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小专题(四) 二元一次方程组的实际应用
第6章 一次方程组
类型一 几何图形问题
1. 如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形,则每块长方形地砖的面积是 300 cm2.
300
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2. 某药业集团生产的某种药品包装盒的表面展开图如图所示,若长比宽长4cm,则这种药品包装盒的体积为 90 cm3.
90
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类型二 行程问题
3. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路,如果保持上坡路1h走3km,平路1h走4km,下坡路1h走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是多少千米
解:设甲地到乙地的上坡路长xkm,平路长ykm.根据题意,得 解得 ∴ x+y= + = .∴ 甲地到乙地全程是 km
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类型三 工程问题
4. ★为防止城市雨水内涝,政府对一段1200m长的管道进行改造.如果乙工程队单独施工了18天,那么剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成;如果甲工程队单独施工了16天,那么剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成.
(1) 甲、乙工程队每天各施工多少米
解:(1) 设甲工程队每天施工xm,乙工程队每天施工ym.根据题意,得 解得 ∴ 甲工程队每天施工60m,乙工程队每天施工40m
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(2) 若甲工程队施工一天的费用为3000元,乙工程队施工一天的费用为2000元,则当两支工程队的施工天数相同时,需支付的总费用为多少元
解:(2) 设甲工程队施工a天,则乙工程队施工a天.由题意,得60a+40a=1200,解得a=12.∴ 需支付的总费用为3000×12+2000×12=60000(元)
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类型四 费用问题
5. 小英家今年1月用水20t,缴水费43元;2月用水18t,缴水费38元.小英家所在城市实行阶梯水价,14t以内按正常价格收费,超出部分则收较高水费.在14t以内的水费为每吨 2 元,超出部分的水费为每吨 2.5 元.
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2.5
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类型五 配套问题
6. 一套工具由1个A部件和6个B部件构成.用1kg材料可以做5个A部件或20个B部件.现有10kg材料,若要生产出最大数量的该套工具,则应该如何分配材料制作A、B部件
解:设用xkg材料制作A部件,ykg材料制作B部件.由题意,得 解得 ∴ 用4kg材料制作A部件,6kg材料制作B部件
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类型六 营销问题
7. ★近年来教育部要求学校积极开展素质教育,某中学把足球和篮球列为该校的特色项目.该中学准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球,已知购买3个篮球和2个足球共需490元,购买2个篮球和3个足球共需460元.
(1) 篮球、足球的单价各是多少元
解:(1) 设篮球的单价是x元,足球的单价是y元.根据题意,得 解得 ∴ 篮球的单价是110元,足球的单价是80元
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(2) 该店在“五四”青年节期间开展促销活动,所有商品按同样的折数打折销售.节日期间购买10个篮球和10个足球只需1710元,则该店的商品按原价的几折出售
解:(2) 设该店的商品按原价的m折出售.根据题意,得110× ×10+80× ×10=1710,解得m=9.∴ 该店的商品按原价的九折出售
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类型七 方案问题
8. ★★某校组织七年级师生共480人参观博物馆,并向租车公司租赁A、B两种型号的客车接送师生往返.若租用A型车3辆,B型车6辆,则空余15个座位;若租用A型车5辆,B型车4辆,则有15人没座位.
(1) A、B两种车型各有多少个座位
解:(1) 设每辆A型车有x个座位,每辆B型车有y个座位.依题意,得 解得 ∴ 每辆A型车有45个座位,每辆B型车有60个座位
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(2) 若A型车的日租金为350元,B型车的日租金为400元,且租车公司最多能提供7辆B型车,则应怎样租车才能使座位恰好坐满且租金最少 请求出最少租金.
2=4,
2=5,
3=8,
3=2.
解:(2) 设租用m辆A型车,n辆B型车.依题意,得45m+60n=480,解得n=8- m.∵ m、n为非负整数,∴ (不合题意,舍去), ∴ 有两种租车方案,方案1:租用4辆A型车、5辆B型车;方案2:租用8辆A型车、2辆B型车.当租用4辆A型车、5辆B型车时,所需租金为350×4+400×5=3400(元);当租用8辆A型车、2辆B型车时,所需租金为350×8+400×2=3600(元).∵ 3400<3600,∴ 租用4辆A型车、5辆B型车所需租金最少,最少租金为3400元
2=4,
2=5,
3=8,
3=2.
