(共14张PPT)
18.3 正 方 形
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. 如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，有下列结论：①
∠BAC＝45°；② AC⊥BD；③ AB＝AC；④AO＝BO＝CO＝
DO. 其中，正确的个数是（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第1题
D
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2. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a. 两组对边分别相等；b. 一组对边平行且相等；c. 一组邻边相等；
d. 一个角是直角.顺次添加的条件如下：① a→c→d，② b→d→c，
③ a→b→c，则正确的是（ A ）
A. ①② B. 仅③ C. 仅① D. ②③
第2题
A
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3. ★（重庆中考B卷）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC上
一点，F是CD延长线上的一点，连结AE、AF，AM平分∠EAF，交
CD于点M. 若BE＝DF＝1，则DM的长为（ D ）
A. 2 B. C. D.
第3题
D
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4. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD
的高，EF、AD交于点O. 有下列结论：① OA＝OD；② AD⊥EF；③
AE＋DF＝AF＋DE；④ 当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形.
其中，一定正确的是（ B ）
A. ①②③ B. ②③④
C. ①③④ D. ①②③④
第4题
B
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二、 填空题（每题7分，共21分）
5. 新考法 条件开放 如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线
AC⊥BD，且相交于点O，请你添加一个条件，使四边形ABCD是正方
形： AB⊥BC（答案不唯一） .
第5题
AB⊥BC（答案不唯一）
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6. 如图，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、
D作BF⊥直线a于点F，DE⊥直线a于点E. 若DE＝5，BF＝8，则
EF的长为 13 .
第6题
13
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7. ★如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上，
且BE＝DF，连结AE、AF，取AE的中点G，连结BG、FG. 若BG＝
4，则FG＝ .
第7题
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三、 解答题（共51分）
8. （15分）新考法 条件开放 如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝
CD，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E. 若 答案
不唯一，如① ，则四边形ADCE是一个正方形.请从① BD＝AD，②
∠DAE＝90°，③ CD＝CE这三个条件中选择一个填在横线上，使结
论成立，并说明理由.
答案
不唯一，如①
第8题
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解：理由：∵ 在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴ ∠BAD＝
∠CAD＝ ∠BAC，AD⊥BC. ∵ AN是∠CAM的平分线，∴ ∠MAE
＝∠CAE＝ ∠CAM. ∴ ∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝ （∠BAC＋
∠CAM）＝ ×180°＝90°.∵ AD⊥BC，CE⊥AN，∴ ∠ADC＝
∠CEA＝90°.∴ 四边形ADCE为矩形.∵ BD＝AD，∴ AD＝CD.
∴ 矩形ADCE是正方形.
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9. （17分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E
是边BC上的两点，且BD＝CE，过点D、E分别作DM⊥AB，
EN⊥AC，垂足分别为M、N，MD与NE的延长线交于点F，连结
AD、AE. 求证：
（1）AD＝AE；
第9题
解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠B＝∠C
＝45°.在△ABD和△ACE中， ∴ △ABD≌△ACE.
∴ AD＝AE
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（2）四边形AMFN是正方形.
解：（2）∵ △ABD≌△ACE，∴ ∠BAD＝∠CAE.
∵ FM⊥AB，FN⊥AC，∴ ∠AMF＝∠ANF＝90°.
∵ ∠BAC＝90°，∴ 四边形AMFN为矩形.在△AMD
和△ANE中， ∴ △AMD≌△ANE.
∴ AM＝AN. ∴ 四边形AMFN是正方形
第9题
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10. ★（19分）（十堰中考）如图， ABCD的对角线AC、BD交于点
O，分别以点B、C为圆心、 AC、 BD长为半径画弧，两弧交于点
P，连结BP、CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由.
解：（1） 四边形BPCO为平行四边形 理由：∵ 四边形
ABCD为平行四边形，∴ OC＝OA＝ AC，OB＝OD＝
BD. ∵ 以点B、C为圆心、 AC、 BD长为半径画弧，两弧交于点P，∴ OB＝CP，BP＝OC. ∴ 四边形BPCO为平行四边形.
第10题
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（2）当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？为
什么？
解：（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO是正方形
∵ AC⊥BD，∴ ∠BOC＝90°.∴ 四边形BPCO是矩形.∵ AC＝BD，OB＝ BD，OC＝ AC，∴ OB＝OC. ∴ 四边形BPCO是正方形
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10(共15张PPT)
18.2 菱 形
第3课时 菱形的判定（2）
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. ABCD的对角线AC、BD交于点O，以下条件不能证明 ABCD是
菱形的为（ D ）
A. ∠BAC＝∠BCA B. ∠ABD＝∠CBD
C. OA2＋OD2＝AD2 D. AD2＋OA2＝OD2
D
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2. （湖南中考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直
平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（ C ）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 18
第2题
C
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3. 小明用四个全等的含30°角的直角三角尺拼成如图所示的三个图
案，其中是菱形的有（ D ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
D
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4. ★如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E、F分别是OA、OC的
中点，有下列结论：① 四边形BFDE是菱形；② S四边形ABCD＝EF BD；
③ ∠ADE＝∠EDO；④ △DEF是轴对称图形.其中，正确的结论有
（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第4题
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是AB的中点，连结
OE，当OE＝ AB时，四边形ABCD是菱形.
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6. （齐齐哈尔中考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD
于点O. 请添加一个条件： 答案不唯一，如AD∥BC ，使四边形
ABCD成为菱形（写出一个即可）.
