2026年云南省楚雄彝族自治州一模数学试题(含答案)

2026年云南省楚雄彝族自治州一模数学试题
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2024年某校冬季田径运动会的集体项目红旗穿梭中，规定向东运动记作，那么向西运动记作（ ）
A. B. C. D.
2.下列图形中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.2024年9月25日8时44分，中国人民解放军火箭军向太平洋相关公海海域成功发射了1发携载训练模拟弹头的洲际弹道导弹，准确落入预定海域．导弹型号疑为东风或东风，射程约为千米，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，直线与被直线所截，截点为点E和F，，现绕点E作顺时针旋转，当时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.若正多边形的一个外角等于,则这个正多边形的边数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
7.“国家宪法日”为每年12月4日，是为了增强全社会的宪法意识，弘扬宪法精神，加强宪法实施，全面推进依法治国而设立的节日．2024年12月4日是我国第十一个“国家宪法日”，12月1日至12月7日是第七个“宪法宣传周”，2024年“宪法宣传周”主题为：“大力弘扬宪法精神，推动进一步全面深化改革”．某校开展国家宪法知识竞赛，其中一代表队的成员成绩如下表：
成绩（分） 95 96 98 99 100
频数（人） 1 2 4 1 2
则该代表队竞赛成绩的中位数是（ ）
A. 96 B. 98 C. 99 D. 100
8.双曲线经过点，则的值为（ ）
A. B. 10 C. D. 5
9.如图，在中，，则（ ）
A. B. C. D.
10.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
11.如图是一个长方体的主视图和左视图，由视图中标注的尺寸可计算出该长方体的体积为（）
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
12.随着农业科技的发展，云南某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为2吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量为吨．设每亩产量的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
13.将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
14.按照一定规律排列的多项式：，，，，…，第个多项式是（ ）
A. B. C. D.
15.如图，在中，，点D，E分别是，的中点，交于点F，则与的面积比是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16.在函数中自变量x的取值范围是 ．
17.分解因式：a2b-25b＝ ．
18.某学校在倡导学生大课间活动中，随机抽取了部分学生对大课间“我最喜爱的课间活动”进行了一次抽样调查，分别从八段锦、转呼啦圈、自由活动、跳长绳、其他等5个方面进行问卷调查（每位学生选且只能选一项），根据调查结果统计，喜爱自由活动的学生人数占被调查人数的．若全校共有学生1400人，估计该校喜欢自由活动的学生大约有 人．
19.如图，点A，B，C，D，E在同一个圆上，，点D平分劣弧，则等于 度．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
20.计算：．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
如图，线段相交于点E，．求证：．
22.(本小题6分)
全国节能宣传周是实施全面节约战略、开展节能降碳宣传教育、推动形成绿色低碳生产生活方式的重要举措．某小区计划近期更换小区内照明灯，经过市场调研发现，A种型号节能灯的单价比B种型号节能灯的单价贵10元，且用5000元购买的A种型号节能灯的数量与用3000元购买的B种型号节能灯的数量相同，求两种型号节能灯的单价．
23.(本小题8分)
随着信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．为了学生在学校支付餐费的方便，某校特地开通了校园刷脸支付小程序．小军和小明的家长操作该小程序时发现：只需要从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中随机选择一种进行绑定，就可实现校园刷脸支付功能．
(1) 选择“微信”进行绑定的概率为 ；
(2) 请用列表法或画树状图法中的一种方法，求两位家长恰好选择相同方式绑定支付的概率．
24.(本小题8分)
某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器，其中甲型空气净化器进货价格为每台650元，乙型空气净化器进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元；销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元．
(1) 该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元？
(2) 为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大？
25.(本小题8分)
如图所示，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 如果的周长为30，且，求四边形的面积S．
26.(本小题8分)
已知抛物线经过点，设k是抛物线与x轴的一个交点的横坐标，，．
(1) 求a的值；
(2) 求的值．
27.(本小题12分)
如图，C是以为直径的上一点，于点D，过点B作的切线，与的延长线相交于点E，F是的中点，连接并延长与相交于点G，连接并延长与的延长线相交于点H，的半径为3．
(1) 若，求点C和点B间的距离；
(2) 求证：是的切线；
(3) 当时，请判断下列结论哪个成立？①，②，③，并说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】D
12.【答案】B
13.【答案】C
14.【答案】B
15.【答案】C
16.【答案】
17.【答案】b(a+5)(a-5)
18.【答案】560
19.【答案】35
20.【答案】解：
．

21.【答案】证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
∴．

22.【答案】解：设B种型号节能灯的单价为x元，则A种型号节能灯的单价为（10+x）元，
依题意得=，
解得：x=15，
经检验，x=15是方程的解，10+x=10+15=25，
答：A种型号节能灯的单价为25元，B种型号节能灯的单价为15元.
23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：记“用微信绑定支付”为事件A，“用支付宝绑定支付”为事件B，“用银行卡绑定支付”为事件C，列表得：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果．其中两位家长恰好选择相同方式绑定支付的情况有3种，
所以两位家长恰好选择相同方式绑定支付的概率为．

24.【答案】【小题1】
解：该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，，
根据题意得：，解得：
答：该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元．
【小题2】
解：设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台，
根据题意得：，解得：．
设购买的这30台自行车全部售出后总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时（台）．
答：该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大．

25.【答案】【小题1】
证明：点是的中点
．
又
四边形是平行四边形．
是直角三角形，，点是的中点，
是斜边上的中线
．
四边形是菱形．
【小题2】
解：的周长为30，即
又
．
在中，由勾股定理得
∴
∴
∴．
∵点D，O分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
；
答：四边形的面积S为30．

26.【答案】【小题1】
解：将代入，得，
解得．
【小题2】
解：由（1）知，
∴抛物线的解析式是，
∵k是抛物线与x轴的交点的横坐标，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．

27.【答案】【小题1】
解：∵的半径为3，
∴，
连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
即点C和点B间的距离为的长度，即为；
【小题2】
解：连接，如图所示：
∵过点B作的切线，与的延长线相交于点E，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
则，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴是的中线，
∵是的直径，
∴，
∵是的中线
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
故，
∵是半径，
∴是的切线；
【小题3】
解：②成立．
理由如下：
如图，过点G作于点K，则．
∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
∵的半径为3，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∴点K为中点．
∵于点K，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
由（2）可知，
∴成立．

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