青海西宁2025-2026学年下学期高三数学3月质量检测（含答案）

2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 数学(三)
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 填空题和解答题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知复数 ,则 的虚部为
A. -1 B. 1 C. i D.
2. 已知集合 ,若 ,则
A. 4 B. 2 C. D. 1
3. 已知向量 ，且 ，则 的取值范围为
A. B. C. D.
4. 已知 ,且 ,则
A. B.
C. D.
5. 将函数 的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度得到函数 的图象,则 的大致图象为
A.
B.
C.
D.
6. 抛物线有如下光学性质: 由其焦点射出的光线经抛物线反射后, 沿平行于抛物线对称轴的方向射出; 反之, 平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线 从点 射入，经过 上的点 反射，再经过 上另一点 反射后射出经过点 ，且 轴,则
A. B.
C. 4 D.
7. 如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放 1 个、 2 个、 3 个花盆，形成三角形排列, 其中有虚线连接的 2 个花盆为 “相邻花盆”, 现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有
D. 72 种
D.
A. 18 种 B. 32 种 C. 54 种
8. 已知 ,则
A. B. C.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 设数列 的前 项和为 ,且 . 则
A. 若 为等差数列,则
B. 若 为等差数列,则
C. 若 为等比数列,则
D. 若 为等比数列,则
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则
A.
B. 函数 图象的对称中心为
C. 当 时, 的值域为
D. 不等式 的解集为
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 上的两点 关于原点 对称，且点 在第一象限，则
A. 若 ,则点 在以 为直径的圆上
B. 的内心在直线 上
C. 在 上不存在一点 ,使得点 与点 关于点 对称
D. 过点 作 的两条渐近线的垂线,垂足分别为 ,则 为定值 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知命题 ，若 为真命题，则 的取值范围为
13. 花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一. 现有一花灯(如图 1 所示)， 其直观图如图 2 所示，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为 和 ，其侧面积为 ，则该花灯中的正六棱台的体积为_____ .
图1 图2
14. 若曲线 与曲线 恰好有 3 条公切线，则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
如图，在 中， ， 为 延长线上的一点， ， .
(1)若 ，求 长；
(2)若 ，求 的面积.
16.(本小题满分 15 分)
某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了 2025 年 10 月至 2026 年 2 月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示:
月份 2025 年 10 月 2025 年 11 月 2025 年 12 月 2026 年 1 月 2026 年 2 月
月份代码 1 2 3 4 5
月销量 (单位:千台) 8 10 13 20 24
(1)求出 与 的相关系数 (保留三位小数)，并根据 判断该款迎宾机器人月销量 与月份代码 是否有较强的相关关系；(当 时，相关性较强，当 时，相关性一般)
(2)求出 关于 的经验回归方程 ，并估计 2026 年 7 月该款迎宾机器人的销量;
(3)假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放 2000 元/个的补贴. 已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为 ， ,若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过 3000 元,求 的取值范围.
参考公式: 相关系数 ,
参考数据: , .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在五面体 中，平面 平面 平面 为等边三角形, .
(1)求证: ；
(2)点 为棱 上靠近点 的三等分点,求二面角 的正弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 经过如下四个点中的三个: ,
(1)求 的方程；
(2)已知 的左、右顶点分别为 ，直线 与 相交于 ， 两点(D， 均不在 轴上)，分别记直线 ， ， 的斜率为 ， ， .
( i ) 求证: ;
(ii)若 ，问直线 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点,试说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)求 在区间 上的值域；
(2)证明: ；
(3)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.
数学(三)
一、选择题
1. B 由题得 ,其虚部为 1 . 故选 B.
2. A 由已知得 ,若 ,则 ,且 ,解得 . 故选 A.
3. A 由题得 ,所以 ,则 . 故选 A.
4. C 由题得 ,又 ,所以 是锐角,所以 . 故选 C.
5. B 由题得 ,易知函数的定义域为 ,又 ,故 是奇函数,图象关于原点对称,排除 ; 当 时, ,排除 . 故选 B.
6. D 由题得 ,设直线 的方程为 ,由 消去 ,得 ,所以 -16,由抛物线的定义知 ,由已知 轴, ,所以点 的纵坐标为 ,代入抛物线方程 ,可得 ,所以 的坐标为 ,所以 ,所以 . 故选 D.
7. C 记上层花盆为 ,中层花盆从左到右依次为 ,下层花盆从左到右依次为 . 由题可知 有 3 种颜色可选，当 ， 同色时，有 2 种颜色可选， ， ， 各有 2 种颜色可选，其中 ， ， 同色时有 2 种颜色可选，此时花盆摆放的不同方式有 种; 当 不同色时, 有 2 种颜色可选, 只有 1 种颜色可选,则 有 2 种颜色可选， 只有 1 种颜色可选， 有 2 种颜色可选，其中 ， ， 同色时只有 1 种颜色可选，此时花盆摆放的不同方式有 种. 综上,最下层不全为同色时,花盆摆放的不同方式共有 种. 故选 C.
8. B ,因为 ,两边取以 8 为底的对数可得 ,又因为 ,两边取以 8 为底的对数可得 ,可知 ,由 ,可得 ,由 ,可得 ,从而可得 . 故选 B.
二、选择题
9. AB 对于 ,若 为等差数列,则 ,故 A 正确; 对于 ,若 为等差数列, 则公差 ,则 ,于是 ,故 正确; 对于 ,若 为等比数列,则 ,由于等比数列的偶数项同号,则 ,故 错误; 对于 ,若 为等比数列,则 ,所以 ,若 ,则 ; 若 ,则 ,故 D 错误. 故选 AB.
