(共14张PPT)
9.3 旋 转
第2课时 旋转的特征
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 如图,将直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB'C'的位置,点B'恰好落在CA的延长线上,∠B=30°,∠C=90°,则∠BAC'的度数为( B )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
B
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2. 如图,在4×4的正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度后得到△M1N1P1(点P、M、N的对应点分别是P1、M1、N1),则其旋转中心是( B )
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点D
B
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3. 如图,将△ABC绕点A顺时针旋转100°得到△ADE. 若点E恰好在CB的延长线上,则∠BED的度数为( A )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
A
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4. ★(天津中考)如图,在△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A、B的对应点分别为D、E,延长BA交DE于点F. 下列结论一定正确的是( D )
A. ∠ACB=∠ACD B. AC∥DE
C. AB=EF D. BF⊥CE
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 如图,在Rt△OAB中,∠AOB=30°,将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1,则∠A1OB的度数为 70° .
70°
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6. 如图,将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC. 若AB=5,AC=4,BC=3,则线段BE的长为 7 .
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7. 如图,AO为∠BAC的平分线且∠BAC=50°,将四边形ABOC绕点A逆时针旋转后,得到四边形AB'O'C',且∠OAC'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是 75° .
75°
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8. ★如图,在△ADE中,∠DAE=80°,将△ADE绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到△ABC. 若AC平分∠DAE,则α= 40° ;若AC平分∠BAE,则α= 80° .
40°
80°
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三、 解答题(共44分)
9. (14分)如图,在△ABC中,∠B=10°,∠ACB=20°,AB=4cm,△ABC经逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且C恰好为AD的中点.
(1) 指出旋转中心,并求出旋转的角度;
解:(1) 旋转中心是点A. 根据旋转的特征,可知∠CAE=∠BAD=180°-∠B-∠ACB=150°.∴ 旋转的角度是150°
第9题
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(2) 求∠BAE的度数和AE的长.
解:(2) 由(1),知∠BAE=360°-150°×2=60°.由旋转的特征,可知AB=AD,AC=AE. 又∵ C为AD的中点,∴ AC=AE= AB= ×4=2(cm)
第9题
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10. (15分)如图,在由边长均为1个单位的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).
(1) 将△ABC先向上平移6个单位,再向右平移3个单位,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
解:(1) △A1B1C1如图所示
(2) 将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°,
得到△A2B1C2,请画出△A2B1C2.
解:(2) △A2B1C2如图所示
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11. ★(15分)如图,将△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD处,使得点C落在AB的延长线上的点D处,△ABC的边BC恰好是∠EBD的平分线.
(1) 求∠CBD的度数;
解:(1) ∵ 将△ABC绕点B顺时针旋转至△EBD处,
∴ ∠ABE=∠CBD. ∵ BC平分∠EBD,∴ ∠EBC=∠CBD. ∴ ∠ABE=∠CBD=∠EBC.
∵ ∠ABE+∠CBD+∠EBC=180°,
∴ ∠CBD=∠ABE=∠EBC=60°
第11题
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(2) 设BE与AC的交点为P,试说明:∠APB>∠A.
解:(2) ∵ ∠APB=∠PBC+∠C=60°+∠C,∠A=∠CBD-∠C=60°-∠C,∴ ∠APB>∠A
第11题
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9.1 轴 对 称
第3课时 作轴对称图形
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 下列图形中,点A与点B关于直线l对称的是( A )
2. 下列各组图形中,△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称的是( B )
A
B
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3. 如图,C、E是直线l两侧的点,以点C为圆心、CE的长为半径画弧,交直线l于A、B两点,再分别以点A、B为圆心、大于 AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连结CA、CB、CD,则下列结论不一定正确的是( C )
A. CA=CB B. CD⊥直线l
C. 点C、D关于直线l对称 D. 点A、B关于直线CD对称
C
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4. ★如图,A、B是直线l外不重合的两点,在直线l上求作一点C,使得AC+BC的值最小.作法如下:① 作点B关于直线l的对称点B';② 连结AB'与直线l相交于点C,则C为所求作的点.在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D )
A. 转化思想
B. 三角形的两边之和大于第三边
C. 两点之间,线段最短
D. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D
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二、 填空题(每题7分,共21分)
5. 画△ABC关于直线l的对称图形,至少要先画它的 一 个顶点关于直线l的对称点.
6. 如图,有一个英语单词中的四个字母都关于直线l对称.补全字母后可以发现这个单词所指的物品是 书 .
一
书
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7. ★如图,在3×3方格图中,将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形共有 3 个.
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三、 解答题(共51分)
8. (15分)按要求作图:
(1) 如图①,把该图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形;
解:(1) 如图①所示
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(2) 如图②,作四边形ABCD关于直线l对称的图形.
解:(2) 如图②,四边形A'B'C'D'即为所求作
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9. (16分)如图,网格图中每个小正方形的边长均为1,A、B、C都是格点(网格线的交点).
(1) 在图中画出△ABC关于直线MN的对称图形△A1B1C1(要求点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1相对应);
解:(1) 如图,△A1B1C1即为所求作
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(2) 求△ABC的面积.
解:(2) S△ABC=5×4- ×3×5- ×1×4- ×1×4=
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10. ★(20分)如图,△ABC的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上,我们把△ABC称为格点三角形,请你分别在图①、图②、图③的正方形网格中作一个格点三角形与△ABC成轴对称(所作图形不能重复),并画出对称轴.
