(共14张PPT)
10.4 分式的乘除
第2课时 分式的混合运算
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 化简x÷ 的结果是（ C ）
A. 1 B. xy C. D.
C
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2. 计算2 3的结果是（ C ）
A. B. － C. D. －
C
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3. 化简 ÷ 的结果是（ A ）
A. x－1 B. x＋1 C. 1－x D.
A
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4. 如果m＋n＝1，那么代数式 （m2－n2）的值为（ D ）
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 计算：2÷ ＝ .
6. 化简 ÷ － 的结果是 1 .
7. 如果代数式 ＝2a－4，那么A＝ a＋1 .
8. ★已知x为整数，且 ÷ 的值也是整数，则x的值为 0或－1或－3或－4 .
1
a＋1
0或－1或－3或－4
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三、 解答题（共52分）
9. （20分）计算：
（1） ＋ ÷ ；
解：
（2） － ÷ ；
解：
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（3） （ － ）÷ ；
解：1
（4） （ － ）÷ .
解：
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10. （10分）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手捂住了一部分（如图）.
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（1） 求所捂部分化简后的结果.
解：（1） 根据题意，得所捂部分为 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
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（2） 若x2－x－1＝0，求（1）中所得代数式的值.
解：（2） ∵ x2－x－1＝0，
∴ x2＝x＋1.∴ ＝ ＝1
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11. （8分）（青海中考）先化简 ÷ ，再从－2，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值.
解：原式＝ ＝ ＝a－2.
由题意，得a≠±2.当a＝0时，原式＝0－2＝－2或当a＝1时，原式＝1－2＝－1
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12. （14分）先化简，再求值：
（1） （宿迁中考） ÷ ，其中x＝－4.
解：（1） 原式＝ ＝ ＝ ＝x＋3.当x＝－4时，原式＝－4＋3＝－1
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（2） ÷ ，且a满足a2＋2a－8＝0.
解：（2） 原式＝ ＝ ＝ ＝ .
∵ a2＋2a－8＝0，∴ a2＋2a＝8.∴ 原式＝ ＝
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10.1 分式的概念
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 在式子 ， ， ， ， ，－ 中，分式的个数是（ C ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
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2. 某校组织了师生共a人来到荷花荡景区游玩，已知租用的观光车每辆限载乘客b人，师生全部上车后还剩一个位置.由此可知，租用的观光车的辆数为（ A ）
A. B. ＋1 C. D. －1
A
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3. 根据下表中的信息，y代表的分式可能是（ B ）
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 无意义 * * * …
A. B. C. D.
B
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4. 有下列分式：① ；② ；③ ；④ .其中，x取任意实数都有意义的分式有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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5. ★已知分式 ，当x＝－a时，下列结论中，正确的是（ C ）
A. 分式的值为0
B. 分式无意义
C. 当a≠－ 时，分式的值为0
D. 当a≠ 时，分式的值为0
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （教材变式）若代数式 有意义，则x的取值范围是 x≠1 .
7. （1） （教材变式）若分式 的值为0，则x＝ －1 ；
（2） （济宁中考）已知a2－2b＋1＝0，则 的值是 2 .
x≠1
－1
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8. 小玉要打一份40 000字的文件，第一天她打字1.5小时，打字速度为a字/分，第二天她的打字速度比第一天快了20字/分，两天打完全部文件.用含a的式子表示第二天打字用的时间为 分 .
分
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9. 在解答题目“请你选取一个自己喜欢的x的值，代入求 的值”时，四名同学的解答如下，甲：当x＝－1时，原式＝0；乙：当x＝0时，原式＝1；丙：当x＝1时，原式＝0；丁：当x＝2时，原式＝
－3.其中，解答错误的是 丙 同学.
丙
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）当x＝4，y＝－2时，求下面各分式的值：
（1） ；
解：当x＝4，y＝－2时，原式＝ ＝3
（2） .
解：当x＝4，y＝－2时，原式＝ ＝
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11. （12分）
（1） ① 当x ＜2 时，分式 的值为正数；
② 当x ＞2 时，分式 的值为负数.
（2） 当x为何值时，分式 的值为正数？
解：∵ 分式 的值为正数，∴ 或
解得x＞2或x＜1
＜2
＞2
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12. （8分）（北京中考）已知a＋b－3＝0，求代数式 的值.
解：∵ a＋b－3＝0，∴ a＋b＝3.∴ 原式＝ ＝ ＝ ＝
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13. ★（14分）已知当x＝－2时，分式 无意义；当x＝1时，此分式的值为0.
（1） 求a，b的值.
解：（1） ∵ 当x＋a＝0时，分式 无意义，且此时x＝－2，
∴ －2＋a＝0，解得a＝2.
∵ 当x－b＝0时，分式 的值为0，且此时x＝1，
∴ 1－b＝0，解得b＝1
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（2） 在（1）的条件下，当分式 的值为正整数时，求整数x的值.
解：（2） 当a＝2，b＝1时，分式 ＝ .
∵ 分式 的值为正整数且x为整数，
∴ x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝4，解得x＝0或x＝1或x＝3
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小专题（七） 分式化简求值的技巧
第10章 分 式
类型一 直接代入求值
1. 先化简，再求值：（1－ ）÷ ，其中m＝5.
解：原式＝ ＝ ＝ .当m＝5时，原式＝ ＝3
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2. 先化简，再求值： ÷（ －a），其中a＝1，b＝－2.
解：原式＝ ＝－ .
当a＝1，b＝－2时，原式＝－ ＝
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类型二 求出字母的值后代入求值
3. 先化简，再求值：（ －1）÷ ，其中x的值是不等式组 的一个整数解.
解：原式＝－ ＝－x＋1.解不等式组，得－1＜x≤2，
∴ 满足不等式组解集的整数有0，1，2.
