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第12章12.4第1课时 三角形内角和定理及其推论
1. 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为
证明后续命题的依据.由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的
推论，它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.
定理
推论
2. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
三角形三个内角的和等于180°
3. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
与它不相邻
1. （上海中考改编）下列说法错误的是（B）
A. 命题一定有逆命题 B. 所有的定理一定有逆定理
C. 假命题的逆命题可能是定理 D. 定理的逆命题可能是假命题
B
2. （盐城中考）将一副三角尺按如图方式重叠，则∠1的度数为（C）
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
C
3. （1）若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是钝角三角形.（填“锐
角”“直角”或“钝角”）
（2）在△ABC中，∠A∶∠B＝2∶1，其中∠C的度数等于60°，则∠A的度
数为80°.
钝角
80°
4. 如图，点A，B，P在正方形网格的格点（水平线与垂直线的交点）处，则
∠PAB＋∠PBA的度数为45°.
45°
5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，
DE∥AC交BC于点E，∠CDE＝35°，求∠ADC及∠A的度数.
∵DE∥AC（已知），∴∠CDE＝∠ACD＝35°（两直线平行，内错角相
等）.∵CD平分∠ACB（已知），∴∠ACD＝∠DCE＝35°（角平分线的定
义）.∵∠ADC是△BDC的外角（已知），∴∠ADC＝∠B＋∠DCE＝40°＋
35°＝75°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）.又∵∠A＋
∠ADC＋∠ACD＝180°（三角形的内角和等于180°），∴∠A＝180°－
∠ADC－∠ACD＝180°－75°－35°＝70°（等式的性质）.
6. 一个三角形的三个外角的度数比为3∶3∶2，则关于这个三角形描述最准确
的是（B）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
B
7. （辽宁中考）一副三角尺如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是
（B）
A. 80° B. 95° C. 100° D. 110°
B
解析：如图，∵∠3＝∠1－45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°.∵∠5＝90°－
30°＝60°，∴∠2＝∠4＋∠5＝95°，故选B.
8. （1）如图①，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分
线，若∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P的度数是30°.
30°
解析：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°.∵∠PCM是△BCP的外
角，∴∠P＝∠PCM－∠CBP＝50°－20°＝30°.
（2）如图②，BE是△ABC的外角∠CBD的平分线，且BE交AC的延长线于
点E.若∠A＝30°，∠E＝20°，则∠ACB的度数是70°.
解析：∵BE平分∠CBD，∴∠CBD＝2∠EBD.∵∠EBD＝∠A＋∠E＝30°＋
20°＝50°，∴∠CBD＝2×50°＝100°.∵∠CBD＝∠A＋∠ACB，∴∠ACB
＝∠CBD－∠A＝100°－30°＝70°.
70°
9. 如图，直线l1∥l2，则∠1＋∠2＝30°.
解析：如图，∵∠1＋∠3＝125°，∠2＋∠4＝85°，∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4
＝210°.∵l1∥l2，∴∠3＋∠4＝180°，∴∠1＋∠2＝210°－180°＝30°.
30
10. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠1＝∠A，∠2＝∠C，求∠A的度
数.
∵BD平分∠ABC（已知），∴∠ABC＝2∠1（角平分线的定义）.设∠A＝
x°，∴∠1＝∠A＝x°（已知），∴∠ABC＝2∠1＝2x°（等量代换），∠2
＝∠C＝∠1＋∠A＝2x°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
在△ABC中，x＋2x＋2x＝180（三角形的内角和等于180°），解得x＝36，
即∠A＝36°.
11. 如图，∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∠FDE＝64°，∠DEF＝43°，求
△ABC各内角的度数.
∵∠FDE＝∠BAD＋∠ABD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的
和），∠BAD＝∠CBE（已知），∴∠FDE＝∠ABD＋∠CBE＝∠ABC＝64°
（等量代换）.同理，∠DEF＝∠ECB＋∠CBE＝∠ECB＋∠ACF＝∠ACB＝
43°（等量代换），∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－64°－43°
＝73°（三角形的内角和等于180°），
∴△ABC各内角分别为64°，43°，73°.
