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小专题(六) 三角形中的三条重要线段
第8章 三角形
类型一 与三角形角平分线相关的问题
1. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC. 若∠BDC=80°,∠C=70°,则∠A的度数为( C )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
C
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2. 如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD平分∠ABC交AC于点D.
(1) 求∠ADB的度数;
解:(1) ∵ 在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=80°.∵ BD平分∠ABC,
∴ ∠DBC= ∠ABC=40°.
∴ ∠ADB=∠DBC+∠C=40°+30°=70°
第2题
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(2) 若∠BDE=40°,求∠DEC的度数.
解:(2) 由(1)知,∠DBC=40°.∵ ∠BDE=40°,
∴ ∠DEC=∠DBC+∠BDE=40°+40°=80°
第2题
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类型二 与三角形高相关的问题
3. 如图,在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,BD、CE分别是边AC、AB上的高,且BD、CE相交于点H,求∠BHC的度数.
第3题
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解:∵ 在△ABC中,∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,∴ 设∠A=3x,∠ABC=4x,∠ACB=5x.∵ 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴ 3x+4x+5x=180°,解得x=15°.∴ ∠A=3x=45°.∵ BD、CE分别是边AC、AB上的高,∴ ∠ADB=90°,∠BEC=90°.∴ 在△ABD中,∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°.∴ ∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°
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4. ★如图,在△ABC中,AC=8,BC=4,高BD=3,试作出BC边上的高AE,并求AE的长.
第4题答案
解:如图,过点A作BC边上的高AE,交CB的延长线于点E. ∵ S△ABC= BC·AE= AC·BD,AC=8,BC=4,BD=3,∴ ×4AE= ×8×3.∴ AE=6
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5. ★如图,AE为△ABC的角平分线,CD为△ABC的高,AE与CD交于点F. 若∠B=30°,∠ACB=75°,求∠AFC的度数.
第5题
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解:∵ CD为△ABC的高,∴ ∠BDC=90°.∵ ∠B=30°,∴ ∠BCD=60°.
又∵ ∠ACB=75°,∴ ∠ACD=∠ACB-∠BCD=15°.∴ ∠BAC=180°-∠B-∠ACB=75°.∵ AE为△ABC的角平分线,∴ ∠CAE= ∠BAC=37.5°.
∴ ∠AFC=180°-∠CAE-∠ACD=127.5°
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类型三 与三角形中线相关的问题
6. 如图,在△ABC中,AB=15,BC=9,BD是AC边上的中线.若△ABD的周长为30,则△BCD的周长是( B )
A. 20 B. 24 C. 26 D. 28
B
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7. ★如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S△DEF= cm2.
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8. ★如图,D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点,连结AD、DE,AF为△ADE的中线.若四边形ABDF的面积为20,求△ABC的面积.
第8题
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解:∵ AF是△ADE的中线,∴ S△ADE=2S△ADF. 同理,可得S△ADC=2S△ADE,S△ACD=S△ABD= S△ABC. ∴ S△ADF= S△ABC. ∵ 四边形ABDF的面积为20,∴ S△ABD+S△ADF=20.∴ S△ABC+ S△ABC=20.
∴ S△ABC=32
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8.1 与三角形有关的边和角
第4课时 三角形的三边关系
第8章 三角形
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. (衡阳中考)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是( D )
A. 1cm、2cm、3cm B. 2cm、8cm、6cm
C. 3cm、5cm、9cm D. 5cm、6cm、7cm
2. (福建中考)若某三角形的三边长分别为3、4、m,则m的值可以是( B )
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
D
B
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3. 如图,为估计池塘两岸A、B之间的距离,一名同学在池塘一侧选取一点P,测得PA=18m,PB=16m,那么A、B之间的距离不可能是( D )
A. 18m B. 26m C. 30m D. 34m
4. 已知三条线段的长度比如下:① 2∶3∶4;② 1∶2∶3;③ 2∶4∶6;④ 3∶3∶6;⑤ 6∶6∶10;⑥ 6∶8∶10.其中,能构成三角形的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
C
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5. ★将长度分别为2、3、3、4的四根木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连结,但不允许折断),则得到的三角形的最长边的长为( B )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
B
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二、 填空题(每题5分,共25分)
6. (吉林中考)如图,钢架桥的设计中采用了三角形的结构,其数学道理是 三角形具有稳定性 .
7. (徐州中考)若一个三角形的边长均为整数,且两边长分别为3和5,则第三边的长可以为 3(答案不唯一) (写出一个即可).
三角形
具有稳定性
3(答案不唯一)
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8. 已知△ABC中有两边长是2和5,且△ABC的第三边的长是偶数,则此三角形的周长为 11或13 .