由分式，得x≠1，x≠2，∴ x＝0.当x＝0时，原式＝1
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4. 已知a是不等式2x－7＞5－2x的最小整数解，求（ －a＋1）÷ 的值.
解：原式＝ ＝ .
解2x－7＞5－2x，得x＞3.
∵ a是不等式2x－7＞5－2x的最小整数解，
∴ a＝4.当a＝4时，原式＝ ＝－
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类型三 选择合适的数代入求值
5. 先化简： ÷（ － ），再从－2，－1，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
由题意，得a≠±2，1.∴ 当a＝－1时，原式＝ ＝
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6. 先化简：（ －x－1）÷ ，再从－1≤x≤1中选取一个合适的整数作为x的值代入求值.
解：原式＝ ＝－x.∵－1≤x≤1，∴ 整数x为－1，0，1.
∵ x＝0或1时，原式无意义，∴ x＝－1.当x＝－1时，原式＝1
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类型四 整体代入求值
7. 已知a－b＝1，求代数式 ÷（a－ ）的值.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .
∵ a－b＝1，∴ 原式＝ ＝
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8. 先化简，再求值：（1＋ ）÷ ，其中a2－ab－2＝0.
解：原式＝ ＝a2－ab.
∵ a2－ab－2＝0，∴ a2－ab＝2.
∴ 原式＝2
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9. 先化简，再求值：（x＋2－ ）÷ ，其中x2＋3x－1＝0.
解：原式＝ ＝3x2＋9x.∵ x2＋3x－1＝0，∴ x2＋3x＝1.∴ 原式＝3x2＋9x＝3（x2＋3x）＝3×1＝3
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类型五 倒数法求值
10. ★已知 ＝ ，求：
（1） x＋ 的值.
解：∵ ＝ ，∴ ＝2.
∴ － ＋ ＝2.∴ x－3＋ ＝2.∴ x＋ ＝5
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（2） 的值.
解：由（1），知x＋ ＝5.
∵ ＝ ＋ ＋ ＝x2＋2＋ ＝2，
∴ ＝25.∴ ＝
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10.5 分式方程
第1课时 分式方程的概念
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 有下列方程：① ＝1；② ＝2；③ ＝ ；④ ＋ ＝5.其中，是分式方程的有（ D ）
A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ②③④
D
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2. A地到B地的铁路长270千米，动车运行后的平均速度是原来火车平均速度的1.8倍，这样由A地到B地的行驶时间缩短了2小时.设原来火车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（ D ）
A. ＋1.8＝
B. －1.8＝
C. ＋2＝
D. －2＝
D
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3. （济宁中考）解分式方程1－ ＝－ 时，去分母变形正确的是（ A ）
A. 2－6x＋2＝－5
B. 6x－2－2＝－5
C. 2－6x－1＝5
D. 6x－2＋1＝5
A
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4. （教材变式）方程 ＝ 的解为（ A ）
A. x＝2
B. x＝－2
C. x＝5
D. x＝－5
A
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5. （淄博中考）已知x＝1是方程 － ＝3的解，则实数m的值为（ B ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 解分式方程 － ＝0，去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 x（x＋1） .
7. 若代数式 与代数式 的值相等，则x＝ 7 .
x（x＋1）
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8. 某校根据实际需要准备购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比在网上购买每台贵81元，用21 900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台.设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 － ＝27 .
－ ＝27
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9. ★定义两种新运算“△”和“※”，其运算规则为a△b＝ ，a※b＝ .若x△1＝x※2，则x＝ .
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三、 解答题（共46分）
10. （18分）解方程：
（1） ＝ ；
解：方程两边同乘x（x－3），得x＝3（x－3）.
解这个方程，得x＝ .
检验：当x＝ 时，x（x－3）＝ ≠0.∴ x＝ 是原方程的解
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（2） － ＝1；
解：方程两边同乘（x＋3）（x－3），得（x－2）（x－3）－3（x＋3）＝（x＋3）（x－3）.
解这个方程，得x＝ .
检验：当x＝ 时，（x＋3）（x－3）＝－ ≠0.
∴ x＝ 是原方程的解
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（3） ＝ － .
解：方程两边同乘（2x＋1）（2x－1），
得x＋1＝3（2x－1）－2（2x＋1）.
解这个方程，得x＝6.
检验：当x＝6时，（2x＋1）（2x－1）＝143≠0.
∴ x＝6是原方程的解
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11. （8分）当x为何值时，分式 的值比分式 的值大3？
解：由题意，得 ＝ ＋3，
解得x＝1.经检验，x＝1是所列方程的解.
∴ 当x＝1时，分式 的值比分式 的值大3
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12. （8分）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为－2， ，且点A，B到原点的距离相等，求x的值.
第12题
解：由题意，得 ＝2，解得x＝－2.经检验，x＝－2是所列方程的解.
∴ x的值是－2
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13. （12分） 阅读材料：
在学习“分式方程”的过程中，老师提出问题：若关于x的分式方程 ＝1的解为正数，求a的取值范围.小刚说：“解这个关于x的分式方程，得x＝a＋5.由题意，得a＋5＞0，据此解决问题.”小明说：“你考虑得不全面，还必须保证x≠5，即a＋5≠5才行.”
根据以上材料，解决下面的问题：
（1） 小明 的说法正确，a的取值范围是 a＞－5且a≠0 .
小明
a＞－5且a≠0
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（2） 若关于x的方程 － ＝2的解为非负数，求m的取值范围.
解：解关于x的方程 － ＝2，得x＝m＋6.由题意，得m＋6≥0，解得m≥－6.∵ x－3≠0，∴ x≠3.∴ m＋6≠3，解得m≠－3.
