湖南郴州2025-2026学年下学期高三数学3月三模（含答案）

2026 届高三教学质量监测 数学试题
(满分 150 分，考试时间 120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效。
3. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
4. 本试题卷共 6 页。如缺页，考生须声明，否则后果自负。
一、选择题(本题共 8 小题，每题 5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.)
1. 已知复数 满足 ，且 ，则
A. 1 B. -1 C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 若函数 图像的一个对称中心为 ,且最小正周期为 . 则该函数的解析式可能为
A. B.
C. D.
4. 设等差数列 的前 项和为 ,公差为 ,若 ,则
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
5. 已知 是定义在 上的奇函数,且满足 ,当 时, ,则 的值为
A. -10 B. -3 C. 3 D. 10
6. 已知 为样本空间中的两个随机事件,其中 , 则
A. B. C. D.
7. 已知点 ,抛物线 的焦点为 ,点 是抛物线 上一动点,则 的最大值为
A. 1 B. C. D. 2
8. 已知两个不相等的正实数 满足: ,则下列不等式中一定不成立的是
A. B. C. D.
二、选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 下面说法正确的是
A. 设 是两个不同的平面, 是两条不同的直线,若 , 则
B. 命题 “ ” 的否定形式是 “ ”
C. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
D. 函数 的图象关于点 成中心对称
10. 已知二次曲线 表示一个椭圆,则
A. 的对称中心为
B. 上的点到原点距离的取值范围是
C. 当点 在 上时,
D. 的离心率为
11. 某化学晶体结构的局部空间构型可抽象为正八面体.如图所示,已知正八面体 棱长为 2,下列结论正确的有
A. 平面 与平面 的夹角的余弦值为
B. 正八面体的内切球半径与外接球半径的比值为
C. 正八面体的体积与表面积的比值为
D. 点 到平面 距离为
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. )
12. 已知向量 满足 ，则 _____.
13. 在锐角三角形 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,则 的取值范围为_____
14. 若存在实数 ,使得关于 的方程 有两个不同的根,其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (13分)随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了 2021 年到 2025 年充电桩数量 (单位:万个)， 为方便研究，年份代码用 表示(如: 表示 2021 年)，具体参考数据如下表:
统计量
数值 55 72.6 21
(1)请根据表中数据，建立 关于 的回归直线方程 ；
(2)现对该地区现有的 9 个充电桩进行检查，其中 4 个为快充桩，随机抽取 3 个充电桩进行检查,记抽到的快充桩个数为 ,求 的分布列及均值.
(参考公式: )
16. (15 分)苏仙岭又称 “天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的 处，此时他测得山顶 的仰角为 . 他沿着东偏南 的方向前行 200 米后到达点 处,此时他测得山顶点 的仰角为 . 假设山顶在水平面上的投影为点 ，且点 位于点 的南偏西方向, 测量仪器的高度忽略不计.
(1)求山高 ；
(2)已知景区内点 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段:平缓上升阶段的倾斜角为 ，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 . 求山脚下缆车上车点 到 点的距离.
问题(2)示意图
17. (15 分) 已知圆 外有一点 .
(1)当 时,过点 作直线 ，当直线 与圆 相切时，求直线 的方程；
(2)自点 发出的光线经过 轴反射后与 相切，记与 相切的两条反射光线所在直线的斜率之积为 ,数列 的前 项和为 ,求证: .
18. (17分)已知椭圆 的离心率为 分别是椭圆的左， 右焦点,点 为椭圆上任意一点,且 面积的最大值为 所在的直线经过椭圆的中心 ,现将坐标平面沿 轴折成一个直二面角,如图 1、2 所示.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线的斜率为 1，求翻折后异面直线 与 所成角的余弦值；
(3)当 不在 轴上时，如图 2，求 面积的最大值.
折叠前图 1
折叠后图 2
19. (17 分) 已知函数 ( 为自然对数的底数)
(1)若 在(1,0)处的切线与 恰有一个公共点，求 的值；( )
(2)若 ，讨论函数 的单调性；
(3)若函数 至少存在一个零点，求 的取值范围.
2026 届高三教学质量监测 数学试题答案及评分细则
(命题人:杨儒平 巫燕 刘艳平 审题人:陈伟 张凯 汪昌华)
一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。)
BCBAB 6-8 DBA
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。)
9 ABD ACD 11 ABD
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。)
12. 13. 14.