10. 对于 ,设函数的最小正周期为 ,则有 ,由函数的图象可知 ,则 . 又 ,则 ,即 错误; 对于 ,令 ,解得
,即 图象的对称中心为 , B 正确; 对于 ,当 时, . 故 正确; 对于
由
,得 ,其中 ,解得 ,即原不等式的解集为 正确. 故选 BCD.
11. ABD 对于 ,由题意可作图如下:
由双曲线 ,则 ,即 ,由 ,且点 关于原点 对称,则 ,在 中,由 ,则 ,故点 在以 为直径的圆上,故 正确; 对于 ,可作图如下:
设 的内心为 ,圆 为 的内切圆,且 分别为 的切点,则 ,由 ,设 ,则 ,解得 ,易知 在直线 上,故 B 正确; 对于 C,设 ,则点 关于点 的对称点为点 ,假设该点位于双曲线 上,则 ,整理可得 ,故 ,化简可得 , 由于 ,则方程有解,假设成立，故 错误；对于 ，设 ，两渐近线方程分别为 ，所以 ,又因为 满足 ,可得 ,所以 ,故 D 正确. 故选 ABD.
三、填空题
12. 可化为 ,当 时,原不等式为 ,解得 ,不合题意; 当 时,依题意得 的取值范围为 .
设正棱台的斜高为 ,高为 , 则由其侧面积为 ,可得 ,则侧棱长为 ,则 ,该六棱台的两底面面积分别为 , ,所以该六棱台的体积为 .
14. 设公切线为 是 与 的切点, 是 与 的切点, ,所以 的方程为 ,因为 ,整理得 ,同理 ,因为 ,整理得 . 依题意两条直线重合,可得 ，两式相除得 ,所以 . 代入 ① 得 . 由题意此方程有三个不等实根. 设 ,即直线 与曲线 有三个不同的交点,因为 ,令 ,则 或 . 当 时, 在 上单调递减; 当 时, , 在 上单调递增; 当 时, 在 上单调递减,所以 有极小值为 ,有极大值为 ,当 趋近于 0 时, 趋近于 0 ; 当 趋近于 时, 趋近于 ,所以当 ,即 时,直线 与曲线 有三个交点,故 的取值范围为 .
四、解答题
15. 解: (1) 在 中,根据正弦定理可得 ,
即 ,
由 为钝角，得 为锐角，
所以 , (3 分)
所以 ,
所以
. (7 分)
(2)因为 ，在 中，由余弦定理得，
，
解得 , (9 分)
则 ,
则 ,
则在 中, , (11 分)
所以 的面积为 (13 分)
16. 解: (1) ,
又 ,
则 0.75 , (3 分)
故 与 有较强的相关关系. (4 分)
(2) ,
故经验回归方程为 , (7 分)
2026 年 7 月对应的 值为 10,
当 时, ,
故可估计 2026 年 7 月该款迎宾机器人的月销量为 4.44 万台. (9 分)
(3)设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为 ,
则 的所有可能取值为 0,1,2,
则 ,
,
(13 分)
,且 .
,
故 的取值范围为 . (15 分)
17. 解:(1)在五面体 中， 平面 ， 平面 ,平面 平面 , 所以 . (2 分)
同理可证 ,
所以 . (4 分)
(2)取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ，
易得 ,
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,
因为 ， 平面 ，
所以 , (6 分)
因为 .
所以 .
则以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ,
可得 , ,
则 ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,
取 ,可得 ,
所以 , (9 分)
设平面 的法向量为 ,
则 ,
取 ,可得 ,
所以 , (12 分)
所以 , 所以 ,
所以二面角 的正弦值为 . (15 分)
18. 解:(1)由题意，点 和 关于 轴对称,
根据椭圆的对称性且椭圆过其中的三个点可知,点 和 都在椭圆上,
又因为点 与点 不可能同时在椭圆上,
所以椭圆过点 , 所以
故 ,
所以 的方程为 . (4 分)
(2)(i)由题意得 ，
设 ,
由 在椭圆 上，得 ,
即 ,
所以 . (8 分)
( ii ) 设 ,
由题得直线 的斜率不为 0,设直线 的方程为
由 ,得 ,
所以 ,
且 ,(11 分)
由 ① 知 ，
又 ,
所以 ,
所以 ,
即 ,
化简得
,
将 代入上式并化简,
得 ,
解得 或 , (14 分)
当 时,直线 过点 ,不符合题意,舍去; (15 分)
当 时,满足 6) ,
所以直线 恒过点 . (17 分)
19. 解: (1) 由题得 ,
所以 在 上单调递增,
所以 ,当 时, ,
所以 在区间 上的值域为 .
(4 分)
( 2 )由( 1 )知. 当 时， ,
所以 ,
要证 ,
只需证 ,
只需证 , (7 分)
令 ,
则 ,
所以 在 上单调递增, , 所以 ,
令 ,代入得 成立,
所以 . (10 分)
(3)令 ，
则 ,
当 时,
,
令 ,
则 ,
令 ,
则 ,
令 ,
则 , (12 分)
① 当 时， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ,
则 在 上单调递增,
所以 ,
则 在 上单调递增, ,
即 , (14 分)
② 当 时， ， ,
所以 ,
综上①②，当 时，对任意 ，都有 成立，不符合题意. (15 分)
当 时, ,
则必存在 ,使得当 时, , 所以 在 上单调递减, , 即 ,符合题意,
所以 的取值范围为 . (17 分)