9. 若一个三角形的三边长分别为3、10-m、4,则m的取值范围是 310. ★如图,用四个螺丝将四根不可弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝的大小,其中相邻两个螺丝间的距离依次为2、3、4、6,且相邻两根木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝间的距离最大是 7 .
11或13
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三、 解答题(共50分)
11. (16分)已知一个等腰三角形的两边长a、b满足 求:
(1) a、b的值;
解:(1) 记 由②×2-①,得5b=15,解得b=3.将b=3代入①,得4a-9=11,解得a=5.∴ a、b的值分别为5、3
(2) 这个等腰三角形的周长.
解:(2) 若a=5为腰长,满足三角形的三边关系,此时三角形的周长为5×2+3=13.若b=3为腰长,满足三角形的三边关系,此时三角形的周长为3×2+5=11
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12. ★(16分)已知△ABC的三边长分别为a、b、c.
(1) 若a=1,b=7,c为整数,求△ABC的周长;
解:(1) ∵ △ABC的三边长分别为a、b、c,∴ b-a∴ 6(2) 化简:|a+b-c|-|b-a-c|+|a+b+c|.
解:(2) ∵ △ABC的三边长分别为a、b、c,∴ a+b>c,a+c>b,a+b+c>0.∴ a+b-c>0,b-a-c<0.∴ |a+b-c|-|b-a-c|+|a+b+c|=a+b-c-[-(b-a-c)]+a+b+c=a+b-c+b-a-c+a+b+c=a+3b-c
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13. ★★(18分)已知△ABC的周长是20,三边长分别为a、b、c.
(1) 若b是最长边的长,求b的取值范围;
解:(1) 由题意可知,b≥a,b≥c.∵ a+c>b,∴ a+b+c≤3b且a+b+c>2b.又∵ △ABC的周长是20,∴ 2b<20≤3b.∴ ≤b<10
(2) 若△ABC是不等边三角形,b是最长边的长,c是最短边的长,且b=3c,a、b、c均为整数,求△ABC的三边长.
解:(2) ∵ ≤b<10,b为整数,∴ b=7、8、9.∵ b=3c,c为整数,∴ b=9,c=3.
∴ a=20-b-c=8.∴ △ABC的三边长为a=8,b=9,c=3
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小专题(七) 与三角形的角有关的几何模型
第8章 三角形
类型一 “飞镖”模型
1. (1) 如图①,试说明:∠BOC=∠BAC+∠B+∠C;
解:(1) 如图①,作射线AO. ∵ ∠3是△ABO的外角,
∴ ∠1+∠B=∠3.∵ ∠4是△AOC的外角,∴ ∠2+∠C=∠4.
∴ ∠1+∠B+∠2+∠C=∠3+∠4,即∠BOC=∠BAC+∠B+∠C
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(2) 如图②,∠ABC=100°,∠DEF=130°,求∠BAF+∠C+∠CDE+∠F的度数.
解:(2) 如图②,连结AD. 同(1)可得,∠F+∠2+∠3=∠DEF,∠1+∠4+∠C=∠ABC.
∴ ∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C=∠DEF+∠ABC=130°+100°=230°,即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F=230°
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类型二 “8字”模型
2. (1) 如图①,我们把该图形称为“8字形”,试说明:∠A+∠B=∠C+∠D.
解:(1) ∵ ∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°,
∴ ∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD. ∵ ∠AOB=∠COD,
∴ ∠A+∠B=∠C+∠D
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解:(2) ∵ AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,∴ ∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD. 由(1)的结论,得∠P+∠BCP=∠ABC+∠BAP,∠P+∠PAD=∠ADC+∠PCD.
∴ 2∠P+∠BCP+∠PAD=∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC.
∴ 2∠P=∠ABC+∠ADC. ∵ ∠ABC=36°,∠ADC=16°,
∴ 2∠P=36°+16°=52°.∴ ∠P=26°
(2) 如图②,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD. 若∠ABC=36°,∠ADC=16°,求∠P的度数.
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解:(3) ∠P=90°+ (∠B+∠D) 理由:∵ AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴ ∠PAB=∠PAD,∠PCB=∠PCE. ∴ 2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D. ∴ 180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B. ∵ ∠P+∠PAD=∠PCB+∠AOC=∠PCB+∠B+2∠PAD,∴ ∠P=∠PAD+∠B+∠PCB=∠PAB+∠B+∠PCB.
(3) ★如图③,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D之间的数量关系,并说明理由.
∴ ∠PAB+∠PCB=∠P-∠B. ∴ 180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B,即∠P=90°+ (∠B+∠D).
