(共9张PPT)
第九章小测
第九章 因式分解
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 有以下式子:① 12m3n4=3m3·4n4;② a+1=a .对于这两个式子从左到右的变形,下列判断正确的是( D )
A. ①是整式乘法 B. ②是因式分解
C. ①②均是因式分解 D. ①②均不是因式分解
2. 有下列式子:① -x2-y2; ② - a2b2+1;③ a2+ab+b2;④ -x2+2xy-y2;⑤ -mn+m2n2.其中,能用公式法分解因式的有( B )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
D
B
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3. 有下列多项式的因式分解:① x2-6xy+9y2=(x-3y)2;② 16+a4=(4+a2)(4-a2);③ 25ab2+10ab+5b=5b(5ab-2a);④ x2-(2y)2=(x-2y)(x+2y).其中,正确的有( B )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. 已知M=m-4,N=m2-3m,则M与N的大小关系为( B )
A. M>N B. M≤N
C. M=N D. M5. 无论x,y取何值,多项式x2+y2-2x-4y+6的值总是( A )
A. 正数 B. 负数
C. 非正数 D. 非负数
B
B
A
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 整式a2-a和(a-1)2的公因式为 a-1 .
7. 如果把多项式x2-8x+m分解因式得(x-10)(x+n),那么m-n的值为 -22 .
8. 已知多项式x2-6x-k.
(1) 当k=0时,分解因式:x2-6x= x(x-6) ;
(2) 若x2-6x-k是一个完全平方式,则k的值是 -9 .
a-1
-22
x(x-6)
-9
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9. 由图①,可得等式:(a+b)2=a2+2ab+b2.类比图①的方法,由图②,可得等式: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
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三、 解答题(共51分)
10. (12分)分解因式:
(1) -3a3+6a2b-3ab2;
(2) x2(m-n)+4y2(n-m).
解:原式=-3a(a2-2ab+b2)=-3a(a-b)2
解:原式=x2(m-n)-4y2(m-n)=(m-
n)(x2-4y2)=(m-n)(x+2y)(x-2y)
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11. (18分)发现:任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.
验证:(1) 计算22+42的结果是4的几倍;
解:(1) ∵ 22+42=4+16=20,20÷4=5,∴ 22+42的结果是4的5倍
(2) 设两个连续偶数较小的一个为2n(n为整数),请论证“发现”中的结论;
拓展:(3) 任意三个连续偶数的平方和 是 4的倍数(填“是”或“不是”).
解:(2) 由题意,得较大的偶数为2n+2,则它们的平方和为(2n)2+(2n+2)2=4n2+4n2+8n+4=8n2+8n+4.(8n2+8n+4)÷4=2(n2+n)+1,∵ n为整数,∴ 2(n2+n)为偶数.∴ 2(n2+n)+1为奇数,即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍
是
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12. ★(21分)我们将形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式,我们常进行如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.配方法是一种解决数学问题的重要方法,不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题.
例如:将x2+2x-3分解因式.
原式=x2+2x+1-1-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).
例如:求代数式x2+4x+6的最小值.
原式=x2+4x+4-4+6=x2+4x+4+2=(x+2)2+2.
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∵ (x+2)2≥0,∴ 当x=-2时,x2+4x+6取得最小值,为2.
解决下列问题:
(1) 若多项式x2+6x+m是一个完全平方式,则常数m的值为 9 ;
(2) 分解因式:x2+6x-16= (x+8)(x-2) ;
(3) 若x>-1,比较多项式x2+6x+5和0的大小;
(4) 求代数式-x2-6x-5的最大值或最小值.
解:(3) x2+6x+5=x2+6x+9-9+5=(x2+6x+9)-4=(x+3)2-4=(x+3-2)(x+3+2)=(x+1)(x+5).∵ x>-1,∴ x+1>0,x+5>4.∴ x2+6x+5=(x+1)(x+5)>0
(4) 原式=-(x2+6x+9-9)-5=-(x+3)2+4.∵ -(x+3)2≤0,
∴ 代数式-x2-6x-5的最大值为4
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(x+8)(x-2)
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12(共11张PPT)
9.3 公 式 法 第1课时 用平方差公式分解因式
第九章 因式分解
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是( C )
A. 4x2+y2 B. -4x2-y2 C. -4x2+y2 D. -4x+y2
2. 对4x2-16因式分解,嘉嘉的解答为4(x+2)(x-2);琪琪的解答为(2x+2)(2x-2).下列判断正确的是( A )
A. 只有嘉嘉的结果对 B. 只有琪琪的结果对
C. 两人的结果都对 D. 两人的结果都不对
3. 若a+b=3,a-b= ,则a2-b2的值为( A )
A. 1 B. C. D. 9
C
A
A
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4. ★对任意整数n,(2n+3)2-1都( C )
A. 能被2整除,不能被4整除 B. 能被3整除
C. 既能被2整除,又能被4整除 D. 能被5整除
5. ★★小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子为x□-4y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有( D )
A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种
C
D
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 分解因式:ab2-4a= a(b+2)(b-2) .