12. 几何直观·推理能力 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC.
（1）如图①，作∠BAC的平分线AD，分别交CB，BE于D，F两点，求证：
∠EFD＝∠ADC.
∵AD平分∠BAC（已知），∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）.
∵∠EFD＝∠DAC＋∠AEB，∠ADC＝∠BAD＋∠ABC（三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角的和），
又∵∠AEB＝∠ABC（已知），∴∠EFD＝∠ADC（等量代换）.
（2）如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，交CB的延长线于点D，
延长DA，BE交于点F，试探究（1）中结论是否仍成立.为什么？
（1）中结论仍成立.
理由：∵AD平分∠BAG（已知），
∴∠BAD＝∠GAD（角平分线的定义）.
∵∠FAE＝∠GAD（对顶角相等），
∴∠FAE＝∠BAD（等量代换）.
∵∠EFD＝∠AEB－∠FAE，∠ADC＝∠ABC－∠BAD（三角形的外角等于与
它不相邻的两个内角的和），
又∵∠AEB＝∠ABC（已知），∴∠EFD＝∠ADC（等量代换）.(共17张PPT)
第12章12.2 命 题
1. 可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真，要么为假，二者必居
其一.
命题
2. 数学命题一般都由条件和结论两部分组成.
条件
结论
3. 命题所作的判断是正确的，像这样的命题叫作真命题.命题所作的判断是错
误的，像这样的命题叫作假命题.
假命题
4. 正好互换了条件与结论的位置的两个命题称为互逆命题，其中一个命题叫
作原命题，另一个叫作原命题的逆命题.
条件与结论
1. （雅安中考）下列四个选项中不是命题的是（B）
A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线
C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果a＝b，a＝c，那么b＝c
B
2. 下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（C）
①该命题的条件是两个角互为补角；
②该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式；
③该命题是真命题.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
C
3. 单独一个数或一个字母是代数式，这个句子是命题.（填“定义”或“命
题”）
命题
4. 把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是如果
两个角相等，那么它们的余角也相等.该命题的逆命题如果两个角的余角相
等，那么这两个角相等.
如果
两个角相等，那么它们的余角也相等
如果两个角的余角相
等，那么这两个角相等
5. 写出下列命题的条件和结论，并判断真假.
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
条件：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等.是假命题.
（2）如果－2x＞1，那么x＜－0.5；
条件：－2x＞1，结论：x＜－0.5.是真命题.
（3）异号两数相加得0.
条件：两个数异号，结论：它们相加得0.是假命题.
6. “如果两个角的两边互为反向延长线，那么这两个角是对顶角”是（A）
A. 真命题 B. 假命题
C. 定义 D. 既不是命题，也不是定义
A
7. 已知下列命题：①若＞1，则a＞b；②若a＋b＝0，则｜a｜＝｜b｜；③x
＝4是不等式x－3＞0的解；④若a≠1，则（a－1）0＝1.其中原命题与其逆
命题均为真命题的个数是（B）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
8. 把命题“两条直线相交只有一个交点”写成“如果……，那么……”的形
式是如果两条直线相交，那么它们只有一个交点.
如果两条直线相交，那么它们只有一个交点
9. 命题“若a＞b，则a2＞b2”，若结论保持不变，怎样改变条件，命题才是
真命题？请你写出一种改法：若a＞b＞0，则a2＞b2（答案不唯一）.
若a＞b＞0，则a2＞b2（答案不唯一）
10. 下列命题中，是假命题的有①③.（填序号）
①一个锐角的余角小于这个角；②同旁内角不互补，两直线不平行；③直线外
一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离；④若a2＋b2＝0，则a，b都
为0.
①③
11. 写出下列命题的条件和结论，并判断真假.
（1）能被2整除的数也能被4整除；
条件：一个数能被2整除，结论：它也能被4整除.是假命题.
（2）邻补角的平分线互相垂直；
条件：两个角是邻补角，结论：这两个角的平分线互相垂直.是真命题.
（3）在钝角三角形中，两个锐角的度数和小于钝角的度数.