第6题
答案不唯一，如AD∥BC
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7. 如图，分别以点A、B为圆心、以5为半径画弧，两条弧分别交于
M、N两点，已知AB＝6，则以A、B、M、N为顶点的四边形的面积
是 24 .
第7题
24
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8. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其
延长线上，且DE＝DF. 给出下列条件：① BE⊥EC；② BF∥CE；③
AB＝AC. 从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，这个条件
是 ③ （填序号）.
第8题
③
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三、 解答题（共48分）
9. （14分）（沈阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边
上的中线，点E在DA的延长线上，连结BE，过点C作CF∥BE，交
AD的延长线于点F，连结BF、CE. 求证：四边形EBFC是菱形.
第9题
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解：∵ AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴ DB＝CD，AD垂直平分
BC. ∴ EB＝EC，FB＝FC. ∵ CF∥BE，∴ ∠BED＝∠CFD，
∠EBD＝∠FCD. ∵DB＝CD，∴ △EBD≌△FCD. ∴ BE＝CF.
∴ EB＝BF＝FC＝EC. ∴ 四边形EBFC是菱形
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10. （16分）如图，在 ABCD中，线段BC的垂直平分线EO交AD于
点E，交BC于点O，连结BE、CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长
线于点F，连结BF.
（1）求证：四边形BECF为菱形；
解：（1） ∵ EF垂直平分BC，∴ BO＝CO，∠BOE
＝∠COF＝90°.∵ CF∥BE，∴ ∠EBO＝∠FCO.
∴ △BOE≌△COF. ∴ BE＝CF. ∴ 四边形BECF是平
行四边形.∵ EF垂直平分BC，∴ BE＝CE. ∴ 四边形
BECF为菱形
第10题
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（2）若AD＝12，CE＝10，求四边形BECF的面积.
解：（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC＝AD＝12.∴ OC＝ BC＝6.∴ OE＝ ＝8.∴ S四边形BECF＝ EF BC＝OE BC＝8×12＝96
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11. ★（18分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，CD⊥AC，AB
＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结AE、CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形.
解：（1） ∵ AB⊥AC，CD⊥AC，∴ ∠BAC＝
∠DCA＝90°.∴ AB∥CD. ∵ AB＝CD，∴ 四边形ABCD为平行四边形.∴ AD∥BC，AD＝BC. ∵ E、F分别是BC、AD的中点，∴ AF＝ AD，CE＝ BC. ∴ AF＝CE. ∵ AF∥CE，∴ 四边形AECF是平
行四边形.∵ ∠BAC＝90°，E为BC的中点，∴ AE＝ BC＝CE. ∴ 四边形AECF为菱形
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（2）在AC上截取AG＝CH，连结EG、EH、FG、FH，四边形
EGFH是什么特殊四边形？请说明理由.
解：（2）四边形EGFH是菱形 理由：如图，连结
EF，交AC于点O. ∵ 四边形AECF是菱形，
∴ AC⊥EF，AF＝EC，OE＝OF，OA＝OC. ∵ AG＝CH，∴ OA－AG＝OC－CH，即OG＝OH. ∵ OE＝OF，∴ 四边形EGFH是平行四边形.又∵ EF⊥GH，∴ 四边形EGFH是菱形.
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小专题（八） 与正方形有关的常考模型
第18章 矩形、菱形与正方形
类型一 正方形中的“十字模型”
1. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，BE与CF
交于点G. BC＝4，DE＝AF＝1.
（1）试判定线段BE与CF的数量关系及位置关系，并说明理由；
第1题
解：（1） 线段BE与CF的数量关系及位置关系为BE＝
CF，BE⊥CF 理由：∵ 四边形ABCD为正方形，BC＝
4，∴ ∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4.
又∵ DE＝AF＝1，∴ CE＝DF＝3.
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在△CDF和△BCE中， ∴ △CDF≌△BCE.
∴ BE＝CF，∠DCF＝∠CBE. ∵ ∠DCF＋∠BCF＝∠BCD＝
90°，∴ ∠CBE＋∠BCF＝90°.∴ ∠BGC＝90°，即BE⊥CF.
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（2）求CG的长.
解：（2）在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，∴ BE＝ ＝5.∵ S△BCE＝ BE CG＝ BC CE，∴ BE CG＝BC CE. ∴ CG＝ ＝ ＝
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类型二 正方形中的“半角模型”
2. ★如图，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M在直线BC上，
点N在直线CD上.
（1）试猜想线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系.写出猜想结
果，并加以证明.
解：（1） MN＝BM＋DN 如图，延长线段CD至点E，
使得DE＝BM，连结AE. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝AD，∠ABM＝∠ADE＝∠BAD＝90°.
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在△ABM和△ADE中， ∴ △ABM≌△ADE.
∴ AM＝AE，∠BAM＝∠DAE. ∵ ∠MAN＝45°，∴ ∠BAM＋∠NAD＝∠BAD－∠MAN＝90°－45°＝45°.∴ ∠DAE＋∠NAD＝45°，即∠EAN＝45°.∴ ∠MAN＝∠EAN. 在△AMN和△AEN中，
∴ △AMN≌△AEN. ∴ MN＝EN. ∴ MN＝EN＝DE＋DN＝BM＋DN
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（2）若正方形ABCD的边长为5，CN＝2，求线段MN的长.
解：（2）∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝CD＝5.
∵ CN＝2，∴ DN＝3.设BM＝x，则CM＝5－x.由
（1），可知MN＝BM＋DN，∴ MN＝x＋3.在Rt△CMN
中，根据勾股定理，得CM2＋CN2＝MN2，即（5－x）2＋22＝（x＋3）2，解得x＝ ，即BM＝ .∴ MN＝ ＋3＝
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7
类型三 正方形中的“三垂直模型”
3. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过点A、C作l的垂线，垂
足分别为E、F，若AE＝1，CF＝3，求AB的长.
解：∵ 四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝
BC. ∴ ∠CBF＋∠ABF＝90°.∵ CF⊥BE，∴ ∠BFC＝
90°.∴ ∠CBF＋∠BCF＝90°.∴ ∠ABE＝∠BCF. ∵ AE
⊥BE，∴ ∠AEB＝∠BFC＝90°.∴ △ABE≌△BCF. ∴ BE＝CF＝3.∴ AB＝ ＝
第3题
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类型四 正方形中的“对角互补模型”
4. 如图所示为两个边长均为4的正方形ABCD和OEFG，点O是正方形
ABCD的中心，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转，则两个正
方形的重叠部分四边形OMCN的面积为 4 .
第4题
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类型五 正方形中的“对称模型”
5. ★如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，过点E作
EF⊥AB于点F，连结DE，若BC＝9，BF＝3，则DE＝ .
第5题
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类型六 正方形中的“垂直＋角平分线模型”
6. ★如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，E是边BC上一动点（不
与点B、C重合），∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于
点F，交CD于点G，连结AF. 有下列结论：① AE＝EF；② CF＝
BE；③ ∠DAF＝∠CFE. 其中，正确的是 ①②③ （填序号）.
第6题
①②③
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类型七 正方形中的“手拉手模型”
7. 如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于
点G.
（1）求证：AE＝CF；
解：（1）∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC＝90°，
AB＝BC. ∵ BE⊥BF，∴ ∠FBE＝90°.∵ ∠ABE＋
∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，∴ ∠ABE＝∠CBF.
在△AEB和△CFB中， ∴ △AEB≌△CFB.
∴ AE＝CF
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（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.
解：（2） ∵ BE⊥BF，∴ ∠FBE＝90°.又∵ BE＝BF，∴ ∠BEF＝∠EFB＝45°.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC＝90°.
又∵ ∠ABE＝55°，∴ ∠EBG＝90°－55°＝35°.∴ ∠EGC＝∠EBG＋∠BEF＝35°＋45°＝80°
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7(共13张PPT)
18.1 矩 形
第3课时 矩形判定的应用（1）
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，对角线AC、BD
相交于点O. 下列结论一定成立的是（ B ）
A. AC⊥BD B. AC＝BD
C. AB＝BC D. AB＝AC
B
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2. 新情境 现实生活 如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧
边AB是否和底边BC垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线
AC、BD的长就可以判断，其数学依据是（ C ）
A. 矩形的对角线相等
B. 三个角都是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线互相平分的四边形是矩形
第2题
C
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3. 如图，两条直线相交于点O，所夹锐角为60°，以点O为圆心、任意
长为半径作圆，与两条直线分别交于点A、B、C、D，下列说法不正
确的是（ A ）
A. AB＝2BC B. AC＝BD
C. ∠ABC＝90° D. ∠OBC＝∠OAD
第3题
A
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4. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.在下列条件中，
能够判定四边形ADFE为矩形的是（ D ）
A. AB＝AC B. AF⊥BC
C. ∠BAF＝∠CAF D. BC＝2AF
第4题
D
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二、 填空题（每题7分，共21分）
5. 在 ABCD中，∠A＝90°，AB＝7 cm，AD＝6 cm，则S ABCD
＝ 42 cm2 .
6. 如图，M为矩形ABCD边AD的中点，P为BC上一点，且PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、AD满足条件 AB＝ AD 时，四边形PEMF是
矩形.
42 cm2
AB＝ AD
第6题
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7. ★如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，动点E以每秒
2个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，点F同时以每秒2个单
位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝8，BD＝5，则经
过 或 秒时，四边形BEDF是矩形.
第7题
或
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三、 解答题（共51分）
8. （15分）（云南中考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，O是AC
的中点，延长BO至点D，使OD＝OB，连结AD、CD. 记AB＝a，
BC＝b，△AOB的周长为l1，△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长
为l3.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） ∵ O是AC的中点，∴ OA＝OC. ∵ OB＝
OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ ∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形
第8题
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（2）若l2－l1＝2，l3＝28，求AC的长.
解：（2）∵AB＝a，BC＝b，△AOB的周长为l1，
△BOC的周长为l2，四边形ABCD的周长为l3，∴ l2－l1＝BC－AB＝b－a＝2，l3＝2（AB＋BC）＝2（a＋b）＝28.∴ 解得 ∴ AB＝6，BC＝8.∴ AC＝ ＝10
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9. （17分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） ∵ AE⊥BD，DF⊥AC，∴ ∠AEO＝
∠DFO＝90°.在△AEO和△DFO中， ∴ △AEO
≌△DFO. ∴ AO＝DO. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO＝
DO＝BO. ∴ AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形
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（2）若∠BAE＝ ∠EAD，求∠AOE的度数.
解：（2）由（1）得四边形ABCD是矩形，∴ ∠BAD＝90°，AO＝BO. ∴ ∠OAB＝∠ABE. ∵ ∠BAE＝ ∠EAD，∴ ∠BAE＝90°× ＝30°.在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－∠BAE＝60°＝∠OAB.