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8(共12张PPT)
第6章小测
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 下列方程是二元一次方程的为( C )
A. 2mn=5 B. x-2y=3z C. 3m+n=6 D. +y=2
2. 解二元一次方程组 时,下列方法中,无法消元的是( C )
A. ①-② B. 由①变形,得x=2+2y③,将③代入②
C. ①×4+② D. 由②变形,得2y=4x-5③,将③代入①
C
C
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3. 已知∠A、∠B互余,∠A比∠B大60°.设∠A、∠B的度数分别为x°、y°,则下列方程组中,符合题意的是( D )
A. B.
C. D.
4. ★对于非零的两个数a、b,规定a b=am-bn.若3 (-5)=-15,4 (-7)=-28,则(-1) 2的值为( B )
A. -13 B. 13 C. 2 D. -2
D
B
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5. ★幻方是古老的数学问题,我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格.将9个数填入幻方的空格中,要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等,例如图①就是一个幻方,图②是一个未完成的幻方,则x+y的值为( A )
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
A
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 若 是关于x、y的二元一次方程组,则ab= 0 .
7. 若方程组 与关于x、y的方程组 同解,则mn= 8 .
0
8
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8. 将三元一次方程组 消去未知数z,得到的二元一次方程组为 .
9. 若关于x、y的方程组 的解满足x+y=9,则m的值为 6 .
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三、 解答题(共46分)
10. (14分)解下面的方程组:
(1)
解:记 由①×5+②,得17x=51,解得x=3.把x=3代入①,得y=4.∴ 方程组的解为
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(2)
解:整理方程组,得 由①+②×5,得21x=-21,解得x=-1.把x=-1代入②,得y=-2.∴ 方程组的解为
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11. (17分)已知关于x、y的方程组
(1) 请写出方程x+2y=5的所有正整数解;
=1,
=2,
=3,
=1
解:(1) 方程x+2y=5的正整数解为
=1,
=2,
=3,
=1
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(2) 若该方程组的解满足x+y=0,求m的值;
解:(2) 联立x+2y=5与x+y=0,得 解得 把 代入方程x-2y+mx+9=0,得-5-10-5m+9=0,解得m=-
(3) ★无论m取何值,方程x-2y+mx+9=0总有一个公共解,你能求出这个方程的公共解吗
解:(3) 方程x-2y+mx+9=0可变形为(1+m)x-2y+9=0.∵ 无论m取何值,方程x-2y+mx+9=0总有一个公共解,∴ x=0,此时-2y+9=0,解得y=4.5.∴ 这个方程的公共解为
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12. ★(15分)我国传统数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各直金几何 ”译文如下:“假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问:每头牛、每只羊分别值多少两银子 ”根据以上译文,提出以下两个问题:
(1) 求每头牛、每只羊各值多少两银子.
解:(1) 设每头牛值x两银子,每只羊值y两银子.依题意,得 解得 ∴ 每头牛值3两银子,每只羊值2两银子
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(2) 若某商人准备用28两银子购买牛和羊(要求既有羊又有牛,且银两全部用完),则该商人有哪几种购买方法
解:(2) 设购买m头牛、n只羊.依题意,得3m+2n=28,整理,得n=14- m.∵ m、n均为正整数,∴ 或 或 或 ∴ 该商人有4种购买方法:① 购买2头牛、11只羊;② 购买4头牛、8只羊;③ 购买6头牛、5只羊;④ 购买8头牛、2只羊
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6.2 二元一次方程组的解法
第3课时 选择适当的方法解二元一次方程组
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 解方程组 时,下列消元方法不正确的是( C )
A. 由①×3-②×2,消去a
B. 由②,得b=4-3a③,把③代入①中消去b
C. 由①+②×2,消去b
D. 由②×2-①,消去b
C
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2. 解方程组① 和方程组② 比较简便的方法是( C )
A. 均用代入法
B. 均用加减法
C. ①用代入法,②用加减法
D. ①用加减法,②用代入法
C
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3. 小丽用加减消元法解二元一次方程组 时,利用①×a+②×b消去x,则a、b的值可能分别为( D )
A. 2、5 B. 3、2
C. -3、2 D. 2、-5
D
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4. ★已知关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=-6的解,则k的值是( B )
A. B. - C. D. -
B
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 方程组 的解为 1 .
6. 已知x、y满足二元一次方程组 则x-y的值为 1 .
7. 若|2a+b-4|与(2a-3b+4)2互为相反数,则(a-b)2025= -1 .
8. ★对于任意有理数a、b、c、d,我们规定 =ad-bc,等式右边是通常的混合运算.已知x、y同时满足 =5, =1,则x= 2 ,y= -3 .