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类型三 “高+角平分线”模型
3. 如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=38°,∠C=64°.
(1) 求∠DAE的度数;
解:(1) ∵ ∠B=38°,∠C=64°,∴ ∠BAC=78°.
∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=39°.∴ ∠ADE=∠B+∠BAD=77°.
∵ AE⊥BC,∴ ∠AEB=90°.∴ ∠DAE=90°-∠ADE=13°
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(2) ★如图②,若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上,FE⊥BC”,∠B=α,∠C=β(α<β),请用含α、β的代数式表示∠DFE.
解:(2) ∵ ∠B=α,∠C=β,∴ ∠BAC=180°-α-β.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠BAD=∠CAD=90°- (α+β).∴ ∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°- (α+β).∵ FE⊥BC,∴ ∠FEB=90°.∴ ∠DFE=90°-∠ADE= (β-α)
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类型四 “折叠”模型
4. (1) 如图①,∠A=60°,若沿图中虚线DE截去∠A,则∠1+∠2= 240° .
240°
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(2) 如图②,∠A=60°,沿DE折叠△ABC,使点A落在点A'处.若∠1+∠2=110°,求∠B+∠C的度数.
解:(2) 如图②,连结AA'.∵ ∠1=∠DAA'+∠DA'A,∠2=∠EAA'+∠EA'A,
∴ ∠1+∠2=∠DAA'+∠DA'A+∠EAA'+∠EA'A=∠EAD+∠EA'D.
∵ ∠EAD=∠EA'D,∴ ∠1+∠2=2∠EAD=110°.∴ ∠EAD=55°.
∴ ∠B+∠C=180°-55°=125°
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(3) 如图③,沿DE折叠△ABC,使点A落在点A'处.若∠1=80°,∠2=28°,则∠A的度数为 26° .
26°
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类型五 角平分线模型
5. 如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1) 如果∠A=80°,那么∠BPC的度数为 130° ;
130°
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(2) 如图①,猜想∠A与∠BPC之间的数量关系,并说明理由;
解:(2) ∠BPC=90°+ ∠A 理由:∵ BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴ ∠PBC= ∠ABC,∠BCP= ∠ACB.
∵ ∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°,∴ ∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=180°- ∠ABC- ∠ACB=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A.
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(3) 如图②,△ABC的外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试探索∠Q与∠A之间的数量关系;
解:(3) ∵ 外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,∴ ∠QBC+∠QCB= (∠MBC+∠NCB)= (360°-∠ABC-∠ACB)= (180°+∠A)=90°+ ∠A.
∴ ∠Q=180°- =90°- ∠A
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(4) ★★在(3)的前提下,延长线段BP、QC交于点E,如图③所示,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的2倍,请直接写出∠A的度数.
解:(4) 60°或90°或120°
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8.1 与三角形有关的边和角
第1课时 认识三角形
第8章 三角形
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 如图,下列说法错误的是( C )
A. ∠A、∠B、∠ACB是△ABC的内角
B. ∠BCD是△ABC的外角
C. ∠BCD+∠ACB>180°
D. △ABC的三条边分别是AB、BC、AC
C
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2. 如图,CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列结论错误的是( C )
A. AB=2BF B. ∠ACE= ∠ACB
C. AE=BE D. CD⊥BE
C
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3. 有下列说法:① 一个等边三角形一定不是钝角三角形;② 一个钝角三角形一定不是等腰三角形;③ 一个等腰三角形一定不是锐角三角形;④ 一个直角三角形一定不是等腰三角形.其中,正确的有( A )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
A
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4. ★如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边BC的中点.若S△ABC=12,则图中涂色部分的面积是( C )
A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
C
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 如图,在△ABC中,AE⊥BC,垂足为E,D为边BC上的一点,则图中 △ABC、△ADC 是锐角三角形, △ABE、△ADE、△AEC 是直角三角形, △ABD 是钝角三角形.
△ABC、
△ADC
△ABE、△ADE、△AEC
△ABD
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6. 如图,AE是△ABC的边BC上的中线.若AB=8cm,△ACE的周长比△AEB的周长多2cm,则AC= 10 cm.
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7. 如图,△ABC的边BC上的高是线段 AF .
AF
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8. ★如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H. 给出下列结论:① BF=AF;② ∠AFG=∠AGF;③ ∠FAG=2∠ACF;④ S△ABE=S△BCE. 其中,正确的有 ②③④ (填序号).
②③④
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三、 解答题(共44分)
9. (12分)如图,在△ABC中,∠BAC是钝角,按下列要求画图,并用合适的符号在图中表示出来:① 作∠BAC的平分线;② 作边AC上的中线;③ 作边AC上的高;④ 作边AB上的高.
