广东河源2025-2026学年下学期高三数学3月质量检测（含答案）

2025-2026 学年高三数学 3 月份质量检测
一、本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. D. i
2. 已知直线 和直线 ,若 ,则 ( )
A. 1 或 -3 B. 1 C. -3 D. 不存在
3. 为了研究物理成绩 与数学成绩 之间的关系,随机抽取 100 名学生的成绩,用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为 ,则样本点 的残差为 ( )
A. 2.5 B. -3.5 C. 3.5 D. -2.5
4. 粽子又称粽粒, 俗称“粽子”, 古称“角黍”, 是端午节大家都会品尝的食品, 因各地风俗不同, 粽子的形状和味道也不同, 某地流行的“五角粽子”, 其形状可以看成正四棱锥, 以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积, 则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 的单调减区间是( )
A. B. C. D.
6. 过点 作斜率为 -3 的直线与椭圆 相交于 两点,若 为线段 的中点,则 的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 已知 ,部分图象如图,则 ( )
A. B.
c. D.
8. 已知函数 ,若函数 有 6 个不同的零点，则实数 的范围是( )
A. B.
c. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.
9. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的编号为 1~1000 的 1000 名学生进行了调查. 调查中使用了两个问题，问题 1: 你的编号是否为奇数 问题 2: 你是否吸烟 被调查者从设计好的随机装置 (内有除颜色外完全相同的白球 50 个, 红球 50 个) 中摸出一个小球 (摸完放回): 摸到白球则如实回答问题 1，摸到红球则如实回答问题 2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否” 的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案. 最后统计得出，这 1000 人中，共有 265 人回答“是”，则下列表述正确的是( )
A. 估计被调查者中约有 15 人吸烟 B. 估计约有 15 人对问题 2 的回答为“是”
C. 估计该地区约有 3%的中学生吸烟 D. 估计该地区约有 1.5%的中学生吸烟
10. 已知抛物线 ,焦点为 ,过 的直线交 于点 ,其中 在第一象限, 在第四象限， 为坐标原点，连接 交抛物线的准线于点 ，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值是 4 B.
C. 直线 平行于 轴 D. 的面积的最大值为
11. 已知非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ,若 为奇函数, 为偶函数, 则( )
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 在 上的投影向量的坐标为 ，则 为_____.
13. 的展开式的常数项是_____(用数字作答).
14. 如图,河流的一侧是以 为圆心的扇形区域 ,河的另一侧有一建筑物 垂直于水平面,假设扇形 与 处于同一水平面上,记 交 于 . 若在 处看 的仰角分别为 和 , 则 的余弦值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在公差不为 0 的等差数列 中, ,且 成等比数列.
(1)求 的通项公式和前 项和 ； (2)设 ，求数列 的前 项和公式 .
16. (15 分)如图，空间几何体 中， 和平面 所成角为 ，直线 平面 ， 且 和 是全等的等腰三角形.
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ， 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15 分) 已知函数 ,且 恒成立.
(1)求实数 ；
(2)证明:当 时， .
18.(17分)湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立. 只有同时通过这两个环节才能成为成品. 某绣坊准备制作 三幅不同的湘绣作品,已知 三幅作品通过设计图案环节的概率依次为 ,通过刺绣环节的概率依次为 .
(1)求 三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节的概率；
(2)若已知 三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为 的概率；
(3)经过设计图案和刺绣两个环节后， 三幅作品成为成品作品的件数为 . 求随机变量 的分布列及数学期望 .
19. (17 分)已知双曲线 的两条渐近线分别为 ,若点 ， 分别在 上 ( 不同于原点 ),且直线 是 的切线,则称 是 的“渐切三角形”. 已知 在点 处的切线方程为 .
(1) 写出 的一个“渐切三角形”的顶点 的坐标及切线 的方程,并求出其面积;
(2)已知点 分别在 上, 的面积为 ,试问 是否是 的“渐切三角形” 并说明理由;
(3)若 是 的“渐切三角形”， 与 相切的切点 的横坐标大于 0， 为 的左焦点，证明: 为定值.
2026 届高三年级 3 月份调研考试数学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A C D C B B D A BC AC BCD
6.设 ,因为 为线段 的中点,所以 , 由 ,两式相减可得: ,整理得 ,即 , 所以 ,则 ,即椭圆 的焦点在 轴上, 即 ,则 ,所以 .
7.由图可知 ,所以 ,所以 , 因为函数过 所以 ,因 ,故 , 又图象经过 ,所以 ,所以 ,所以 , 则 .
8.画出函数 的图像如图所示,
函数 有 6 个零点,
等价于 有 6 个解,即 或 共有 6 个解,
等价于 的图像与直线 和直线 ,共有 6 个交点,
由图得 的图像与直线 有 4 个交点,所以 的图像与直线 有 2 个交点, 所以 或 ,解得 或 ,即实数 的取值范围是 .