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-1
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-3
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三、 解答题(共44分)
9. (16分)用适当的方法解下列方程组:
(1)
解:记 由①-②×3,得-17z=51,解得z=-3.把z=-3代入②,得x-12=-15,解得x=-3.∴ 原方程组的解为
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(2)
解:记 由①×3+②,得5m=20,解得m=4.把m=4代入①,得4-n=2,解得n=2.∴ 原方程组的解为
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解:原方程组可化为 由②-①×2,得5y=9,解得y= .把y= 代入①,得x= .∴ 原方程组的解为
(3)
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(4)
解:原方程组可化为 由①+②,得20x=60,解得x=3.将x=3代入①,得24+15y=54,解得y=2.∴ 原方程组的解为
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10. (12分)已知关于x、y的方程组 的解满足方程3x+2y=17,求m的值.
解:记 由①+②×2,得3x=21m,解得x=7m.由①-②,得3y=-6m,解得y=-2m.将x=7m,y=-2m代入3x+2y=17,得3×7m+2×(-2m)=17,解得m=1
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11. ★(16分)在解关于x、y的二元一次方程组 时,小强由于看错了方程①中的a,得到方程组的解为 小亮由于看错了方程②中的b,得到方程组的解为
(1) 小强把a看成了多少 小亮把b看成了多少
解:(1) 把 代入ax+5y=15,得-3a-5=15,解得a=- .∴ 小强把a看成了- .把 代入4x-by=-2,得20-4b=-2,解得b= .∴ 小亮把b看成了
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(2) 你能求出a和b的正确值并求得原方程组的正确解吗
解:(2) 把 代入4x-by=-2,得-12+b=-2,解得b=10.把 代入ax+5y=15,得5a+20=15,解得a=-1.∴ a、b的正确值分别是-1、10.∴ 原方程组是 解得
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6.3 三元一次方程组及其解法
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 下列方程组中,是三元一次方程组的为( C )
A. B.
C. D.
C
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2. 以 为解建立一个三元一次方程,不正确的是( C )
A. 3x-4y+2z=3 B. x-y+z=-1
C. x+y-z=-2 D. - y-z=1
C
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3. 解方程组 时,要使解法较为简便,应( B )
A. 先消去x B. 先消去y
C. 先消去z D. 先消去常数
B
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4. 利用加减消元法解方程组 下列做法正确的是( A )
A. 要消去z,先将①+②,再将①×2+③
B. 要消去z,先将①+②,再将①×3-③
C. 要消去y,先将①-③×2,再将②-③
D. 要消去y,先将①-②×2,再将②+③
A
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5. ★若方程组 的解使代数式k+x+y+z=10成立,则k的值为( C )
A. 8 B. -8 C. 1 D. -1
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 是 (填“是”或“不是”)三元一次方程组 的解.
7. 已知方程组 的解也是方程3x+my+2z=0的解,则m的值是 -5 .
是
-5
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8. 小丽在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品,当购物车内选择3件甲商品、2件乙商品、1件丙商品时显示的价格为420元;当购物车内选择2件甲商品、3件乙商品、4件丙商品时显示的价格为580元,则当她购买甲、乙、丙三种商品各3件时,应该付款 600 元.
9. ★已知x、y、z满足 则代数式3(x-z)+1的值是 -4 .
600
-4
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三、 解答题(共46分)
10. (14分)解三元一次方程组:
(1)
解:记 由①+②,得5x-z=3④.由①×2+③,得5x+z=5⑤.由④+⑤,得10x=8,解得x= .把x= 代入④,得4-z=3,解得z=1.把x= ,z=1代入①,得 -y+1=1,解得y= .∴ 原方程组的解为
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(2)
解:记 由①×2-②,得x+8z=11④.由①×3+③,得10x+7z=37⑤.由④×10-⑤,得73z=73,解得z=1.把z=1代入④,得x+8=11,解得x=3.把x=3,z=1代入①,得6+y+3=11,解得y=2.∴ 原方程组的解为
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11. (16分)某单位职工在植树节当天去植树,甲、乙、丙三个组共植树50棵,乙组植树的棵数是甲、丙两组的和的 ,甲组植树的棵数恰是乙组与丙组的和,则每组各植树多少棵
解:设甲组植树x棵,乙组植树y棵,丙组植树z棵.根据题意,得 解得 ∴ 甲组植树25棵,乙组植树10棵,丙组植树15棵
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12. (16分)已知一个三位数,其个位、百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上数字的7倍比个位、十位上数字的和大2,个位、十位、百位上的数字的和是14,求这个三位数.
