(共12张PPT)
17.2 一元二次方程的解法
第2课时 公 式 法
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 合肥三十八中期中）用求根公式解一元二次方程3x2－2x＝1
时，a，b，c的值分别是（ C ）
A. 3，－1，－2 B. 3，－2，1
C. 3，－2，－1 D. 3，2，1
2. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必
须满足的条件是（ A ）
A. p2－4q≥0 B. p2－4q≤0
C. p2－4q＞0 D. p2－4q＜0
C
A
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3. （2025 安庆太湖期中）若关于x的一元二次方程的根为x＝
，则这个方程可能是（ D ）
A. x2＋4x－3＝0 B. x2－4x－1＝0
C. x2＋4x－5＝0 D. x2－4x－2＝0
4. （教材变式）用公式法解方程3x2－1＝x，其较小的一个根是
（ B ）
A. B. C. D.
D
B
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5. 新考法 阅读理解 将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2
＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”
的目的.又如x3＝x x2＝x（px－q）＝…，我们将这种方法称为“降次
法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.已知x2－x－1＝0，
且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为（ C ）
A. 1－ B. 3－ C. 1＋ D. 3＋
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）用公式法解方程5x2＋2x－12＝0，先求得b2－4ac
＝ ，则x1＝ ，x2＝ .
7. 新考法 新定义题 若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝
（a＋1）2－ab，如4*1＝（4＋1）2－4×1＝21，则方程（x＋2）*5＝
0的根为 .
244
x1＝ ，x2＝
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8. 已知等腰三角形的一腰长为x，周长为20，且x是方程x2－12x＋31
＝0的根，则x的值为 .
9. 已知a＞b＞0，且 ＋ ＋ ＝0，则 ＝ .
6＋
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三、 解答题（共42分）
10. （18分）用公式法解下面的方程：
（1） （2024 安庆潜山期中）x2－3x－5＝0；
解：x1＝ ，x2＝
（2） （2024 宣城期末）2x2－x＝2－4x.
解：x1＝－2，x2＝
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11. （10分）新考法 新定义题 定义新运算“△”如下：对于任意实
数a，b，都有a△b＝a2＋ab＋b2，如3△1＝32＋3×1＋12＝13.已知
（x＋1）△x＝10，求x的值.
解：∵ （x＋1）△x＝10，∴ （x＋1）2＋x（x＋1）＋x2＝10.整
理，得x2＋x－3＝0，解得x1＝ ，x2＝
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12. （14分）小宇同学解一元二次方程4x2－3 x＝ 的过程如下：
解：∵ a＝4，b＝－3 ，c＝ ，①
∴ b2－4ac＝（－3 ）2－4×4× ＝16.②
∴ x＝ ＝ .③
∴ x＝ 或x＝ .④
∴ 原方程的根是x1＝ ，x2＝ .⑤
（1） 小宇的求解过程从第 步开始出现错误；
①
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（2） 请你写出这个方程正确的解题过程，并求出方程的根.
解：将原方程化为一般形式，得4x2－3 x－ ＝0.∵ a＝4，b＝－
3 ，c＝－ ，∴ b2－4ac＝（－3 ）2－4×4× ＝18＋2＝
20.∵ 20＞0，∴ x＝ ＝ .∴ x1＝ ，x2＝
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（1） 求方程的根；
解：（1） 由题意，得m－1≠0，即m≠1.∵ b2－4ac＝（－2m）2－4
（m－1）（m＋1）＝4m2－（4m2－4）＝4，∴ x1＝ ＝
，x2＝ ＝1
（附加题）（20分） 已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2mx＋
m＋1＝0.
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（2） 当m为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
（2） 由（1），得x1＝ ＝1＋ .∵ 方程的两个根都是正整数，
∴ 是正整数.∴ m－1＝1或m－1＝2.∴ m＝2或m＝3.∴ 当m为2或3
时，此方程的两个根都是正整数
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12(共15张PPT)
小专题（三） 一元二次方程的实际应用
第17章 一元二次方程及其应用
类型一 变化率问题
1. 新考向 地域文化 2024年“五一”假期期间，合肥骆岗公园举办了
大型电音节等活动，由此带来旅游热潮，引发酒店预订热.据统计，某
酒店5月1日入住128人次，入住人次逐日增加，1日、2日、3日这三天累
计入住608人次.求该酒店入住人次的日平均增长率.
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解：设该酒店入住人次的日平均增长率为x，则5月2日入住128（1＋
x）人次，5月3日入住128（1＋x）2人次.根据题意，得128＋128（1＋
x）＋128（1＋x）2＝608.整理，得4x2＋12x－7＝0，解得x1＝0.5＝
50%，x2＝－3.5（不合题意，舍去）.∴ 该酒店入住人次的日平均增长
率为50%
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类型二 销售问题
2. （2025 宣城宁国期中）一玩具商户购进了一批单价为50元的玩具，
如果按每个60元出售，可销售800个，如果每个提价0.5元出售，其销售
量就减少10个.现在要获利12 000元，且销售成本不超过24 000元，问这
种玩具的销售单价是多少？这时应购进多少个玩具？
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解：设在60元基础上再提价x元.根据题意，得（60－50＋x）
＝12 000.整理、化简，得x2－30x＋200＝0，解得x1
＝10，x2＝20.当x＝10时，销售单价为60＋10＝70（元），销售量为
800－10× ＝600（个），销售成本为50×600＝30 000（元），
30 000＞24 000，不符合题意，舍去；当x＝20时，销售单价为60＋20
＝80（元），销售量为800－10× ＝400（个），销售成本为50×400
＝20 000（元），20 000＜24 000，符合题意.∴ x＝20.∴ 销售单价是80
元，这时应购进400个玩具
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类型三 图形面积问题
3. （2024 安庆期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，
BC＝4 cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1 cm/s的速度运动，另
一动点Q从点A出发沿着AC方向以2 cm/s的速度运动，P，Q两点同时
出发，运动时间为t s.
（1） 若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值.
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解：（1） 由题意，得CP＝t cm，AQ＝2t cm.∵ AC＝8 cm，
∴ CQ＝（8－2t）cm.∴S△PCQ＝ t（8－2t） cm2.∵ △PCQ
的面积是△ABC面积的 ，S△ABC＝ ×4×8＝16（cm2），∴
t（8－2t）＝16× .整理，得t2－4t＋4＝0，解得t＝2.∴ 当t＝
2时，△PCQ的面积为△ABC面积的
第3题
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（2） △PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若
不能，请说明理由.
解：（2） 不能 理由：当S△PCQ＝ S△ABC时， t（8－2t）＝
16× .整理，得t2－4t＋8＝0.∵ Δ＝（－4）2－4×1×8＝－16
＜0，∴ 此方程没有实数根.∴ △PCQ的面积不可能是△ABC面
积的一半.