条件：一个三角形为钝角三角形，结论：这个三角形两个锐角的度数和小于钝
角的度数.是真命题.
12. 推理能力 对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列四个选项：
①b∥c；②a⊥b；③a∥c；④a⊥c.请从中选择两个作为条件，再从余下的选项
中选择一个作为结论，组成一个真命题.这样的真命题有哪些？尝试全部写出
来.
（1）条件①②，结论④，即如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；
（2）条件①④，结论②，即如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；
（3）条件②④，结论①，即如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c.(共24张PPT)
第12章12.4第2课时 多边形内角和定理与外角和定理
1. 多边形内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）·180°.
（n－2）·180°
2. 在多边形的每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和.
一
和
3. 多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°.
360°
1. （南通中考）若一个多边形的内角和与它的外角和相等，则这个多边形是
（B）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
B
2. （怀化中考）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（A）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
A
3. 若一个多边形的边数增加1，则它的外角和将（D）
A. 增加90° B. 增加180°
C. 增加360° D. 保持不变
D
4. 在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，∠B＝72°.
72
5. （1）（2025·眉山中考改编）如图①，直线l与正五边形ABCDE的边
AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为144°.
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，∠DCE是四边形
ABCD的一个外角，若∠DCE＝50°，则∠A＝50°.
144°
50°
6. 如图，四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，
若∠A＝140°，∠D＝80°，求∠C的度数.
∵BE∥AD，∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.又∵BE平分
∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE＝40°，∴∠ABC＝80°，∴∠C＝360°－∠A－
∠D－∠ABC＝360°－140°－80°－80°＝60°.
7. （2025·凉山州中考）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这
个多边形的一个顶点出发能作的对角线条数是（B）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
B
8. （青海中考）如图，小莉从A点出发，沿直线前进10米后左转20°，再沿
直线前进10米，又向左转20°……照这样走下去，她第一次回到出发点A
时，一共走的路程是（C）
A. 150米 B. 160米
C. 180米 D. 200米
解析：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为20°，∴多边形的边数为
360°÷20°＝18，∴小莉一共走了18×10＝180（米）.故选C.
C
9. 一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是
（D）
A. 360° B. 540°
C. 180°或360° D. 540°或360°或180°
解析：一个正方形被截掉一个角后，所得新的多边形边数可能增加1，则五边
形的内角和是（5－2）×180°＝540°；所得新的多边形边数可能不变，则四
边形的内角和是（4－2）×180°＝360°；所得新的多边形边数可能减少1，
则三角形的内角和是（3－2）×180°＝180°，因此得到的新多边形的内角和
是540°或360°或180°.故选D.
D
10. （1）（扬州中考）如图①，点A，B，C，D，E在同一平面内，连接
AB，BC，CD，DE，EA，若∠BCD＝100°，则∠A＋∠B＋∠D＋∠E＝
280°.
280
解析：连接BD，∵∠BCD＝100°，∴∠CBD＋∠CDB＝180°－100°＝
80°，∴∠A＋∠ABC＋∠CDE＋∠E＝360°－（∠CBD＋∠CDB）＝360°
－80°＝280°.
（2）如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°.
解析：连接CF，∵∠D＋∠E＝∠OCF＋∠OFC，∴∠A＋∠B＋∠BCD＋∠D
＋∠E＋∠GFE＋∠G＝（5－2）×180°＝540°.
540
11. （1）如图①，在五边形ABCDE中，若∠D＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋
∠4＝300°.
解析：∵∠D＝120°，∴∠D的外角为180°－120°＝60°，∴∠1＋∠2＋
∠3＋∠4＝360°－60°＝300°.
300
（2）如图②，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，
∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3＝180°.
180
解析：如图，延长AB，DC，∵AB∥CD，∴∠4＋∠5＝180°，根据多边形的
外角和定理可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°
－180°＝180°.
12. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝
60°，探索∠ADE与∠EDC有怎样的数量关系，并说明理由.
∠ADE＝∠EDC.理由：在△AED中，∵∠AED＝60°，
∴∠A＝180°－∠AED－∠ADE＝120°－∠ADE.