∴ ∠AOE＝180°－∠OAB－∠ABE＝60°
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10. （19分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E是
BC边上一点（不与点B、C重合），过点E作EF⊥AE，交CD边于点
F，∠BAE＝∠CEF.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
解：（1） ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD
是平行四边形，∠DAE＝∠BEA. ∵ EF⊥AE，∴ ∠AEF＝90°.
∴ ∠CEF＋∠BEA＝180°－90°＝90°.∵ ∠BAE＝∠CEF，
∴ ∠BAE＋∠BEA＝90°.∴ ∠B＝180°－（∠BAE＋∠BEA）＝180°－90°＝90°.∴四边形ABCD是矩形
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（2）★若AE＝AD，AB＝9，EC＝3，求DF的长.
解：（2）如图，连结AF. 由（1）可知，四边形ABCD
是矩形，∴ ∠D＝∠C＝90°，AD＝BC，AB＝CD.
在Rt△ADF和Rt△AEF中， ∴ Rt△ADF≌Rt△AEF.
∴ DF＝EF. 设DF＝EF＝x，则CF＝CD－DF＝9－x.在Rt△CEF中，由勾股定理，得EC2＋CF2＝EF2，即32＋（9－x）2＝x2，解得x＝5.∴ DF＝5
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10(共14张PPT)
18.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若BD＝8，则
OC的长为（ B ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第1题
B
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2. 在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC＝10，则AD的长为（ B ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3. （教材变式）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（ C ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
C
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4. 如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若
∠ADB＝40°，则∠E的度数是（ A ）
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
第4题
A
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5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线的交点O作
EF⊥AC，交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（ B ）
A. 1 B. C. 2 D.
第5题
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别为OC、BC的中点，若EF＝2，
则AC＝ 8 .
第6题
8
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7. 如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E. 若
∠CDE＝35°，则∠BOC＝ 110 °.
第7题
110
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8. （台州中考改编）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3.在边
AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的
长为 .
第8题
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9. ★如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝
120°，AE平分∠BAD交BC于点E，则∠AEO的度数为 30° .
第9题
30°
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三、 解答题（共46分）
10. （14分）（陕西中考）如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在
边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，∠B＝
∠C＝90°.∵ BE＝CF，∴ BE＋EF＝CF＋EF，
即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴ △ABF≌△DCE.
∴ AF＝DE
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11. （16分）如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，
CF⊥BD，垂足分别为E、F.
（1）求证：BE＝CF；
第11题
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AC＝BD，
OC＝ AC，OB＝ BD. ∴ OB＝OC. ∵ BE⊥AC，
CF⊥BD，∴ ∠BEO＝∠CFO＝90°.在△BEO和△CFO中， ∴ △BEO≌△CFO. ∴ BE＝CF
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（2）若∠AOB＝60°，AB＝1，求矩形的面积.
解：（2）∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°，
AC＝BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD.
∴ OB＝OA. ∵ ∠AOB＝60°，∴ △AOB是等边三角形.∴ AB＝AO＝OB＝1.∴ AC＝2.由勾股定理，得BC＝ ＝ ＝ .∴ 矩形的面积是AB×BC＝1× ＝
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12. ★（16分）如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，BF⊥AE于
点F，AD＝BF.
（1）求证：BE平分∠CBF；
第12题
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ BC＝AD，
∠C＝90°.∵ AD＝BF，∴ BC＝BF. ∵ BF⊥AE，
∴ ∠BFE＝∠C＝90°.在Rt△BCE和Rt△BFE中，
∴ Rt△BCE≌Rt△BFE. ∴ ∠CBE＝∠FBE. ∴ BE平分∠CBF
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（2）若BF＝6，CE＝2，求AB的长.
解：（2）由（1）知，Rt△BCE≌Rt△BFE，∴ ∠CEB＝∠FEB.
∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ ∠CEB＝∠ABE. ∴ ∠FEB＝∠ABE. ∴ AB＝AE. ∵ AD＝BF＝6，DE＝CD－CE＝AB－CE＝AE－2，在Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2＋DE2＝AE2，∴ 62＋（AE－2）2＝AE2.∴ AE＝10.∴ AB＝10
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12(共14张PPT)
第18章小测
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. 下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
B
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2. 如图，O为矩形ABCD的对角线的交点，点E从点A出发，沿AB向
点B运动，到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的
变化依次为（ A ）
A. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
B. 正方形→菱形→平行四边形→矩形
C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形
D. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
第2题
A
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3. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，点E在AO上，AE＝
DE，若∠ADE＝2∠ODE，则∠CDE的度数为（ D ）
A. 60° B. 64° C. 70° D. 72°
第3题
D
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4. ★如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，有下列判断：
① 若AC＝BD，∠1＝∠2，则 ABCD是正方形；② 若∠2＝∠3＝
45°，则 ABCD是正方形；③ 若AC⊥BD，AC＝BD，则 ABCD是
正方形；④ 若AB＝BC＝CD＝DA，则 ABCD是菱形；⑤ 若∠1＝
∠4，则 ABCD是菱形.其中，正确的有（ D ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第4题
D
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二、 填空题（每题7分，共21分）
5. 如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、AD的长分别为15 cm和
25 cm，∠BAD的平分线与BC相交于点E，则线段CE的长
为 10 cm.
第5题
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6. 如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为AB的中点，连
结OE. 若AC＝12，BD＝16，则OE的长为 5 .