第3题
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类型四 传播（握手）问题
4. 新情境 科技民生 自2013年中国铁路售票系统正式上线，十年来，
我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，中国铁路售
票系统也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动
化、个性化的综合铁路服务平台.已知从安庆开往A市的某列高铁中途
要停靠若干个站点，购票系统需为此设置21种电子客票，那么这列高铁
中途停靠的站点有多少个？
解：设这列高铁中途停靠的站点有x个.根据题意，得 x（x－1）＝21.
整理，得x2－x－42＝0，解得x1＝7，x2＝－6（不符合题意，舍
去）.∴ 这列高铁中途停靠的站点有7个
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类型五 数字问题
5. 新情境 现实生活 如图所示的是2025年1月的月历表，用虚线方框
按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下面的问题.
（1） 若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数.
解：（1） 设最小数为x，则最大数为x＋8.由题意，得
（x＋8）x＝180.整理，得x2＋8x－180＝0，解得x1＝
－18，x2＝10.当x1＝－18时，不符合题意，舍去.从月历
表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求.∴ 最小数
为10
第5题
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（2） 虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若
能，请求出最小数；若不能，请说明理由.
解：（2） 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的
和不能为80 理由：设最小数为y，则另外三个数分别
是y＋1，y＋7，y＋8.由题意，得y（y＋8）＋y＋（y
＋1）＋（y＋7）＋（y＋8）＝80.整理，得y2＋12y－
64＝0，解得y1＝－16，y2＝4.当y＝－16时，不符合题
意，当y＝4时，y在最后一列.∴ 方框中最大数与最小数
的乘积与这四个数的和不能为80.
第5题
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类型六 行程问题
6. 甲、乙两个机器人分别从相距70米的A，B两个位置同时相向运
动，甲第1分钟运动2米，以后每分钟比前1分钟多运动1米，乙每分
钟运动5米.
（1） 甲、乙开始运动多少分钟后第一次相遇？
解：（1） 设x分钟后第一次相遇.依题意，得 ＋5x＝70.整
理，得x2＋13x－140＝0，解得x1＝7，x2＝－20（不合题意，舍
去）.∴ 7分钟后第一次相遇
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（2） 如果甲、乙到达B或A后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多运
动1米，乙继续按照每分钟5米的速度运动，那么开始运动多少分钟后第
二次相遇？
解：（2） 设n分钟后第二次相遇.依题意，得 ＋5n＝3×70.
整理，得n2＋13n－420＝0，解得n1＝15，n2＝－28（不合题意，舍
去）.∴ 15分钟后第二次相遇
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类型七 工程问题
7. 八年级和九年级的学生去参加美化校园任务，如果八年级学生先单
独做3小时，九年级学生再单独做2小时，那么恰好能完成全部任务的
25%；如果九年级学生先单独做4小时，剩下的由八年级学生单独完
成，那么八年级学生所用时间恰好比九年级学生单独完成美化校园所用
时间多2小时，求八、九年级学生单独完成美化校园分别需多少小时.
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解：设九年级学生单独完成美化校园所用时间为x小时，则八年级学生
单独完成美化校园所用时间为 小时.依题意，得 ＋
＝25%.整理，得x2－18x＋32＝0，解得x1＝2，x2＝16.经检验，x1＝
2，x2＝16均是原方程的根，但x1＝2不符合题意，应舍去.∴ x＝16.
∴ ＝ ＝24.∴ 八年级学生单独完成美化校园需24
小时，九年级学生单独完成美化校园需16小时
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7(共12张PPT)
小专题（二） 解一元二次方程
第17章 一元二次方程及其应用
类型一 直接开平方法
1. 用直接开平方法解下列方程：
（1） 16x2－9＝0；
解：x1＝ ，x2＝－
（2） 2（x－1）2＝18；
解：x1＝4，x2＝－2
（3） （3x－1）2＝（x－1）2.
解：x1＝0，x2＝
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2. 设α和β是方程（x＋2）2＝9的两个根，求｜α｜＋｜β｜的值.
解：∵ （x＋2）2＝9，∴ x＋2＝±3，解得x1＝1，x2＝－5.∵ α和β是
方程（x＋2）2＝9的两个根，∴ ｜α｜＋｜β｜＝｜1｜＋｜－5｜＝1＋
5＝6
3. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则是a※b＝a2－b2，如
3※2＝32－22＝5.根据这个规则，求方程（x＋2）※5＝0的根.
解：∵ a※b＝a2－b2，∴ （x＋2）※5＝（x＋2）2－25.∴ 方程（x
＋2）※5＝0转化为（x＋2）2－25＝0，即（x＋2）2＝25.∴ x＋2＝5
或x＋2＝－5，解得x1＝3，x2＝－7
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类型二 配方法
4. 用配方法解下面的方程：
（1） （2025 滁州全椒一模）x2－6x＝7；
解：x1＝7，x2＝－1
（2） （2025 合肥七中期末）2x2＋3x－2＝0.
解：x1＝ ，x2＝－2
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5. 下面是小明用配方法解方程4x2－12x－1＝0的过程，请认真阅读并
完成相应的题目.
解：原方程化为（2x）2－6×2x－1＝0.（第一步）
移项，得（2x）2－6×2x＝1.（第二步）
配方，得（2x）2－6×2x＋32＝1.（第三步）
∴ （2x－3）2＝1.（第四步）
两边开平方，得2x－3＝±1.（第五步）
∴ 2x－3＝1或2x－3＝－1.（第六步）
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∴ 原方程的根为x1＝2，x2＝1.（第七步）
（1） 小明的解答过程是从第 步开始出错的，错误的原因是
.
（2） 请直接写出该方程的正确的根.
解：（2） x1＝ ，x2＝
三
方
程的右边漏加了9
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（3） 小刚说：“小明的解法是错误的，因为用配方法解一元二次方程
时，首先要把二次项系数化为1，再配方.”你同意小刚的说法吗？你得
到了什么启示？
解：（3） 我不同意小刚的说法 启示：我们要灵活运用配方法来解一
元二次方程（合理即可）
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类型三 公式法
6. 用公式法解下面的方程：
（1） （2024 蚌埠期中）x2＋ x－1＝0；
解：x1＝ ，x2＝
（2） （2025 安庆期中）3x2－5x＋2＝0.
解：x1＝1，x2＝
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7. （2024 亳州利辛段考）当y为何值时，代数式2y2－6y＋7与y2－y＋
6的值相等？
解：根据题意，得2y2－6y＋7＝y2－y＋6，即y2－5y＋1＝0，解得y1
＝ ，y2＝
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类型四 因式分解法
8. 用因式分解法解下面的方程：
（1） （2025 滁州全椒期中）x2－4x－21＝0；
解：x1＝7，x2＝－3
（2） （2025 合肥四十五中期中）3x（x－1）＝2－2x.
解：x1＝1，x2＝－
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9. 下面是小新用因式分解法解方程6x2－2x＝1－3x的过程，请仔细阅
读，并回答问题.