7. 若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2的值为 -200 .
8. 若a,b,c是三角形的三边长,则(a-b)2-c2 < 0(填“>”“<”或“=”).
9. 如图①,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个如图②所示的长方形.通过计算涂色部分的面积,可以验证的公式为 a2-b2=(a+b)(a-b) .
a(b+2)(b-2)
-200
<
a2-b2=(a+b)(a-b)
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三、 解答题(共51分)
10. (15分)把下列各式分解因式:
(1) x2-4y2; (2) -1+25x2y2; (3) 6m3n-24mn;
解:原式= ·
解:原式=(5xy+1)·(5xy-1)
解:原式=6mn(m+2)·(m-2)
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(4) a4 -81;
(5) (a-2b)2-49(a+b)2.
解:原式=(a2+9)(a+3)(a-3)
解:原式=-3(8a+5b)(2a+3b)
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11. (10分)用简便方法计算:
(1) 49.72-50.32;
(2) .
解:原式=(49.7+50.3)×(49.7-
50.3)=100×(-0.6)=-60
解:原式= =
=500
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12. ★ (11分)如图①,在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b).
(1) 图①中涂色部分的面积为 a2-b2 ;
(2) 沿图①中的虚线剪拼成如图②所示的三角形,则图②中涂色部分的面积为 (2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b) ;
(3) 由(1)(2)可以得到等式: a2-b2=(a+b)(a-b) ;
a2-b2
(2a+2b)(a-b)=(a+b)(a-b)
a2-b2=(a+b)(a-b)
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(4) 利用(3)中得出的等式计算:20262-20252.
解:20262-20252=(2026+2025)×(2026-
2025)=4051
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13. ★★ (15分)认真观察下列等式,按其规律,解决问题:
① 42-22=4×3;② 62-42=4×5;③ 82-62=4×7;④ 102-82=4×9 ;….
(1) 将横线上的等式补充完整;
(2) 验证规律:设两个连续的正偶数为2n,2n+2(n为正整数),则它们的平方差是4的倍数;
解:(2) (2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)·(2n+2-2n)=4(2n+1).∵ n为正整数,∴ 2n+1为正整数.∴ 若两个连续的正偶数为2n,2n+2(n为正整数),
则它们的平方差是4的倍数
102-82=4×9
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(3) 拓展延伸:判断两个连续的正奇数的平方差是否为8的整数倍,并说明理由.
解:(3) 是 理由:设两个连续的正奇数为2m-1,2m+1(m为正整数).(2m+1)2-(2m-1)2=[(2m+1)-(2m-1)][(2m+1)+(2m-1)]=2×4m=8m.∵ m为正整数,∴ 两个连续的正奇数的平方差是8的整数倍.
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9.2 提公因式法
第九章 因式分解
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 把多项式8a2b2-16a2b2c2分解因式,应提的公因式为( A )
A. 8a2b2 B. 4a2b2 C. 8ab2 D. 8ab
2. 整式A=x-1,B=x2-x,有以下结论:① A·x=B;② A,B的公因式为x.下列判断正确的是( A )
A. ①正确,②不正确 B. ①不正确,②正确
C. ①②都正确 D. ①②都不正确
A
A
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3. 下列分解因式的结果正确的是( D )
A. 2x2+3x3+x=x(2x+3x2) B. 3y2z-6y3z=-3y2(z-2yz)
C. -2a3+4a2-8a=-a(2a2+4a-8) D. -10b2+15bc-20b=-5b(2b-3c+4)
D
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4. 把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于( C )
A. (a-2)(m2+m) B. (a-2)(m2-m)
C. m(a-2)(m-1) D. m(a-2)(m+1)
5. (-5)2 023+(-5)2 024一定能被下列哪个数整除( B )
A. 3 B. 4 C. 9 D. 2 023
C
B
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 多项式3x2y2-12x2y4-6x3y3的公因式为 3x2y2 .
7. 若 则7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值为 6 .
8. 若m+2n=1,则3m2+6mn+6n的值为 3 .
9. ★如图,长和宽分别为a,b的长方形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 70 .