解:如图,AD为∠BAC的平分线,BF为边AC上的中线,BE为边AC上的高,
CM为边AB上的高
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10. (15分)如图,AD、AE分别是△ABC的高和中线,AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm,∠CAB=90°.求:
(1) AD的长;
解:(1) ∵ S△ABC= AB·AC= BC·AD,∴ AD= = =4.8(cm)
第10题
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(2) △ABE的面积;
解:(2) S△ABE= BE·AD= × BC·AD= BC·AD= ×10×4.8=12(cm2)
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(3) △ACE和△ABE的周长差.
解:(3) ∵ AE是△ABC的中线,∴ BE=CE. 将△ACE和△ABE的周长分别记为C△ACE和C△ABE,则C△ACE-C△ABE=AC+CE+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB=8-6=2(cm)
第10题
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11. ★(17分)如图,在△ABC中,AB=16cm,AC=20cm,D是BC的中点,点E在边AC上.
(1) 若△CDE的周长与四边形ABDE的周长相等,求AE的长;
解:(1) 由题图可知,△CDE的周长=CE+CD+DE,四边形ABDE的周长=AE+AB+BD+DE. ∵ △CDE的周长与四边形ABDE的周长相等,D为BC的中点,
∴ BD=CD,CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE,即CE=AE+AB. ∵ CE=AC-AE,∴ AC-AE=AE+AB.
∴ AE= (AC-AB).又∵ AB=16cm,AC=20cm,∴ AE=2cm
第11题
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(2) 连结BE,若△ABE的面积与△CDE的面积之间存在2倍关系,求AE的长.
解:(2) ∵ D是BC的中点,∴ S△BDE=S△CDE. 若△ABE的面积与△CDE的面积之间存在2倍关系,则可分两种情况进行讨论:① 当S△ABE=2S△CDE时,∵ S△BDE=S△CDE,
∴ S△ABE=S△BCE. ∴ AE=CE= AC=10cm.② 当2S△ABE=S△CDE时,同理,易得S△ABE= S△BCE,
∴ AE= AC=4cm.综上所述,AE的长为10cm或4cm
第11题
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第8章小测
第8章 三角形
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 若三条能组成三角形的线段的长分别是2、3、a,则a的取值不可能是( D )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. 若三角形三个内角的度数之比为1∶3∶4,则这个三角形一定是( B )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
D
B
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3. 如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E. 若∠B=30°,∠E=20°,则∠BAC的度数为( C )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
C
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4. 如图,在正五边形ABCDE中,延长AE、CD交于点F,则∠F 的度数是( A )
A. 36° B. 42° C. 48° D. 56°
5. 有下列四组多边形:① 正三角形与正方形;② 正三角形与正十二边形;③ 正方形与正六边形;④ 正八边形与正方形.其中,能铺满地面的是( B )
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③ D. ②③④
A
B
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12
二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BE是高,∠BAC=50°,∠EBC=20°,则∠ADC的度数为 85° .
85°
1
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3
4
5
6
7
8
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10
11
12
7. 如图,在△ABC中,D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,且S△ABC=4cm2,则涂色部分的面积为 1 cm2.
8. 已知一个多边形的每个外角都为36°,则从这个多边形的某个顶点画对角线,最多可以画出 7 条.
1
7
1
2
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4
5
6
7
8
9
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11
12
9. ★如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC和外角∠ACF. 有下列结论:① AD∥BC;② ∠BDC= ∠BAC;③ ∠ABD=∠ACD. 其中,正确的是 ①② (填序号).
①②
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12
三、 解答题(共46分)
10. (14分)如图,∠A=20°,∠B=27°,AC⊥DE,求∠1、∠D的度数.
第10题
解:∵ AC⊥DE,∴ ∠AFE=90°.∵ ∠1是△AEF的外角,∴ ∠1=∠A+∠AFE. ∵ ∠A=20°,∴ ∠1=20°+90°=110°.在△BDE中,∠1+∠D+∠B=180°.
∵ ∠B=27°,∴ ∠D=180°-110°-27°=43°
1
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12
11. ★(16分)若△ABC的三边长分别为m-2、2m+1、8.
(1) 求m的取值范围;
解:(1) 根据三角形的三边关系,得 解得3(2) 若△ABC的三边长均为整数,求△ABC的周长.
解:(2) ∵ △ABC的三边长均为整数,且31
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12
12. ★(16分)如图,在四边形ABCD中,∠D=90°,E是BC边上一点,EF⊥AE,交CD于点F.