解：原方程可以化为2x（3x－1）＝－（3x－1）.（第一步）
两边同时除以（3x－1），得2x＝－1.（第二步）
系数化为1，得x＝－ .（第三步）
（1） 小新的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误；
二
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（2） 请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程.
解：原方程可以化为2x（3x－1）＝－（3x－1）.移项，得2x（3x－
1）＋（3x－1）＝0.提公因式，得（2x＋1）（3x－1）＝0.∴ 2x＋1
＝0或3x－1＝0，解得x1＝－ ，x2＝
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9(共12张PPT)
17.5 一元二次方程的应用
第3课时 可化归为一元二次方程的分式方程的应用
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （教材变式）（2025 合肥四十五中期中）我校秋季运动会，八年级
120人要参加举旗表演，按原计划分组后，又来了20人，比原计划多分
一组，但每组人数比原计划少了2.设原计划分x组，则可列方程为
（ D ）
A. ＝ －2 B. ＝
C. ＝ ＋2 D. ＝ ＋2
D
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2. 新考向 数学文化 我国古代著作《四元玉鉴》中记载了“买椽多
少”的问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，
无钱准与一株椽.”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为
6 210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费
恰好等于一株椽的价钱.6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x
株，则符合题意的方程是（ A ）
A. 3（x－1）＝ B. ＝3
C. 3x－1＝ D. ＝3
A
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3. 两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度比第二
组快1米/分，他们比第二组早15分钟到达顶峰，则第一组的攀登速度是
（ A ）
A. 6米/分 B. 5.5米/分 C. 5米/分 D. 4米/分
4. （绵阳中考）甲、乙两人同驾一辆车出游，各匀速驾车一半路程，
共用3 h，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶
180 km.”乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80 km.”从他们
的交谈中可以判断，乙驾车的时间为（ C ）
A. 1.2 h B. 1.6 h C. 1.8 h D. 2 h
A
C
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二、 填空题（每题8分，共32分）
5. 新情境 科技民生 “复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到
世界先进水平的动车组列车.“复兴号”的速度比原来列车的速度每小
时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京
到上海全程约1 320千米，求“复兴号”的速度.设“复兴号”的速度为
x千米/时，依题意，可列方程为 .
－ ＝
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6. 某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本是3 000元，每套售
价30元.服装厂向24名家庭贫困生免费提供，经核算，这24套演出服的
成本正好与原定生产这批演出服的利润相同，则这批演出服共生产
了 套.
7. （教材变式）甲、乙两码头相距120 km，一艘轮船往返一次需要9 h.
已知轮船在静水中的速度为27 km/h，则水流的速度是 km/h.
120
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8. 某汽车装配厂计划在规定的期限内组装汽车21辆，组装了6辆汽车
后，又追加了组装5辆汽车的订单，要求交货时间不超过原来规定的期
限，通过挖潜改革，提高工效，平均每天比原计划多组装2辆汽车，结
果提前1天交货，则追加订单后，平均每天组装汽车 辆.
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三、 解答题（共40分）
9. （12分）甲、乙两辆货车分别从A，B两城同时沿高速公路向C城运
送货物.已知A，C两城相距450千米，B，C两城相距440千米，甲车比
乙车快10千米/时，甲车比乙车早半小时到达C城.求两车的速度.
解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x＋10）千米/时.由
题意，得 ＋ ＝ .整理，得x2＋30x－8 800＝0，解得x1＝80，
x2＝－110.经检验，x1＝80，x2＝－110是原方程的根，但x2＝－110不
合题意，应舍去.∴ x＝80.∴ x＋10＝90.∴ 甲车的速度为90千米/时，乙
车的速度为80千米/时
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10. （12分）（教材变式）红府超市以7 500元购进一批盒装牛奶（每盒
进价不低于40元），第一个月每盒牛奶按进价增加60%作为售价出售，
售出100盒.第二个月因为保质期临近，仅在进价的基础上提高10元出
售，售完剩下的全部牛奶.全部售完后共计盈利3 500元，求每盒牛奶的
进价.
解：设每盒牛奶的进价为x元.依题意，得100×60%x＋10
＝3 500.整理，得x2－75x＋1 250＝0，解得x1＝25，x2＝50.经检
验，x1＝25，x2＝50是原方程的根，但x1＝25＜40，不合题意，应舍
去.∴ x＝50，即每盒牛奶的进价为50元
1
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11
11. （16分）某镇实施道路改造工程，该工程由甲、乙两工程队合
作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成
此项工程.
（1） 甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
解：（1） 设乙工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队单独完
成此项工程需要（x＋30）天.由题意，得20（ ＋ ）＝1.整理，
得x2－10x－600＝0，解得x1＝30，x2＝－20.经检验，x1＝30，x2＝－
20是原方程的根，但x2＝－20不合题意，应舍去.∴ x＝30.∴ x＋30＝
60.∴ 甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天
1
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（2） 如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需
付施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、
乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
解：（2） 设甲工程队单独施工y天后，再由甲、乙两工程队合作施工
完成剩下的工程.由题意，得y×1＋（1＋2.5）× ≤64，解得
y≥36.∴ 甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施
工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元
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11
（附加题）（20分） 请根据所给方程 ＋ ＝1，联系生活实际，
编写一道应用题（要求题目完整，题意清楚，不要求解方程）：
？
答案
不唯一，如一项工程，甲、乙合作需要6天完成.已知乙单独完成比甲单
独完成需多5天，则甲单独完成这项工程需要几天
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11(共14张PPT)
17.3 一元二次方程根的判别式
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ D ）
A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0
C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝0
2. （教材变式）（2025 淮北期中）一元二次方程x2－2x＋5＝0的根的
情况是（ B ）
A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定
D
B
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3. （教材变式）（2025 合肥包河期中）若关于x的一元二次方程kx2－
x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是（ C ）
A. k＞ 且k≠0 B. k＜ 且k≠0
C. k≤ 且k≠0 D. k＜
C
1
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13
4. 新考法 新定义题 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已
知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，
则下列结论正确的是（ A ）
A. a＝c B. a＝b C. b＝c D. a＝b＝c
A
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5. （2024 六安霍邱二模）已知关于x的方程kx2＋（1－k）x－1＝0，
则下列说法中正确的是（ C ）
A. 当k＝0时，方程无解
B. 当k＝1时，方程有一个实数根
C. 当k＝－1时，方程有两个相等的实数根
D. 当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2024 安庆桐城期末）一元二次方程x2＋7x＝2 的根的判别式的值
为 .
7. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋2k＝0有两个相等的实数根，则k
的值为 .
8. （2025 宣城宁国期中）已知关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无
实数根，则一次函数y＝－mx＋m的图象不经过第 象限.
9. （2024 安庆怀宁期中）若关于x的方程（a＋1）x2＋（2a－3）x＋
a－2＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 .