解:答案不唯一,如图所示
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10(共12张PPT)
9.1 轴 对 称
第2课时 轴对称的再认识
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 在线段、角、等腰三角形、长方形这4种图形中,轴对称图形有( D )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
D
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2. 如图,△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,P为直线MN上任意一点,则下列结论中,错误的是( D )
A. AP=A'P
B. MN垂直平分AA'、CC'
C. △ABC与△A'B'C'的面积相等
D. 直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
D
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3. 如图,将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是( A )
A
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4. ★已知两条互不平行的线段AB、A'B'关于直线l对称,AB和A'B'所在的直线交于点P. 有下列结论:① AB=A'B';② 点P在l上;③ 若A、A'是一对对称点,则l垂直平分线段AA';④ 若B、B'是一对对称点,则PB=PB'.其中,正确的是( D )
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②③④
D
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二、 填空题(每题7分,共21分)
5. 我国传统房屋的木制窗户常用各种图案装饰.如图所示为一种常见的装饰图案,则这个图案有 2 条对称轴.
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6. 如图,△ABC和△ADC关于直线l成轴对称,且AD∥BC. 有下列结论:① AB∥CD;② AB=BD;③ AC⊥BD;④ BO=OD. 其中,正确的是 ①③④ (填序号).
①③④
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7. ★(绥化中考)如图,∠AOB=50°,P为∠AOB内部一点,M、N分别为射线OA、OB上的动点,则当△PMN的周长最小时,∠MPN的度数为 80° .
80°
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三、 解答题(共51分)
8. (15分)在如图所示的图形中,哪些是轴对称图形 是轴对称图形的,画出它的所有对称轴.
解:题图①②③④都是轴对称图形,对称轴如答案图所示
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9. (16分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,完成尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
(1) 求作线段AB的垂直平分线;
解:(1) 如答案图,直线DE即为所求作
(2) 求作∠BAC的平分线.
解:(2) 如答案图,射线AF即为所求作
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10. (20分)如图,这些图形都是正多边形.
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请通过观察或折纸的方法找出它们的对称轴,并完成下表:
正多边形的边数 3 4 5 6 7 8 … n
对称轴的条数 3 4 5 6 7 8 … n
通过以上探究,你可以得到关于正多边形的对称轴的什么结论
解:正多边形的对称轴的条数等于其边数
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n
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9.5 图形的全等
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 下列各选项中的两个图形属于全等图形的是( B )
B
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2. 如图,将△ABC沿边BC所在的直线向右平移到△DEF处,则下列结论中,不一定成立的是( A )
A. BE=EC B. BC=EF
C. AC=DF D. △ABC≌△DEF
A
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3. 如图,△ABC≌△DEC,过点A作AF⊥CD,垂足为F. 若∠BCE=65°,则∠CAF的度数为( A )
A. 25° B. 30° C. 35° D. 65°
A
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4. 如图所示的两个三角形全等,则∠E的度数为( B )
A. 80° B. 70° C. 60° D. 50°
B
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5. ★如图,△ABC≌△CED,点A在CE边上,∠CAB+∠E=90°,ED与AB交于点F,则下列结论不一定正确的是( D )
A. DE=BC B. ∠D=90°
C. ∠BFD+∠B=∠ACD D. EF=FB
D
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. (成都中考)如图,△ABC≌△DEF,点B、E、C、F在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为 3 .
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7. 如图,△ABC≌△ADE,且AE∥BD,∠ADB=45°,则∠BAC的度数为 45° .
45°
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8. ★(成都中考)如图,△ABC≌△CDE. 若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 100° .
100°
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9. ★如图,在△ABC中,∠B=50°,将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△ADE(点B、C的对应点分别为D、E),且∠E=30°,则∠CAD的度数为 50° .
50°
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三、 解答题(共46分)
10. (14分)如图,在网格图中画出一个与已知四边形ABCD全等的四边形.
解:如图,四边形A1B1C1D1即为所求作的图形(四边形A1B1C1D1的位置不唯一)
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11. (16分)如图,△ABC≌△DEF,其中点A、E、B、D在同一条直线上.
(1) 若FE⊥AD,∠F=58°,求∠A的度数;
解:(1) ∵ FE⊥AD,∴ ∠DEF=90°.∴ ∠D=90°-∠F=90°-58°=32°.∵ △ABC≌△DEF,
∴ ∠A=∠D=32°
第11题
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(2) 若AD=9cm,BE=5cm,求AE的长.
解:(2) ∵ △ABC≌△DEF,∴ AB=DE. ∴ AB-EB=DE-EB,即AE=BD.
∴ AE+BE+BD=2AE+BE=AD=9cm.∵ BE=5cm,
∴ AE=2cm
第11题
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12. (16分)如图,A、D、E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE.
(1) 试说明:BD=DE+CE.
解:(1) ∵ △BAD≌△ACE,∴ BD=AE,AD=CE.
∴ BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE
第12题
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(2) 当△ABD满足什么条件时,BD∥CE 请说明理由.
解:(2) 当△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE 理由:
∵ △BAD≌△ACE,∴ ∠E=∠ADB=90°.
∴ ∠BDE=180°-90°=90°=∠E. ∴ BD∥CE.
第12题
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12(共13张PPT)
9.3 旋 转
第3课时 旋转对称图形
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 如图所示的图形中,是旋转对称图形的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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2. 下列图形绕某点旋转90°后,不能与原来的图形重合的是( A )
A
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3. 如图所示的剪纸图案是一个旋转对称图形,将其绕中心旋转一定角度后,依然与原图形重合,则这个角度不可以是( B )
A. 60° B. 90°
C. 120° D. 180°
B
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4. ★数学课上,老师让同学们观察如图所示的图形,并猜测它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合.甲说:“45°.”乙说:“60°.”丙说:“90°.”丁说:“135°.”以上四名同学中,回答错误的是( B )
A. 甲 B. 乙
C. 丙 D. 丁
B
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 如图所示的交通标志图案中,是轴对称图形的为 ①②④ ,是旋转对称图形的为 ②③ (填序号).