在四边形DEBC中，∠DEB＝180°－∠AED＝180°－60°＝120°，∴∠B
＝∠C＝（360°－∠DEB－∠EDC）＝120°－∠EDC.∵∠A＝∠B＝∠C，
∴120°－∠ADE＝120°－∠EDC，∴∠ADE＝∠EDC.
13. 几何直观·推理能力 【基础探究】如图①，四边形ABCD中，∠ABC和
∠BCD的平分线交于点E，若∠A＝140°，∠D＝80°，则∠BEC的度数为
110°.
【拓展延伸】如图②，四边形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线交于点
E，∠BAD和∠ADC的平分线交于点F.
110°
（1）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
∠E＋∠F＝180°.理由：∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD，∴∠E＝180°－∠EBC－∠ECB＝180°－（∠ABC＋∠BCD），同理，∠F＝180°－（∠BAD＋∠ADC），∴∠E＋
∠F＝360°－（∠BAD＋∠ABC＋∠ADC＋∠BCD）＝180°.
（2）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，则所添加的条件为
AB∥CD（答案不唯一）.
AB∥CD（答案不唯一）(共34张PPT)
第12章 章 末 复 习
180°
不相邻
条件
结论
逆命题
1. 下列语句不是命题的是（C）
A. 两点之间，线段最短 B. 不平行的两条直线有一个交点
C. x与y的和等于0吗 D. 两个锐角的和一定是直角
C
2. 下列命题是真命题的是（D）
A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 三角形的外角大于与它相邻的内角
C. 单项式5ab2的次数是4 D. 垂线段最短
D
3. 对于命题“如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的
反例是（C）
A. ∠1＝50°，∠2＝40° B. ∠1＝50°，∠2＝50°
C. ∠1＝45°，∠2＝45° D. ∠1＝40°，∠2＝40°
C
4. （山西中考）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光
线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1＝155°，∠2＝
30°，则∠3的度数为（C）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
C
5. （1）将命题“等腰三角形两底角相等”写成“如果……，那么……”的形
式：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等.
（2）“两负数的商为正数”的条件是两负数相除，结论是商是正数.
如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等
两负数相除
商是正数
6. （2025·无锡中考改编）请写出命题“若a＞b，则a＋1＞b＋1”的逆命
题：若a＋1＞b＋1，则a＞b，
该逆命题是真命题（填“真”或“假”）.
若a＋1＞b＋1，则a＞b
真
7. （2025·扬州中考）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数
为9.
9
8. 如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1.
（1）求证：DF∥AC；
因为DE∥AB，所以∠BFD＝∠1.
因为∠A＝∠1，所以∠BFD＝∠A，所以DF∥AC.
（2）若∠BDE＋∠CDF＝215°，求∠B＋∠C的值.
因为DE∥AB，所以∠B＋∠BDE＝180°.
因为DF∥AC，所以∠CDF＋∠C＝180°，
所以∠B＋∠BDE＋∠CDF＋∠C＝180°＋180°＝360°.
因为∠BDE＋∠CDF＝215°，所以∠B＋∠C＝145°.
9. 以下说法中，假命题的个数是（B）
①多边形的外角和是360°；②n边形的对角线有条；③三角形的3个
内角中，至少有2个角是锐角.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B
10. 下列命题的逆命题是真命题的是（C）
A. 等边三角形是等腰三角形 B. 若a＝2，b＝5，则a∶b＝2∶5
C. 若ab＝0，则a＝0或b＝0 D. 单项式y的系数和次数都是0
C
11. （荆门中考）将一副直角三角尺按如图所示的位置摆放，使得它们的直角
边互相垂直，则∠1的度数是（C）
A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
C
12. 用四个不等式：①a＞b；②a＋b＞2b；③a＞0；④a2＞ab中的两个不等式
作为条件，余下的两个不等式中选择一个作为结论，组成一个真命题：条件：
①a＞b；③a＞0，结论：④a2＞ab.
条件：
①a＞b；③a＞0，结论：④a2＞ab
13. 以n＝3（答案不唯一）为反例，可以证明命题“若n为自然数，则
2n≥n2”为假命题.
