2题
A
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11
3. 如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，点A，C的坐标分别是（1，2），（3，0），则点B的坐标是（ C ）
A. （3，2）
B. （2，3）
C. （2，2）
D. 无法确定
第3题
C
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4. （教材变式）在四边形ABCD中，如果AB与CD不平行，AC与BD相交于点O，那么下列条件中，能判定四边形ABCD是等腰梯形的为（ C ）
A. AC＝BD＝BC
B. AB＝AD＝CD
C. OB＝OC，OA＝OD
D. OB＝OC，AB＝CD
C
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二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线.有下列条件：① AB＝DC；② BD平分∠ABC；③ ∠ABC＝∠C；④ ∠A＋∠C＝180°.其中，能推得梯形ABCD是等腰梯形的是 ①③④ （填序号）.
第5题
①③④
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6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60°，BC＝6 cm，则梯形ABCD的周长为 30 cm .
第6题
30 cm
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7. ★如图，四边形ABCD是等腰梯形，上底CD＝6 cm，过点C作CE⊥BC，且CE＝BC＝13 cm，连接DE. 若△DCE的面积为36 cm2，则AB的长为 30 cm.
第7题
30
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8. ★★如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AD＝4，BC＝8，则AE＝ 6 .
第8题
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三、 解答题（共44分）
9. （14分）（教材变式）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠AEF＝∠ADF.
（1） 求证：四边形AEFD是平行四边形.
解：（1） ∵ AD∥BC，∴ ∠DAE＋∠AEF＝180°.
∵ ∠AEF＝∠ADF，∴ ∠DAE＋∠ADF＝180°.
∴ AE∥DF. ∴ 四边形AEFD是平行四边形
第9题
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（2） 若BE＝FC，求证：四边形AEFD是矩形.
解：（2） 在等腰梯形ABCD中，AB＝CD，
∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AE＝DF.
在△ABE和△DCF中，
∴ △ABE≌△DCF. ∴ ∠AEB＝∠DFC.
∴ 180°－∠AEB＝180°－∠DFC，即∠AEF＝∠DFE.
第9题
∵ AE∥DF，∴ ∠AEF＋∠DFE＝180°.
∴ ∠AEF＝90°.∴ 四边形AEFD是矩形
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10. （12分）如图，在梯形ABCD中，M是边AB的中点，N是边CD的中点，AD＝4，MN＝5，求BC的长.
第10题
解：如图，连接AN并延长交BC的延长线于点E.
∵ 四边形ABCD是梯形，∴ AD∥BC.
∴ ∠NAD＝∠E，∠NDA＝∠NCE.
∵ N是边CD的中点，∴ DN＝CN.
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在△ADN和△ECN中，
∴ △ADN≌△ECN.
∴ AD＝CE＝4，AN＝NE，
即N是AE的中点.
又∵ M是AB的中点，∴ BE＝2MN＝10.
∴ BC＝BE－CE＝10－4＝6
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11. ★★（18分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别为BM，CM的中点.求证：
（1） △ABM≌△DCM.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，∴ AB＝CD，∠A＝∠D. ∵ M为AD的中点，∴ AM＝DM.
在△ABM和△DCM中，
∴ △ABM≌△DCM
第11题
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11
（2） 四边形MENF是菱形.
解：（2） ∵ △ABM≌△DCM，∴ BM＝CM.
∵ M，N分别为AD，BC的中点，E，F分别为BM，CM的中点，∴ EN＝ CM＝MF，
FN＝ BM＝EM.
∴ ME＝EN＝NF＝FM. ∴ 四边形MENF是菱形
第11题
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11(共17张PPT)
8.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质2
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论中，一定成立的是（ B ）
A. AC⊥BD
B. OA＝OC
C. AC＝AB
D. OA＝OB
第1题
B
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11
2. 一个平行四边形的对角线长分别为x，y，一边长为14，则x，y的值可能分别是（ B ）
A. 12和16
B. 20和22
C. 10和16
D. 8和36
B
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3. （教材变式）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD，交AD于点E，连接BE. 若 ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（ D ）
A. 28
B. 24
C. 21
D. 14
第3题
D
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11
4. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC. 若AB＝4，AC＝6，则BD的长为（ C ）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
第4题
C
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11
二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若△AOB的面积为3，则 ABCD的面积为 12 .
12
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11
6. 如图，若 ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，且OB＝2.5 cm，则△ABD的周长为 16 cm .
第6题
16 cm
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11
7. 已知 ABCD的周长是22 cm，AC和BD交于点O，△OAB的周长比△OBC小3 cm，则AB的长为 4 cm .
4 cm
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11
8. ★如图，点A（0，8），B（0，－2），E（0，5），F（－5，0），C为直线EF上一动点，则 ACBD的对角线CD长的最小值是 2 .
第8题
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5
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11
三、 解答题（共44分）
9. （14分）如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，E，F分别为OA，OC的中点，连接BE，DF.
（1） 求证：△ABE≌△CDF.
第9题
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11
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，OA＝OC，AB∥CD. ∴ ∠BAE＝∠DCF.
∵ E，F分别为OA，OC的中点，
∴ AE＝ OA，CF＝ OC. ∴ AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF
第9题
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11
（2） 若BD＝2AB，且AB＝20，CF＝12，求DF的长.
解：（2） ∵ BD＝2AB，且AB＝20，∴ BD＝40.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OD＝ BD＝20＝AB＝CD. ∴ △DCO为等腰三角形.∵ F为OC的中点，∴ DF⊥AC. 在Rt△CDF中，CF＝12，CD＝20，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝16
第9题
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11
10. （14分）（教材变式）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条线段EF交AB于点E，交CD于点F，求证：BE＝DF.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，OB＝OD. ∴ ∠EBO＝∠FDO.