①②④
②③
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6. 如图所示的旋转对称图形可以看作是由字母“Y”绕旋转中心依次旋转 36 °得到的.
36
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7. 如图所示的五角星图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合,则n的最小值为 72 .
72
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8. ★如图,正方形ABCD与正方形EFGH的边长相等.有下列说法:① 这个图形可以看成是由正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°的前、后图形共同组成的;② 这个图形可以看成是由△ABC绕点O顺时针分别旋转45°、90°、135°、180°、225°的前、后图形共同组成的;③ 这个图形可以看成是由△BOC绕点O顺时针分别旋转45°、90°、135°、180°、225°、270°、315°的前、后图形共同组成的.其中,正确的是 ①②③ (填序号).
①②③
第8题
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三、 解答题(共44分)
9. (14分)在如图所示的图形中,哪些是旋转对称图形 请在图中标出各自的旋转中心,它们分别至少旋转多少度才能与原图形重合
解:①②③④是旋转对称图形 如图,各图形中点O是各自的旋转中心,它们分别至少旋转 90°、120°、60°、90°才能与原图形重合
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10. (15分)在如图所示的网格图中有四个三角形.
(1) 请你把图补充成旋转对称图形.
解:(1) 如图所示
(2) 将(1)中所画的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形的对称轴的数量.这个整体图形至少旋转多少度后才能与自身重合
解:(2) 4条 这个整体图形至少旋转90°后才能与自身重合
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11. (15分)如图,正方形ABCD的边长为2cm,以各边中心为圆心,1cm为半径依次作 圆,将正方形分成四部分.
(1) 这个图形 是 旋转对称图形(填“是”或“不是”);若是,则旋转中心是点 O ,最小旋转角是 90 °.
第11题
是
O
90
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解:图形OBC的周长=BC+ 圆的周长=(2+π)cm;图形OBC的面积= S正方形ABCD= ×2×2=1(cm2)
(2) 求图形OBC的周长和面积.
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11(共15张PPT)
阶段检测(9.3~9.5)
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 下列各组中的两个图形属于全等图形的是( B )
B
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2. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为( B )
3. 下列说法正确的是( C )
A. 形状相同的两个图形一定全等 B. 两个长方形是全等图形
C. 两个全等图形面积一定相等 D. 两个正方形一定是全等图形
4. 正六边形绕其中心旋转一定角度后,与自身重合,则旋转角至少为( B )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 180°
B
C
B
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12
5. 如图,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得到△A'B'C,A'B'交AC于点D. 若∠A'DC=90°,则∠A的度数为( C )
A. 35°
B. 75°
C. 55°
D. 65°
第5题
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 如图所示为某公园中成中心对称的观赏鱼池,涂色部分为观赏喂鱼台.已知OA=OB=2m,则涂色部分的面积为 8π m2.
8π
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7. 如图,△ABE≌△FDC,∠FCD=30°,∠A=80°,则∠ABE的度数是 70° .
70°
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8. ★如图是由五个形状、大小都相同的正方形组成的图形,如果去掉其中一个正方形,使得剩下的图形是一个中心对称图形,那么不同的去法有 2 种.
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9. ★如图,△ABC与△DEC关于点C成中心对称,AG为△ABC的高.若CE=5,AG=2,则S△DEC= 5 .
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三、 解答题(共46分)
10. (14分)如图,A、D、E三点在同一条直线上,且△ABD≌△CAE.
(1) 若BD=6,CE=4,求DE的长;
解:(1) ∵ △ABD≌△CAE,BD=6,CE=4,
∴ AE=BD=6,AD=CE=4.∴ DE=AE-AD=2
第10题
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(2) 若BD∥CE,求∠BAC的度数.
解:(2) ∵ BD∥CE,∴ ∠BDE=∠CEA.
∵ △ABD≌△CAE,∴ ∠ADB=∠CEA,∠ABD=∠CAE.
∴ ∠ADB=∠BDE. ∵ ∠ADB+∠BDE=180°,
∴ ∠ADB=90°.∴ ∠ABD+∠BAD=90°.
∴ ∠BAC=∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°
第10题
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11. (16分)在如图所示的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,图形①②③均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫做格点).
(1) 图形①经过 平移 (填“平移”“轴对称”或“旋转”)变换可以得到图形②;
(2) 图形③是由图形①经过一次顺时针旋转变换得到的,其旋转中心是点 D (填“A”“B”“C”或“D”),旋转角度为 90° (小于360°);
平移
D
90°
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(3) 在图中画出图形①关于直线l成轴对称的图形④.
解:如图,图形④即为所求作
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12. ★(16分)翻折、平移、旋转是构造全等图形的常用变换方法.四边形ABCD是边长为4cm的正方形,点E、B、C在同一条直线上,将△ABE通过一定的变换得到如图所示的图形.
(1) 将△ABE绕点A逆时针旋转 90° 可得△ADN;将△ABE向右平移 4 cm可得△DCM;
第12题
90°
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(2) 如果M为边BC的中点,求四边形AECD的面积;
解:(2) ∵ M为边BC的中点,∴ BM=CM=2cm.