解:设这个三位数个位上的数字为x,十位上的数字为y,百位上的数字为z.根据题意,得 把①代入③,得y=7.把y=7代入①,得x+z=7④.把y=7代入②,得7z=x+9⑤.联立④⑤,解得 ∴ 这个三位数为2×100+7×10+5=275
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6.2 二元一次方程组的解法
第4课时 二元一次方程组的简单应用
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. (赤峰中考)用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板;用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58块C型钢板、40块D型钢板,问:恰好用A型钢板、B型钢板各多少块 设用A型钢板x块,用B型钢板y块,则可列方程组为( C )
A. B.
C. D.
C
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2. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:若2人坐一辆车,则9人需要步行,若“……”.问:人与车各多少 设有x辆车,人数为y.根据题意可列方程组为 根据已有信息,题中用“……”表示的缺失条件应补为( C )
A. 三人坐一辆车,有一车少坐2人
B. 三人坐一辆车,则2人需要步行
C. 三人坐一辆车,则有两辆空车
D. 三人坐一辆车,则还缺两辆车
C
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3. “五一”小长假,小华和家人到公园游玩.湖边有大、小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人,2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人,则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( B )
A. 30 B. 26
C. 24 D. 22
4. ★某车间有甲、乙两个小组,甲组人数是乙组的2倍.若从甲组调8人到乙组,则甲组人数比乙组人数的一半还多6.原来乙组的人数为( D )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
B
D
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 某幼儿园用100元给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个,甲、乙两种玩具的单价分别为2元和4元,则该幼儿园买了甲种玩具 10 个,乙种玩具 20 个.
6. 哥哥和弟弟在400m的环形跑道上匀速跑步.若两人同时同地反向出发,则4min相遇;若两人同时同地同向出发,则40min哥哥追上弟弟.哥哥1min跑 55 m.
7. 《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述:程途八百里,朝去暮还来.某日,戴宗去160里之外的地方打探情报,去时顺风,用了2小时;回来时逆风,用了4小时,则戴宗在无风时的平均速度为 60 里/时.
8. ★甲对乙说:“当我的年龄是你现在的年龄时,你才4岁.”乙对甲说:“当我的年龄是你现在的年龄时,你已经61岁了.”乙现在的年龄是 23 岁.
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三、 解答题(共44分)
9. (14分)(吉林中考)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
解:设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.由题意,得 解得 ∴ 白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36
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10. (15分)(安徽中考)根据经营情况,公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整:甲地上涨10%,乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元,调整后甲地比乙地少1元,求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解:设调整前甲地该商品的销售单价为x元,乙地该商品的销售单价为y元.由题意,得 解得 ∴ 调整前甲地该商品的销售单价为40元,乙地该商品的销售单价为50元
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11. ★(15分)某瓜果基地生产一种特色水果,若在市场上直接销售,则每吨利润为1200元;经粗加工后销售,每吨利润为4200元;经精加工后销售,每吨利润为7500元.一食品公司收购到这种水果200吨,准备加工后上市销售.该公司的加工能力如下:每天可以精加工6吨或粗加工16吨,但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,该公司必须在15天内将这批水果全部销售或加工完毕,为此公司研制了三种可行的方案:
方案一:将这批水果全部进行粗加工;
方案二:尽可能多地对水果进行精加工,没来得及加工的水果在市场上直接销售;
方案三:将部分水果进行精加工,其余进行粗加工,并恰好15天完成.
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你认为选择哪种方案获利最多 为什么
解:选择方案三获利最多 选择方案一获得的利润为4200×200=840000(元).选择方案二获得的利润为7500×6×15+1200×(200-6×15)=807000(元).设方案三中精加工水果x吨,粗加工水果y吨.根据题意,得 解得 ∴ 选择方案三获得的利润为7500×24+4200×176=919200(元).