在△BEO和△DFO中，
∴ △BEO≌△DFO. ∴ BE＝DF
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11. ★★（16分） 已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别交于点E，F.
第11题
（1） 如图①，求证：OE＝OF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ OB＝OD，AB∥CD.
∴ ∠EBO＝∠FDO.
又∵ ∠BOE＝∠DOF，∴ △BOE≌△DOF. ∴ OE＝OF
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（2） 如图②，若AD＝1，BD＝2，AC＝2 ，∠DOF＝α.
① 当α为多少时，EF⊥AC？
② 在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
第11题
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解：（2） ① ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ OD＝ BD＝1，OA＝OC＝ AC＝ .
又∵ AD＝1，∴ AD2＋OD2＝OA2.
∴ △ADO是等腰直角三角形，且∠ADO＝90°.
∴ ∠AOD＝45°.
∵ EF⊥AC，∴ ∠AOF＝90°.
∴ ∠DOF＝∠AOF－∠AOD＝90°－45°＝45°，即α为45°
第11题
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② ∵ OA＝OC，EF⊥AC，∴ EF垂直平分AC. ∴ AF＝FC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB.
又∵ AB＝ ＝ ，∴ CD＝ .
∴ △ADF的周长＝AD＋DF＋AF＝AD＋DF＋FC＝AD＋CD＝1＋
第11题
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11(共15张PPT)
8.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形及其性质
第8章 四边形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （成都中考）在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ C ）
A. AB＝AD
B. AC⊥BD
C. AC＝BD
D. ∠ACB＝∠ACD
C
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2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为E. 若BD＝15 cm，则边AB的长为（ C ）
A. 5 cm B. 6 cm
C. 7.5 cm D. 8 cm
第2题
C
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3. （十堰中考）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（ C ）
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. 对角线BD的长度减少
C. 四边形ABCD的面积不变
D. 四边形ABCD的周长不变
第3题
C
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4. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，且EF垂直平分BD. 若AB＝6，BC＝4，则线段CF的长为（ D ）
A.
B. 1
C.
D.
第4题
D
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5. ★★如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是边CD上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH＋EG的值是（ A ）
A. 2.4
B. 2.5
C. 3
D. 4
第5题
A
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二、 填空题（每题8分，共24分）
6. （教材变式）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD. 若AC＝10，则四边形OCED的周长是 20 .
第6题
20
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7. 如图，在矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过点M作AB的平行线交AD于点E，交BC于点F，连接DM和BM. 若DE＝3，ME＝8，则图中涂色部分的面积为 24 .
第7题
24
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8. ★（哈尔滨中考）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD的边上，连接OF. 若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ 46°或106° .
46°或106°
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三、 解答题（共46分）
9. （14分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F.
（1） 求证：△DAF≌△ECF.
解：（1） ∵ 将矩形ABCD沿对角线AC折叠，
∴ AD＝BC＝EC，∠D＝∠B＝∠E＝90°.
第9题
在△DAF和△ECF中，
∴ △DAF≌△ECF
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（2） 若∠ECF＝40°，求∠CAB的度数.
解：（2） ∵ △DAF≌△ECF，∴ ∠DAF＝∠ECF＝40°.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠DAB＝90°.
∴ ∠EAB＝∠DAB－∠DAF＝50°.
由折叠，得∠EAC＝∠CAB.
∵ ∠EAB＝∠EAC＋∠CAB，
∴ ∠CAB＝25°
第9题
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10. （14分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD.
（1） 求证：DF＝CF.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OC＝ AC，OD＝ BD，AC＝BD.
∴ OC＝OD.
∴ ∠ACD＝∠BDC.
∵ ∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴ ∠CDF＝∠DCF. ∴ DF＝CF
第10题
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（2） 若∠CDF＝60°，DF＝1，求边BC的长.
解：（2） ∵ DF＝CF，∠CDF＝60°，
∴ △CDF是等边三角形.
∴ CD＝DF＝1.∵ ∠CDF＝∠BDC，∠CDF＝60°，∴ ∠BDC＝60°.
又∵ OC＝OD，∴ △OCD是等边三角形.
∴ OD＝CD＝1.∴ BD＝2OD＝2.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCD＝90°.
第10题
在Rt△BCD中，由勾股定理，得BC2＋CD2＝BD2，
∴ BC2＋12＝22.∴ BC＝
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11. ★★（18分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且DF＝BE.
（1） 求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：（1） ∵ DF＝BE，∴ DF＋EF＝BE＋EF，即DE＝BF.
∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AED＝∠BFC＝90°.
又∵ AD＝BC，∴ Rt△ADE≌Rt△CBF.
∴ ∠ADE＝∠CBF. ∴ AD∥BC.
又∵ AD＝BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形
第11题
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（2） 若AE＝3，AD＝5，当四边形ABCD是矩形时，求AB的长.
解：（2） ∵ AE⊥BD，∴ ∠AED＝∠AEB＝90°.
∵ AE＝3，AD＝5，∴ DE＝ ＝4，AB2＝AE2＋BE2＝9＋BE2.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝90°.∴ BD2＝AB2＋AD2，即（4＋BE）2＝AB2＋25.
∴ 16＋BE2＋8BE＝9＋BE2＋25.∴ BE＝ .
∴ AB＝ ＝ ＝
第11题
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