∴ BE=CM=2cm.∴ 四边形AECD的面积=S△ABE+S正方形ABCD= ×2×4+42=20(cm2)
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(3) 设AN交DM于点F,试判断线段AN与DM之间的关系,并说明理由.
解:(3) AN=DM且AN⊥DM 理由:∵ 将△ABE绕点A逆时针旋转90°可得△ADN,将△ABE向右平移4cm可得△DCM,∴ △ADN≌△ABE≌△DCM.
∴ ∠DAN=∠CDM,AN=DM. ∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ ∠ADC=90°,即∠CDM+∠ADM=90°.
∴ ∠ADM+∠DAN=90°.∴ ∠AFD=90°.∴ AN⊥DM.
第12题
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12(共15张PPT)
9.2 平 移
第2课时 平移的特征
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. (南充中考)如图,将△ABC沿BC向右平移得到△DEF. 若BC=5,BE=2,则CF的长是( A )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 5
A
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2. 如图,将△ABC沿AB方向平移后,到达△BDE的位置.若∠CAB=50°,∠ABC=100°,则∠CBE的度数为( A )
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
A
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3. 如图,在△ABC中,BC=6cm,将△ABC以2cm/s的速度沿BC所在的直线向右平移,得到△DEF,连结AD. 设平移时间为ts(0A. 6 B. 1 C. 2 D. 3
C
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4. 如图,将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF,给出下列结论:① AD=CF;② AC∥DF;③ ∠ABC=∠DEF;④ ∠DAE=∠AEB. 其中,正确的有( D )
A. ①② B. ①②③
C. ①②④ D. ①②③④
D
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 如图,△ABC的边BC长为4cm,将△ABC向上平移2cm得到△A'B'C',且BB'⊥BC,则涂色部分的面积为 8 cm2.
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6. 如图,△ADE是由△DBF沿射线BD的方向平移得到的,AE、BF的延长线相交于点C. 若∠BFD=45°,则∠C的度数为 45° .
45°
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7. 如图,将周长为8cm的△ABC沿边BC向右平移2cm,得到△DEF,连结AD,则四边形ABFD的周长为 12 cm.
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8. ★某宾馆在重新装修后,准备在大厅的楼梯上铺上某种地毯.已知这种地毯每平方米的售价是30元,楼梯的宽为2m,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要 480 元.
480
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11
三、 解答题(共44分)
9. (12分)如图,将△ABC向右平移得到△DEF,A、D两点之间的距离为1,CE=2,∠A=70°.
(1) AC和DF的数量关系为 AC=DF ;AC和DF的位置关系为 AC∥DF .
第9题
(2) ∠1的度数为 110° .
AC=DF
AC∥DF
110°
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(3) 求BF的长.
解:根据题意,得BE=CF=AD=1.∵ CE=2,∴ BF=BE+CE+CF=4
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10. (12分)平移△ABC,使得△ABC的边AB移到DE的位置,BC移到EF的位置.如图所示为小明的作业,他的做法完全正确,可由于不小心,一团墨汁污染了作业本,请你设法帮小明补全平移前、后的图形.
解:如图,先补全△ABC,然后连结AD,过点B作AD的平行线,过点D作AB的平行线,两线交点即为点E,连结EF、DF,即得△DEF
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11. ★★(20分)如图①,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(涂色部分).如图②,将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(涂色部分).
(1) 如图③,画出将折线A1A2A3A4向右平移1个单位得到的图形,并用涂色画出由这两条折线所围成的封闭图形;
(2) 设上述三个图形中,长方形ABCD分别除去涂色部分后剩余部分的面积记为S1、S2、S3,则S1= 9 ,S2= 9 ,S3= 9 ;
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解:(1) 如答案图①所示
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11
(3) 如图④,在一块长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),则草地部分的面积是 b(a-1) (用含a、b的代数式表示);
b(a-1)
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11
解:(4) 如答案图②,把两条“之”字路平移到长方形地块ABCD的最上边和最左边,则余下部分EFCG是长方形.∵ CF=32-2=30(m),CG=20-2=18(m),∴ 长方形EFCG的面积为30×18=540(m2),即绿化的面积为540m2
(4) 如图⑤,某住宅小区内有一长方形地块,想在该长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路,余下部分进行绿化,道路的宽为2m,求绿化的面积.
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11(共11张PPT)
9.1 轴 对 称
第4课时 设计轴对称图案
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 下列图案为轴对称图形的是( A )
A
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2. 如图,要在一块长方形空地上修建一个花坛,要求花坛图案为轴对称图形,则图中的设计符合要求的有( A )
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
A
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3. 中华文化底蕴深厚,地方文化活动丰富多彩.下列四幅简笔画是从我国地方文化活动中抽象出来的,其中是利用轴对称设计的为( C )
C
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4. 如图,在由相同的小正方形组成的网格中,选择标有序号①②③④的小正方形中的一个进行涂色,使其与图中涂色部分构成轴对称图形,则所有的涂法有( C )
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
C
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10
二、 填空题(每题7分,共21分)
5. 如图所示的图案中,利用轴对称进行设计的是 ①②④ (填序号).
①②④
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6. 认真观察如图所示的4个图中涂色部分构成的图案(图中小正方形的边长均为1),写出它们都具有的两个共同特征,特征1: 都是轴对称图形 ;特征2: 面积都为4 .(答案不唯一)
都是轴对称图形
面积都
为4
(答案不唯一)
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7. ★如图,在正方形方格中,涂色部分是由7个被涂色的小正方形组成的图案,再将方格内一个空白的小正方形涂上色,则使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂色方案有 3 种.