3（答案不唯一）
14. （株洲中考）《周礼·考工记》中记载有：“……半矩谓之宣（xuān），
一宣有半谓之欘（zhú）……”.意思是：“……直角的一半的角叫作宣，一宣
半的角叫作欘……”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）.问题：
图①为中国古代一种强弩图，图②为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A
＝1矩，∠B＝1欘，则∠C＝22.5°.
22.5
15. 如图，已知AB∥CD，∠ABF＝∠FEG＝30°，则∠EGD＝60°.
60
16. （1）如图①，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°.
360
（2）如图②，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝540°.
解析：如图，连接BE，CE，根据三角形的内角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠4
＋∠5＝540°.
540
17. 如图，在△ABC中，∠1＝∠2.
（1）请直接添加一个与边AC有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平
分线.
AC∥BE.
（2）请直接添加一个与∠1有关的条件，由此可得出BE是△ABC的外角平分
线.
∠1＝∠ABE.（答案不唯一）
（3）如果已知“在△ABC中，∠1＝∠2”不变，请你把（1）中添加的条件与
所得结论互换，所得的命题是否是真命题？理由是什么？
是真命题，理由如下：∵BE是△ABC的外角平分线，∴∠ABE＝∠DBE.又
∵∠ABD是△ABC的外角，∴∠ABD＝∠1＋∠2，即∠ABE＋∠DBE＝∠1＋
∠2.又∵∠ABE＝∠DBE，∠1＝∠2，∴∠ABE＝∠1，∴AC∥BE.
18. 观察下列关于自然数的等式：
a1：32－12＝8×1；
a2：52－32＝8×2；
a3：72－52＝8×3；….
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第a4个等式：92－72＝8×4；
92－72＝8×4
（2）写出你猜想的第an（n为正整数）个等式（用含n的式子表示），并验
证其正确性；
an：（2n＋1）2－（2n－1）2＝8n（n为正整数）.
证明如下：∵左边＝（2n＋1）2－（2n－1）2＝[（2n＋1）＋（2n－
1）][（2n＋1）－（2n－1）]＝4n×2＝8n，
右边＝8n，
∴左边＝右边.
（3）对于正整数k，若ak，ak＋1，ak＋2为△ABC的三边，求k的取值范围.
由（2）可知ak＝8k，ak＋1＝8（k＋1），ak＋2＝8（k＋2），
根据题意得8k＋8（k＋1）＞8（k＋2），
解得k＞1且k为正整数.
19. 如图，在△ABC中，AE是角平分线，D是AB上的点，AE，CD相交于点
F.
（1）若∠ACB＝∠CDB＝90°，求证：∠1＝∠2.
∵AE是角平分线，∴∠CAE＝∠BAE.∵在△ACE中，∠ACE＝90°，∴∠2＝
90°－∠CAE＝90°－∠BAE，同理：∠1＝∠AFD＝90°－∠BAE，∴∠1＝
∠2.
（2）若∠ACB＝∠CDB＝m（0°＜m＜180°）.
①求∠2－∠1的值（用含m的代数式表示）.
②是否存在m，使∠2小于∠1？如果存在，求出m的范围；如果不存在，请
说明理由.
①∵∠CAE＝∠BAE，∴∠1＝∠AFD＝∠CDB－∠BAE＝m－∠BAE＝m－
∠CAE.又∵在△ACE中，∠2＝180°－∠ACB－∠CAE＝180°－m－
∠CAE，∴∠2－∠1＝（180°－m－∠CAE）－（m－∠CAE）＝180°－2m.
②存在.∵要使∠2小于∠1，则∠2－∠1＜0，∴180°－2m＜0，解得m＞
90°，∴当90°＜m＜180°时，∠2小于∠1.
20. （1）如图①，AB∥CD，试问∠2与∠1＋∠3存在怎样的数量关系？为什
么？
∠2＝∠1＋∠3.理由如下：
如图①，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∴∠2＝∠BEF＋∠CEF＝∠1＋∠3.
