(共9张PPT)
第6章小测
第6章 实 数
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （2024·临夏）下列各数中，是无理数的是（ A ）
A. B. C. D. 0.13133
2. （2024·威海）下列各数中，最小的数是（ A ）
A. －2 B. －（－2） C. － D. －
3. （2024·广东）完全相同的4个正方形的面积之和是100，则1个正方形
的边长是（ B ）
A. 2 B. 5 C. 10 D. 20
A
A
B
1
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5
6
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9
10
11
12
13
4. 如图，A，B，C，D是数轴上的四个点.这四个点中，最适合表示
的是（ D ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
第4题
D
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
5. （2024·德阳）将一组数 ， ， ， ， ， ，…， ，…按如图所示的方式进行排列，则第八行左起第1个数是（ C ）
A. B. C. D.
第5题
C
1
2
3
4
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6
7
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9
10
11
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13
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·常州）16的算术平方根是 .
7. （2024·广安）计算：3－ ＝ .
8. （2024·赤峰）写出一个比 小的整数： .
9. 观察下列等式： ＝ ， ＝ ， ＝ ，….按照
以上规律，写出第n（n≥1，且n为整数）个等式：
.
4
0
2（答案不唯一）
＝
1
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11
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13
三、 解答题（共51分）
10. （12分）求下面各式中x的值：
（1） （x＋4）2＝16；
（2） 2（x－1）3－16＝0.
解：x＝0或x＝－8
解：x＝3
1
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11. （16分）计算：
（1） －（－2）2－（－1）2023＋ ；
解：1
（2） －（－1）3－ ＋｜1－ ｜.
解：
1
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12. （11分）如图，有一个体积为216立方厘米的立方体铁块.
（1） 求这个铁块的棱长.
解：（1） 铁块的棱长为 ＝6（厘米）
第12题
（2） 现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小
立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块.若长方体铁块的高为8厘
米，求长方体铁块的底面正方形的边长.
解：（2） 设长方体铁块的底面正方形的边长为a厘米.由题意可知，2×23＋a×a×8＝216，解得a2＝25.因为a＞0，所以a＝5.所以长方体铁块的底面正方形的边长为5厘米
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13. （12分）已知某正数的两个不同的平方根分别是2a－7和a＋4，b
－7的立方根为－2.求：
（1） a，b的值；
解：（1） 因为某正数的两个不同的平方根分别是2a－7和a＋4，b
－7的立方根为－2，所以2a－7＋a＋4＝0，b－7＝－8，解得a＝1，b＝－1
（2） a＋b的算术平方根.
解：（2） 因为a＝1，b＝－1，所以a＋b＝1－1＝0.因为0的算术平方根为0，所以a＋b的算术平方根为0
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6.1 平方根、立方根
第2课时 立 方 根
第6章 实 数
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. －8的立方根是（ C ）
A. 4 B. 2 C. －2 D. ±2
2. 下列说法错误的是（ B ）
A. 5是125的立方根 B. ±3是27的立方根
C. － 是－ 的立方根 D. 0是0的立方根
3. 若一个数的立方根等于它本身，则这个数是（ D ）
A. 0 B. 1 C. －1 D. 0，±1
C
B
D
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4. 下列计算正确的是（ C ）
A. ＝1 B. ＝±3
C. ＝－6 D. ＝3
5. 已知 ＝a，则 ＋ 的值是（ D ）
A. 0.1a B. a C. 1.1a D. 10.1a
C
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 计算： ＝ .
7. 用计算器求－2024的立方根约为 （精确到0.01）.
8. 若一个正方体木块的体积是0.125m3，现将它锯成8个同样大小的小
正方体木块，则每个小正方体木块的表面积是 m2.
9. 已知2a＋b的算术平方根是2，a＋3b的立方根是－2，则a－b的立
方根是 .
－5
－12.65
0.375
2
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三、 解答题（共51分）
10. （12分）求下列各式的值：
（1） ；
解：原式＝
（2） － ；
解：原式＝10
（3） .
解：原式＝ ＝6
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11. （12分）一个人平均每天大约要饮用0.0015m3的各种液体，人的一
生（按70岁计算）所饮用的液体总量大约为40m3.如果用一个圆柱形容
器（底面直径与高相等）来装这些液体，恰好能装满，那么你能算出这
个容器大约有多高吗（π取3.14，精确到0.1m）？
解：设圆柱形容器的高约为xm，则底面半径约为 xm.由题意，得
π（ x）2·x＝40，所以x＝ ≈3.7.所以这个容器的高大约为3.7m
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11
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13
12. （12分）我们知道当a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立.若将a看成a3
的立方根，b看成b3的立方根，我们得出这样的猜想：若两个数的立方
根互为相反数，则这两个数也互为相反数.