57
2
二
a＜ 且a≠－1
1
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三、 解答题（共42分）
10. （10分）（教材变式）已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x
＝－k2＋2k＋3.
（1） 当k满足什么条件时，方程有两个相等的实数根？
（1） 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，即4k＋13＝0，解得k＝
－
解：原方程整理为x2－（2k－1）x＋k2－2k－3＝0，∴ Δ＝［－（2k
－1）］2－4（k2－2k－3）＝4k＋13.
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（2） 当k满足什么条件时，方程没有实数根？
（2） 当Δ＜0时，方程没有实数根，即4k＋13＜0，解得k＜－
1
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11. （10分）（2024 六安九中期中）已知关于x的一元二次方程x2－3x
＋2m－1＝0.
（1） 当m＝2时，判断方程根的情况；
解：（1） 当m＝2时，方程可化为x2－3x＋3＝0.∵ Δ＝（－3）2－
4×3＝－3＜0，∴ 方程没有实数根
（2） 若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
解：（2） 根据题意，得Δ＝（－3）2－4（2m－1）＞0，解得m＜
.∴ m的取值范围是m＜
1
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12. （10分）（2024 滁州期末）已知关于x的方程mx2－2（m＋2）x
＋m＋5＝0没有实数根.
（1） 求m的取值范围；
解：（1） 由题意可知，方程为一元二次方程，且Δ1＜0.∴ m≠0，且4
（m＋2）2－4m（m＋5）＝－4m＋16＜0，解得m＞4.∴ m的取值范
围是m＞4
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（2） 判断方程（m－5）x2＋2（m＋2）x＋m＝0的根的情况.
解：（2） 当m＝5时，（2）中方程为一元一次方程，有一个实数根；
当m≠5时，（2）中方程为一元二次方程.∵ Δ2＝4（m＋2）2－4m
（m－5）＝36m＋16，且m＞4，∴ Δ2＞0.∴ （2）中方程有两个不相
等的实数根.∴ 方程（m－5）x2＋2（m＋2）x＋m＝0有一个实数根
或两个不相等的实数根
1
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13. （12分）（2025 合肥长丰期中）已知关于x的方程x2－（3k＋1）x
＋2k2＋2k＝0.
（1） 求证：无论k取何值，方程总有实数根；
解：（1） ∵ 关于x的方程x2－（3k＋1）x＋2k2＋2k＝0是一元二次
方程，且Δ＝［－（3k＋1）］2－4（2k2＋2k）＝k2－2k＋1＝（k－
1）2≥0，∴ 无论k取何值，方程总有实数根
1
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13
（2） 若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求
此三角形的周长.
解：（2） ∵ 等腰三角形的底边长3，∴ 另两边长即为等腰三角形的腰
长.∵ 另两边长恰好是这个方程的两根，∴ 该方程有两个相等的实数
根.∴ Δ＝［－（3k＋1）］2－4（2k2＋2k）＝k2－2k＋1＝（k－1）2
＝0，解得k＝1.将k＝1代入方程，得x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2.
此时三角形的三边长为3，2，2.∴ 此三角形的周长为3＋2＋2＝7
1
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3
4
5
6
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9
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13
（附加题）（20分） 有下列四种说法：① 方程（2x＋3）（x－1）＝
1一定有两个不相等的实数根；② 若关于x的方程x2＋ax＝－4有两个相
等的实数根，则a＝4；③ 若a≤－2 且b≥0，则关于x的方程x2＋
ax＋b＝0有实数根；④ 若关于x的方程2x（kx－4）－x2＋6＝0没有实
数根，则k＞ .其中，正确的有 （填序号）.
①③④
1
2
3
4
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12
13(共14张PPT)
17.5 一元二次方程的应用
第1课时 面积、数字问题
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （2025 福建）为加强劳动教育，增加学生的实践机会，某校拟用总
长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米
的长方形菜地作为实践基地，如图所示.设长方形菜地的一边长为x米，
根据题意可列方程为（ C ）
A. 5x2＝6 B. 5（1＋x2）＝6
C. x（5－x）＝6 D. 5（1＋x）2＝6
第1题
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. （教材变式）若两个差为2的数的积为63，则这两个数的和为
（ C ）
A. 16 B. 17 C. ±16 D. ±17
3. （2024 河北）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得
的答案比正确答案小1，则a的值为（ C ）
A. 1 B. －1 C. ＋1 D. 1或 ＋1
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. 新考向 数学文化 数学著作《益古演段》主要研究平面图形问题，
其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边
缘与方田四边之间的面积为13.75亩.若方田的四边到水池的最近距离均
为20步，则水池的直径和方田的边长分别约为（注：240平方步为1亩，
圆周率按3近似计算）（ B ）
A. 10步，50步 B. 20步，60步
C. 30步，70步 D. 40步，80步
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
二、 填空题（每题7分，共28分）
5. （教材变式）有一个两位数，如果个位上的数字比十位上的数字大
1，并且十位上的数字的平方比个位上的数字也大1，那么这个两位数
是 .
6. 新考向 数学文化 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的
著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十
步，问长多阔几何？”意思是一块长方形田地的面积为864平方步，只
知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意，得长比宽
多 步（步是一种长度单位）.
23
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. （2025 安庆潜山期中）如图，在长为32 m、宽为20 m的长方形地面
上修筑同样宽的道路（图中涂色部分），余下的部分种植草坪，要使草
坪的面积为540 m2，则道路的宽为 m.
第7题
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. （2024 合肥期中）如图所示为我市将要开发的一块长方形土地，建
筑开发商将这块土地分为甲、乙、丙三部分，其中甲和乙的形状均为正
方形，现计划甲部分建住宅区，乙部分建商业区，丙部分开辟成小区公
园，若丙部分的面积为2 km2，则x的值为 .
第8题
4或5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
三、 解答题（共44分）
9. （12分）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为5.把这
个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来
的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为5－x.由题
意，得［10x＋（5－x）］［10（5－x）＋x］＝736.整理，得x2－5x
＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，5－x＝3，这个两位数为23；
当x＝3时，5－x＝2，这个两位数为32.∴ 原来的两位数为23或32
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. （14分）如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝
30°，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，
以2 cm/s的速度向点C移动，当点Q到达点C时，两点同时停止移动.若
P，Q两点同时出发，则经过几秒△PBQ的面积等于4 cm2？
第10题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：过点Q作QE⊥PB于点E，则 ∠QEB＝90°.∵ ∠ABC＝30°，
∴ QB＝2QE. 设经过t s △PBQ的面积等于4 cm2，则PB＝（6－t）
cm，QB＝2t cm，QE＝t cm.∵ △PBQ的面积等于4 cm2，S△PBQ＝
PB QE，∴ （6－t） t＝4.整理，得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝
4.当t＝4时，2t＝8＞7，不合题意，舍去；当t＝2时，2t＝4＜7，符合
题意.∴ 经过2 s △PBQ的面积等于4 cm2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （18分）（2025 阜阳界首期中）如图，用长为20 m的篱笆，一面利
用墙（墙的最大可用长度为11 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花
圃.为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边BC上用其他材料做了两扇
宽为1 m的小门.