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三、 解答题(共51分)
8. (15分)如图是由三个小正方形组成的图案,请在图中补画一个小正方形,使补画后的图案是轴对称图形.请用三种不同方法补画图形,并画出各自的对称轴.
解:答案不唯一,如图所示
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9. (18分)如图所示为“钻石”形网格(由边长都为1的等边三角形组成),其中已经涂灰了三个小三角形,请你分别采用不同涂法在甲、乙、丙中再涂一个小三角形,使得它与灰色部分合起来所构成的图形是轴对称图形.
解:如图所示
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10
10. (18分)在学习“轴对称”时,王老师让同学们寻找身边的轴对称图形.如图,小明有一副三角尺和一个量角器.
(1) 小明的这三件文具中,可以看成轴对称图形的是 ②③ (填序号);
(2) 请用①②③中的两件拼成一个轴对称图形,并画出来(画出一种即可).
解:拼法不唯一,如答案图所示
②③
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10(共13张PPT)
第9章小测
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. (长沙中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为( B )
B
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2. (河北中考)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A、B的对称点分别是C、D,连结AC、BD. 下列结论不一定正确的是( A )
A. AD⊥BC B. AC⊥PQ
C. △ABO≌△CDO D. AC∥BD
A
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3. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF,连结AD. 有下列结论:① AC∥DF;② ED⊥DF;③ 四边形ABFD的周长是16.其中,正确的个数为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
C
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4. ★如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F,交DE于点G. 若∠AED=105°,∠CAD=20°,∠B=30°,则∠1的度数为( B )
A. 50° B. 65° C. 60° D. 55°
B
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二、 填空题(每题7分,共21分)
5. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,将四边形ABCD沿AB方向平移得到四边形A'B'C'D',BC与C'D'相交于点E. 若BC=8,CE=3,C'E=2,则涂色部分的面积为 13 .
13
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6. ★如图,在△ABC中,直线a⊥AC于点D,且AD=CD,P是直线a上一动点,连结PB、PC. 若AB=5,AC=6,BC=3,则△PBC周长的最小值是 8 .
8
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7. ★★如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上,∠AOB=55°,将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1处,边A1O交直线a于点C,则∠1的度数为 50° .
50°
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10
三、 解答题(共51分)
8. (15分)如图,把△ABC绕点A旋转至△ADE的位置,延长BC交AD于点F,交DE于点G. 若∠CAD=10°,∠D=25°,∠EAB=120°,求∠DFB的度数.
第8题
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解:由旋转可知,△ABC≌△ADE. ∴ ∠CAB=∠EAD,∠B=∠D=25°.
∵ ∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=120°,∠CAD=10°,∴ ∠CAB= ×(120°-10°)=55°.∴ ∠FAB=∠CAB+∠CAD=55°+10°=65°.
∴ ∠DFB=∠B+∠FAB=25°+65°=90°
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10
9. (18分)如图,已知△ABC(作图题不写作法,保留作图痕迹).
(1) 尺规作图:作AD平分∠BAC,与BC交于点D;
解:(1) 如图,射线AD即为所求作
(2) 尺规作图:作BC的垂直平分线,交AD于点P,交BC
于点Q,交AB于点R;
(2) 如图,直线RQ即为所求作
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(3) 若∠B=30°,∠C=50°,求∠DPQ的度数.
解:(3) ∵ ∠B=30°,∠C=50°,∴ ∠BAC=180°-30°-50°=100°.∵ AD平分∠BAC,∴ ∠CAD= ∠BAC=50°.∴ ∠ADC=180°-50°-50°=80°.
∴ ∠PDQ=∠ADC=80°.∵ QR垂直平分BC,
∴ ∠PQD=90°.∴ ∠DPQ=90°-80°=10°
第9题答案
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10
10. (18分)在如图所示的方格图中(每个小正方形的边长均为1个单位),△ABC的三个顶点均在小方格的顶点上.
(1) 画出△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
解:(1) 如图,△A1B1C1即为所求作
(2) 画出将△A1B1C1沿直线l向上平移5个单位得到的
△A2B2C2;
解:(2) 如图,△A2B2C2即为所求作
(3) 连结CC1、CC2,要使△A2B2C2与△CC1C2重合,则△A2B2C2绕点C2顺时针至少旋转 90 °.
解:(3) 如图所示
90
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9
10(共15张PPT)
阶段检测(9.1~9.2)
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 下列图形中,属于轴对称图形的是( B )
2. 下列四个花窗图案中,运用“平移”制作的是( C )
B
C
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11
3. 如图,将△ABC沿射线BC方向移动,使点B移动到点C处,得到△DCE,连结AE. 若△ABC的面积为2,则△ACE的面积为( A )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
A
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11
4. 如图,O为∠ABC内部一点,且OB=2,E、F分别为点O关于射线BA、射线BC的对称点,则当∠ABC=90°时,EF的长为( A )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
A
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 如图,正方形ABCD的边长为5cm,则图中阴影部分的面积为 12.5 cm2.
12.5
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6. 如图,把三角尺ABC的斜边紧靠直尺平移,顶点B从刻度“5”平移到刻度“10”,则顶点C平移的距离为 5 cm.
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7. ★如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=58°,将∠A折叠,使点A落在边CB上的点A'处,折痕为CD,则∠A'DB的度数为 26° .
26°
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8. ★如图,在△ABC中,AB=4,将△ABC平移5个单位得到△A1B1C1,P是AB的中点,连结PA1,则PA1长的最小值为 3 .
