北京市第十三中学分校2025-2026学年下学期3月验收九年级数学试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 北京市第十三中学分校2025-2026学年下学期3月验收九年级数学试卷(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-04-01 00:00:00 | ||
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文档简介
北京市第十三中学分校2025-2026学年下学期3月验收九年级数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.每一个外角都是的正多边形是（ ）
A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形
3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
5.科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为（ ）
A. B. C. D.
6.一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数y=ax2-4ax+3（a为常数，且a＞0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.分解因式： ．
10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
11.如图，点E是 ABCD的边AD上一点，且AE：DE=1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.若AF=6，则CD的长为 .
12.分式方程的解为 .
13.如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则 度．
14.如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为 ．
15.已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为
16.某公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时） 90 100 130 150
若家庭3人想划船，最少需准备租船费用 元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：．
18.(本小题5分)
解不等式组，并写出它的所有整数解.
19.(本小题5分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题6分)
如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，求的长．
21.(本小题4分)
为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围．
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
(1) 求，的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
24.(本小题6分)
如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点．
(1) 求证：；
(2) 过点作交的延长线于点．若，，求的长．
25.(本小题9分)
中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
(1) 可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；
(2) 探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）；
(3) 在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则 （填“”“”或“”）．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1) （用含的式子表示）；
(2) 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当，时， ；
当点从点运动到点的过程中，的长随着的长的增大而增大，求的取值范围．
27.(本小题5分)
在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，．
(1) 如图1，用含有α的式子表示的度数；
(2) 如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为．
(1) 图形为线段，
①若图形为线段，则___________，___________；
②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围；
(2) 已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】x≥-2且x≠1
11.【答案】12
12.【答案】x=-3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】4或
16.【答案】100
380
17.【答案】解：
．
18.【答案】，不等式组的所有整数解为0，1，2，3，4．
19.【答案】解：
，
∵，
∴，
∴代数式的值．
20.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题2】
解：是的中点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
由勾股定理得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
，
．
21.【答案】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里．
依题意，得．
解得．
．
即本次测试的总道路长度为2百公里．
本次测试的总能耗为．
本次测试的百公里平均能耗为．
本次测试的百公里平均能耗不高于．
该车能挑战成功．
22.【答案】【小题1】
解：把x=1代入一次函数解析式中得．
∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是．
把代入反比例函数解析式中得．
∴m=6．
∴反比例函数的解析式为．
【小题2】
解：∵当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，
∴当x＜﹣3时，反比例函数y=的最小值大于一次函数的最大值．
∴把x=-3代入反比例函数解析式中得，把x=-3代入一次函数中得．
∴当x＜﹣3时，反比例函数的取值范围是大于-2，且小于0，一次函数的取值范围是大于．
∴．
∴．
23.【答案】【小题1】
解：∵函数与的图象交于点，
∴，
解得：；
【小题2】
由（1）得：，，
如图，记，
当时，，即在的图象上，
当过时，，
要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，即函数与的交点在点及点左侧，
即，
如图，当函数的图象平行函数的图象时，，
此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，
综上：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且．