9.随机抽出的 1000 名学生中,回答第一个问题的概率是 ,其编号是奇数的概率也是 ,所以回答问题 1 且回答的“是”的学生人数为 ,
回答问题 2 且回答的“是”的人数为 ，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为 ， 估计被调查者中吸烟的人数为 . 故选: BC.
10.抛物线 的焦点为 ,准线方程为 ,设过 的直线为 , 将其与抛物线联立可得 ,消去 整理得 ,所以 , 对于 A: ,当且仅当 时取等号,即 的最小值是 4 ，故 A 正确；
对于 B: ,故 B 错误;
对于 : 设 点坐标为 ,则 ,
因为 ,故 ,故直线 平行于 轴,故 正确;
对于 ,
设函数 ,则 ,所以当 时 ,当 时 , 所以 在 上单调递增, 在 上单调递减,
故 的最小值为 ，即 的面积的最小值为 ，故 D 错误，
11.因为非常数函数 及其导函数 的定义域均为 ,
若 为奇函数,则 ,则 的图象关于点 对称,且 ,故 A 错误;
因为 为偶函数,所以 ,即 ,
则 ,又 ,所以 ,
所以 ,即 ,所以 ,
故 的周期为 8,所以 ,在 中,令 ,得 ,所以 ,故 B 正确;
对 两边同时求导,得 ,
所以导函数 的周期为 8,所以 ,故 正确;
由 周期 ,得 ,对 两边同时求导,得 ,令 ,得 ,
所以 ,故 D 正确. 故选: BCD.
12【答案】58 13.【答案】-160
14.【答案】
由题意,可得 和 ,所以 ,
设扇形所在圆的半径为 ,可得 ,且 垂直于水平面,
在直角 中，可得 ，
所以 ,且 ,
在 中,可得 .
15.【答案】(1) (2)
(1)公差 不为零的等差数列 中， ，又 成等比数列，
所以 ,即 , (2 分)
解得 ,则 , .(4 分) (6 分)
(2)由(1)可知, , (9 分) 可得数列 的前 项和
(13 分)
16.(1)过点 作 于点 ，连接 ， (1 分)
与面 所成角为 ， 平面 平面 ， (2 分)
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， (4 分)
又 平面 ， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 ； (6 分)
(2)
由( 1 )知 ，故 四点共面，而 平面 ， 平面 ，
，又 平面 ， 平面 ， (8 分)
， 在平面 中， ，即 为平行四边形， ，
平面 ，而 平面 ， ， (10 分)
和 为全等的等腰三角形, 为 的中点,
以 为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设 ， (12 分)
,取平面 的一个法向量 ,
设直线 与平面 所成角为 ,
直线 与平面 所成角的正弦值为 .(15 分
17.(1) 恒成立, ,所以 ,
, .(2 分)
当 时, ,
时, 单调递减, 时, 单调递增 (4 分)
恒成立,所以 . (6 分)
(2)由(1)知对任意实数 有 ,令 , (7 分)
则 ,即 ,故 , (8 分).
要证明 ,即证明 , (10 分)
由 ,可得 ,因此只需证明当 时, 即可. (11 分)
令函数 ,求导得 ,
当 时, ; 当 时, , (13 分)
函数 在 上单调递增,在 上单调递减, ,
所以当 时, ,即当 时, . (15 分)
18.(1)记 三幅作品通过设计图案环节分别为事件 ,记 三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件 , (1 分)
则 . (4 分)
(2) . (8 分)
(3)记 三幅作品成为成品的事件分别为 ，
则 , (11 分)
由 可取0,1,2,3,则 , (12 分)
(13 分)
(14 分)
(15 分)
则 的分布列为
0 1 2 3
13 100 19 50 37 100
则数学期望 . (17 分)
19(1)由题意可得，双曲线的渐近线方程为 ，故 ，
则 ，且 在点 处的切线方程为 (2 分)
不妨取切点为 ，则切线方程为 ，此时 ，则 (4 分)
(2)若直线 斜率不存在，不妨设 ，则 ， 则 ，得 ， (5 分) 此时直线 与曲线 相切,即 是 的 “渐切三角形”,
若直线 斜率存在,设 ,联立 ,得 ,则 ,即 , (7 分)
又点 到直线 的距离 ,
则 ,得 ,
联立 则 ,
则直线 与曲线 相切,即 是 的“渐切三角形”,
综上可得,若 的面积为 ，则 是 的“渐切三角形”. (10 分)
(3)若切点为 时，直线 的方程为 ，此时 ， ，
因 ，则 ，即 ，利用对称性可知 ；
若切点不为 ，可设切点为 ，则直线 (12 分)
联立
则 ,由 ,可得 ,
联立
设点 ，则 ，
则 ，
则
, (14 分)
(说明: 由图知, 与 始终同号,故 成立)
则 (15 分)
，因 ，则 ，故 为定值.
(17 分)