∴ m的取值范围是m≥－6且m≠－3
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13(共14张PPT)
第10章小测
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 下列说法正确的是（ D ）
A. 代数式 是分式
B. 当x≠4时，分式 有意义
C. 若分式 的值为0，则x的值为±3
D. 无论x为何值， 总有意义
D
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2. 对于分式 的值，下列说法一定正确的是（ D ）
A. 不可能为0
B. 比1大
C. 可能为2
D. 比m大
D
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3. 将分式 中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“□”可能是（ D ）
A. 2 B. －4 C. xy D. y
D
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4. 若关于x的分式方程 － ＝2的解为正数，则k的取值范围是（ B ）
A. k＜－2
B. k＞－2且k≠－1
C. k＞－2
D. k＜2且k≠1
B
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5. ★为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，某市政府拟对公用设施进行全面更新改造.现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标.每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案①：甲队单独做，刚好如期完成这项工程.
方案②：乙队单独做，完成这项工程要比规定时间多用10天.
方案③：先由甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，则正好如期完成.
在不耽误工期的前提下，最节省费用的施工方案是（ C ）
A. 方案① B. 方案②
C. 方案③ D. 方案①和方案③
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 分式 ， ， 的最简公分母是 3x（x＋2）（x －.
7. 已知 ＋ ＝1，且a≠－b，则 的值为 1 .
3x（x＋2）（x－ 2）
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8. 2024年12月4日，“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”成功列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.为了迎接春节的到来，盼盼家里开始准备年货，购买了A，B两种糖果，其中A种糖果的价格比B种糖果的价格每千克贵2元，花100元购买A种糖果的数量与花90元购买B种糖果的数量相同，则A种糖果的价格为 20 元/千克.
20
9. ★已知实数a≠b≠c≠0，且满足 ＝a＋6， ＝b＋6，则 ＋ － 的值为 2 .
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三、 解答题（共46分）
10. （10分）解方程：
（1） ＝ ；
解：方程两边同乘x（x－2），得2x＝3x－6，
解得x＝6.经检验，x＝6是原方程的解
（2） ＝ －3.
解：方程两边同乘（x－2），得1＝x－1－3x＋6，
解得x＝2.检验：当x＝2时，x－2＝0.∴ x＝2
是增根，原方程无解
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11. （10分）（眉山中考）先化简，再求值： ÷ .其中x，y满足（x＋2）2＋｜y－1｜＝0.
解：原式＝ ＝ ＝ .∵ （x＋2）2＋｜y－1｜＝0，∴ x＋2＝0，y－1＝0.∴ x＝－2，y＝1.∴ 原式＝ ＝－1
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12. ★（12分）某厂生产甲、乙两种文创产品.已知每天生产的甲种文创产品的数量比每天生产的乙种文创产品的数量多50个，且3天生产的甲种文创产品的数量比4天生产的乙种文创产品的数量多100个.
（1） 求该厂每天生产的甲、乙文创产品的数量.
解：（1） 设该厂每天生产的甲种文创产品的数量是x个，则每天生产的乙种文创产品的数量是（x－50）个.根据题意，得3x－4（x－50）＝100，解得x＝100.∴ x－50＝100－50＝50，即该厂每天生产的甲种文创产品的数量是100个，每天生产的乙种文创产品的数量是50个
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（2） 由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产的乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加相同的数量，每天生产的甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
解：（2） 设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个.根据题意，得 － ＝10，解得y＝20.经检验，y＝20是所列方程的解，且符合题意.
∴ 每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个
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13. ★（14分） 已知P＝x＋1，Q＝ .
（1） 当x＞0时，比较P与Q的大小，并说明理由.
解：（1） P＞Q 理由：∵ P－Q＝x＋1－ ＝ ＝ ，且x＞0，∴ ＞0.∴ P－Q＞0，即P＞Q.
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（2） 设y＝ － ，若x是整数，求y的整数值.
解：（2） y＝ － ＝ － ＝ － ＝ ＝ ＝－1＋ .∵ x是整数，y是整数，∴ x＋1＝±1或±2或±4.∴ x＝－2或0或1或－3或－5或3.∵ x≠0，x≠－1，∴ x＝－2或1或－3或－5或3.∴ y＝－5或1或－3或－2或0
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13(共17张PPT)
10.5 分式方程
第2课时 分式方程的增根
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （海南中考）分式方程 ＝0的解是（ C ）
A. x＝－3
B. x＝3
C. x＝2 025
D. x＝－2 025
C
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2. 解分式方程 ＋ ＝ 时，分下列四步，其中，错误的一步是（ D ）
A. 方程两边分式的最简公分母是（x－1）（x＋1）
B. 方程两边同乘（x－1）（x＋1），得2（x－1）＋3（x＋1）＝6
C. 解这个整式方程，得x＝1
D. 原方程的解为x＝1
D
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3. 若关于x的分式方程 － ＝1有增根，则它的增根是（ B ）
A. x＝0
B. x＝1
C. x＝－1
D. x＝1，x＝－1
B
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4. 若关于x的分式方程 ＋ ＝1有增根，则m的值为（ A ）
A. 3 B. －3 C. 2 D. －2
A
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5. ★已知关于x的分式方程 －2＝ 的解是非负数，则m的取值范围是（ C ）
A. m≤5且m≠－3
B. m≥5且m≠－3
C. m≤5且m≠3
D. m≥5且m≠3
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 若关于x的分式方程 － ＝0没有增根，则m的取值范围是 m≠2 .
7. 若关于x的分式方程 ＋ ＝1有增根x＝b，则a＋b的值是 8 .
m≠2
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8. （牡丹江中考）若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则整数m的值为 －1 .
9. ★★若关于x的分式方程 ＝ －1无解，则a的值为 － .