第6题
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7. ★如图，正方形ABCD的边长为2，G是对角线BD上一动点，
GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连结EF，给出四种情况：① 若G
为BD上任意一点，则AG＝EF；② 若BG＝AB，则∠DAG＝22.5°；③ 若G为BD的中点，则四边形GFCE是正方形；④ 若DG∶BG＝1∶3，则S△ADG＝ .其中，正确的是 ①②③④ （填序号）.
①②③④
第7题
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三、 解答题（共51分）
8. （16分）如图，在 ABCD中，DA＝DB，过点C作CE∥BD，与
AD的延长线相交于点E.
（1）求证：四边形BCED是菱形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC，
AD∥BC. ∴ DE∥BC. ∵ CE∥BD，∴ 四边形BCED是平行
四边形.∵ DA＝DB，∴ BD＝BC. ∴ 四边形BCED是菱形
第8题
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（2）连结BE，若∠AEB＝25°，求∠ABD的度数.
解：（2）∵ 四边形BCED是菱形，∴ DE＝DB. ∴ ∠DBE＝∠DEB＝25°.∴ ∠ADB＝∠DEB＋∠DBE＝50°.∵ AD＝BD，∴ ∠DAB＝∠ABD＝ ×（180°－50°）＝65°
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9. ★（17分）（北京中考）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、
AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
（1）求证：四边形DFCG是矩形；
解：（1） ∵ D、E分别为AB、AC的中点，∴ DE是
△ABC的中位线.∴ DE∥BC. ∵ DG＝FC，∴ 四边形
DFCG是平行四边形.又∵ DF⊥BC，∴ ∠DFC＝90°.
∴四边形DFCG是矩形
第9题
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（2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC和AC的长.
解：（2）∵ DF⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.∵ ∠B＝
45°，∴ ∠BDF＝45°.∴ BF＝DF＝3.∵ DG＝FC＝
5，∴ BC＝BF＋FC＝3＋5＝8.由（1）可知，DE是
△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，∴ DE＝ BC＝4，CG＝DF＝3，∠G＝90°.∴ EG＝DG－DE＝5－4＝1.∴ CE＝ ＝ ＝ .∵ E为AC的中点，∴ AC＝2CE＝2
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10. ★（18分）新考法 探究题 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直
线MN于点E，垂足为F，连结CD、BE.
（1）若AD＝4 cm，求CE的长.
解：（1）∵ DE⊥BC，∴ ∠DFB＝90°.
∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠ACB＝∠DFB. ∴ AC∥
DE. ∵ MN∥AB，∴ 四边形ADEC是平行四边形.
∴ CE＝AD. ∵ AD＝4 cm，∴ CE＝4 cm
第10题
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10
（2）当D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明
理由.
解：（2）四边形BECD是菱形 理由：由（1），
得CE＝AD. ∵ ∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴ AD＝BD＝CD. ∴ BD＝CE. ∵ BD∥CE，∴ 四边形BECD是平行四边形.∵ CD＝BD，∴ 四边形BECD是菱形.
（3）若D为AB的中点，当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD
是正方形？请直接写出答案.
解：（3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形
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10(共13张PPT)
18.1 矩 形
第4课时 矩形判定的应用（2）
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （教材变式）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的
中点.若AC＝8，CD＝5，则BC的长为（ C ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
第1题
C
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2. （陕西中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD
为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有（ C ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第2题
C
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3. （德阳中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿CB
方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连结CD. 若
CD＝1，则GE的长为（ B ）
A. 3 B. 2 C. 1 D.
第3题
B
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4. ★如图，在 ABCD中，E是BC的中点，连结AC、AE，BC＝2AE
＝13，若AC＝12，则CD的长为（ B ）
A. B. 5 C. D. 7
第4题
B
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二、 填空题（每题7分，共21分）
5. （教材变式）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝ AB，D
为AB的中点，连结CD，则∠BCD＝ 60 °.
第5题
60
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6. 数形结合思想 如图，△ABC的顶点C与AB的中点D均在数轴上，
且C、D两点在数轴上对应的数分别为－3、1，当∠BCA＝90°时，
AB的长为 8 .
第6题
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7. ★如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，E是AB上方一
点，且AE＝BE，连结DE. 若CD＝3，AE＝4，则DE的长为 .
第7题
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10
三、 解答题（共51分）
8. （15分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，连结AC，且
AB＝AC. E、F分别为AC、BC的中点，连结EF、DE. 求证：DE＝
EF.
第8题
解：∵ ∠ADC＝90°，∴ △ACD是直角三角形.∵E是
AC的中点，∴ DE是Rt△ACD斜边AC上的中线.∴ DE＝
AC. ∵E、F分别为AC、BC的中点，∴ EF是△ABC的
中位线.∴ EF＝ AB. 又∵ AB＝AC，∴ DE＝EF
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9. （17分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，
M为BC的中点.
（1）求证：MF＝ME；
解：（1） ∵ CF⊥AB于点F，M为BC的中点，∴ MF＝ BC. 同理，得ME＝ BC. ∴ MF＝ME
第9题
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（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝65°，求∠FME的度数.
解：（2）∵ CF⊥AB，M是BC的中点，∴ MF＝MB. ∴ ∠ABC＝∠MFB＝50°.同理，得∠ACB＝∠MEC＝65°.∴ ∠BMF＝180°－50°－50°＝80°，∠EMC＝180°－65°－65°＝50°.∴ ∠FME＝180°－80°－50°＝50°
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10. ★（19分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边
上的高，EF⊥AD，垂足为F，且AF＝DF.