第9题
3x2y2
6
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70
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三、 解答题(共51分)
10. (15分)把下列各式分解因式:
(1) -8x2y+4xy;
(2) 3xyz2-15xy2z+9x2yz;
(3) -4m3+12m2-6m;
解:原式=-4xy(2x-1)
解:原式=3xyz(z-5y+3x)
解:原式=-2m(2m2-6m+3)
(4) (a+5b)2+(a+5b)(a-b);
(5) 12(a-b)2+18(b-a)3.
解:原式=(a+5b)[(a+5b)+(a-b)]=
(a+5b)(2a+4b)=2(a+5b)(a+2b)
解:原式=6(a-b)2(2+3b-3a)
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11. (12分)用简便方法计算:
(1) ×25.3+0.25×78.6-3.9× ;
解:原式= ×(25.3+78.6-3.9)= ×100=25
(2) 2022-404;
解:原式=2022-2×202=202×(202-2)=202×200=40 400
(3) ×25.6×13+24.4×0.2×13-13×40× .
解:原式=0.2×13×(25.6+24.4-40)=0.2×13×10=26
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12. (11分)三角形ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,判断三角形ABC的形状,并说明理由.
解:三角形ABC是等腰三角形 理由:∵ a+2ab=c+2bc,∴ a-c+2ab-2bc=0,即(a-c)(2b+1)=0.∵ a,b,c是三角形ABC的三边长,∴ b>0.∴ 2b+1≠0.∴ a-c=0.∴ a=c.∴ 三角形ABC是等腰三角形.
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13. ★(13分)阅读下面分解因式的过程,再回答所提出的问题.
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1) 上述分解因式的方法是 提公因式法 ,共运用了 2 次;
(2) 若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2023,则需运用上述方法 2023 次,结果是 (1+x)2024 ;
(3) 分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
解:(1+x)n+1
提公因式法
2
2023
(1+x)2024
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9.1 因式分解
第九章 因式分解
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 对于下面两个自左向右的变形:① 6x2y=2x·3xy; ② x2-2x+1=x(x-2)+1.其中,说法正确的是( B )
A. ①②均为因式分解 B. ①②均不是因式分解
C. ①是因式分解,②是整式乘法 D. ①是整式乘法,②是因式分解
2. 下列各式从左到右的变形中,属于因式分解的为( B )
A. 3x+2x-1=5x-1 B. 2x2-8y2=2(x+2y)(x-2y)
C. x2+x=x D. (3a+2b)(3a-2b)=9a2-4b2
B
B
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3. 若x2+mx+4=(x-2)2,则下列结论正确的是( D )
A. 等式从左到右的变形是乘法公式,m=4
B. 等式从左到右的变形是因式分解,m=4
C. 等式从左到右的变形是乘法公式,m=-4
D. 等式从左到右的变形是因式分解,m=-4
4. 若x2+mx-18能分解为(x-9)(x+n),则m,n的值是( B )
A. 7,2 B. -7,2 C. -7,-2 D. 7,-2
5. ★某同学粗心大意,分解因式时,把等式a4-※=(a2+9)(a+3)(a-●)中的两个数弄污了,那么你认为式子中的※和●所对应的数分别是( B )
A. 9,3 B. 81,3 C. 81,9 D. 27,3
D
B
B
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 有下列各式:① (x+5)(x-5)=x2-25;② y2-9=(y+3)(y-3);③ a2+2a+1=a(a+2)+1;④ a2b+ab2+a=a(ab+b2+1).其中,属于因式分解的是 ②④ (填序号).
7. 已知(2x+3)(3x-4)=6x2+x-12,则分解因式:6x2+x-12= (2x+3)(3x-4) .
8. 分解因式x2+ax+b时,甲看错了a的值,分解的结果是(x-3)(x+2);乙看错了b的值,分解的结果是(x-2)(x-3),那么a+b的值是 -11 .
②④
(2x+3)(3x-4)
-11
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9. 如图所示的大长方形是由5个大小相同的小长方形、两个边长为a的大正方形和两个边长为b的小正方形拼成的,利用大长方形的面积,写出一个关于因式分解的等式:________________________________.
2a2+5ab+2b2=(2a+b)(a+2b)
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三、 解答题(共51分)
10. (20分)下列各式从等号左边到右边的变形,哪些是因式分解 哪些是整式乘法
(1) (a+5)(a-1)=a2+4a-5; (2) (b+3)(b-3)=b2-9;
(3) 12ax-12ay=12a(x-y); (4) x2-10xy+25y2=(x-5y)2.
解:(3)(4)是因式分解 (1)(2)是整式乘法
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11. (15分)检验下列因式分解是否正确.