－1
－1或3
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三、 解答题（共46分）
10. （10分）解方程：
（1） （威海中考） －1＝ ；
解：方程两边同乘（2x－1），得x－2－2x＋1＝－1，解得x＝0.
检验：当x＝0时，2x－1＝－1≠0.∴ 原方程的解为x＝0
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解这个方程，得x＝1.
检验：当x＝1时，x（x－1）＝0.
∴ x＝1是增根，原方程无解
（2） ＋ ＝ .
解：方程两边同乘x（x－1），得3（x－1）＋6x＝x＋5.
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11. （10分） 下面是小亮同学解方程 ＝3－ 的过程，请阅读并完成相应任务.
解：去分母，得1＝3＋（x－1）.……第一步
去括号，得1＝3＋x－1.……第二步
解这个方程，得x＝－1.……第三步
检验：当x＝－1时，2－x≠0.……第四步
∴ x＝－1是原方程的解.……第五步
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任务：
（1） 小亮同学的求解过程从第 一 步开始出现错误，错误的原因是 去分母时，3没有乘最简公分母（2－x） .
（2） 请写出完整并正确的解方程过程.
一
去分母时，3没有乘最简公分母（2－x）
解：（2） 去分母，得1＝3（2－x）＋（x－1）.去括号，得1＝6－3x＋x－1.解这个方程，得x＝2.检验：当x＝2时，2－x＝0.∴ x＝2是增根，原方程无解
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（3） 解分式方程产生增根的原因是 去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，则产生增根 .
去分母时，在分式方程两边同乘
最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分
母为零，则产生增根
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12. （12分）已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1） 若分式方程的增根为x＝2，求m的值.
（1） ∵ 分式方程的增根为x＝2，∴ 2m＝－8，解得m＝－4
（2） 若分式方程有增根，求m的值.
解：（2） ∵ 分式方程有增根，∴ （x＋2）（x－2）＝0.∴ x＝－2或x＝2.当x＝－2时，－2m＝－8，解得m＝4.当x＝2时，2m＝－8，
解得m＝－4.∴ 若分式方程有增根，则m＝±4
解：方程两边同乘（x＋2）（x－2），得2（x＋2）＋mx＝2（x－2）.整理，得mx＝－8
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（3） 若分式方程无解，求m的值.
解：（3） 由（2），可知当m＝±4时，分式方程有增根，即无解.
当m＝0时，整式方程mx＝－8不成立，即分式方程无解.综上所述，若分式方程无解，则m＝±4或0
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13. ★（14分）已知关于x的方程 ＝ －2.
（1） 当m为何值时，方程无解？
（1） ① 当4－m＝0，即m＝4时，原方程无解.② 当x＋3＝0，即整式方程的解为x＝－3时，原方程无解.把x＝－3代入整式方程，得（4－m）×（－3）＝－6，解得m＝2.综上所述，当m＝2或4时，原方程无解
解：方程两边同乘（x＋3），得2x＝mx－2x－6.整理，得（4－m）x＝－6
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（2） 当m为何值时，方程的解为负数？
解： （2） 由题意，得当m≠4时，x＝ ＜0，解得m＜4.∵ x＋3≠0，
∴ ＋3≠0，解得m≠2.综上所述，m的取值范围是m＜4且m≠2
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13(共15张PPT)
10.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 若x≠y，则下列分式的变形正确的是（ D ）
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝
D
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2. 下列从左到右的变形错误的是（ A ）
A. ＝
B. ＝－1
C. ＝
D. ＝
A
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3. （教材变式）有下列从左到右的变形：① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ；④ ＝ .其中，正确的是（ B ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ②④
B
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4. （教材变式）不改变分式的值，使 的分子中不含分数，下列变形正确的是（ C ）
C
A. B.
C. D.
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5. ★把分式 的分子、分母中的a，b都扩大为原来的4倍，分式的值是原来的4倍，则M可能是（ C ）
A. 4 B. 2a＋3 C. 2ab D. 5a－2b
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （1） ＝ （x≠y）；
（2） ＝ ；
（3） ＝ （m≠1）.
x2－y2
2m－2
c
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7. （1） 若 ＝ ，则a的取值范围是 a≠5 ；
（2） 当a，b满足 a≠b 时， ＝ .
a≠5
a≠b
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8. （教材变式）不改变分式的值，使 的分子、分母中的最高次项的系数为正数，结果是 .
9. ★若把分式 中的x和y都扩大为原来的5倍，分式的值为－2，则原分式的值为 －2 .
－2
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三、 解答题（共46分）
10. （6分）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：
（1） ；
解：
（2） ；
解：－
（3） .
解：－
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11. （10分）下面等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） ＝ ；
解：分子、分母都除以2（x－y）6，即 ＝
＝
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（2） ＝ （ab＞0）.
解：分子、分母都乘3a（a＋b），即 ＝
＝
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12. （10分）已知a∶b∶c＝2∶3∶5，求 的值.
解：设a＝2k（k≠0），则b＝3k，c＝5k.
∴ 原式＝ ＝ ＝
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13. （10分）已知a＞0，b＞0，且 ＝ ，求证：a＝b.
解：∵ ＝ ， ＝ ，且 ＝ ，∴ a（a＋4b）＝b（4a＋b），即a2＋4ab＝4ab＋b2.∴ a2＋4ab－4ab－b2＝0，即a2－b2＝0.∴ （a＋b）（a－b）＝0.∵ a＞0，b＞0，∴ a＋b≠0.
∴ a－b＝0，即a＝b
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14. ★★（10分）将分式 变形，甲同学的方法： ＝ ＝a－b；乙同学的方法： ＝ ＝a－b.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两名同学的方法是否正确，并说明理由.