（1）求证：AE＝CD；
解：（1） 如图，连结DE. ∵ BE是AC边上的高，
∴ BE⊥AC. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴ BD＝CD. ∴ DE＝ BC＝CD. ∵ EF⊥AD，AF＝
DF，∴ EF垂直平分AD. ∴ AE＝DE. ∴ AE＝CD
第10题答案
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（2）若AE＝5，CE＝6，求△ABC的面积.
解：（2）∵ AE＝CD＝5，BC＝2CD，∴ BC＝10.∵ BE⊥AC，CE＝6，∴ BE＝ ＝ ＝8.∵ AC＝AE＋CE＝5＋6＝11，∴ S△ABC＝ AC BE＝ ×11×8＝44
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10(共13张PPT)
小专题（九） 特殊平行四边形中的折叠问题
第18章 矩形、菱形与正方形
类型一 矩形中的折叠问题
1. 如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝9，将矩形折叠，使点B与点
D重合，折痕为EF，则AE的长为（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
第1题
B
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2. 如图，将矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F
处.已知AB＝4，△ABF的面积为6，则EC的长为（ B ）
A. 3 B. C. D.
第2题
B
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9
3. ★新考法 操作实践题 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，
某同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用如图①所示
的方法折出一个正方形ABEF，然后将纸片展平；第二步：连结DE，
将△DEC沿DE折叠，得到△DEG，延长EG交边AD于点H，如图②
所示.根据以上操作，若AB＝8，AD＝12，则DH的长是 10 .
第3题
10
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4. ★如图，点E、F分别在矩形ABCD的边AD、BC上，将矩形ABCD
沿直线EF翻折，点C恰好与点A重合，连结CE.
（1）判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形AFCE是菱形 理由：如图，连结AC、
BD，相交于点O. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ OB＝OD，
AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠OBF＝∠ODE. 在△OBF和△ODE中， ∴ △OBF≌△ODE. ∴ BF＝DE. ∴ AE＝CF.
∴ 四边形AFCE是平行四边形.由翻折得，AF＝CF. ∴ 四边形AFCE是菱形.
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（2）若AB＝2，BC＝4，求四边形AFCE的面积.
解：（2）∵ BC＝BF＋CF＝4，∴ BF＝4－CF. ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABF＝90°.在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，AF＝CF，AB＝2，∴ CF2＝22＋（4－CF）2.∴ CF＝ .∴ S菱形AFCE＝CF AB＝ ×2＝5
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9
类型二 菱形中的折叠问题
5. ★如图①所示为一张菱形纸片ABCD，E、F是边AB、CD上的点，
将该菱形纸片沿EF折叠得到图②，BC的对应边B′C′恰好落在直线AD
上.已知∠B＝60°，AB＝6，则四边形AEFC′的周长为（ C ）
第5题
A. 24 B. 21 C. 15 D. 12
C
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9
6. ★如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，
BD＝12，E是边AD上一点，直线EF交BC于点F，将菱形沿直线EF
折叠，使点B的对应点为B′，点A的对应点为A′.若AE＝4，则BF的长
为 6 .
第6题
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9
类型三 正方形中的折叠
7. （深圳中考）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线
的交点O重合，EF为折痕，G为EF与AO的交点，则 的值为
（ D ）
A. B. C. D.
第7题
D
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9
8. 如图，正方形ABCD的边长为18，将正方形折叠，使顶点D落在BC
边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长
是 8 .
第8题
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9
9. ★新考法 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的
折叠”为主题开展数学活动，一名同学的操作过程如下.
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把
纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M
处，把纸片展平，连结PM、BM，延长PM交CD于点Q，连结BQ.
第9题
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9
（1）如图①，当点M在EF上时，∠EMB＝ 30 °.
（2）如图②，改变点P在AD上的位置（点P不与点A、D重合）.
①判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；
30
第9题
解：①∠MBQ＝∠CBQ 理由：∵ 四边形
ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠A＝∠C
＝∠D＝90°.由折叠，可得AB＝BM，
∠A＝∠BMP＝90°.∴ BC＝AB＝BM，
∠BMQ＝∠C＝90°.∵ BQ＝BQ，∴ Rt△BMQ≌Rt△BCQ.
∴ ∠MBQ＝∠CBQ.
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解： ② 由折叠的性质，可得DF＝CF＝4，AP＝PM.
∵ Rt△BCQ≌Rt△BMQ，∴ CQ＝MQ. 当点Q在线段CF
上时，∵ FQ＝1，∴ MQ＝CQ＝3，DQ＝5.∵ PQ2＝PD2
＋DQ2，∴ （AP＋3）2＝（8－AP）2＋25，解得AP＝ .当点Q在线段DF上时，∵ FQ＝1，∴ MQ＝CQ＝5，DQ＝3.∵ PQ2＝PD2＋DQ2，∴ （AP＋5）2＝（8－AP）2＋9，解得AP＝ .综上所述，AP的长为 或
②若AB＝8，FQ＝1，求AP的长.