（1） 若花圃的面积恰好为40 m2，求此时花圃边AB的长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解：（1） 设花圃边AB的长为x m，则花圃边BC的
长为（22－3x）m.根据题意，得x（22－3x）＝40.
整理，得3x2－22x＋40＝0，解得x1＝4，x2＝ .
∵ 墙的最大可用长度为11 m，∴ 22－3x≤11.整理，
得3x≥11，解得x≥ .∵ ＜ ，∴ x2＝ 不合题
意.∴ x＝4.∴ 花圃边AB的长为4 m
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2） 花圃的面积能达到50 m2吗？若能，求出边AB的长；若不能，请
说明理由.
解：（2） 花圃的面积不能达到50 m2 理由：令x
（22－3x）＝50.整理，得3x2－22x＋50＝0.∵ Δ＝
（－22）2－4×3×50＝－116＜0，∴ 方程3x2－22x
＋50＝0没有实数根，即花圃的面积不能达到50 m2.
第11题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（附加题）（20分） 某书中记载，形如x2＋8x＝33的方程，求正数根
的几何方法如下：如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形
的边长为一边向外构造四个面积为2x的长方形，已知涂色部分的面积为
33，得到大正方形的面积为33＋22×4＝49，则该方程的正数根为x＝7
－4＝3.小唐按此方法解关于x的方程x2＋12x＝m时，构造出如图②所
示的图形，已知涂色部分的面积为64，则该方程的正数根为 .
x＝4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11(共13张PPT)
第17章小测
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2025 六安霍邱期中）若方程 □－2＝x是关于x的一元二次方程，
则“□”可以是（ C ）
A. －2x B. 22 C. 2x2 D. 2y2
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. （2025 安庆怀宁期中）解下列方程：① 3x2－27＝0；② x2－3x－1
＝0；③ （x＋2）（x＋4）＝x＋2；④ 2（3x－1）2＝3x－1.较简便
的方法是（ D ）
A. 依次为直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法
B. 依次为因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法
C. ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D. ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. （2025 内江）若关于x的一元二次方程（a－1）x2＋2x＋1＝0有实
数根，则实数a的取值范围是（ C ）
A. a≤2 B. a＜2
C. a≤2且a≠1 D. a＜2且a≠1
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. （2024 绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，
小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬
在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－
5，则原来的方程是（ B ）
A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0
C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降了20%，转型成功后产
值呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15.2%.若三、四、五月份
的增长率相同，则五月份与一月份相比，增长的百分数约为（ D ）
A. 32% B. 34% C. 36% D. 38%
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的
两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ .
7. （2024 马鞍山期中）一元二次方程x（x－1）＝x的根是
.
8. （2024 宣城期末）某校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式
（即每两个班级之间都进行一场），若共进行了45场比赛，则有
个班级参加.
－3
x1＝0，
x2＝2
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. （2025 合肥蜀山期中）如图，某中学建立了一个长方形菜园
ABCD，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动意识、劳动技能和实
践能力.已知菜园的一面靠墙，墙长为15 m，另外三边用长为32 m的栅
栏围成.若要使菜园的面积达到120 m2，则AB的长为 .
第9题
10 m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共42分）
10. （12分）解方程：
（1） （2025 安庆怀宁期中）x2－2x－168＝0；
解：x1＝14，x2＝－12
（2） （2025 六安金寨模拟）（x＋2）2－8＝4x.
解：x1＝2，x2＝－2
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
11. （14分）（2025 合肥中科大附中期中）已知关于x的一元二次方程
x2－2x＋m－1＝0有两个不相等的实数根.
（1） 求m的取值范围；
解：（1） ∵ 一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个不相等的实数
根，∴ Δ＝（－2）2－4（m－1）＝－4m＋8＞0，解得m＜2
（2） 如果方程的一个根为3，求另一个根和m的值.
解：（2） ∵ 方程的一个根为3，∴ 将x＝3代入方程，得9－6＋m－1
＝0.∴ m＝－2.∴ 原方程为x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∴ 方程的另一个根为－1，m的值为－2
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12. （16分）某老城石板街在2022年“五一”假期期间共接待游客达20
万人次，在2024年“五一”假期期间接待游客达28.8万人次.
（1） 如果这两年“五一”假期期间游客的平均增长率相等，求平均增
长率；
解：（1） 设平均增长率为x.由题意，得20（1＋x）2＝28.8，解得x1＝
0.2＝20%，x2＝－2.2（不合题意，舍去）.∴ 平均增长率为20%
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（2） 该老城石板街一网红纪念品店销售一款纪念品，每件成本价
为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每件定价25元，则平均每天
可销售300件，若每件价格降低1元，则平均每天可多销售30件，
2024年“五一”假期期间，店家进行降价促销活动，则当每件售价
定为多少元时（其中售价不超过20元），店家此款纪念品实现平均
每天6 300元的利润额？
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解：（2） 设当每件售价定为y元时，店家此款纪念品实现平均每天
6 300元的利润额.由题意，得（y－6）［300＋30（25－y）］＝6 300.
整理，得y2－41y＋420＝0，解得y1＝20，y2＝21（不合题意，舍
去）.∴ 当每件售价定为20元时，店家此款纪念品实现平均每天6 300元
的利润额
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17.2 一元二次方程的解法
第3课时 因式分解法
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（ B ）
A. （x＋1）（x＋3）＝14 B. 3x（x－2）＝2－x
C. x2＋5x＋2＝0 D. 3（x＋1）2＝48
2. 用因式分解法解一元二次方程（x＋3）（x－1）＝0，将它转化为两
个一元一次方程是（ C ）
A. x＋3＝1，x－1＝0 B. x＋3＝0，x－1＝1
C. x＋3＝0，x－1＝0 D. x－3＝0，x＋1＝0
B
C
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3. （教材变式）（2024 蚌埠期中）方程x＝3x2的解是（ D ）
A. x＝0 B. x＝
C. x1＝－ ，x2＝0 D. x1＝ ，x2＝0
D
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4. （教材变式）解方程（x＋4）（x－1）＝6时，甲同学说：“由于6
＝2×3，可令x＋4＝2，x－1＝3，得方程的根是x1＝－2，x2＝4.”乙
同学说：“应把方程右边化为0，得x2＋3x－10＝0，再分解因式，得
（x＋5）（x－2）＝0，因此，有x＋5＝0或x－2＝0，得方程的根是
x1＝－5，x2＝2.”对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是
（ A ）
A. 甲错误，乙正确 B. 甲正确，乙错误
C. 甲、乙都正确 D. 甲、乙都错误
A
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5. （2025 六安霍邱期中）等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21
＝0的两个根，则这个三角形的周长为（ C ）
A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （教材变式）（2025 合肥蜀山期中）方程（x＋2）2＝3（x＋2）的
解是 .