3
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三、 解答题(共44分)
9. (14分)如图.
(1) 请在方格纸中画出△ABC关于直线l1的对称图形△A1B1C1,再画出△A1B1C1关于直线l2的对称图形△A2B2C2.
解:(1) 如图,△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作
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(2) 观察你所画的图形,发现△A2B2C2与△ABC之间有什么关系(△A2B2C2可以看作是由△ABC经过一次什么变换得到的)
解:(2) 由图可得,△A2B2C2可以看作是由△ABC经过一次平移得到的
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(3) 由(2)可知,一个图形关于什么位置关系的两条直线做两次轴对称,就相当于做一次什么变换
解:(3) 一个图形关于两条互相平行的直线做两次轴对称,就相当于做一次平移变换
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10. ★(14分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,F是BC上一点.
(1) 尺规作图:将△ABC平移,使点C的对应点为F,点A的对应点为D,点B的对应点为E.
解:(1) 如图,△DFE即为所求作
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(2) 设DF与AB的交点为G. 若AC=9,BE=4,DG=3,求四边形DGBE的面积.
解:(2) 如图,由平移可知,CF=BE=4,AC=DF=9,
∴ GF=DF-DG=9-3=6.∴ S四边形DGBE=S△DEF-S△BGF=S△ABC-S△BGF=S梯形ACFG= (AC+GF)·CF= ×(9+6)×4=30
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11. ★★(16分)折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质,发展推理能力的一种有效的方法.
(1) 如图①,四边形ABCD是长方形纸片,AB∥CD,折叠纸片,折痕为EF,A'E与CD交于点G. 探究∠A'EF和∠CFE的数量关系,并说明理由.
解:(1) ∠A'EF=∠CFE 理由:∵ AB∥CD,
∴ ∠CFE=∠AEF. 由折叠的性质可知,∠AEF=∠A'EF,∴ ∠A'EF=
∠CFE.
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(2) 如图②,在(1)中折叠的基础上,再将纸片折叠,使得C'G经过点E,折痕为GH. 探究折痕EF和GH的位置关系,并说明理由.
解:(2) EF∥GH 理由:∵ AB∥CD,
∴ ∠AEG=∠CGE. 由折叠的性质可知,∠FEG= ∠AEG,∠HGE= ∠CGE.
∴ ∠FEG=∠HGE. ∴ EF∥GH.
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9.1 轴 对 称
第1课时 生活中的轴对称
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. (苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的为( A )
2. 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下列每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是( C )
A
C
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3. 如图,△ABC与△A'B'C'关于直线l对称,∠A=45°,∠B'=110°,则∠C的度数为( C )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 35°
C
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4. ★如图,直线MN是四边形AMBN的对称轴,P是直线MN上的一点.下列等式不一定正确的是( B )
A. AM=BM B. AP=BN
C. ∠MAP=∠MBP D. ∠ANP=∠BNP
B
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二、 填空题(每题7分,共21分)
5. 观察如图所示的各组图形,其中,成轴对称的为 ①②④ (填序号).
①②④
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6. 如图,△ABD和△FEC关于直线l对称,点A、B、D的对应点分别为F、E、C,点B、C、D、E在同一条直线上.若AB=2cm,则FE的长为 2 cm.
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7. ★如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点D与点B重合,点C落在点C'处,折痕为EF. 若∠ABE=20°,则∠EFC的度数为 125° .
125°
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三、 解答题(共51分)
8. (15分)如图,△ABC和△ADE关于直线l对称,BC与DE的交点F在直线l上.
(1) 指出这两个三角形中的对称点.
解:(1) ∵ △ABC和△ADE关于直线l对称,∴ 这两个三角形中的对称点为B和D,C和E,A和A
第8题
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(2) 指出图中相等的线段和角(不另外添加字母).
解:(2) 图中相等的线段有AB=AD,AC=AE,BC=DE,EF=CF,BF=DF. 图中相等的角有∠EAF=∠CAF,∠EFA=∠CFA,∠BAE=∠DAC,∠BAF=∠DAF,∠BFE=∠DFC,∠BFA=∠DFA,∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,∠C=∠E
第8题
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(3) 图中还有对称的三角形吗 如果有,请指出来.
解:(3) 有 △AFC与△AFE、△ABF与△ADF也都关于直线l成轴对称
第8题
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9. ★(16分)如图,在△ABC中,直线l交AB于点M,交BC于点N,点B关于直线l的对称点D在线段BC上,且AD⊥MD,∠B=28°,求∠DAB的度数.
第9题
解:∵ 点B关于直线l的对称点是D,∴ △BMN与△DMN关于直线l成轴对称.
∴ ∠MDB=∠B=28°.∴ ∠AMD=∠MDB+∠B=56°.∵ AD⊥MD,
∴ ∠ADM=90°.∴ ∠DAB=180°-90°-56°=34°
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10. ★(20分)如图,在△ABC中,∠B=45°,D是边BC上的一点,连结AD,∠BAD=30°,将△ABD沿AD折叠得到△AED,AE与BC交于点F.
(1) 求∠AFC的度数;
解:(1) ∵ 将△ABD沿AD折叠得到△AED,
∴ ∠BAD=∠DAE=30°.
∴ ∠AFC=∠B+∠BAF=∠B+∠BAD+∠DAE=45°+30°+30°=105°
第10题
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(2) 若∠C=30°,试说明:DE∥AC.