解：甲同学的方法是正确的，乙同学的方法是错误的 理由：∵ 分式 中已经隐含了a＋b≠0，∴ 可用分式的基本性质，将分式的分子与分母都除以（a＋b）.∴ 甲同学的方法是正确的.∵ a－b是否为0无法确定，∴ 不能用分式的基本性质，将分式的分子与分母都乘（a－b），也不能将分式的分子与分母都除以（a2－b2）.∴ 乙同学的方法是错误的.
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14(共14张PPT)
10.3 分式的加减
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. （潍坊中考）计算 ＋ 的结果是（ B ）
A. 1 B. －1 C. 0 D.
B
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2. 化简 ＋ 的结果是（ B ）
A. x－1
B.
C. x＋1
D.
B
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3. 计算 －a－1的结果是（ B ）
A. －
B.
C. －
D.
B
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4. ★已知非零实数x，y满足 － ＝1，则 的值是（ C ）
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 甲工程队完成一项工程需要n天，乙工程队完成这项工程要比甲工程队多用3天，那么两队共同工作一天完成的工作量占工程总量的
.
6. 若 ＋ ＝ ，则整式M＝ 3 .
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7. 比较大小：若a，b为实数，且ab＝1，设P＝ ＋ ，Q＝ ＋ ，则P ＝ Q（填“＞”“＜”或“＝”）.
＝
8. 已知 － ＝3，则 的值为 4 .
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三、 解答题（共52分）
9. （20分）计算：
（1） － ；
解：
（2） a－b－ ；
解：－
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（3） ＋ － ；
解：
（4） － .
解：
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10. （8分） 下面是某同学计算 － 的解题过程：
解： －
＝ － ……①
＝（m＋1）－2……②
＝m－1……③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确的解题过程.
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解：从第②步开始出现错误
原式＝ － ＝ ＝ ＝
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11. （10分）（大庆中考）先化简，再求值： － ＋ ，其中x＝1.
解：原式＝ － ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ .当x＝1时，原式＝ ＝
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12. ★（14分）（教材变式）已知A＝ ，B＝ .
（1） 若A＝1－ ，求m的值.
解：（1） 由A＝1－ ，得 ＝1－ ＝ ，∴ 2－m＝1，解得m＝1
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（2） 当a取哪些整数时，分式B的值为整数？
解：（2） B＝ ＝1－ ，∴ 当a＋4＝±1时，B的值为整数.∴ a＝－3或a＝－5
（3） 若a＞0，比较A与B的大小.
解：（3） ∵ a＞0，∴ A－B＝ － ＝－ ＜0.∴ A＜B
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12(共11张PPT)
小专题（八） 含参数的分式方程的常见类型
第10章 分 式
类型一 已知分式方程的解求参数的值
1. 已知关于x的分式方程 ＝ ＋2与 ＝ 的解相同，则m的值是 5 .
2. 已知关于x的方程 －1＝ .当m为何值时，这个方程的解是x＝5？
解：把x＝5代入 －1＝ ，得 －1＝ ，解得m＝3
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类型二 已知分式方程的解的取值范围求参数的取值范围
3. （齐齐哈尔中考）若关于x的分式方程 － ＝0的解是负数，则实数m的取值范围是（ A ）
A. m＜1且m≠0
B. m＜1
C. m＞1
D. m＜1且m≠－1
A
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4. 若关于x的分式方程 ＋ ＝ 的解大于1，求m的取值范围.
解：方程两边同乘（x＋2）（x－2），得x＋2＋2（x－2）＝x＋2m.解这个方程，得x＝m＋1.根据题意，可得m＋1＞1，且m＋1≠2，m＋1≠－2，解得m＞0且m≠1，即m的取值范围是m＞0且m≠1
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类型三 已知分式方程有增根求参数的值
5. 若关于x的方程 － ＝1有增根，则m的值是（ B ）
A. 0 B. －3 C. 1 D. －2
B
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6. 若关于x的分式方程 － ＝ 有增根，求m的值.
解：方程两边同乘（x＋2）（x－2），得mx－2（x＋2）＝3（x－2）.去括号，得mx－2x－4＝3x－6.移项、合并同类项，得（m－5）x＝－2.∵ 关于x的分式方程有增根，即（x＋2）（x－2）＝0，∴ x＝±2.当x＝－2时，－2（m－5）＝－2，解得m＝6.当x＝2时，2（m－5）＝－2，解得m＝4.∴ m的值为6或4
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类型四 已知分式方程有整数解求参数的值
7. 已知关于x的方程 ＋ ＝2有整数解，求整数m的值.
解：方程两边同乘（x－2），得mx－1－1＝2（x－2）.整理，得（2－m）x＝2.当m≠2时，x＝ .∵ 方程有整数解且 ≠2，∴ 2－m＝－1或2－m＝±2，解得m＝3或0或4.∴ 整数m的值为3或0或4
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8. ★若m是整数，且关于x的方程 ＋ ＝ 有整数解，求m的值.
解：方程两边同乘（x＋1）（x－1），得3m＋1＋m（x－1）＝2（x＋1）.整理，得（m－2）x＝－2m＋1.当m≠2时，x＝ ＝ ＝－2－ .∵ 方程有整数解，∴ 的值是整数.又∵ m是整数，∴ m－2＝±1或m－2＝±3且－2－ ≠±1，解得m＝3或5.∴ m的值为3或5
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类型五 已知分式方程无解求参数的值
9. 若关于x的分式方程 ＋ ＝1无解，则a的值为（ B ）
A. 0 B. 1 C. 1或5 D. 5
B
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10. 已知关于x的分式方程 － ＝1无解，求a的值.