(1) 3x3y-3xy3=3xy(x+y)(x-y);
解:∵ 3xy(x+y)(x-y)=3xy(x2-y2)=3x3y-3xy3,∴ 3x3y-3xy3=3xy·(x+y)(x-y)因式分解正确
(2) 2a2-1=(2a+1)(2a-1);
解:∵ (2a+1)(2a-1)=4a2-1≠2a2-1,∴ 2a2-1=(2a+1)(2a-1)因式分解不正确
(3) x2-3x+2=(x-1)(x-2).
解:∵ (x-1)(x-2)=x2-3x+2,∴ x2-3x+2=(x-1)(x-2)因式分解正确
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12. ★(16分)阅读材料:
已知二次三项式2x2+x+a有一个因式为(x+2),求另一个因式及a的值.
解:设另一个因式为(2x+b).
根据题意,得2x2+x+a=(x+2)(2x+b).
展开,得2x2+x+a=2x2+(b+4)x+2b.
∴ 解得
∴ 另一个因式为(2x-3),a的值是-6.
请你仿照以上做法解答下面的问题:
已知二次三项式3x2+10x+m有一个因式为(x+4),求另一个因式及m的值.
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解:设另一个因式为(3x+b).根据题意,得3x2+10x+m=(x+4)(3x+b).展开,得3x2+10x+m=3x2+(b+12)x+4b.∴ 解得 ∴ 另一个因式为(3x-2),m的值是-8
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9.3 公 式 法 第2课时 用完全平方公式分解因式
第九章 因式分解
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的是( B )
A. x2-x+1 B. 1-2xy+x2y2
C. a2-a+ D. a2+2ab-b2
2. 将多项式2ax2-4ax+2a分解因式的结果是( D )
A. a(2x-1)2 B. a(2x+1)2
C. 2a(x+1)2 D. 2a(x-1)2
B
D
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3. 如图所示为嘉淇计算某道题的过程,下列选项中,结论不正确的是( C )
2x+x2-2(3x-2)
=2x+x2-6x+4……第一步
=x2+2x-6x+4……第二步
=x2-4x+4……第三步
=(x-2)2……第四步第3题
A. 第一步用到了去括号法则 B. 第二步用到了加法交换律
C. 第三步用到了减法结合律 D. 第四步用到了完全平方公式
4. 若4x2-kx+1能用完全平方公式分解因式,则k的值为( C )
A. -4 B. 4 C. -4或4 D. -8或8
C
C
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5. ★有三种卡片,其中边长为a的正方形卡片有1张,长和宽分别为a,b的长方形卡片有6张,边长为b的正方形卡片有9张.用这16张卡片拼成一个大正方形,则这个大正方形的边长为( A )
A. a+3b B. 3a+b C. a+2b D. 2a+b
A
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 分解因式:
(1) x2- x+ = ; (2) 2m2-8mn+8n2= 2(m-2n)2 .
7. 若a+b=-5,ab=-10,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 -250 .
8. 若a2+4b2-6a+4b+10=0,则a= 3 ,b= - .
2(m-2n)2
-250
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-
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9. ★我们已经学过用面积来说明公式,如x2+2xy+y2=(x+y)2就可以用图①中的面积来说明.请写出图②中面积所说明的公式:__________________.
(x+p)(x+q)
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三、 解答题(共51分)
10. (24分)把下列各式分解因式:
(1) x2-7x+ ;
(2) -25x2+10xy-y2;
(3) 18a2b2-12ab+2;
解:原式=
解:原式=-(5x-y)2
解:原式=2(3ab-1)2
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(4) (m2+n2)2-4m2n2;
(5) m4-18m2+81;
解:原式=(m2+n2+2mn)(m2+n2-2mn)=
(m+n)2(m-n)2
解:原式=(m2-9)2=
(m+3)2(m-3)2
(6) (n2+1)2-4n(n2+1)+4n2.
解:原式=(n-1)4
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11. (12分)用简便方法计算:
(1) 20.72-20.7×1.4+0.49; (2) 40×31.52-80×31.5×11.5+40×11.52.
解:原式=20.72-2×20.7×0.7+0.72=
(20.7-0.7)2=202=400
解:原式=40×(31.52-2×31.5×11.5+11.52)=
40×(31.5-11.5)2=40×400=16000
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12. ★★(15分)阅读材料:
在因式分解中,把多项式中的某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
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解:设x2-4x=y.
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
请根据上述材料,回答下列问题:
(1) 小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了( C )
A. 提取公因式法 B. 平方差公式法 C. 完全平方公式法
C
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(3) 请你依照以上方法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
解:设x2+2x=y.原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4
(2) 老师认为小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: (x-2)4 ;
(x-2)4
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