24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
，
．
，
．
．
．
．
是的切线，
．
．
．
．
【小题2】
解：如图，连接．
是的直径，
．
∵，
是的中点．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
25.【答案】【小题1】
解：如下图，即为与x的函数图象；
【小题2】
/（答案不唯一）
/（答案不唯一）
【小题3】
26.【答案】【小题1】
【小题2】
解：由（1）知，
抛物线解析式为，
当时，则抛物线解析式为，直线解析式为，
当时，，
，
，，
；
故答案为：；
，
，，
，
则其对称轴为直线，
由题可得，
当时，此时，的函数图象如图，
由图象可知时，随的增大而增大，
故；
当时，此时，的函数图象如图，
由图象可得此时无符合题意的区间，故舍去；
综上，．
27.【答案】【小题1】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小题2】
证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
∴是的中位线，平分．
∴，．
∴．
∵平分，，，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
在与中，
∴．
∴．
∴．
28.【答案】【小题1】
解：①根据题意，在线段上任意取一点，作，如图所示，
则的长度即为点到线段的距离，
当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，
，，
，
；
在线段上任意取一点，连接，如图所示，
则的长度即为点到线段的距离，
，，，
当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，
，
；
故答案为：5，5；
②当时，连接，，作轴于点，如图所示：
点到轴距离为2，即，
，
；
当时，和重合，
此时，
当时，作于点，交于点，如图所示：
由图可知，，
，
，，
，解得；
当时，如图所示：
则；
当时，如图所示：
则，
综上所述，的最小值为2，此时；
【小题2】
解：设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，如图所示，
则任意一点到的距离为，
当与重合时，取得最大值，最大值为的长度；
设与轴相交于点，与轴相交于点
当时，；时，，
，，
，
，
，，
，
，
，
以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，如图所示：
，，
，
同理，；
图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），
当点与点重叠，而在（含端点）上运动时，或者当点与点重叠，而点在（含端点）上运动时，
此时，或，
当点在点的左侧，且点在点左侧时，或者当点在点的右侧，且点在点右侧时，或者当点在点的左侧，且点在点右侧时，
此时，，
为最小值，
设，，，
，，，
，，，
，，，（不合题意的值已舍去）
点，的横坐标分别为，，且最小时，点与重叠，
最小为：，
此时，在（含端点）上运动，
综上所述，的最小值为4，当取得最小值时，的最小值为，对应的的取值范围为．
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一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.每一个外角都是的正多边形是（ ）
A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正九边形
3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
5.科研人员利用人工智能设计出一种新型的“纳米笼”．这种“纳米笼”的直径为75纳米，1纳米等于米．若将这种新型“纳米笼”的直径记作n米，则n的值为（ ）
A. B. C. D.
6.一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色不同外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数y=ax2-4ax+3（a为常数，且a＞0），当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.分解因式： ．
10.若代数式有意义，则实数x的取值范围是 .
11.如图，点E是 ABCD的边AD上一点，且AE：DE=1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.若AF=6，则CD的长为 .
12.分式方程的解为 .
13.如图，四边形中，是由绕顶点逆时针旋转所得，顶点恰好转到上一点的位置，则 度．
14.如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点．若的面积为2，则k的值为 ．
15.已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为
16.某公园划船项目收费标准如下：
船型 两人船（限乘两人） 四人船（限乘四人） 六人船（限乘六人） 八人船（限乘八人）
每船租金（元/小时） 90 100 130 150
若家庭3人想划船，最少需准备租船费用 元；若某班18名同学一起去该公园划船，且每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为 元.
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：．
18.(本小题5分)
解不等式组，并写出它的所有整数解.
19.(本小题5分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题6分)
如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，求的长．
21.(本小题4分)
为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功．
22.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1．
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围．
23.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点．
(1) 求，的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
24.(本小题6分)
如图，是的直径，，交于点，过点作的切线交于点．
(1) 求证：；
(2) 过点作交的延长线于点．若，，求的长．
25.(本小题9分)
中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下：
a．探究活动在同一社团活动室进行，室温；
b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；
c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下：
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4
85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9
对以上数据进行分析，补充完成以下内容．
(1) 可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象；