解：方程两边同乘x（x－1），得x（x＋a）－5（x－1）＝x（x－1）.整理，得（a－4）x＝－5.当a－4＝0，即a＝4时，分式方程无解；当x＝0或1时，分式方程无解.把x＝0代入（a－4）x＝－5，a的值不存在；把x＝1代入（a－4）x＝－5，解得a＝－1.∴ a的值为－1或4
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11. ★已知关于x的分式方程 ＋ ＝ 无解，求m的值.
解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得2（x＋2）＋mx＝x－1.整理，得（m＋1）x＝－5.当m＋1＝0，即m＝－1时，分式方程无解；当x＝1或－2时，分式方程无解.把x＝1代入（m＋1）x＝－5，解得m＝－6；把x＝－2代入（m＋1）x＝－5，解得m＝ .∴ m的值为－1或 或－6
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11(共13张PPT)
10.2 分式的基本性质
第3课时 分式的通分
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 分式 ， ， 的最简公分母是（ D ）
A. 36x2y2 B. 24x2y2 C. 12x2y2 D. 6x2y2
D
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2. 分式－ 与 的最简公分母为（ B ）
A. （x＋2y）（x－2y）
B. 2（x＋2y）（x－2y）
C. 2（x＋2y）（x－2y）2
D. －（x＋2y）（x－2y）
B
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3. 把分式 ， ， 通分后， 变形为（ B ）
A.
B.
C.
D.
B
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4. 若将分式 与 通分，则分式 的分子应变为（ A ）
A. 6m2－6mn
B. 6m－6n
C. 2（m－n）
D. 2（m－n）（m＋n）
A
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5. 把－ ， ， 通分后，各分式的分子之和为（ A ）
A. 2a2＋7a＋11
B. a2＋8a＋10
C. 2a2＋4a＋4
D. 4a2＋11a＋13
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （教材变式）分式 ， ， 的最简公分母为 12x2y（x＋y）（x－y） .
7. 把分式 ， ， 通分，分母所乘的单项式依次为 4a2y ， 6ax2 ， 3xy2 .
12x2y（x＋y）（x－y）
4a2y
6ax2
3xy2
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8. 已知分式 与 的最简公分母是2（x2－1），则分母A可以是 答案不唯一，如2（x＋1） （写出一个即可）.
9. ★把分式 与 通分，若通分后的分子之和为x（x＋3），则B＝ x＋1 .
答
案不唯一，如2（x＋1）
x＋1
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三、 解答题（共46分）
10. （20分）通分：
（1） ， ；
解： ＝ ， ＝
（2） ， ；
解： ＝ ， ＝
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（3） ， ；
解： ＝ ， ＝
（4） ， .
解： ＝ ， ＝
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11. （8分） 明明做了一道题：将分式 ， 通分.他的解答过程如下：
解：∵ 它们的最简公分母为（x＋1）（x－1），
∴ ＝ ＝x－3， ＝－ ＝－ ＝－3x－3.
明明的解答过程是否正确？若不正确，请你指出他的错误，并改正.
解：明明的解答过程不正确 明明错在分式通分后，将分母去掉了
∵ 它们的最简公分母为（x＋1）（x－1），∴ ＝ ， ＝－ ＝－
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12. （8分）甲完成一项工作需要（2a－6）天，乙完成这项工作要比甲多8天.
（1） 设工作总量为1，试写出表示甲、乙两人工作效率的式子.
解：（1） 甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ＝
（2） 将（1）中的两个式子通分.
解：（2） ＝ ； ＝
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13. ★（10分）已知M＝ ，N＝ ，当x＞3时，试比较M与N的大小.
解：由题意，得M＝ ＝ ＝ ，N＝ ＝ ＝ .∵ x＞3，∴ x－1＞0，x－2＞0，x－3＞0.∴ M＞0，N＞0，（x－1）（x－2）＞0，（x－2）2＞0，（x－3）（x－1）＞0.∵ x2－4x＋4＞x2－4x＋3，∴ M＞N
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13(共14张PPT)
10.4 分式的乘除
第1课时 分式的乘除运算法则
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. （教材变式）化简2的结果是（ B ）
A. B.
C. D. －
B
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2. 已知 ÷ x2－9是一道分式计算题，其中一部分被墨水污染了.若只知道该题的计算结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（ A ）
A. x－3 B. x－2 C. x＋3 D. x＋2
A
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3. 计算 ÷ 时，小明把运算符号“÷”看成了“＋”，得到的计算结果是m＋1，则这道题的正确结果是（ A ）
A.
B.
C. m＋1
D.
A
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4. 关于式子 ÷ ，下列说法正确的是（ D ）
A. 当x＝1时，其值为2
B. 当x＝－1时，其值为0
C. 当－1＜x＜0时，其值为正数
D. 当x＜－1时，其值为正数
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 若化简M÷ 的结果是x＋2，则整式M＝ 1＋x .
6. 若化简 的结果为 ，则常数a的值为 4 .
7. 若式子 ÷ 有意义，则x的取值范围是 x≠－4且x≠－3且x≠2 .
8. ★如果 ＝ ≠0，那么代数式 （2m＋n）的值是 .
1＋x
4
x≠－4且x≠－3且
x≠2
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三、 解答题（共52分）
9. （12分）计算：
（1） ；
解：原式＝－
（2） －a3÷ ；
解：原式＝－ab
（3） （ ）2.
解：原式＝
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10. （8分）计算：
（1） 3a2b 2；
解：原式＝3a2b ＝
（2） ÷ .
解：原式＝ ＝
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11. （10分）
（1） 已知A＝ ，B＝ ，C＝ .先从A，B，C中任选两个分式用乘号“×”连接并进行化简，再从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
解：答案不唯一，如A×B＝ × ＝ × ＝x＋1.由题意，得x≠1，∴ 当x＝0时，原式＝1
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（2） 已知 ＝ ，求代数式 ÷ 的值.
解：原式＝ （a－2b）＝ .