∵ 807000<840000<919200,∴ 选择方案三获利最多
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阶段检测(6.1~6.2第3课时)
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 下列方程组中,是二元一次方程组的为( D )
A. B.
C. D.
2. 关于x、y的二元一次方程3x+y=7的正整数解的个数为( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
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3. 小明解关于x、y的二元一次方程组 时,解得 则△和□代表的数分别是( D )
A. 3、-1 B. 1、5 C. -1、3 D. 5、1
D
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4. 下列解方程组 的步骤正确的是( C )
A. 用代入法消去m,由①,得m=2-n
B. 用代入法消去n,由②,得n=2m-5
C. 用加减法消去n,由①+②,得3m=-3
D. 用加减法消去m,由①×2-②,得-3n=-1
5. ★若方程组 的解中,x的值比y的值大1,则k的值为( C )
A. -2 B. 1 C. 2 D. 3
C
C
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二、 填空题(每题5分,共25分)
6. 已知x|m|-1+(m+2)y=7是关于x、y的二元一次方程,则m= 2 .
7. 方程组 的解为 .
8. 已知a、b满足(2a-b+3)2+|3a+2b+8|=0,则ab的值是 2 .
9. ★已知关于x、y的二元一次方程组 的解是 则关于m、n的二元一次方程组 的解是 .
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10. ★已知关于x、y的方程组 给出下列说法:① 若该方程组的解也是关于x、y的方程x+y=2a-3的解,则a=3;② 若该方程组与方程组 有相同的解,则b=-4;③ 无论a取何值,x、y的值不可能互为相反数;④ x、y都为自然数的解有2个.其中,正确的有 ①②③ (填序号).
①②③
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三、 解答题(共50分)
11. (14分)解下面的方程组:
(1)
解:记 由①+②,得-x=22,解得x=-22.把x=-22代入①,得y=77.∴ 方程组的解为
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(2)
解:整理原方程组,得 由②×5+①,得14y=28,解得y=2.把y=2代入②,得x=2.∴ 方程组的解为
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12. (16分)已知关于x、y的方程组
(1) 若k=2,求这个方程组的解;
解:(1) 当k=2时,这个方程组可化为 由①×12,得36x-30y=48③.由②×10,得-25x+30y=-70④.由③+④,得11x=-22,解得x=-2.将x=-2代入②,得5+3y=-7,解得y=-4.∴ 当k=2时,这个方程组的解为
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(2) 若这个方程组的解满足x+y=8,求k的值.
解:(2) 记 由①+②,得 x+ y=- k+2.∵ x+y=8,∴ - k+2=4,解得k=-
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13. ★★(20分)已知关于x、y的二元一次方程组
(1) 当方程组的解为 时,求a的值.
解:(1) ∵ 是方程组 的解,∴ 1+2×1=a.∴ a=3
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(2) 当a=-2时,求方程组的解.
解:(2) ∵ a=-2,∴ 由②×2,得4x-2y=2③.由①+③,得5x=0,∴ x=0.将x=0代入②,得y=-1.∴ 方程组的解为
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(3) 小冉模仿第(1)问,提出一个新解法:将 代入方程x+2y=a,即可求出a的值.小冉提出的解法对吗 若对,请完成解答;若不对,请说明理由.
解:(3) 不对 理由:将 代入2x-y,得2x-y=2×(-2)-(-2)=-2≠1,∴ 不是方程组的解.∴ 小冉提出的解法不对.
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6.1 二元一次方程组和它的解
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 下列方程组中,是二元一次方程组的为( D )
A. B.
C. D.
2. 已知 是方程y=kx+2的一个解,则k的值为( A )
A. -2 B. 3 C. - D.
D
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3. 下列二元一次方程组中,解是 的为( B )
A. B.
C. D.
B
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4. 已知方程组 的解为 则被遮盖的两个数 、*分别为( C )
A. 2、3 B. 1、2
C. 2、1 D. 3、2
C
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5. ★(深圳中考)在明朝程大位所著《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗的大意如下:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为( A )
A. B.
C. D.
A
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 有下列方程:① xy=2;② 3x=4y;③ x+ =2;④ y2=4x;⑤ =3y-1;⑥ x+y-z=1.其中,二元一次方程有 2 个.
7. 写出二元一次方程2x+y=4的一个整数解: (答案不唯一) .
8. 若关于x、y的二元一次方程组 的解为 则多项式A可以是 x-y(答案不唯一) (写出一个即可).
9. ★(浙江中考)我国古代数学名著《张邱建算经》中有这样一题:一只公鸡值5钱,一只母鸡值3钱,3只小鸡值1钱,现花100钱买了100只鸡.若公鸡有8只,设母鸡有x只,小鸡有y只,则可列方程组为 .
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(答案不唯一)
x-y(答案不唯一) (写出一个即可)
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三、 解答题(共46分)
10. (13分)已知 是关于x、y的二元一次方程组 的解,求(m+n)2025的值.