(2) 探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为 时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为 （结果保留小数点后一位）；
(3) 在探究普洱茶茶水温度与放置时间函数关系的活动中选取了三个时刻、、，、、对应的温度分别为、、，若，则 （填“”“”或“”）．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1) （用含的式子表示）；
(2) 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当，时， ；
当点从点运动到点的过程中，的长随着的长的增大而增大，求的取值范围．
27.(本小题5分)
在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，．
(1) 如图1，用含有α的式子表示的度数；
(2) 如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，有两个图形和，为图形上一点，点到图形上任意一点的距离的最小值，称为点到图形的距离，若图形上任意一点到图形的距离中存在最大值，则称这个最大值为图形到图形的“距离”，记为．例如：如图，点，，，若图形为点和，图形为点和，则为线段的长度，即，为线段的长度，即．特殊地，若，则称图形和图形之间存在“距离”，记为．
(1) 图形为线段，
①若图形为线段，则___________，___________；
②点，点，图形为线段，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的取值范围；
(2) 已知的半径为1，直线，图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），记点，的横坐标分别为，，若图形和图形之间存在“距离”，直接写出的最小值，及当取得最小值时，的最小值和对应的的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】x≥-2且x≠1
11.【答案】12
12.【答案】x=-3
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】4或
16.【答案】100
380
17.【答案】解：
．
18.【答案】，不等式组的所有整数解为0，1，2，3，4．
19.【答案】解：
，
∵，
∴，
∴代数式的值．
20.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
四边形是平行四边形；
【小题2】
解：是的中点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
由勾股定理得：，
四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中位线，
，
．
21.【答案】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里．
依题意，得．
解得．
．
即本次测试的总道路长度为2百公里．
本次测试的总能耗为．
本次测试的百公里平均能耗为．
本次测试的百公里平均能耗不高于．
该车能挑战成功．
22.【答案】【小题1】
解：把x=1代入一次函数解析式中得．
∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是．
把代入反比例函数解析式中得．
∴m=6．
∴反比例函数的解析式为．
【小题2】
解：∵当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，
∴当x＜﹣3时，反比例函数y=的最小值大于一次函数的最大值．
∴把x=-3代入反比例函数解析式中得，把x=-3代入一次函数中得．
∴当x＜﹣3时，反比例函数的取值范围是大于-2，且小于0，一次函数的取值范围是大于．
∴．
∴．
23.【答案】【小题1】
解：∵函数与的图象交于点，
∴，
解得：；
【小题2】
由（1）得：，，
如图，记，
当时，，即在的图象上，
当过时，，
要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，即函数与的交点在点及点左侧，
即，
如图，当函数的图象平行函数的图象时，，
此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，
综上：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且．
24.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
，
．
，
．
．
．
．
是的切线，
．
．
．
．
【小题2】
解：如图，连接．
是的直径，
．
∵，
是的中点．
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴．
25.【答案】【小题1】
解：如下图，即为与x的函数图象；
【小题2】
/（答案不唯一）
/（答案不唯一）
【小题3】
26.【答案】【小题1】
【小题2】
解：由（1）知，
抛物线解析式为，
当时，则抛物线解析式为，直线解析式为，
当时，，
，
，，
；
故答案为：；
，
，，
，
则其对称轴为直线，
由题可得，
当时，此时，的函数图象如图，
由图象可知时，随的增大而增大，
故；
当时，此时，的函数图象如图，
由图象可得此时无符合题意的区间，故舍去；
综上，．
27.【答案】【小题1】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小题2】
证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，．
∴是的中位线，平分．
∴，．
∴．
∵平分，，，
∴，．
在中，．
∴．
在中，．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
在与中，
∴．
∴．
∴．
28.【答案】【小题1】
解：①根据题意，在线段上任意取一点，作，如图所示，
则的长度即为点到线段的距离，
当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，
，，
，
；
在线段上任意取一点，连接，如图所示，
则的长度即为点到线段的距离，
，，，
当点与点重合时，取得最大值，此时即为图形到图形的“距离”，
，
；
故答案为：5，5；
②当时，连接，，作轴于点，如图所示：
点到轴距离为2，即，
，
；
当时，和重合，
此时，
当时，作于点，交于点，如图所示：
由图可知，，
，
，，
，解得；
当时，如图所示：
则；
当时，如图所示：
则，
综上所述，的最小值为2，此时；
【小题2】
解：设任意一点，过点作，垂足为，过作，延长交于点，如图所示，
则任意一点到的距离为，
当与重合时，取得最大值，最大值为的长度；
设与轴相交于点，与轴相交于点
当时，；时，，
，，
，
，
，，
，
，
，
以点为圆心，以5为半径画圆，交直线于，，连接交于，连接交于，如图所示：
，，
，
同理，；
图形为，图形为直线上的一条线段（点在点左侧），
当点与点重叠，而在（含端点）上运动时，或者当点与点重叠，而点在（含端点）上运动时，
此时，或，
当点在点的左侧，且点在点左侧时，或者当点在点的右侧，且点在点右侧时，或者当点在点的左侧，且点在点右侧时，
此时，，
为最小值，
设，，，
，，，
，，，
，，，（不合题意的值已舍去）
点，的横坐标分别为，，且最小时，点与重叠，
最小为：，
此时，在（含端点）上运动，
综上所述，的最小值为4，当取得最小值时，的最小值为，对应的的取值范围为．
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