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9(共15张PPT)
18.1 矩 形
第2课时 矩形的判定
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （德阳中考）要使 ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是
（ D ）
A. AB∥CD B. AB＝BC
C. ∠B＝∠D D. AC＝BD
D
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2. 新情境 现实生活 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的方案
是（ C ）
A. 测量两条对角线是否相等
B. 度量两个角是否为90°
C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D. 测量两组对边是否分别相等
C
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3. 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，
连结EB、EC、DB，添加一个条件，不能判定四边形DBCE为矩形的
是（ D ）
A. ∠ADB＝90° B. AB＝BE
C. BE＝CD D. BE⊥CD
第3题
D
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4. ★如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DE⊥BC，DB
平分∠ADC. 有下列结论：① BC＝DC；② 四边形ABED是矩形；③ E
是BC的中点；④ 若AD＝2，CD＝5，则AB＝4.其中，正确的有
（ B ）
A. ①②③ B. ①②④
C. ②③④ D. ①②③④
第4题
B
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二、 填空题（每题7分，共21分）
5. 新考法 条件开放 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝
BD，请添加一个条件： AB＝CD（答案不唯一） ，使四边形
ABCD是矩形.
第5题
AB＝CD（答案不唯一）
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6. （教材变式）如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为
∠APQ、∠BPQ、∠CQP、∠DQP的平分线，则四边形PMQN的形状
是 矩形 .
第6题
矩形
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7. ★如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为BC上一动
点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为 2.4 .
第7题
2.4
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三、 解答题（共51分）
8. （14分）（教材变式）（长春中考）如图，在四边形ABCD中，∠A
＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC. 求证：四边形
ABCD是矩形.
第8题
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解：∵ O是边AB的中点，∴ OA＝OB. 在△AOD和△BOC中，
∴ △AOD≌△BOC. ∴ DA＝CB. ∵ ∠A＝∠B＝90°，∴ ∠A＋∠B＝180°.∴ DA∥CB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形.又∵ ∠A＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形
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9. （18分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F在
AC上，且AE＝CF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD.
∴ ∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中，
∴ △ABE≌△CDF
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（2）新考法 条件开放 请你添加一个条件： 答案不唯一，如
BE⊥DE ，使四边形EBFD是矩形，并证明.
解：（2）由（1）知△ABE≌△CDF，∴ BE＝DF，∠AEB＝
∠CFD. ∴ ∠BEO＝∠DFO. ∴ BE∥DF. ∴ 四边形EBFD是平行四
边形.∵ BE⊥DE，∴ ∠BED＝90°.∴ 四边形EBFD是矩形
答案不唯一，如
BE⊥DE
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10. （19分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E、
F分别为OB、OD的中点，连结AE并延长至点G，使EG＝AE，连结
CG、CF.
（1）求证：△ABE≌△CDF.
第10题
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解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ E、F分别为OB、OD的中点，∴ BE＝ OB，DF＝ OD. ∴ BE＝DF. 在△ABE和△CDF
中， ∴ △ABE≌△CDF
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（2）★当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说
明理由.
解：（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形 理
由：∵ AC＝2OA，AC＝2AB，∴ AB＝OA. ∵ E是
OB的中点，∴ AG⊥OB. ∴ ∠OEG＝90°.同理，可
得CF⊥OD，∴ AG∥CF，即EG∥CF. 由（1），得
△ABE≌△CDF，∴ AE＝CF. ∵ EG＝AE，∴ EG＝CF. ∴ 四边形EGCF是平行四边形.∵ ∠OEG＝90°，∴ 四边形EGCF是矩形.
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10(共14张PPT)
18.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. （教材变式）如图，菱形ABCD的周长是4 cm，∠ABC＝60°，那么
这个菱形的对角线AC的长是（ A ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
第1题
A
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2. （湘潭中考）如图，在菱形ABCD中，连结AC、BD，若∠1＝
20°，则∠2的度数为（ C ）
A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°
第2题
C
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3. （教材变式）（绥化中考）如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，
BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（ A ）
A. B. 6 C. D. 12
第3题
A
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4. ★如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点
F，连结DF. 当∠CDA＝80°时，∠CDF的度数为（ B ）
A. 15° B. 30° C. 40° D. 50°
第4题
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若
∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 64° .
第5题
64°
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6. （福建中考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且
与边AB、CD分别相交于点E、F. 若OA＝2，OD＝1，则△AOE与
△DOF的面积之和为 1 .
第6题
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7. ★（凉山中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交
于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点
G. 若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 5 .
第7题
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8. ★★如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为边BC的中
点，P为对角线AC上的一个动点，则PB＋PE的最小值为 .
第8题
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三、 解答题（共48分）
9. （14分）（泸州中考）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边
AB、BC上的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE.
第9题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF，∴ AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF.
在△ABF和△CBE中，
∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF＝CE
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10. ★（16分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分
别为E、F.
（1）如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB∥CD.
又∵ AF⊥CD，∴ AF⊥AB. ∴ ∠BAF＝90°.又
∵ ∠BAE＝∠EAF，∴ ∠BAE＝45°.∵ AE⊥BC，∴ ∠AEB＝90°.∴ ∠ABE＝45°＝∠BAE. ∴ AE＝BE
第10题
（2）如果对角线BD与AE、AF分别交于点M、N，且BM＝MN，求
证：∠EAF＝2∠BAE.
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解：（2）∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝AD，∠ABE＝∠ADF. 又∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB＝∠AFD. 在△ABE和△ADF中， ∴ △ABE≌△ADF. ∴ ∠BAE＝∠DAF. 又∵ AB＝AD，∴ ∠ABM＝∠ADN. ∴ △ABM≌△ADN. ∴ AM＝AN.