7. 小华在解一元二次方程x（x－1）＝x时只得出一个根是x＝2，则被
他漏掉的另一个根是x＝ .
8. 用因式分解法解关于x的方程x2－px－6＝0，将左边分解因式后有一
个因式为x－3，则p的值为 .
9. （2025 宣城六中期中）若（m2＋n2－1）（m2＋n2＋2）＝4，则m2
＋n2＝ .
x1＝－2，x2＝1
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三、 解答题（共42分）
10. （14分）（2025 合肥包河期中）用因式分解法解方程：
（1） 5x（x－2）＝3（x－2）；
解：移项，提取公因式，得（x－2）（5x－3）＝0.∴ x－2＝0或5x－
3＝0，解得x1＝2，x2＝
（2） 2x2＋6＝7x.
解：将原方程化为2x2－7x＋6＝0.把方程左边因式分解，得（2x－3）
（x－2）＝0.∴ 2x－3＝0或x－2＝0，解得x1＝ ，x2＝2
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11. （16分）用适当的方法解下面的方程：
（1） （2024 阜阳阜南段考）2x2＋5x＝－2；
解：x1＝－ ，x2＝－2
（2） （x＋4）2－5（x＋4）＝0.
解：x1＝－4，x2＝1
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12. （12分）新考向 跨学科 对于向上抛出的物体，在没有空气阻力
的条件下，有如下的关系式：h＝vt－ gt2，其中h（m）是上升的高
度，v（m/s）是初始速度，g（m/s2）是重力加速度（g取10），t
（s）是抛出物体后经过的时间.如果将一个物体以25 m/s的初始速度向
上抛出，那么几秒时它在距离抛出点20 m高的地方？
解：由题意，得20＝25t－ ×10t2.整理，得t2－5t＋4＝0，解得t1＝
1，t2＝4.∴ 1 s或4 s时它在距离抛出点20 m高的地方
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（附加题）（20分） 新考法 阅读理解 阅读下面的解答过程，并回答
问题.
解方程：2x2－3x－2＝0.
解：拆项，分组，得2x2－4x＋x－2＝0.
提公因式，得2x（x－2）＋（x－2）＝0.
再提公因式，得（x－2）（2x＋1）＝0.
∴ x－2＝0或2x＋1＝0.
∴ x1＝2，x2＝－ .
运用上面的解法解方程：6x2＋7x－3＝0.
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解：拆项，分组，得6x2＋9x－2x－3＝0.提公因式，得3x（2x＋3）
－（2x＋3）＝0.再提公因式，得（2x＋3）（3x－1）＝0.∴ 2x＋3＝
0或3x－1＝0.∴ x1＝－ ，x2＝
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17.1 一元二次方程
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）（2025 安庆太湖期中）下列方程中，是关于x的一元
二次方程的为（ C ）
A. x2＋ ＝0 B. ax2＋bx＋c＝0
C. （x－1）（x＋2）＝1 D. x2－2xy－y2＝0
C
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2. （教材变式）（2025 合肥蜀山期中）将方程x（x＋4）＝0化成一元
二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是
（ D ）
A. 0，4，0 B. －1，4，0
C. 1，1，4 D. 1，4，0
3. （2025 亳州利辛期中）若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－kx＋
k＋2＝0的一个根，则k的值为（ A ）
A. －2 B. 2 C. D. 6
D
A
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4. （2025 淮北濉溪期中）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，a，
b，c满足a＋b＋c＝0和4a－2b＋c＝0，则方程的根是（ A ）
A. 1，－2 B. －1，0
C. 1，0 D. 无法确定
5. 若x0是关于x的方程ax2＋2x＋c＝0（a≠0）的一个根，设M＝1－
ac，N＝（ax0＋1）2，则M与N的大小关系为（ B ）
A. M＞N B. M＝N
C. M＜N D. 无法确定
A
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2024 淮北期末）关于x的方程（m＋3）x2－3mx＋2＝0是一元二
次方程，则m的取值范围是 .
7. 把方程x（x＋2）＝5（x－2）化成一般形式，得x2－bx＋10＝0，
则b的值为 .
8. （2025 合肥庐江期末）若a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则代数式
2 024－3a2－3a的值是 .
m≠－3
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2 021
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9. （2025 合肥包河期中）如图，在一块长12 m、宽8 m的长方形空地
上，修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为
77 m2.设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为
（化为一般形式）.
第9题
x2－20x＋19＝
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三、 解答题（共42分）
10. （15分）下列方程是不是一元二次方程？如果是，将它们化成
一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数
和常数项.
（1） 1－x2＝5x；
解：移项，得x2＋5x－1＝0.这是一元二次方程，其中二次项系数是1，
一次项系数是5，常数项是－1
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（2） 3x（x－1）＝2（x＋2）＋8；
解：去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋8.移项、合并同类项，得3x2－5x－
12＝0.这是一元二次方程，其中二次项系数是3，一次项系数是－5，常
数项是－12
（3） x（x－1）＋2＝x2－1.
解：去括号，得x2－x＋2＝x2－1.移项、合并同类项，得x－3＝0.这是
一元一次方程，不是一元二次方程
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11. （7分）已知x＝1是关于x的一元二次方程（k－1）x2－kx＋k2＝0
的一个根，求k的值.
解：将x＝1代入方程（k－1）x2－kx＋k2＝0，得k－1－k＋k2＝0.整
理，得k2－1＝0，解得k＝±1.∵ 该方程是关于x的一元二次方程，
∴ 二次项系数k－1≠0.∴ k≠1.∴ k＝－1
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12. （8分）某超市销售一款品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈
利40元.为尽快售出，该超市采取降价措施，每件童装每降价2元，平均
每天就多售出6件.若要使平均每天销售童装盈利1 107元，则每件童装应
降价多少元（设未知数，列方程，并化为标准形式，不必求解）？
解：设每件童装应降价x元，则平均每天就多售出3x件.降价后平均每
天售出（30＋3x）件，每件盈利（40－x）元.由题意，得（30＋3x）
（40－x）＝1 107.整理，得x2－30x－31＝0
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13. （12分）已知关于x的方程（m＋1）xm2＋1＋（m－2）x－1＝0.
（1） 当m取何值时，该方程是一元二次方程？
解：（1） 由题意，得m2＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝1.∴ 当m＝1
时，该方程是一元二次方程
（2） 当m取何值时，该方程是一元一次方程？
解：（2） 由题意，当m－2≠0且m＋1＝0时，解得m＝－1；当m＋1
＋（m－2）≠0且m2＋1＝1时，解得m＝0.∴ 当m＝－1或0时，该方
程是一元一次方程
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（附加题）（20分） 已知a是方程x2－2 026x＋1＝0的一个根，则a3
－2 026a2－ 的值为 .