(1) 若∠EAD=60°,求∠DFE的度数;
解:(1) ∵ EF⊥AE,∴ ∠AEF=90°.
∵ ∠D=90°,∠EAD=60°,四边形AEFD的内角和是360°,
∴ ∠DFE=360°-∠D-∠EAD-∠AEF=120°
第12题
1
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3
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12
(2) 若∠AEB=∠CEF,AE平分∠BAD,试说明:∠B=∠C.
解:(2) ∵ 四边形AEFD的内角和是360°,∠AEF=90°,∠D=90°,∴ ∠EAD+∠DFE=180°.
∵ ∠DFE+∠CFE=180°,∴ ∠EAD=∠CFE. ∵ AE平分∠BAD,∴ ∠BAE=∠EAD. ∴ ∠BAE=∠CFE.
∵ ∠B+∠BAE+∠AEB=180°,∠C+∠CFE+∠CEF=180°,∠AEB=∠CEF,∴ ∠B=∠C
第12题
1
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12(共10张PPT)
8.2 多边形的内角和与外角和
第2课时 多边形的外角和
第8章 三角形
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 在正八边形中,每个内角与每个外角的度数之比为( D )
A. 1∶3 B. 1∶2 C. 2∶1 D. 3∶1
2. (遂宁中考)佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术,得到一个内角和为1080°的正多边形图案,这个正多边形的每个外角的度数为( C )
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
D
C
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13
3. 如图,小明从点A出发沿直线前进10米到达点B,向左转45°后又沿直线前进10米到达点C,再向左转45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去,小明第一次回到出发点A时所走的路程为( B )
A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米
B
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13
4. 如图,在四边形ABCD中,∠B+∠CDA=140°,则∠α+∠β等于( D )
A. 260° B. 150° C. 135° D. 140°
D
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13
5. ★如图,在七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线相交于点O. 若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的度数之和为230°,则∠BOD的度数为( C )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
C
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13
二、 填空题(每题5分,共25分)
6. 如果一个多边形的每一个外角都是40°,那么这个多边形的边数为 9 .
7. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°,则该多边形的边数是 5 .
8. 若一个正多边形的一个内角比一个外角的6倍还大12°,则这个正多边形的内角和为 2340° .
9. 如图,在六边形ABCDEF中,AF∥BC,则∠1+∠2+∠3+∠4= 180 °.
9
5
2340°
180
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13
10. ★如图,在四边形ABCD中,∠A=70°,∠C=110°,∠ADE为四边形ABCD的一个外角,∠ABC与∠ADE的平分线相交于点F,则∠F= 70 °.
70
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6
7
8
9
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13
三、 解答题(共50分)
11. (16分)已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的4倍还大30°.
(1) 求这个多边形的边数;
(2) 从这个多边形的一个顶点引对角线,最多可以引 9 条.
解:(1) 设这个多边形的每一个内角都为α,则与其中一个内角相邻的外角为180°-α.依题意,得α=4(180°-α)+30°,解得α=150°.∴ 与其中一个内角相邻的外角为180°-150°=30°.∵ 多边形的外角和为360°,∴ 这个多边形的边数为360°÷30°=12
9
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13
12. (16分)如图,∠ABE=138°,∠BCF=98°,∠CDG=69°,求∠DAB的度数.
第12题答案
解:如图,延长BA. ∵ 多边形的外角和为360°,
∴ ∠ABE+∠BCF+∠CDG+∠1=360°.
∵ ∠ABE=138°,∠BCF=98°,∠CDG=69°,∴ ∠1=55°.
∵ ∠1+∠DAB=180°,∴ ∠DAB=180°-55°=125°
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13
13. ★(18分)如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数.
第13题
解:由题图可知,∠BNP=∠A+∠B,∠DPQ=∠C+∠D,∠FQM=∠E+∠F,∠HMN=∠G+∠H. ∵ ∠BNP+∠DPQ+∠FQM+∠HMN=360°,
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
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13(共13张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
第2课时 三角形的内角和
第8章 三角形
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 在Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=4∠C,则∠B的度数为( C )
A. 45° B. 60° C. 72° D. 84°
2. 下列叙述正确的是( D )
A. 钝角三角形的三个内角都是钝角
B. 三角形中最小的两个内角的和必定大于90°
C. 钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和
D. 三角形的三个内角中至少有两个锐角
C
D
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12
3. 在△ABC中,下列条件能说明△ABC是直角三角形的为( B )
A. ∠A=35°,∠B=65° B. ∠A=∠B+∠C
C. ∠A=∠B=∠C D. ∠A=2∠B=3∠C
B
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12
4. ★如图,将△ABC沿DE、EF翻折,顶点A、B均落在点O处,且EA与EB重合于线段EO. 若∠DOF=140°,则∠C的度数为( A )
A. 40° B. 45° C. 50° D. 60°
A
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5. ★在Rt△ABC中,∠A∶∠B=1∶2,则两个锐角的度数为( C )
A. 45°和45° B. 30°和60°
C. 45°和45°或30°和60° D. 以上说法都不对
C
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12
二、 填空题(每题6分,共24分)
6. (遂宁中考)若三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3,则这个三角形是 直角 三角形.