解:把 代入方程组,得 解得 ∴ (m+n)2025=(-2+1)2025=-1
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11. (15分)已知甲种物品每个的质量为4kg,乙种物品每个的质量为7kg.现有甲种物品x个,乙种物品y个,总质量为76kg.
(1) 列出关于x、y的二元一次方程;
解:(1) 4x+7y=76
(2) 若x=12,则y= 4 ;
(3) 若乙种物品有8个,则甲种物品有 5 个.
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12. ★(18分)根据题意设出未知数,并列出一个相应的二元一次方程组(不解方程组):
(1) 两批货物,第一批360吨,用5节火车车厢和12辆汽车正好装完;第二批500吨,用7节火车车厢和16辆汽车正好装完.每节火车车厢和每辆汽车平均各装货物多少吨
解:(1) 设每节火车车厢、每辆汽车分别装x吨、y吨.根据题意,得
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(2) 某校课外小组的学生准备外出活动,若每组7人,则余下3人;若每组8人,则有一组只有3人.这个课外小组分成几组 共有多少人
解:(2) 设这个课外小组分成x组,共有y人.根据题意,得
(3) 甲、乙两名牧羊人放牧归来,甲说:“把你的羊给我3只,那我的羊就是你的2倍了.”乙说:“不,还是把你的羊分3只给我,那我们的羊就一样多了.”请问:他们各有多少只羊
解:(3) 设甲原有x只羊,乙原有y只羊.根据题意,得
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小专题(三) 用二元一次方程组的解求参数的值
第6章 一次方程组
类型一 已知二元一次方程(组)的解求参数的值
1. 如果 是方程组 的解,那么2a+b2的值为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
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2. 已知 和 是关于x、y的二元一次方程2ax-by=2的两个解,求a、b的值.
解:把 和 分别代入方程2ax-by=2,得 解得
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类型二 已知二元一次方程组的解的关系求参数的值
3. 若关于x、y的方程组 的解满足2x+y=7,则k的值为 4 .
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(1) 若该方程组的解互为相反数,则k的值为 - ;
(2) 若该方程组的解满足方程3x+y=10,求k的值.
解:记 由②×2-①,得x-7y=-4.∵ 3x+y=10,∴ 得到方程组 解得 代入②,得3-2×1=k.∴ k=1
-
4. 已知关于x、y的方程组
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5. 已知关于x、y的二元一次方程组
(1) 若方程组的解满足2x-y=4,求m的值;
解:(1) 解方程组 得 把 代入3x-my=6,得9-2m=6,解得m=
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(2) ★若方程组的解为整数,求正整数m的值.
解:(2) 由x+y=5,得x=5-y.把x=5-y代入3x-my=6,得15-3y-my=6,解得y= .∵ x、y为整数,∴ m+3=±1、±3或±9,解得m=-2、-4、0、-6、6、-12.又∵ m为正整数,∴ m=6
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类型三 根据二元一次方程组的错解求参数的值
6. ★在解关于x、y的方程组 时,甲把方程组中的a看成了-8,求得的解为 乙看错了方程组中的b,求得的解为 求:
(1) 正确的a、b、c的值;
解:(1) 根据题意,得 解得 ∴ -3a-5=-17,
解得a=4
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(2) 原方程组的解.
解:(2) 由(1),得原方程组是 由①+②,得8x=-16,解得x=-2.把x=-2代入①,得-8+5y=-17,解得y=- .∴ 原方程组的解为
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类型四 根据两个二元一次方程组的解相同求参数的值
7. 已知关于x、y的方程组 和 有相同的解,求a、b的值.
解:解方程组 得 将x=2、y=3代入另外两个方程,得方程组 解得
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8. ★已知关于x、y的方程组 与 的解相同.求:
(1) 这两个方程组的相同解;
2 =5,
+ = ,
+ = ,
3 +2 =11.
解:(1) 两个方程组化简可得 ∵ 两个方程组同解,
∴ 由①×2+②,得7x=21,解得x=3.把x=3代入①,得y=1.
∴ 这两个方程组的相同解为
2 =5,
+ = ,
+ = ,
3 +2 =11.
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(2) (3a-b)2025的值.