－2 026
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13(共12张PPT)
17.5 一元二次方程的应用
第2课时 变化率、商品销售问题
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. （教材变式）（2024 合肥五十中期中）据初步统计，某园博园自
2023年9月26日开园至2023年12月26日，累计接待游客约632万人，第1
个月接待游客约105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，那
么可列方程为（ C ）
A. 105＋105（1＋x）＋105（1＋2x）＝632
B. 105（1＋x）2＝632
C. 105＋105（1＋x）＋105（1＋x）2＝632
D. 1＋（1＋x）＋（1＋x）2＝632
C
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2. 新情境 科技民生 （2024 六安舒城期末）太空中水资源有限，要
通过回收水的方法制造可用水，净化水的过程中，每增加一次过滤可减
少水中x%的杂质，经过两次过滤可使水中的杂质减少到原来的36%，
根据题意可列方程为（ D ）
A. 1－2x＝36% B. （1－x）2＝36%
C. 2（1－x%）＝36% D. （1－x%）2＝36%
D
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3. （2024 马鞍山期中）某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商
品，该商品可以自行定价.据市场调查，该商品的售价与销售量的关系
如下：若每件售价为a元，则可卖出（320－10a）件，但物价部门限定
每件商品加价不能超过进货价的25%，如果商店计划获利400元，那么
每件商品的售价应定为（ A ）
A. 22元 B. 24元 C. 26元 D. 28元
A
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4. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天的定价为180元时，宾馆会
住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲1间房.如果有游客
居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.若要使宾馆当天的
收入为10 890元，则每间房的房价应定为（ B ）
A. 300元 B. 350元 C. 400元 D. 450元
B
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二、 填空题（每题10分，共30分）
5. （2025 六安霍邱期中）某电影于2025年1月29日上映，第一天票房约
4.73亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约18亿，若把
增长率记作x，则方程可以列为 .
6. （教材变式）（2024 绵阳）超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500
元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经
过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降
价.已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ .
4.73（1＋x）2＝18
10%
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7. 一家农业合作社以64 000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以
按1 200元/吨的价格出售.若储藏起来，则每个星期会损失2吨，且每个
星期需支付各种费用1 600元，但同时每个星期每吨的价格将上涨200元.
储藏 个星期再出售这批农产品可获利122 000元.
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三、 解答题（共46分）
8. （22分）某鱼灯凭借独特的制作工艺和绚丽的造型，成为热门旅游
纪念品.2023年春节期间，该鱼灯的销售额仅为50万元.随着知名度的提
升，2025年春节期间，其销售额大幅增长至128万元.假设2023～2025年
这两年间该鱼灯春节期间销售额的年平均增长率相同.
（1） 求这个年平均增长率是多少；
解：（1） 设这个年平均增长率是x.由题意，得50（1＋x）2＝128，解
得x1＝0.6＝60%，x2＝－2.6（不符合题意，舍去）.∴ 这个年平均增长
率是60%
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（2） 若按照此增长率，预估2026年春节期间该鱼灯的销售额会达到多
少万元.
解：（2） 128×（1＋60%）＝204.8（万元）
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9. （24分）（2025 合肥五十中期中）某水果批发商场经销一种高档水
果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克
40元经两次降价后降至每千克32.4元.
（1） 若该商场两次降价的降价率相同，求这个降价率；
解：（1） 设这个降价率为x.根据题意，得40（1－x）2＝32.4.整理，
得（1－x）2＝0.81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍
去）.∴ 这个降价率为10%
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（2） 现在节日结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10
元，那么每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况
下，若每千克涨价1元，则日销量将减少20千克，现该商场要保证每天
盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：（2） 设每千克应涨价y元，则每天可售出（500－20y）千克.根据
题意，得（10＋y） （500－20y）＝6 000.整理，得y2－15y＋50＝0，
解得y1＝10，y2＝5.∵ 要使顾客得到实惠，∴ y＝5.∴ 每千克应涨价5元
解：（2） 设每千克应涨价y元，则每天可售出（500－20y）千克.根据
题意，得（10＋y） （500－20y）＝6 000.整理，得y2－15y＋50＝0，
解得y1＝10，y2＝5.∵ 要使顾客得到实惠，∴ y＝5.∴ 每千克应涨价5元
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（附加题）（20分） 喷灌和滴灌是目前较常用的两种节水灌溉方式.
去年，某专家小组对两块100亩（亩是一种面积单位）的试验田分别采
用喷灌和滴灌的方式进行灌溉，共用水5 000吨，据测算，喷灌时每亩用
水量是滴灌时每亩用水量的1.5倍.今年，专家小组计划将滴灌和喷灌试
验田面积分别增加a%，同时，通过改进灌溉输水管道，喷灌时每亩用
水量减少了 a%，滴灌时每亩用水量不变，据测算，今年的用水量比去
年的用水量增加了 a%，则a＝ .
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9(共12张PPT)
17.4 一元二次方程的根与系数的关系
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 已知x1，x2是方程x2－5x＋2＝0的两个实数根，则x1＋x2的值为
（ B ）
A. －5 B. 5 C. －2 D. 2
2. （2025 滁州全椒二模）已知关于x的一元二次方程x2＋ax－6＝0的
一个实数根为2，则另一个实数根是（ B ）
A. －8 B. －3 C. 3 D. 4
B
B
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13
3. （2024 乐山）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为x1，
x2，且 ＋ ＝3，则p的值为（ A ）
A. － B. C. －6 D. 6
4. （2025 合肥包河期中）设a，b是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数
根，则a2＋2a＋b的值为（ A ）
A. 2 024 B. 2 025 C. 2 026 D. 1
A
A
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10
11
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13
5. （2025 淮北期中）实数a，b（a≠b）满足a2－5a－1＝0，b2－5b
－1＝0，则（ A ）
A. a＋b＝5，a2＋6b＞0 B. a＋b＝5，a2＋6b＜0
C. a＋b＝－5，a2＋6b＞0 D. a＋b＝－5，a2＋6b＜0
A
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 安庆期中）已知方程x2＋bx＋3＝0的一根为 ＋ ，则方
程的另一根为 .
7. （教材变式）（2025 亳州利辛期中）若x1，x2是一元二次方程x2－x
－6＝0的两根，则 x2＋x1 的值为 .
8. （教材变式）（2025 合肥蜀山期中）关于x的一元二次方程x2＋
（m2－9）x＋m＋1＝0的两个实数根互为相反数，则m的值是 .
9. 关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，
x2，且 ＋ ＝ ，则m＝ － .
－
－6
－3
－
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三、 解答题（共42分）
10. （8分）（教材变式）（2025 合肥蜀山期中）设α，β是一元二次方
程x2＋4x－2＝0的两个根，不解方程，求 ＋ 的值.