（1） 试举一个例子来判断上述猜想是否成立；
解：（1） 举例不唯一，如因为2＋（－2）＝0，且23＝8，（－2）3＝
－8，有8＋（－8）＝0，即 ＋ ＝0，所以猜想成立，即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的
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（2） 若 与 互为相反数，求1－ 的值.
解：（2） 由（1），知1－2x与3x－5互为相反数，即1－2x＋3x－5
＝0，解得x＝4.所以1－ ＝1－ ＝－1
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13. （15分）
（1） 填表：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
（2） 你从上表中发现了什么规律？请用语言叙述这个规律.
（3） 根据你发现的规律填空：
① 已知 ≈1.442，则 ≈ ， ≈ ；
② 已知 ≈0.07697，则 ≈ .
解：（2） 规律：被开方数的小数点每向左（右）移动三位，立方根的小数点就向左（右）移动一位
0.01
0.1
1
10
100
14.42
0.1442
7.697
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（附加题）（20分） 观察下列等式： ＝2 ， ＝3 ，
＝4 ，…，则第5个等式可以表示为 ＝6 .
＝6
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6.1 平方根、立方根
第1课时 平 方 根
第6章 实 数
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （2024·内江）16的平方根是（ D ）
A. 2 B. －4 C. 4 D. ±4
2. 下列各式没有意义的是（ B ）
A. － B. C. D.
3. 若 ＝4，则a的值为（ B ）
A. 2 B. 16 C. －16 D. ±16
D
B
B
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4. 下列各式正确的是（ C ）
A. ± ＝3 B. ＝±3
C. ± ＝±3 D. ＝－3
5. 一个自然数的一个平方根是a，则与该自然数相邻的下一个自然数的
平方根是（ D ）
A. ± B. a＋1
C. a2＋1 D. ±
C
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 的算术平方根是 .
7. 平方根等于它本身的数是 .
8. 若 是m的算术平方根，则m＋22 的平方根是 .
9. 根据表格，可得268.96的平方根是 .
x 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
x2 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56
0
±5
±16.4
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三、 解答题（共51分）
10. （16分）求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示：
（1） 121；
解：（1） 因为（±11）2＝121，所以121的平方根是±11，即±
＝±11；121的算术平方根是11，即 ＝11
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（2） 1 ；
解：（2） 因为1 ＝ ，（± ）2＝ ，所以1 的平方根是± ，即
± ＝± ；1 的算术平方根是 ，即 ＝
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（3） （－13）2；
解：（3） （－13）2＝169.因为（±13）2＝169，所以169的平方根是
±13，也就是（－13）2的平方根是±13，即± ＝±13；
（－13）2的算术平方根是13，即 ＝13
（4） 0.
解：（4） 0的平方根和算术平方根都是0，即 ＝0
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11. （15分）求出下列各题中字母m的值：
（1） 一个正数的两个不同的平方根是2m＋1和m－7；
解：由题意，得2m＋1＋m－7＝0，解得m＝2
（2） 一个数m的两个不同的平方根是5和n－7；
解：因为5是m的平方根，所以m＝52＝25
（3） 3m＋2和m－4是同一个数的平方根.
解：由题意，得3m＋2＋m－4＝0或3m＋2＝m－4，解得m＝ 或m
＝－3
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12. （9分）已知2a＋1的平方根是±3，3a＋2b－2的算术平方根是4，
求4a－3b的值.
解：因为（±3）2＝9，42＝16，所以2a＋1＝9，3a＋2b－2＝16，解
得a＝4，b＝3.所以4a－3b＝4×4－3×3＝16－9＝7
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13. （11分）勤俭节约是中国人民的传统美德.涛涛的爷爷是能工巧匠，
他把两张旧的正方形桌面锯开后拼成一张大正方形桌面，其面积为
169dm2.已知其中一张旧的正方形桌面的边长为5dm，则另一张旧的正
方形桌面的边长为多少分米？
解：设另一张旧的正方形桌面的边长为xdm，则有x2＋52＝169，所以
x2＝169－25＝144.因为144的算术平方根是12，所以x＝ ＝12.所
以另一张旧的正方形桌面的边长为12dm
（附加题）（20分） 已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数
是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值：
.