解:(2) ∵ ∠C=30°,∠AFC=105°,
∴ ∠FAC=180°-∠C-∠AFC=180°-30°-105°=45°.∵ 将△ABD沿AD折叠得到△AED,
∴ ∠B=∠E=45°.∴ ∠E=∠FAC. ∴ DE∥AC
第10题
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小专题(八) 与轴对称相关的问题
第9章 轴对称、平移与旋转
类型一 轴对称图形的识别
1. 下列四个图案中,是轴对称图形的为( C )
C
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类型二 利用轴对称(含折叠)的性质进行计算与探究
2. 在△ABC中,将∠B、∠C按如图所示的方式折叠,点B、C均落在边BC上的点Q处,线段MN、EF为折痕.若∠A=82°,则∠MQE的度数为 82° .
82°
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3. 如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,其中∠B=90°,AB=4cm,DF=5cm,BC=3cm.
(1) 连结AD,写出线段AD与直线l之间的关系;
解:(1) ∵ △ABC与△DEF关于直线l对称,∴ 直线l垂直平分AD
第3题
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(2) 求∠E的度数;
解:(2) ∵ △ABC与△DEF关于直线l对称,∴ ∠E=∠B=90°
第3题
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(3) 求△ABC的周长和△DEF的面积.
解:(3) ∵ △ABC与△DEF关于直线l对称,AB=4cm,DF=5cm,BC=3cm,
∴ AC=DF=5cm,DE=AB=4cm,EF=BC=3cm.
∴ C△ABC=AB+BC+AC=4+3+5=12(cm),S△DEF= ×3×4=6(cm2),即△ABC的周长为12cm,△DEF的面积为6cm2
第3题
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4. ★如图,在△ABC中,∠C=90°,点M、N分别在边AB、BC上,连结AN,且△AMN和△BMN关于直线MN对称.
(1) 若∠B=40°,则∠CAN的度数为 10° ;
(2) 若BC= AC,AB= AC,且△ABC的周长为36,求△ACN的周长.
第4题
10°
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解:∵ △ABC的周长为36,∴ AC+BC+AB=36.∵ BC= AC,AB= AC,∴ AC+ AC+ AC=36.∴ AC=9.∴ BC=12.∵ △AMN和△BMN关于直线MN对称,
∴ AN=BN. ∴ △ACN的周长=AC+CN+AN=AC+CN+BN=AC+BC=9+12=21
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类型三 与轴对称有关的作图问题
5. 如图,已知长方形ABCD,若点E、F分别在AD、AB边上,将△AEF沿EF所在直线翻折,点A的对应点为A',请利用尺规作图的方法,确定折痕EF的位置(不写作法,保留作图痕迹).
解:如图,线段EF即为所求作
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6. 如图,在8×8的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,线段OM、ON的端点均在格点上.
(1) 利用尺规作图,作出∠MON的平分线(不写作法,保留作图痕迹);
解:(1) 如图,射线OA即为所求作
(2) 画一个四边形OMPN,使其是轴对称图形,且点P在
格点上.
解:(2) 如图,四边形OMPN即为所求作(答案不唯一)
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7. ★如图①,在3×3的网格中,△ABC的三个顶点均在格点上,这样的三角形叫做“格点三角形”,在图中画出一个“格点三角形”(涂色部分)与△ABC关于某条直线成轴对称.请在图②中的三个网格中各画一个不重复的“格点三角形”和△ABC成轴对称,并将所画的“格点三角形”涂色.
解:答案不唯一,如图②所示
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7(共13张PPT)
9.4 中心对称
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. (大庆中考)下列垃圾分类指引标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为( B )
B
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2. (广州中考)下列图案中,点O为正方形的中心,涂色部分是形状和大小均相同的两个三角形,则涂色部分的两个三角形关于点O对称的是( C )
C
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3. 如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,则下列结论不一定成立的是( D )
A. 点A与点A'是对称点 B. BO=B'O
C. AB∥A'B' D. ∠ACB=∠C'A'B'
D
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4. ★有如图①所示的四张牌,若只将其中一张牌旋转180°后得到图②,则旋转的牌是( A )
A
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 从数学中对称的角度看,对于下列几组大写英文字母:① ANEG;② KBXM;③ XIHO;④ HWDZ. 其中,不同于其他三组的一组是 ③ (填序号),其特点是 每个字母都是中心对称图形 .
6. 如图,△ABC与△DEF关于点O成中心对称,则AB = 、DE,BC∥ EF ,AC= DF .
③
每个
字母都是中心对称图形
=
EF
DF
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7. 如图所示的网格中已有5个小正方形涂色.若再选取标有①②③④中的1个小正方形进行涂色,使得图中所有涂色的小正方形组成一个中心对称图形,则该小正方形是 ④ (填序号).
④
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8. ★如图,直线a、b垂直相交于点O,曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D. 若OB=5,OD=3,则涂色部分的面积之和为 15 .
15
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三、 解答题(共44分)
9. (14分)如图,点O和△ABC的三个顶点都在网格的格点上,请画出△A'B'C',使得△A'B'C'和△ABC关于点O成中心对称.
解:如图所示
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10. (15分)如图,在△ABC中,AC=4,BC=6,D是AB的中点.
(1) 作△CDB关于点D的中心对称图形;
解:(1) 如图,延长CD到点E,使得DE=DC,连结AE,则△ADE即是所求作的三角形
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(2) 求CD长的取值范围.
解:(2) 由中心对称的性质,可知AE=BC=6.根据三角形的三边关系,得6-41
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11. (15分)如图①是由五个小正方形拼成的图形,请你移动其中一个小正方形,重新拼成一个图形,使得所拼成的图形满足下列条件,并分别画在图②、图③、图④中(只需各画一个).