解：由韦达定理，得α＋β＝－4，αβ＝－2.∴ ＋ ＝ ＝
＝ ＝－10
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11. （10分）（教材变式）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－
2mx＋m＋5＝0有实数根.
（1） 求m的取值范围；
解：（1） ∵ 关于x的一元二次方程（m－1）x2－2mx＋m＋5＝0有
实数根，∴ m－1≠0且Δ＝（－2m）2－4（m－1）（m＋5）＝－16m
＋20≥0，解得m≤ 且m≠1
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（2） 若该方程有一个根是－1，求m的值及方程的另一个根.
解：（2） ∵ 该方程有一个根是－1，∴ 把x＝－1代入方程，得（－
1）2×（m－1）－2×（－1）m＋m＋5＝0，即4m＋4＝0，解得m＝
－1.∴ 原方程为－2x2＋2x＋4＝0，即x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2
＝2.∴ m的值为－1，方程的另一个根为2
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12. （12分）（2025 南充）设x1，x2是关于x的方程（x－1）（x－2）
＝m2的两根.
（1） 当x1＝－1时，求x2及m 的值；
解：（1） 把x1＝－1代入方程（x－1）（x－2）＝m2，得m2＝6.∴ m
＝± .∴ （x－1）（x－2）＝6，即x2－3x－4＝0.解方程，得x1＝
－1，x2＝4.∴ x2＝4，m＝±
1
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13
（2） 求证：（x1－1）（x2－1）≤0.
解：（2） 方程（x－1）（x－2）＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.∵ Δ
＝（－3）2－4×1×（2－m2）＝4m2＋1＞0，∴ 原方程有两个不相等
的实数根.由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2.∴ （x1－
1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝2－m2－3＋1＝－m2.∵ －
m2≤0，∴ （x1－1）（x2－1）≤0
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13. （12分）若关于x的一元二次方程4kx2＋4（k＋2）x＋k＝0有两个
不相等的实数根，则是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？
若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在 理由：设方程的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－
＝－ .∵ 关于x的一元二次方程4kx2＋4（k＋2）x＋k＝
0有两个不相等的实数根，∴ 4k≠0且Δ＝［4（k＋2）］2－4×4k k
＞0，解得k＞－1且k≠0.若x1＋x2＝0，则－ ＝0，∴ k＝－2.又∵
k＞－1且k≠0，∴ 不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0.
解：不存在 理由：设方程的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－
＝－ .∵ 关于x的一元二次方程4kx2＋4（k＋2）x＋k＝
0有两个不相等的实数根，∴ 4k≠0且Δ＝［4（k＋2）］2－4×4k k
＞0，解得k＞－1且k≠0.若x1＋x2＝0，则－ ＝0，∴ k＝－2.又∵
k＞－1且k≠0，∴ 不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0.
1
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（附加题）（20分） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋ x＋
n＝0的两个实数根，且 ＋ ＋（x1＋x2）2＝3， ＋ ＝5，则m
＝ ，n＝ .
－1
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13(共12张PPT)
17.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法、配方法
第17章 一元二次方程及其应用
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）一元二次方程x2－16＝0的解为（ D ）
A. x＝4 B. x＝－4
C. x1＝0，x2＝16 D. x1＝4，x2＝－4
D
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2. 已知方程（x－4）2＝9①，方程（x＋9）2＝－4②，则下列说法正
确的是（ A ）
A. ①有两个不相等的实数根，②无实数根
B. ①②都有两个不相等的实数根
C. ①有两个相等的实数根，②无实数根
D. ①有两个相等的实数根，②有两个不相等的实数根
A
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9
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3. （教材变式）（2025 淮北期中）用配方法解一元二次方程x2－6x＝
3，配方正确的是（ B ）
A. （x＋3）2＝12 B. （x－3）2＝12
C. （x＋3）2＝3 D. （x－3）2＝3
4. 如图所示为一个简单的数值运算程序，则输入的x的值为（ B ）
A. 3或－3 B. 4或－2 C. 1或3 D. 27
第4题
B
B
1
2
3
4
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5. （2025 亳州利辛期中）将一元二次方程2x2－12x－1＝0配方成（x
＋a）2＝b的形式，则a，b的值分别为（ D ）
A. 3，10 B. －3，10
C. 3， D. －3，
D
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2025 芜湖无为三中段考）若方程（x－m）2＝b有解，则b的取值
范围是 .
7. 整体思想 （2025 安庆太湖期中）若（x2＋y2－1）2＝4，则x2＋y2
＝ .
8. 新考法 新定义题 对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝
（a＋b）2－（a－b）2，如2◎3＝（2＋3）2－（2－3）2＝24.若（m
＋2）◎（m－3）＝24，则m＝ .
9. （2024 安庆期末）若关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是
2m－1与m－5，则m＝ .
b≥0
3
－3或4
2
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三、 解答题（共42分）
10. （18分）用直接开平方法解下列方程：
（1） 3x2－27＝0； （2） （x－1）2＝225；
解：x1＝3，x2＝－3
（3） 9（x＋1）2－25＝0.
解：x1＝－ ，x2＝
解：x1＝16，x2＝－14
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11. （14分）用配方法解下面的方程：
（1） x2＋10x－2＝0； （2） 3x2－x－1＝0.
解：x1＝－5＋3 ，x2＝－5－3
解：x1＝ ，x2＝
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解：方程两边同除以2，得x2－ x－15＝0.移项，得x2－ x＝15.配
方，得x2－ x＋2＝15＋ ，即2＝ .开平方，得x－ ＝
± .∴ 原方程的根是x1＝ ，x2＝ .
上面的解答过程对吗？如果不对，请找出错在哪里并改正.
12. （10分）用配方法解方程：2x2－ x－30＝0.
1
2
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12
解：不对 错在配方的那一步 改正：配方，得x2－ x＋（ ）2＝
15＋ ，即（x－ ）2＝ .开平方，得x－ ＝± .∴ 原方程的
根是x1＝3 ，x2＝－
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② 方程x2－3x＋2＝0的根是 ；
③ 方程x2－4x＋3＝0的根是 ；
x1＝1，x2＝2
x1＝1，x2＝3
（附加题）（20分） 根据要求，解答下列问题：
（1） ① 方程x2－2x＋1＝0的根是 ；
x1＝x2＝1
…
（2） 根据以上方程及其根的特征，试猜想：
① 方程x2－9x＋8＝0的根是 ；
② 关于x的方程 的根是x1＝1，x2＝n（n
为正整数）.
x1＝1，x2＝8
x2－（1＋n）x＋n＝0
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（3） 请用配方法解方程x2－9x＋8＝0.
解：移项，得x2－9x＝－8.配方，得x2－9x＋（ ）2＝－8＋（ ）
2，即（x－ ）2＝ .开平方，得x－ ＝± .∴ 原方程的根是x1＝
1，x2＝8
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