四、解答题(本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 【参考答案】
解: (1) , (2 分)
(4 分)
所以,回归直线方程为 (5 分)
(2)由题意知随机变量 的可能取值为0,1,2,3,则:
(7 分)
(8 分)
(9 分)
(10 分)
X 0 1 2 3
P 5 42 10 21 5 14
(11 分)
故均值 . (13 分)
16.【参考答案】
(1)解:在 中，设 ，由题意知 ，且 (1 分)
由余弦定理,
代入得: (3 分)
化简得: ,即
解得 或 (5 分)
由 “点 位于点 的南偏西方向” 可知, 必在 的东北方向,从而 的横坐标应大于 的横坐标。由 点向东位移为 米,可得 ,即 。 故只能取 (7 分)
所以山高 米。 (8 分)
(2)由第(1)问知，山高 米。因为缆车在点 处转换坡度，故两段缆车各上升 100 米。设第一段(倾斜角 15°)的水平距离为 ，第二段(倾斜角 30°) 的水平距离为 . (9 分)
则有: ,所以 ;
,所以 ; (11 分)
因此，山脚下缆车上车点到 点的距离为
(12 分)
利用常用三角函数值: ,
得 (14 分)
故山脚下缆车上车点到 点的距离为 米。 (15 分)
17. 【参考答案】
解: (1) 圆 ,圆心 ,半径 . 由题意可知直线 的斜率 存在,设直线 的方程为 ,即 (1 分) 由于直线 与圆 相切,所以 ,解得 或 , (4 分) 所以直线 的方程为
或 (6 分)
(2)记点 关于 轴的对称点为 ，则 . 由于反射光线所在直线经过点 ,且斜率存在,设反射光线所在直线 ,即 . 又圆 的圆心为 ,半径 ,直线 与圆 相切,则 , 整理得
(8 分)
则两条切线的斜率之积
. (10 分)
所以
(13 分)
(15 分)
18. 【参考答案】
(1)由题意知 ,解得 ,
椭圆 的标准方程为 (3 分)
(2)翻折前， 所在直线方程为 ，
联立 ,消 得 ,解得 , (5 分)
不妨设 ，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 6 分
于是 .
设异面直线 与 所成角为 ，
(8 分)
故异面直线 与 所成角的余弦值为 . (9 分)
(3)设翻折前MN所在直线方程为 ,
联立 ,消 得 , (10 分)
设 (令 ),
由韦达定理有 . (11 分)
翻折后, ,
故 ,
则 , (12 分)
所以 , (13 分)
于是 . (14 分)
所以
令 ,有 ,于是 .
令 ，由对勾函数的性质，
在 上单调递增. (15 分)
所以当 时 取得最小值,为 ,此时 取得最大值,
的最大值为 . 此时 ,解得 . (16 分)
所以当直线的斜率 时, 面积取得最大值,最大值为 2 . (17 分)
19. 【参考答案】
(1)由 得 . (1 分)
当 时, .
所以，曲线 在点 处的切线方程为 . (2 分) 由题意,这条切线与曲线 恰有一个公共点。
联立得 ,整理为 .
因为两曲线恰有一个公共点, 所以该一元二次方程有两个相等实根,
故判别式 . (3 分)
于是 ,从而 .
故 . (4 分)
(2)因为 ,
所以 . (5 分)
由于 ,故 ,因此 的符号由 的符号决定。
分情况讨论:
① 当 时
对任意 ,都有 ,故 .
所以函数 在区间 上单调递增。 (6 分)
② 当 时
当 时, ,故 ;
当 时, ,故 .
因此，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增。 综上,函数 的单调性为:
(8 分)
(3)由 ，要使函数 至少存在一个零点,只需方程 在 上至少有一个解。
移项得 . 设 (9 分) 则问题转化为: 求函数 的值域。
将 拆成两个函数: ,则 .
先讨论 的单调性。因为 , (10 分)
所以: 当 时, ,故 在 上单调递增;
当 时, ,故 在 上单调递减。
因此,函数 在 处取得最大值 . (12 分) 再讨论 的单调性。因为 ,
所以:
当 时, ,故 在 上单调递增;
当 时, ,故 在 上单调递减。
因此,函数 在 处取得最大值 (14 分) 由于 与 在区间 上都单调递增,在区间 上都单调递减, 所以它们的和 在区间 上单调递增,在区间
上单调递减,从而在 处取得最大值。
于是 . 故 . (16 分)
因此,函数 至少存在一个零点,当且仅当 .
所以 . (17 分)
备注:第 18 题第(3)问:若学生能写出
也可给满分。