(1) 是轴对称图形,但不是中心对称图形;
解:(1) 答案不唯一,如图②所示
(2) 是中心对称图形,但不是轴对称图形;
解:(2) 如图③所示
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(3) 既是轴对称图形,又是中心对称图形.
解:(3) 如图④所示
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9.2 平 移
第1课时 图形的平移
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 下列运动属于平移的是( D )
A. 荡秋千 B. 地球绕着太阳转
C. 风筝在空中随风飘动 D. 急刹车时,汽车在地面上的滑动
2. (郴州中考)下列图形中,能由如图所示的图形通过平移得到的是( B )
D
B
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3. 如图,△ABC平移后到了△DEF的位置,下列说法错误的是( C )
A. 点B的对应点是E B. 线段AC的对应线段是DF
C. ∠C的对应角是∠E D. 平移的距离是线段BE的长度
C
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4. 如图①,在6×6的网格中有两个涂色图形M、N,图形M平移后的位置如图②所示.下列对图形M的平移方法的叙述正确的是( B )
A. 先向右平移2格,再向下平移3格
B. 先向右平移1格,再向下平移3格
C. 先向右平移1格,再向下平移4格
D. 先向右平移2格,再向下平移4格
B
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. (淄博中考)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,右边的“小鱼”图案是由左边的“小鱼”图案经过一次平移得到的,则平移的距离是 6 .
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6. 如图,将字母“V”向右平移 2 格后与原字母会组成字母“W”.
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7. 如图,若将△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达点A',连结A'B,则线段A'B与线段AC的位置关系是 线段A'B与线段AC互相垂直平分 .
线段A'B与线段AC互相垂直平分
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8. ★如图甲所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”,平移火柴棒后,图甲能变成的象形汉字是图乙中的 ①③ (填序号).
①③
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三、 解答题(共44分)
9. (12分)如图,网格中每个小正方形的边长都是1个单位,将网格中的图形向右平移6个单位,再向下平移2个单位.请画出平移后的图形.
解:如图所示
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10. (15分)如图,在方格纸中,每个小方格的边长均为1个单位,△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上.要求:① 平移△ABC,使点P落在平移后的三角形内部;② 平移后的三角形的顶点在方格的顶点上.请你在图①②中分别画出一个符合要求的图形,并写出平移的方法.
解:答案不唯一,如图所示 图①:将△ABC向右平移4个单位,再向上平移1
个单位;图②:将△ABC向右平移4个单位
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11. (17分)在平面上,将七个边长均为1个单位的等边三角形分别用序号①~⑦表示(如图).从④⑤⑥⑦组成的图形中,取出一个三角形,将剩余部分经过一次平移,与①②③组成的图形拼成一个正六边形.你取出的是哪个三角形 请写出平移的方向和距离.
解:如答案图,取出序号为⑦的三角形,将④⑤⑥整体向上平移1个单位
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9.3 旋 转
第1课时 图形的旋转
第9章 轴对称、平移与旋转
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 下列运动属于旋转的是( C )
A. 火箭升空的运动 B. 足球在空中的运动
C. 大风车的转动 D. 传输带运输的物体的运动
2. 下列图案中,不能由一个基本图案在其所在的平面内经旋转而产生的是( C )
C
C
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3. 如图,将一把含30°角的三角尺ABC绕点A顺时针旋转,使得点B、A、C'在同一条直线上,则三角尺ABC旋转的度数是( D )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
D
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4. ★如图,△ABC和△DEC都是直角三角形,其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的.下列说法错误的是( D )
A. 旋转中心是点C
B. 旋转角度是90°或270°
C. 既可以逆时针旋转,也可以顺时针旋转
D. 旋转中心是点B,旋转角是∠ABC
D
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二、 填空题(每题7分,共21分)
5. 如图,△ABP是由△ACD顺时针旋转某一角度得到的.若∠BAP=60°,则在旋转过程中,旋转中心是点 A ,旋转的角度为 90° .
A
90°
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6. 如图,点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上,则△ODC可以看成是由△OBA绕点O 逆 时针旋转 90 °得到的(旋转的角度小于180°).
逆
90
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7. ★如图,将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到长方形AB'C'D'的位置,旋转角度为α(0°<α<90°).若∠1=110°,则α= 20° .
20°
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三、 解答题(共51分)
8. (17分)如图,在△ABC中,AD是中线,△ACD旋转后与△EBD重合.
(1) 旋转中心是哪一点
解:(1) 旋转中心是点D
第8题
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(2) 旋转了多少度
解:(2) 旋转了180°
第8题
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(3) 如果M是AC的中点,那么经过上述旋转后,点M旋转到了什么位置
解:(3) 点M旋转到了BE的中点处
第8题
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9. (17分)如图,△ABE为等腰直角三角形,经旋转后得到△FDG,其中四边形ABCD为正方形.
(1) 旋转中心为哪个点 旋转角为多少度
解:(1) 如图,△ABE绕点C顺时针旋转90°,可得到△FDG,
∴ 旋转中心为点C,旋转角为90°
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(2) 指出∠E的对应角及BE的对应边.
解:(2) 由(1),得∠E的对应角为∠G,BE的对应边为DG
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10. ★(17分)如图,M是DC的中点.如果正方形CDEF经顺时针旋转后能与正方形ABCD重合,那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有几个 请说明不同的旋转中心对应的旋转的角度.
第10题
解:可作为旋转中心的点共有三个,分别是点D、M、C,旋转的角度分别为90°、180°、270°
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