±12， ，
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13(共12张PPT)
6.2 无理数和实数
第1课时 实数的相关概念及分类
第6章 实 数
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·泸州）下列各数中，无理数是（ D ）
A. － B. 3.14 C. 0 D. π
2. （广州中考）下列四个数中，属于负整数的是（ D ）
A. 0 B. －0.5 C. － D. －2
3. 如图，实数 在数轴上的对应点可能是（ B ）
A. A B. B C. C D. D
第3题
D
D
B
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4. 关于 ，下列说法不正确的是（ D ）
A. 它是一个无理数
B. 它可以用数轴上的一个点来表示
C. 它可以表示体积为6的正方体的棱长
D. 若n＜ ＜n＋1，则n＝2
D
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5. 有下列说法：① 无理数是无限小数，无限小数是无理数；② 无理数包括正无理数、0和负无理数；③ 带根号的数都是无理数；④ 无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤ 是一个分数.其中，正确的有（ A ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
A
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11
二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 在0， ，－0.101001，π， 中，无理数有 个.
7. 已知a是5的算术平方根，则实数a在如图所示的数轴上的对应点可
能为点 .
第7题
2
C
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9
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11
8. 在实数3.125 9， ，0.2020020002…（两个2之间依次增加一个
0），0.1030030003，－π， ，（ ）2，0.32．6．，（－0.5）3，
中，无理数有x个，有理数有y个，非负数有z个，则x＋y
＋z的值为 .
9. 把0.201．9．化成分数形式为 .
18
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三、 解答题（共42分）
10. （18分）按要求分别写出一个大于9且小于10的无理数.
（1） 用一个算术平方根表示： ；
（2） 用一个立方根表示： ；
（3） 从无理数定义的角度表示：
.
答案不唯一
9.2112111211112…（两个2之间依
次增加一个1）
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11. （24分）
（1） 如图①是由5个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪
拼成一个大正方形.所拼成的大正方形的面积是 ，边长是 .
第11题
5
1
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11
（2） 试在图②的3×3方格图（每个方格的边长是1）中画出一个面积
是5的正方形.
解：（2） 画法不唯一，如图②所示
第11题
第11题
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10
11
（3） 你能把图③中由10个边长为1的小正方形所组成的图形剪拼成一
个大正方形吗？若能，请在图③中画出剪拼成的大正方形，并写出大正
方形的面积和边长；若不能，请说明理由.
（3） 能 画法不唯一，如图③所示 剪拼成的大正方形的面积是10，
边长是
第11题
第11题
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11
（附加题）（20分） 阅读下面的材料，解答问题.
试说明： 不是有理数.
解：假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得 ＝
，于是有2m2＝n2.因为2m2是偶数，所以n2也是偶数.所以n是偶数.
设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2.所以2t2＝m2.所以m
也是偶数.所以m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾.所以假设错误，
即 不是有理数.
用类似的方法，请说明： 不是有理数.
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解：假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得 ＝
，于是有3m2＝n2.因为3m2是3的倍数，所以n2也是3的倍数.所以n
是3的倍数.设n＝3t（t是正整数），则n2＝9t2，即9t2＝3m2.所以3t2
＝m2.所以m也是3的倍数.所以m，n都是3的倍数，不互质，与假设
矛盾.所以假设错误，即 不是有理数
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11(共11张PPT)
小专题（一） 实数中的易错题专练
第6章 实 数
易错点一 平方根漏解
1. （－6）2的平方根是（ C ）
A. －6 B. 36 C. ±6 D. ±
C
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易错点二 忽视被开方数化简致错
2. 计算： ＝ 1 .
3. 计算： ＝ .
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易错点三 混淆平方根与算术平方根的概念
4. 下列说法错误的是（ A ）
A. 0.4的算术平方根是0.02 B. －4是16的一个平方根
C. 5是（－5）2的算术平方根 D. 的算术平方根是
5. 计算：（1） ＝ ；（2） ± ＝ .
6. 若a是（－4）2的算术平方根， 的平方根是b，求
的值.
解：由题意，得a＝4，b＝±3，所以 ＝1或
A
8
±8
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易错点四 混淆平方根与立方根的概念
7. 下列说法中，错误的是（ A ）
A. 1的平方根是1 B. 0的立方根是0
C. 3是9的一个平方根 D. －8的立方根是－2
8. 下列判断错误的是（ D ）
A. －64的立方根是－4 B. 49的算术平方根是7
C. 的立方根是 D. 的平方根是
A
D
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易错点五 忽视隐含条件
9. 下列等式成立的是（ C ）
A. （－ ）2＝－5 B. ＝－3
C. （ ）2＝3 D. ＝±2
10. （π－4）2的算术平方根是 .