（2）如图②，AB∥CD，试问∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5一样大吗？为什么？
（2）∠2＋∠4＝∠1＋∠3＋∠5.理由如下：如图②，分别过点E，G，M作
EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，∴∠1＝
∠BEF，∠FEG＝∠EGH，∠HGM＝∠GMN，∠CMN＝∠5，∴∠2＋∠4＝
∠BEF＋∠FEG＋∠GMN＋∠CMN＝∠1＋∠EGH＋∠MGH＋∠5＝∠1＋∠3
＋∠5.
（3）如图③，AB∥CD，直接写出∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7的数
量关系.
∠2＋∠4＋∠6＝∠1＋∠3＋∠5＋∠7.(共11张PPT)
第12章12.3 证 明
从命题的条件出发，根据一些已知的事实（如概念的定义，基本性质，真
命题等），用“因为……，所以……”的形式一步一步推出命题的结论，从而
确定这个命题为真命题的过程称为证明.
证明
1. 下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述，正确的是（D）
A. 只需观察得出 B. 只需依靠经验获得
C. 通过亲自实验得出 D. 必须进行有根据地证实
D
2. 如图，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（B）
A. ∵∠2＝∠3，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
B. ∵∠1＋∠2＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.
C. ∵a∥b，∴∠4＝∠6（两直线平行，同位角相等）.
D. ∵a∥b，∴∠4＋∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补）.
B
3. （福建中考改编）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推
理结果可能产生错误.例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于
0”，并证明如下：
设任意一个数为x，令x＝m，①等式两边都乘x，得x2＝mx.②等式两边都减
m2，得x2－m2＝mx－m2.③等式两边变形为（x＋m）（x－m）＝m（x－
m）.④等式两边都除以（x－m），得x＋m＝m.⑤等式两边都减m，得x＝0.
所以任意一个有理数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ④.（填序号）
④
4. 如图，填空：
（1）∵AD∥EF（已知），∴∠ADE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等）.
（2）∵∠ADE＝∠B（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.
（3）∵DE∥BF（已知），∴∠C＋∠DEC＝180°（两直线平行，同旁内角互
补）.
（4）∵∠BFE＋∠B＝180°，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）.
DEF
两直线平行，内错角相等
DE
BC
同位角相等，两直线平行
DEC
两直线平行，同旁内角互
补
B
EF
同旁内角互补，两直线平行
5. （滨州中考）如图，直线AC∥BD，AO，BO分别是∠BAC，∠ABD的平分
线，那么下列结论错误的是（D）
A. ∠BAO与∠CAO相等 B. ∠BAC与∠ABD互补
C. ∠BAO与∠ABO互余 D. ∠ABO与∠DBO不等
D
6. 如图，从①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F这三个条件中选出两个
作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，真命题的个数为3.
3
7. 下列判断是否正确，为什么？
（1）无论x取什么值，代数式x2－6x＋10的值总是正数；
正确，理由：x2－6x＋10＝x2－6x＋9＋1＝（x－3）2＋1≥1，所以无论x取什
么值，代数式x2－6x＋10的值总是正数.
（2）无论x取什么值，代数式－x2－4x－1的值不可能为4.
确，理由：－x2－4x－1＝－x2－4x－4＋3＝－（x＋2）2＋3≤3，所以无论x
取什么值，代数式－x2－4x－1的值不可能为4.
8. 如图，∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
∵AD∥BC（已知），∴∠CBD＝∠D（两直线平行，内错角相等）.∵∠ABD
＝∠D（已知），∴∠CBD＝∠ABD＝∠D（等量代换），∴∠ABC＝∠CBD
＋∠ABD＝2∠D（等量代换）.
∵∠ABC＝∠C（已知），∴∠C＝2∠D（等量代换）.
9. 运算能力·推理能力 如果用一根很长的绳子沿着地球赤道绕1圈，然后把绳
子放长30 m，若各处的缝隙是均匀的，想象一下，这根绳子与地球赤道之间
的缝隙有多大（精确到1 m）？此时的缝隙一只老鼠能穿过吗？一头大象呢？
设赤道的半径为Rm，则缝隙大小为－R＝≈5（m），此时的缝隙一
只老鼠和一头大象均能穿过.(共15张PPT)
第12章12.1 定 义
对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义
，有时也说“给概念下定义”.根据概念的定义，就可以准确地判断一个对象
是否属于这个概念.