7. (凉山中考)如图,在△ABC中,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线.若∠BCD=30°,∠ACB=80°,则∠AEB的度数是 100° .
直角
100°
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12
8. 如图,DE⊥AB,垂足为E,∠A=48°,∠ACB=64°,则∠D的度数为 22° .
22°
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11
12
9. ★如图,在△ABC中,∠ADC=∠C=80°,∠BAD= ∠DAC,BE平分∠ABC,交AD于点E,则∠BED的度数为 45° .
45°
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三、 解答题(共46分)
10. (14分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC,且∠CAD=∠CBD,试说明:△ABD是直角三角形.
第10题
解:在Rt△ABC中,∵ ∠BAC=90°,∴ ∠BAD+∠CAD=90°.∵ BD平分∠ABC,∴ ∠ABD=∠CBD. ∵ ∠CAD=∠CBD,∴ ∠ABD=∠CAD.
∴ ∠BAD+∠ABD=90°.∴ △ABD是直角三角形
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11. ★(16分)如图,在△ABC中,CD是角平分线,点E、F分别在边AB、AC上,CD、BF相交于点G,∠BGC+∠EFB=180°.
(1) 试说明:∠ACD=∠AFE;
解:(1) ∵ ∠BGC+∠EFB=180°,∠BGC+∠CGF=180°,
∴ ∠CGF=∠EFG. ∴ EF∥DC. ∴ ∠ACD=∠AFE
第11题
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12
(2) 若∠A=60°,∠ABC=70°,求∠BEF的度数.
解:(2) ∵ ∠A=60°,∠ABC=70°,∴ ∠ACB=180°-∠A-∠ABC=50°.∵ CD是角平分线,∴ ∠ACD= ∠ACB=25°.
∴ ∠AFE=∠ACD=25°.∴ ∠AEF=180°-60°-25°=95°.
∴ ∠BEF=180°-95°=85°
第11题
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12
12. ★(16分)如图,AD是△ABC的高,△ABC的两条角平分线AE、BF相交于点O,∠BAC=60°,∠C=70°.求:
(1) ∠EAD的度数;
解:(1) ∵ AD是△ABC的高,∴ ∠ADC=90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠CAD=180°,∠C=70°,∴ ∠CAD=180°-90°-70°=20°.∵ AE平分∠BAC,∠BAC=60°,∴ ∠EAC= ∠BAC=30°.∴ ∠EAD=∠EAC-∠CAD=10°
第12题
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12
(2) ∠AOB的度数.
解:(2) ∵ ∠ABC+∠C+∠BAC=180°,∠C=70°,∠BAC=60°,
∴ ∠ABC=180°-70°-60°=50°.∵ AE、BF分别平分∠BAC、∠ABC,AE、BF相交于点O,∴ ∠BAO= ∠BAC=30°,∠ABO= ∠ABC=25°.
∵ ∠ABO+∠BAO+∠AOB=180°,∴ ∠AOB=180°-25°-30°=125°
第12题
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12(共15张PPT)
8.1 与三角形有关的边和角
第3课时 三角形的外角和
第8章 三角形
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 在△ABC中,外角∠ACD=120°,∠B=40°,则∠A的度数为( D )
A. 85° B. 75° C. 40° D. 80°
D
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2. (聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A、B作AD∥BE. 若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠C的度数为( B )
A. 65° B. 75° C. 85° D. 95°
B
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12
3. 如图,点D在△ABC的边AB的延长线上,且DE∥BC. 若∠A=35°,∠C=24°,则∠D的度数为( B )
A. 24° B. 59° C. 60° D. 69°
B
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12
4. 如图,线段DG、EM、FN两两相交于B、C、A三点,则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是( B )
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
B
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5. ★如图,在锐角三角形ABC中,CD和BE分别是AB和AC边上的高,且CD和BE交于点P. 若∠ABC+∠ACB=130°,则∠BPC的度数是( D )
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
D
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12
二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 在△ABC中,∠A、∠B、∠C的外角度数之比为3∶5∶7,则△ABC是 钝角 三角形.
7. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中一块三角尺的直角边EF落在另一块三角尺的斜边AC上,边BC与DF交于点O,则∠BOD的度数是 105° .
钝角
105°
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12
8. ★如图,有下列结论:① ∠A>∠ACD;② ∠AED>∠B+∠D;③ ∠B+∠ACB<180°;④ ∠HEC>∠B. 其中,正确的是 ②③④ (填序号).
②③④
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5
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7
8
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11
12
9. ★如图①②③,∠A=50°,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠O1+∠O2+∠O3= 205 °.
205
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11
12
三、 解答题(共46分)
10. (14分)如图,在△ABC中,BD是AC边上的高,∠A=68°.
(1) ∠ABD的度数为 22° ;
第10题
22°
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解:∵ BD⊥AC,∴ ∠ADB=∠CDB=90°.∵ ∠BEC是△DEC的外角,∠BEC=122°,∴ ∠DCE=∠BEC-∠BDC=32°.∵ CE平分∠ACB,
∴ ∠ACB=2∠DCE=64°
(2) 若CE平分∠ACB交BD于点E,∠BEC=122°,求∠ACB的度数.
第10题
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11. (16分)如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.
(1) 若∠B=35°,∠E=25°,求∠BAC的度数;
解:(1) ∵ ∠ECD=∠B+∠E,∠B=35°,∠E=25°,
∴ ∠ECD=60°.∵ CE平分∠ACD,∴ ∠ACE=∠ECD=60°.
∴ ∠BAC=∠ACE+∠E=60°+25°=85°
第11题
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12
(2) ★请你写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系,并说明理由.
解:(2) ∠BAC=∠B+2∠E 理由:
∵ ∠BAC=∠ACE+∠E,∠ACE=∠ECD=∠B+∠E,
∴ ∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.
第11题
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12
12. ★(16分)如图,点D在△ABC的边BA的延长线上,点E在边BC上,连结DE交AC于点F,∠C=∠D.
(1) 试说明:∠DAC=∠CED;
解:(1) ∵ ∠DAC是△ABC的外角,∴ ∠DAC=∠B+∠C. ∵ ∠CED是△BDE的外角,∴ ∠CED=∠B+∠D.
又∵ ∠C=∠D,∴ ∠DAC=∠CED
第12题
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12
(2) 若∠AFD=66°,∠DFC=3∠B,求∠BED的度数.
解:(2) ∵ ∠AFD=66°,∴ ∠DFC=114°.
∵ ∠DFC=3∠B,∴ ∠B= ∠DFC= ×114°=38°.在△ADF中,∠DAF+∠D+∠AFD=180°.
∵ ∠DAF=∠B+∠C,∠C=∠D,
∴ ∠B+∠C+∠C+∠AFD=180°,即38°+2∠C+66°=180°.∴ ∠C=38°.∴ ∠D=38°.在△BED中,∠B=38°,∠D=38°,∴ ∠BED=180°-∠B-∠D=180°-38°-38°=104°
第12题
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12(共9张PPT)
8.3 用正多边形铺设地面
第8章 三角形
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 用一种正多边形能铺满地面的条件是( C )
A. 内角的度数都是整数 B. 边数是3的整数倍
C. 内角的度数能整除360° D. 内角的度数能整除180°
2. 下列多边形材料中,不能单独用来铺满地面的是( C )
A. 三角形 B. 四边形
C. 正五边形 D. 正六边形
C
C
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12
3. 能够铺满地面的正多边形组合是( D )
A. 正三角形和正五边形 B. 正方形和正六边形
C. 正方形和正五边形 D. 正三角形和正方形
4. 下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是( D )
A. 2个正八边形和1个正三角形 B. 3个正方形和2个正三角形
C. 1个正五边形和1个正十边形 D. 2个正方形和3个正三角形
5. ★一幅平面图案,在某个顶点处由四个正多边形镶嵌而成,其中的三个分别为正三角形、正方形、正六边形,那么另外一个为( B )
A. 正三角形 B. 正方形
C. 正五边形 D. 正六边形
D
D
B
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3
4
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9
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11
12
二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 如果用边长相等的1个正三角形和2个正n边形进行图形的镶嵌,那么n= 12 .
7. 用三块正多边形木板铺地,拼在一起的三块正多边形木板顶点重合,且各边完全吻合,其中两块木板的边数分别是4和6,则第三块木板的边数是 12 .
8. 如图所示为正在铺设的人行道上地板砖的一部分,它是由正六边形和四边形镶嵌而成的图形,则图中的四边形ABCD中的锐角∠BAD的度数为 60° .