∵ ＝ ，∴ a＝ b.∴ 原式＝ ＝
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12. （10分）已知a＋ ＝3，求下面各式的值：
（1） a2＋ .
解：∵ a＋ ＝3，∴ （a＋ ）2＝9.
∴ a2＋2a ＋ ＝9.∴ a2＋2＋ ＝9.∴ a2＋ ＝7
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（2） a－ .
解：（a－ ）2＝a2－2a ＋ ＝a2－2＋ .
由（1），可知a2＋ ＝7.∴ （a－ ）2＝7－2＝5.∴ a－ ＝±
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13. ★（12分） 嘉琪准备完成这样一道题：化简 ÷ 的结果为.其中一部分被墨水污染了，且该题化简的正确结果为 .
（1） 求被墨水污染的部分.
解：（1） 设被墨水污染的部分是A，则 ÷ ＝ ＝ ＝ .∴ ＝ .
∴ A＝x－4，即被墨水污染的部分为x－4
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（2） 嘉琪认为当x＝4时，原分式的值是1，你同意嘉琪的说法吗？若不同意，请说明理由.
解：（2） 不同意 理由：由（1），知 ÷ ＝ ÷ .当x＝4时，除式 ＝0，∴ 当x＝4时，原分式的值不是1.
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13(共16张PPT)
阶段检测（10.1～10.4）
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 有下列各式：① （1－x）；② ；③ ；④ ；⑤ .其中，分式有（ A ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
A
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2. 若分式 无意义，则x的值为（ B ）
A. 4 B. －4 C. 4或－4 D. 3
B
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3. 下列运算中，正确的是（ B ）
A. ＝
B. ＝－1
C. ＝
D. ＝
B
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4. 已知 － ＝2，则分式 的值是（ B ）
A. －5 B. － C. 1 D.
B
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5. ★ 受休渔影响，“五一”期间皮皮虾的价格波动较大.小明家“五一”期间购买了两次皮皮虾，两次价格不同.现有两种购买方案，小明的购买方案：每次购买的总金额固定；小明妈妈的购买方案：每次购买的数量固定.若规定平均单价越低，则该购买方案越实惠，不考虑其他因素影响，则下列说法正确的是（ B ）
A. 小明妈妈的购买方案实惠
B. 小明的购买方案实惠
C. 两种购买方案一样实惠
D. 哪种购买方案实惠需由两次单价决定
B
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二、 填空题（每题8分，共32分）
6. 若分式 的值为零，则x的值是 －2 .
7. 分式 ， 的最简公分母是 x（x＋3）（x－3） .
8. 已知a＋b＝5，ab＝3，则 ＋ ＝ .
9. 已知 ＝ ＋ ，则A＝ 2 ，B＝ －1 .
－2
x（x＋3）（x－3）
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三、 解答题（共38分）
10. （8分）计算：
（1） （ ）2÷（－ ）2；
解：
（2） ÷ .
解：a2－a－2
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11. （8分）先化简： ÷ ，再从不等式组－1≤x＜3中选择一个适当的整数作为x的值代入求值.
解：原式＝ ＝ ＝ .
由题意，得x－1≠0，x－2≠0，∴ x≠1，x≠2.
在－1≤x＜3中，x的整数解为－1，0，1，2，
∴ 当x＝－1时，原式＝ ＝－ 或当x＝0时，原式＝－1
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12. （8分）请说明在代数式 ÷ ＋ 有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变.
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝3，
∴ 在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变
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13. ★（14分） 下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.
任务1：直接写出小明笔记当中的“ ”上空缺的内容.
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分式与糖水浓度
在生活中，有这样司空见惯的现象.
现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜.
用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a g，其中含有b g糖（a＞b＞0），则糖水的浓度为 .
① 如果加入m g水，糖水的浓度变为 ，且糖水变淡，
那么可以得到不等式 ＞ ；
＞
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② 如果加入n g糖，糖水的浓度变为 ，且糖水变甜，那么可以得到不等式 ＜ .
现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变.
用数学知识解释：在两个杯子中分别盛有糖水a1 g，a2 g，分别含糖b1 g，b2 g.由它们浓度相同，可得 ＝ ＝k.
…
＜
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任务2：证明②中的不等式.
解：任务2：∵ － ＝ ＝ ＝ ，且a＞b＞0，∴ ＜0.∴ ＜
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任务3：将现象2中的两杯糖水倒入一个空的大杯中，则大杯中的糖水的浓度与原来各小杯中的糖水的浓度相同，请说明其中的道理.
解：任务3：∵ 在两个杯子中分别盛有糖水a1 g，a2 g，分别含糖b1 g，b2 g，∴ 混合后的浓度为 .∵ ＝ ＝k，∴ b1＝ka1，b2＝ka2.
∴ ＝ ＝k，即浓度不变
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任务4：请运用现象1中的结论证明：设a，b，c是△ABC三边的长，则1＜ ＋ ＋ ＜2.
解：任务4：由现象1中①的结论，得 ＞ ， ＞ ， ＞ ，∴ ＋ ＋ ＞1.由现象1中②的结论，得 ＜ ， ＜ ， ＜ ，∴ ＋ ＋ ＜2.∴ 1＜ ＋ ＋ ＜2
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13(共12张PPT)
10.5 分式方程
第3课时 用分式方程解决问题
第10章 分 式
一、 选择题（每题8分，共32分）
1. 某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球的单价比足球贵30元.由题意，可列方程 ＝ －30，则方程中的x表示（ D ）
A. 足球的单价 B. 篮球的单价
C. 足球的数量 D. 篮球的数量
D
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2. 随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3 000件提高到4 200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件.设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（ D ）
D
A. ＝ B. x＋40＝
C. ＝ －40 D. ＝
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3. （绥化中考）一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等，则江水的流速为（ D ）
A. 5 km/h B. 6 km/h C. 7 km/h D. 8 km/h
D
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4. ★为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资80万元对教室进行升级改造.为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了20%，并比原计划多改造了5间教室，结果总投资多了40万元.根据题意，实际每间教室的改造费用是（ C ）
A. 3万元 B. 4万元 C. 4.8万元 D. 6万元
C
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二、 填空题（每题8分，共24分）
5. 为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗.已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，…，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗.设甲每小时种植x棵花苗，则可列方程 ＝ .根据此方程，题中用“…”表示的缺失的条件应为 两人每小时共种植7棵花苗 .