定义
1. 下列语句中，属于定义的是（D）
A. 直角都相等 B. 作已知角的平分线
C. 两点之间，线段最短 D. 两点之间线段的长度叫作这两点之间的距离
D
2. （贺州中考改编）如图，根据同旁内角的定义判断下列两个角是同旁内角
的是（B）
A. ∠1与∠2 B. ∠1与∠3 C. ∠1与∠4 D. ∠2与∠4
B
3. 写出“幂”的定义：乘方运算的结果叫作幂.
乘方运算的结果叫作幂
4. 下面给出一些定义，你觉得这些“定义”合适吗？如果觉得不合适，说说
你的理由.
（1）带“－”号的数叫作负数；
不合适，如－（－1）＝1，不是负数.
（2）规定了原点、正方向和单位长度的射线叫作数轴；
不合适，数轴的定义是规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
（3）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
合适
5. 下列语句属于定义的有（ B）
①含有未知数的等式称为方程；
②等式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2称为两数和的平方公式；
③如果a，b为有理数，那么（a－b）2＝a2－2ab＋b2；
④对顶角相等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
6. 如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（ B）
A. ①对，②不对 B. ①不对，②对
C. ①、②都不对 D. ①、②都对
B
7. 写出“单项式”的定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式.
由数与字母的积组成的代数式叫作单项式
8. （成都中考）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，
且m－n＞1，则称这个正整数为“智慧优数”.例如，16＝52－32，16就是一
个智慧优数，可以利用m2－n2＝（m＋n）（m－n）进行研究.若将智慧优数
从小到大排列，则第3个智慧优数是15.
解析：智慧优数从小到大排列如下：8，12，15，16，20，…，所以第3个智
慧优数是15.
15
9. 画示意图表示下列概念之间的关系.
四边形、梯形、平行四边形、长方形、正方形
示意图画法不唯一，合理即可，如图所示.
10. 将下列图形分类，并说明分类的依据.
①长方体（或四棱柱），②三棱柱，③球，④圆柱，⑤圆锥，⑥三棱锥；⑦六
棱柱.
分类方法不唯一，如：若按柱体、锥体、球来划分：①②④⑦是一类，即柱
体；⑤⑥是一类，即锥体；③是一类，即球.
11. 创新意识·运算能力 定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就
称这两个方程互为“成双方程”.例如：方程2x－1＝2和2x－1＝0互为“成
双方程”.
（1）请判断方程4x－（x＋5）＝1与方程－2y－y＝3是否互为“成双方
程”；
方程4x－（x＋5）＝1与方程－2y－y＝3不互为“成双方程”，理由如下：
4x－（x＋5）＝1解得x＝2，－2y－y＝3解得y＝－1，
因为x＋y＝2＋（－1）＝1，所以方程4x－（x＋5）＝1与方程－2y－y＝3不
互为“成双方程”.
（2）若关于x的方程＋m＝0与方程3x－2＝x＋4互为“成双方程”，求m
的值.
＋m＝0解得x＝－2m，3x－2＝x＋4解得x＝3，
因为关于x的方程＋m＝0与方程3x－2＝x＋4互为“成双方程”，
所以－2m＋3＝2，解得m＝.(共22张PPT)
第12章12.4第3课时 反 证 法
1. 通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明
方法叫作反证法.
结论
2. 平行线的性质定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
平行于同一条直线的两条直线平行
3. 用反证法证明一个命题的步骤一般为：①先假设命题的结论不成立；②从
这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而
肯定原来命题的结论成立.
不成立
成立
4. 在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法，举反例的关键是找
到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
条件
结论
1. 用反证法证明命题“在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应该假
设（ B）
A. AB＝AC B. ∠B＝∠C
C. AB＝AC且∠B＝∠C D. AB＝AC且∠B≠∠C
B
2. 已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法正确的是（ D）
A. 若a⊥b，b∥c，则a∥c B. 若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C. 若a∥b，b⊥c，则a∥c D. 若a∥b，b∥c，则a∥c
D
3. 可以说明“不等式组没有整数解”是假命题的一个反例是x
＝3（答案不唯一）.