又∵ ∠BAN＝90°，BM＝MN，∴ AM＝MN＝AN. ∴ △AMN是等边三角形.∴ ∠MAN＝60°.∴ ∠MAB＝30°.∴ ∠EAF＝2∠BAE
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11. ★（18分）（教材变式）已知四边形ABCD为菱形，E为对角线AC
上的一个动点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，连结BE.
（1） 如图①，求证：∠AFD＝∠EBC；
解：（1） ∵ 四边形ABCD为菱形，
∴ DC∥AB，DC＝BC，∠DCE＝
∠BCE. 在△DCE和△BCE中， ∴ △DCE≌
△BCE. ∴ ∠EDC＝∠EBC. ∵ DC∥AB，∴ ∠EDC＝∠AFD.
∴ ∠AFD＝∠EBC
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（2） 如图②，若DE＝EC，且BE⊥AF，求∠DAB的度数.
解：（2）∵ DE＝EC，∴ ∠EDC＝∠ECD. 根据（1），
得∠EDC＝∠EBC，∠ECD＝∠ECB. ∴ 设∠EDC＝
∠ECD＝∠EBC＝x°.∵ AB∥CD，∠EDC＝
∠EBC，∴∠CBF＝∠BCD＝∠ECD＋∠BCE＝
2∠ECD＝2x°.∵ BE⊥AF，∴ ∠EBF＝90°.∴ ∠CBF＋∠EBC＝2x°＋x°＝90°，解得x＝30.∴ ∠CBF＝60°.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD∥BC. ∴ ∠DAB＝∠CBF＝60°
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18.2 菱 形
第2课时 菱形的判定（1）
第18章 矩形、菱形与正方形
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 如图，在 ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能
判定这个平行四边形是菱形的为（ C ）
A. AB＝CD B. AC＝BD
C. ∠ACB＝∠ACD D. ∠ACB＝∠CAD
第1题
C
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2. （深圳中考）如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水
平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的
值为（ B ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第2题
B
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3. 如图，在 ABCD中，F是AB的中点，连结DF并延长，交CB的延
长线于点E，连结AE. 添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条
件可以是（ D ）
A. ∠BAD＝∠BDA B. AB＝DE
C. DF＝EF D. DE平分∠ADB
第3题
D
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4. ★如图，过 ABCD的顶点B作边AD和CD的高，垂足分别为M、
N，连结AC、BD、MN. 若BM＝BN，则下列说法错误的是
（ C ）
A. ∠MBN＝∠BAD B. MN∥AC
C. △ABD是等边三角形 D. 四边形ABCD为菱形
第4题
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
5. 新考法 条件开放 如果CD是△ABC的角平分线，点D在AB上，
E、F分别是AC、BC的中点，连结DE、DF，再加一个条件： BC
＝AC（答案不唯一） ，就可得到四边形CEDF是菱形.
BC
＝AC（答案不唯一）
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6. 如图，用4根长度相等的木棒首尾顺次连结组成的四边形ABCD中，
BD＝8，AC＝4，则该四边形的面积是 16 .
第6题
16
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7. ★新考法 条件开放 如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、
F分别是AD、BC的中点，M、N分别是AC、BD的中点，连结EM、
MF、FN、NE，要使四边形EMFN为菱形，则四边形ABCD需满足的
条件是 AB＝CD .
第7题
AB＝CD
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8. ★★分类讨论思想 如图，在 ABCD中，∠B＝60°，AB＝6 cm，
BC＝12 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿A→D运动，同时点Q
从点C出发，以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往返运动，当点P到达端
点D时，点Q随之停止运动，在运动过程中，四边形CQPD是平行四边
形出现 3 次.当点P出发 6 s时，四边形CQPD是菱形.
第8题
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三、 解答题（共48分）
9. （14分）如图，E为 ABCD的边CD的中点，连结AE并延长交BC
的延长线于点F，CF＝2CE. 求证：四边形ABCD为菱形.
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥CF.
∴ ∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE. ∵ E是CD
的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中，
∴ △ADE≌△FCE. ∴ AD＝FC. ∵ CF＝2CE，∴ CF＝CD. ∴ AD＝CD. ∴ 四边形ABCD为菱形
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10. （16分）（张家界中考）如图，点A、D、C、B在同一条直线
上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.
（1）求证：AE∥BF；
解：（1）∵ AD＝BC，∴ AD＋CD＝BC＋CD，即
AC＝BD. ∵ AE＝BF，CE＝DF，∴ △AEC≌△BFD. ∴ ∠A＝∠B. ∴ AE∥BF
（2）当DF＝FC时，求证：四边形DECF是菱形.
解：（2）∵ △AEC≌△BFD，∴ ∠ECA＝∠FDB. ∴ EC∥DF.
∵ EC＝DF，∴ 四边形DECF是平行四边形.∵ DF＝FC，∴ 四边形DECF是菱形
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11. ★（18分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角
线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的
延长线于点E，连结OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
解：（1）∵ AB∥DC，∴ ∠OAB＝∠DCA. ∵ AC
平分∠BAD，∴ ∠OAB＝∠DAC. ∴ ∠DCA＝
∠DAC. ∴ CD＝AD＝AB. ∵ AB∥DC，∴ 四边形
ABCD是平行四边形.∵ AD＝AB，∴ 四边形ABCD
是菱形
第11题
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（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长.
解：（2）∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OA＝OC，OB＝ BD，BD⊥AC. ∵ CE⊥AB，∴ OE＝OA＝OC. ∵ BD＝6，∴ OB＝ BD＝3.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝ ＝ ＝4.
∴ OE＝OA＝4
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