解:(2) 把 代入方程组 整理,得 由①-②,得2a=-4,解得a=-2.把a=-2代入②,得b=-5.∴ (3a-b)2025=(-6+5)2025=-1
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8(共13张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第2课时 运用加减法解二元一次方程组
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 用加减法解方程组 消去未知数x得到的方程是( C )
A. 2y=16 B. 2y=22
C. 8y=16 D. 8y=22
C
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2. 在解关于x、y的二元一次方程组 时,若由①-②可直接消去y,则a和b( B )
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 有一个为0 D. 相等
B
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3. 用加减法解方程组 下列选项中,正确的是( B )
A. 要消去x,可以将①×2-②×5
B. 要消去x,可以将①×5-②×2
C. 要消去y,可以将①×5+②×3
D. 要消去y,可以将①×3-②×5
B
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4. 已知关于x、y的方程组 的解满足x+3y=2,则m的值为( C )
A. 6 B. 2 C. -6 D. -2
5. 已知 则代数式4m-8n-3的值为( D )
A. -11 B. -13 C. 11 D. 13
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 二元一次方程组 的解是 .
7. 解方程组 时,既可由 ①-② 消去未知数x,也可由 ①+② 消去未知数y.
8. 用加减法解方程组 要消去x,可以将①× (-5) +②×2.
9. ★已知关于x、y的方程组 的解满足x-y=4,则a的值为 2 .
①-②
①+②
(-5)
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三、 解答题(共46分)
10. (20分)解下列方程组:
(1) (乐山中考)
解:记 由①+②,得3x=9,解得x=3.把x=3代入②,得y=1.∴ 方程组的解是
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(2) (广西中考)
解:记 由①+②,得2x=4,解得x=2;由①-②,得4y=2,解得y= .∴ 方程组的解为
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(3) (常德中考)
解:记 由①×2+②,得5x=25,解得x=5.将x=5代入①,得5-2y=1,解得y=2.∴ 方程组的解是
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(4)
解:记 由①×2-②,得9n=63,解得n=7.把n=7代入①,得3m+14=8,解得m=-2.∴ 方程组的解为
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11. (12分)解方程组
下面是小明的解答过程:
解:方程①去分母,得3(x-1)-2y=1.整理,得3x-2y=4③.由②-③,得3y=1,解得y= .把y= 代入②,得 +3x=5,解得x= .
∴ 原方程组的解为
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你认为小明的解答过程正确吗 若不正确,请写出正确的解答过程.
解:小明的解答过程不正确 正确的解答过程如下:方程①去分母,得3(x-1)-2y=6.整理,得3x-2y=9③.由②-③,得3y=-4,解得y=- .把y=- 代入②,得- +3x=5,解得x= .∴ 原方程组的解为
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12. ★(14分)某同学解关于x、y的方程组 时,本应解出 由于看错了系数c,而得到 求a+b-c的值.
解:根据题意,得 解得 将x=3,y=-2代入cx-7y=8,得3c+14=8,解得c=-2.∴ a+b-c=4+5+2=11
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6.4 实践与探索
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题7分,共28分)
1. 现用190张铁皮做盒子,每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底,而1个盒身与2个盒底配成1个盒子.设用x张铁皮做盒身,y张铁皮做盒底,刚好可以配套,则可列方程组为( A )
A. B.
C. D.
A
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2. 某农户养的鸡和兔一共有80只,已知鸡和兔共有230条腿,则鸡比兔多( B )
A. 14只 B. 10只 C. 8只 D. 以上都不对
3. 某城市规定:出租车起步价所包含的路程为0~3km,超过3km的部分按1km另收费(不足1km的按1km计算).甲说:“我乘这种出租车走了9.3km,付了19元.”乙说:“我乘这种出租车走了15.8km,付了31元.”出租车的起步价和超过3km后的1km的收费标准分别是( D )
A. 5元、3元 B. 4元、3元
C. 4元、2元 D. 5元、2元
B
D
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4. ★在长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形,相关数据如图所示,则图中涂色部分的面积为( B )
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
B
第4题
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二、 填空题(每题7分,共28分)
5. 一个两位数的数字之和为10,十位上的数字与个位上的数字互换后,所得新两位数比原两位数小36,则原两位数是 73 .
6. 某校今年招收新生,男生人数比去年增加15%,女生人数比去年减少10%,总人数比去年多20,共为520,则今年男生收了 322 人,女生收了 198 人.
7. 我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题,其题意如下:客人一起分银子,若每人7两,还剩4两;若每人9两,还差8两.客人人数为 6 ,银子共有 46 两.
73
322
198
6
46
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8. ★如图所示为由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面,其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低30cm,两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高50cm,则每块墙砖的截面面积是 900 cm2.