12
12
60°
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9. ★给出一些如图所示的边长均为1的正三角形、正六边形卡片,要求必须同时使用这两种卡片,不重叠、无缝隙,围绕某一个顶点拼在一起,拼成一个平面图案,则共能拼出 3 种不同的图案,其中所拼的图案中最大的周长为 10 .
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三、 解答题(共46分)
10. (14分)用同样的正三角形或正方形都可以铺满地面,但用同样的正十二边形或同样的正八边形均不能铺满地面.
(1) 用边长相等的正三角形和正十二边形的组合能否铺满地面 如果能,请举例说明;如果不能,请说明理由.
解:(1) 能 ∵ 正三角形的每个内角是60°,正十二边形的每个内角是150°,且60°+2×150°=360°,∴ 在一个顶点处用边长相等的1个正三角形和2个正十二边形的组合能铺满地面
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(2) 用边长相等的正方形和正八边形的组合能否铺满地面
解:(2) ∵ 正方形的每个内角是90°,正八边形的每个内角是135°,且90°+2×135°=360°,∴ 用边长相等的正方形和正八边形的组合能铺满地面
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11. ★(16分)某学校艺术馆的地板由三种不同的正多边形小木板各用一块围绕同一个顶点铺成,设这三种正多边形的边数分别为x、y、z,求 + + 的值.
解:由题意,知这三种正多边形小木板的3个内角之和为360°.∵ 这三种正多边形的边数分别为x、y、z,∴ + + =360°.两边都除以180°,得1- +1- +1- =2,∴ + + =
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12. ★(16分)已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,正多边形A的一个内角的度数是正多边形B的一个内角度数的1.5倍.
(1) 试分别确定正多边形A、B的形状;
解:(1) 设正多边形B的一个内角的度数为x,则正多边形A的一个内角的度数为1.5x.∵ 2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点铺满地面,
∴ 2×1.5x+3x=360°,解得x=60°.∴ 1.5x=90°.∴ 正多边形A是正方形,正多边形B是正三角形
(2) 画出用这5个正多边形绕一点铺满地面的图形(画出一种即可).
解:(2) 答案不唯一,如图所示
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12(共12张PPT)
8.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形及其内角和
第8章 三角形
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. (云南中考)一个七边形的内角和等于( B )
A. 540° B. 900°
C. 980° D. 1080°
B
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2. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α与∠β的数量关系为( B )
A. ∠α+∠β=180° B. ∠α+∠β=225°
C. ∠α+∠β=270° D. ∠α=∠β
B
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3. 如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P的度数是( A )
A. 60° B. 65°
C. 55° D. 50°
A
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4. 平面上六个点A、B、C、D、E、F构成如图所示的图形,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是( D )
A. 135° B. 180°
C. 200° D. 360°
D
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5. ★(河北中考)如图,直线l与正六边形ABCDEF的边AB、EF分别相交于点M、N,则α+β的度数为( B )
A. 115° B. 120°
C. 135° D. 144°
B
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 若从多边形的一个顶点出发可以画6条对角线,则这个多边形的内角和为 1260° .
7. 已知一个五边形的三个内角是直角,另外两个内角的度数都是n°,则n= 135 .
1260°
135
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8. ★(长春中考)如图,将正五边形纸片ABCDE折叠,使点B与点E重合,折痕为AM,展开后,再将纸片折叠,使边AB落在线段AM上,点B的对应点为B',折痕为AF,则∠AFB'的度数为 45° .
45°
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9. ★如图,若四边形ABCD各内角的平分线相交得到四边形EFGH,则∠F+∠H的度数为 180° .
180°
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三、 解答题(共46分)
10. (23分)如图,如果从一个五边形中切去一个三角形,得到一个三角形和一个新多边形,那么这个新多边形的内角和是多少 请画图说明.
解:分三种情况:如图①,新多边形为四边形,则内角和为360°;如图②,新多边形为五边形,则内角和为(5-2)×180°=540°;如图③,新多边形为六边形,则内角和为(6-2)×180°=720°
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11. ★(23分)如图,根据两名同学的对话,回答下列问题:
(1) 内角和为2025°,小明为什么说不可能
解:(1) ∵ n边形的内角和是(n-2)·180°,∴ 内角和一定是180°的倍数.
∵ 2025÷180=11……45,∴ 内角和为2025°不可能
(2) 小华求的是几边形的内角和
解:(2) 设多边形的边数为n.由题意,得2025°-180°<(n-2)·180°<2025°,解得12 1
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(3) 错加的锐角的度数你能求出来吗 是多少度呢
第11题
解:(3) 能 ∵ 十三边形的内角和是(13-2)×180°=1980°,∴ 2025°-1980°=45°.∴ 错加的锐角的度数为45°
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