C
4－π
1
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易错点六 求平方根和立方根时错误理解题意
11. 的平方根是（ C ）
A. 4 B. ±4 C. ±2 D. 2
12. 的立方根是（ A ）
A. 2 B. ±2 C. 8 D. －8
13. 的立方根是 － .
C
A
－
1
2
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易错点七 对无理数的意义理解不准确
14. 下列关于无理数的表述中，错误的是（ D ）
A. 无限不循环小数叫作无理数
B. 无理数不能写成 （m，n是整数，n≠0）的形式
C. 无理数可以用数轴上的点表示
D. 无理数就是指π和像0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）这
样的数
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 在实数2025， ，3.1010010001……（两个1之间依次增加1个0），
，－ ， 中，无理数有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
易错点八 实数的相关计算易出错
16. 计算：
（1） － ＋ ＋ ；
解：原式＝－6＋ ＋3＝－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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15
16
（2） － ＋3× ＋ ；
解：原式＝ － ＋6－2＝
（3） － ＋｜1－ ｜＋ .
解：原式＝7－3＋ －1＋ ＝ ＋
1
2
3
4
5
6
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15
16(共11张PPT)
6.2 无理数和实数
第2课时 实数的运算与大小比较
第6章 实 数
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （西宁中考）－ 的相反数是 （ A ）
A. B. － C. D. －
2. （2024·巴中）在0，1，－1，π中，最小的实数是（ B ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. π
3. ｜－ ｜的值为（ A ）
A. B. － C. 10 D. －10
A
B
A
1
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3
4
5
6
7
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9
10
11
12
4. 计算 －1的结果是（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. （2024·资阳）若 ＜m＜ ，则整数m的值为（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·广西）写出一个比 大的整数： .
7. （2024·包头）计算： ＋（－1）2024＝ .
8. 根据如下表格回答问题：
x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.9
x2 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 571.21
满足23.6＜ ＜23.7的整数n有 个.
9. 定义新运算“☆”：a☆b＝ ，等式的右边是通常的混合运
算.计算：3☆（7☆9）＝ .
答案不唯一，如2
3
5
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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三、 解答题（共46分）
10. （18分）比较下列各组数的大小：
（1） π与 ；
（2） 2 与3 ；
（3） 与 .
解：π＜
解：2 ＜3
解： ＞
1
2
3
4
5
6
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11. （10分）如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来，
再用“＞”连接各数.
，－1.5，－ ，－π，0.4， .
第11题
解：点A：－π，点E：－ ，点B：－1.5，点D：0.4，
点F： ，点C： ＞ ＞0.4＞－1.5＞－ ＞－π
1
2
3
4
5
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12
12. （18分）计算：
（1） － ＋ －2＋π－3，其中 ≈1.414， ≈2.236，π≈3.142
（精确到0.01）；
解：原式≈－1.414＋2.236－2＋3.142－3≈－1.04
（2） ＋｜1－ ｜－ － ；
解：原式＝3＋（ －1）－2－ ＝3＋ －1－2－ ＝0
1
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12
（3） ＋（－1）2023× ＋｜ －10｜，其中 ≈1.732
（精确到0.1）.
解：原式＝2＋（－1）×7＋（10－ ）＝2－7＋10－ ＝5－ ≈5
－1.732≈3.3
1
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4
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6
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12
（附加题）（20分） 大家知道 是无理数，因此 的小数部分我们
不可能全部写出来，于是小明用 －1来表示 的小数部分，你同意
小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 的整数部分是1，将
减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：因为 ＜ ＜ ，即2
＜ ＜3，所以 的整数部分是2，小数部分是 －2.
1
2
3
4
5
6
7
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（1） 已知 的小数部分是a， 的整数部分是b，求a＋b－ 的
值；
解：（1） 因为 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，所以 的整数部分是
2，小数部分是 －2，即a＝ －2.因为 ＜ ＜ ，即3＜
＜4，所以 的整数部分是3，即b＝3.所以a＋b－ ＝ －2
＋3－ ＝1
1
2
3
4
5
6
7
8
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12
（2） 已知10＋ ＝x＋y，其中x是整数，0＜y＜1，求x－y的相反
数.
解：（2） 因为 ＜ ＜ ，即1＜ ＜2，所以 的整数部分是
1，小数部分是 －1.所以10＋ ＝11＋（ －1）.又因为10＋
＝x＋y，x是整数，0＜y＜1，所以x＝11，y＝ －1.所以x－y＝
11－（ －1）＝12－ .所以x－y的相反数为－（12－ ）＝－12
＋
1
2
3
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9
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12