900
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三、 解答题(共44分)
9. (14分)某车间有60名工人生产甲、乙两种零件,每人每天平均能生产甲种零件24个或乙种零件12个.已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套,则应分配多少人生产甲种零件,多少人生产乙种零件,才能使每天生产的这两种零件刚好配套
解:设分配x人生产甲种零件,y人生产乙种零件.根据题意,得 解得 ∴ 应分配15人生产甲种零件,45人生产乙种零件,才能使每天生产的这两种零件刚好配套
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10. (15分)某快递公司规定:寄件不超过1千克的部分按起步价计费;寄件超过1千克的部分按超出的千克数计费.小丽分别寄快递到上海和北京,收费标准及实际收费如下表:
收费标准
目的地 起步价/元 超过1千克的部分的费用/(元/千克)
上海 a b
北京 a+3 b+4
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目的地 质量/千克 费用/元
上海 2 9
北京 3 22
求a、b的值.
解:根据题意,得 解得 ∴ a的值为7,b的值为2
实际收费
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11. ★(15分)某企业用如图①所示的长方形纸板和正方形纸板(长方形的宽与正方形的边长相等)制作消毒液包装盒(如图②),其中A款包装盒无盖,B款包装盒有盖.请你帮该企业计算用360张长方形纸板和140张正方形纸板分别做A、B款包装盒多少个能使纸板刚好全部用完.
解:设做A款包装盒x个,B款包装盒y个.根据题意,
得 解得 ∴ 做A款包装盒40个,
B款包装盒50个能使纸板刚好全部用完
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11(共13张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 运用代入法解二元一次方程组
第6章 一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 用代入法解方程组 将①代入②,可得( A )
A. 5x-4x-2=7 B. 5x-2x-1=7
C. 5x-4x+1=7 D. 5x-4x+2=7
A
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2. 用代入法解方程组 下列选项中,错误的是( D )
A. 由②,得t= ,再代入①
B. 由②,得s= ,再代入①
C. 由①,得s=1-t,再代入②
D. 由①,得t=s-1,再代入②
D
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3. 用代入法解方程组 时,将①代入②,可得x-4x+2=4,则②可以是( B )
A. x+2y=4 B. x-2y=4
C. 2x-y=4 D. 2x+y=4
4. 二元一次方程组 的解是( C )
A. B. C. D.
B
C
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5. ★若单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,则mn的值是( C )
A. 3 B. -3 C. -1 D.
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. (河南中考)方程组 的解为 .
7. 已知关于x、y的方程组 若用含x的代数式表示y,则y= -2x+4 .
8. 若(a+b-1)2+|2a-b+7|=0,则ab= -8 .
9. ★在式子x2+ax+b中,当x=2和-3时,其值均为1,则当x=-4时,其值是 7 .
-2x+4
-8
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三、 解答题(共46分)
10. (16分)解下列方程组:
(1) (苏州中考)
解:记 由①,得y=7-2x③.把③代入②,得2x-3(7-2x)=3,解得x=3.将x=3代入③,得y=1.∴ 方程组的解为
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(2) (浙江中考)
解:记 由①,得y=2x-5③.把③代入②,得4x+3(2x-5)=-10,解得x= .将x= 代入③,得y=-4.∴ 方程组的解是
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(3)
解:记 由①,得2n=3m+13③.把③代入②,得5m+4(3m+13)=1,解得m=-3.将m=-3代入③,得2n=-9+13,解得n=2.∴ 方程组的解为
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(4)
解:记 由①,得x+1=6y③.把③代入②,得2×6y-y=11,解得y=1.将y=1代入③,得x+1=6,解得x=5.∴ 方程组的解为
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11. (12分)小聪解方程组 时,发现方程组中①和②之间存在一定的关系,他发现了一种“整体代换”法,具体解法如下:
解:将方程②变形,得4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③.
把方程①代入方程③,得2×3+y=5,解得y=-1.
把y=-1代入方程①,解得x=4.
∴ 方程组的解是
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请模仿小聪的解法,解方程组
解:将方程②变形,得3(3x-2y)-y=17③.把方程①代入方程③,得3×5-y=17,解得y=-2.把y=-2代入方程①,解得x= .∴ 方程组的解是
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12. ★(18分)已知关于x、y的方程组
(1) 解这个方程组(用含a的代数式表示x、y);
解:(1)
(2) 若该方程组的解也是方程x-5y=3的一个解,求(a-4)2024的值.
解:(2) 由(1),得 则x+1=3y+6.与x-5y=3联立,得 解得 ∴ a=3.∴ (a-4)2024=(3-4)2024=1
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