两人每小时共种植7棵
花苗
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6. 2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后神舟十九号、神舟二十号两个航天员乘组“太空会师”并入驻“天宫”.某航天兴趣小组预计购进一批“天宫”模型和“长征二号F遥二十运载火箭”模型，已知每个“天宫”模型的进价比每个“长征二号F遥二十运载火箭”模型的进价贵50%，同样用3 000元购进“天宫”模型的数量比“长征二号F遥二十运载火箭”模型的数量少5个.若设每个“长征二号F遥二十运载火箭”模型的进价为x元，则可列方程为 － ＝5 .
－ ＝5
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7. 有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲单独工作13天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙工作3天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的 倍.
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三、 解答题（共44分）
8. （12分）（常州中考）某块绿地改进浇水方式，将漫灌方式全部改为喷灌方式，平均每天的用水量减少1吨，20吨水可以使用的天数是原来的2倍.浇水方式改进后，平均每天用水多少吨？
解：设浇水方式改进后，平均每天用水x吨.依题意，得 ＝ ×2，解得x＝1.经检验，x＝1是所列方程的解，且符合题意.
∴ 浇水方式改进后，平均每天用水1吨
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9. （14分）（山西中考）我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米.根据题意，得 － ＝22，解得x＝2.经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意.
∴ 一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米
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10. ★（18分） （教材变式）小刚家到学校的距离是1 800 m.某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20 min，于是他立即沿原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车沿原路返回学校.已知小刚骑自行车的时间比跑步的时间少4.5 min，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
（1） 求小刚跑步的平均速度.
解：（1） 设小刚跑步的平均速度为x m/min，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x m/min.由题意，得 ＋4.5＝ ，解得x＝150.经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意.∴ 小刚跑步的平均速度为150 m/min
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（2） 若小刚取作业本和取自行车共用了3 min，则他能否在上课前赶回学校？请说明理由.
解：（2） 他不能在上课前赶回学校 理由：∵ 小刚跑步的平均速度为150 m/min，∴ 小刚跑步所用时间为1 800÷150＝12（min），骑自行车所用时间为12－4.5＝7.5（min）.∵ 取作业本和取自行车共用了3 min，∴ 小刚从开始跑步回家到赶回学校共需要12＋7.5＋3＝22.5（min）.
∵ 22.5＞20，∴ 小刚不能在上课前赶回学校.
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10(共14张PPT)
10.2 分式的基本性质
第2课时 分式的约分
第10章 分 式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 有下列分式：① ；② ；③ ；④ .其中，不能约分的有（ A ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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2. 下列各式中，约分正确的是（ C ）
A. ＝－1
B. ＝a
C. ＝
D. ＝
C
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3. 下列式子的化简结果为 的是（ C ）
A.
B.
C.
D.
C
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4. 下列分式中，属于最简分式的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
D
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5. ★如果 ＝ ，且a＋b≠7，那么 的值为（ B ）
A. B. － C. 0 D. 无意义
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 请写出一个约分结果为 的分式： 答案不唯一，如 .
7. （教材变式）若xy＝2，x－y＝3，则分式 的值为 － .
8. 若m为实数， 不是最简分式，则m＝ 0或－4 .
9. ★如果 ＝ ，那么 的值是 4 .
答案不唯一，如
－
0或－4
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三、 解答题（共46分）
10. （15分）约分：
（1） ；
解：－6xyz
（2） ；
解：－
（3） .
解：
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11. （10分）（教材变式）先约分，再求值：
（1） ，其中a＝ ，b＝－ ；
解：原式＝ ＝ .当a＝ ，b＝－ 时，原式＝ ＝
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（2） ，从－1，0，1中选择一个合适的数作为x的值.
解：原式＝ ＝ ＝ .∵ 当x＝0或x＝1时，分式无意义，
∴ x＝－1.当x＝－1时，原式＝ ＝－1
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12. （6分） 问题：当a为何值时，分式 无意义？小明的解答过程如下：
解： ＝ ＝ .∵ 原分式无意义，∴ a－3＝0，解得a＝3.∴ 当a＝3时，原分式无意义.
你认为小明的解答过程正确吗？如果不正确，请说明理由.
解：不正确 理由：原分式无意义的条件是原分式的分母为0，而不是化简后的分式的分母为0.∴ a2－9＝0.∴ a＝±3.
∴ 当a＝±3时，原分式无意义.∴ 小明的解答过程不正确.
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13. ★（6分）若分式 的值为整数，求整数a的值.
解：原式＝ ＝ .由题意，得a－1＝－2或－1或1或2，解得a＝－1或0或2或3.又∵ a2－1≠0，∴ a≠±1.∴ a的值为0或2或3
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14. ★★（9分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可以约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1） 有下列分式：① ；② ；③ ；④ .其中，属于“和谐分式”的是 ② （填序号）.
（2） 若a为正整数，且 为“和谐分式”，则a的值为 4 .
②
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（3） 已知三个整式：① m2－n2；② m2＋2mn＋n2；③ m－n.任意选择两个整式分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式为“和谐分式”，直接写出所有的结果： 或 .
或
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