3（答案不唯一）
4. 如图，给出下面的推理：①∵∠B＝∠BEF，∴AB∥EF；②∵∠B＝
∠CDE，∴AB∥CD；③∵∠DCE＋∠AEF＝180°，∴AB∥EF；④∵AB∥CD，
CD∥EF，∴AB∥EF.其中正确的推理是①②④.（填序号）
①②④
5. 用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如图，∠ACD是△ABC是一个外角，求证：∠ACD＝∠A＋∠B.
证明：假设∠ACD≠∠A＋∠B.在△ABC中，∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠A＋∠B＝180°－∠ACB.∵∠ACD＋∠ACB＝180°，∴∠ACD＝180°－
∠ACB，∴∠ACD＝∠A＋∠B，与假设相矛盾，∴假设不成立，∴原命题成
立，即∠ACD＝∠A＋∠B.
6. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证
法证明时，最终推出与 矛盾.（B）
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
B
7. （2025·北京中考）能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组有
理数a，b的值为a＝－3，b＝ 1.
－3
1
8. 已知直线l1∥l2，l2⊥l3，l3∥l4，l4⊥l5，l5∥l6，…，按此规律，直线l1与直线l2
026的位置关系是平行.
解析：根据题意，得直线l1与l2平行，与l3垂直，与l4垂直，与l5平行，与l6
平行，与l7垂直，…，故直线l1与直线l2 026平行.
平行
9. 判断下列命题的真假，如果是假命题，举出一个反例.
（1）邻补角是互补的角；
真命题
（2）一个角的补角一定是钝角；
假命题，反例：设∠1＝60°，∠2＝120°，∠1是∠2的补角，但∠1不是钝
角.（反例合理即可）
（3）同位角相等；
假命题，反例：如图，∠1和∠2是同位角，但∠1≠∠2.（反例合理即可）
（4）对于任意数n，n2－6n的值都是负数.
假命题，反例：令n＝7，n2－6n＝7＞0.（反例合理即可）
10. 几何直观·推理能力 【阅读探究】如图①，已知AB∥CD，E，F分别是
AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝
25°，求∠EMF的度数.
解：过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，∴MN∥CD，
∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°.
∴∠EMF＝∠EMN＋∠FMN＝45°＋25°＝70°.
进一步研究，我们可以发现图①中∠AEM，∠EMF和∠CFM之间存在一定的
数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：∠EMF＝∠AEM＋∠CFM.
【方法运用】如图②，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M
在AB，CD两平行线之间，求∠AEM，∠EMF和∠CFM之间的数量关系.
如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD（已知），∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠DFM（两直线平行，内错角相等）.∵∠BEM
＝180°－∠AEM，∠DFM＝180°－∠CFM（平角的定义），∴∠EMF＝
∠EMF＝∠AEM＋∠CFM
∠EMN＋∠FMN＝∠BEM＋∠DFM＝180°－∠AEM＋180°－∠CFM＝
360°－∠AEM－∠CFM（等量代换）.
【应用拓展】如图③，在图②的条件下，分别作∠AEM和∠CFM的平分线
EP，FP，交于点P（交点P在两平行线AB，CD之间），若∠EMF＝60°，
求∠EPF的度数.
∵EP，FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线（已知），
∴∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM（角平分线的定义）.
如图②，过点P作PH∥AB，
∵AB∥CD（已知），∴PH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP（两直线平行，内错角相等），
∴∠EPF＝∠EPH＋∠FPH＝∠AEP＋∠CFP＝∠AEM＋∠CFM＝（∠AEM
＋∠CFM）（等量代换），
由【方法运用】得∠EMF＝360°－∠AEM－∠CFM，
∴∠AEM＋∠CFM＝360°－∠EMF＝360°－60°＝300°（等式的性质），
∴（∠AEM＋∠CFM）＝×300°＝150°（等式的性质），
∴∠EPF＝150°（等量代换）.
