(共13张PPT)
6.3 二元一次方程组的应用
第1课时 用二元一次方程组解较简单的实际问题
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 今年哥哥的年龄是妹妹的2倍,2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍,求今年哥哥和妹妹的年龄.设哥哥今年x岁,妹妹今年y岁,则可列方程组为( B )
A. B.
C. D.
B
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2. 汽车运输公司有A,B两种车型的旅游大客车.已知两种车型的座位数不同,1辆A型车和1辆B型车共可乘坐105人,2辆A型车和1辆B型车共可乘坐150人,则A,B两种车型的旅游大客车的座位数分别为( A )
A. 45,60 B. 65,45 C. 40,65 D. 60,45
A
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3. 李老师逛超市时看中一套碗,她将碗叠成一摞(如图),测量后发现:用2个碗叠放时的总高度为7.5cm,用4个碗叠放时的总高度为11.5cm.若将8个碗叠成一摞正好能放入消毒柜,则这个消毒柜的高度至少有( B )
A. 15.5cm B. 19.5cm C. 23cm D. 30cm
B
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4. 课后活动中,小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏,飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同,每人投5次飞镖,其落点如图所示.已知小杰和小明的5次飞镖总成绩分别为41分和47分,则小丽的5次飞镖总成绩为( B )
A. 37分 B. 38分 C. 39分 D. 40分
B
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5. 有大、小两种货车,已知3辆大货车与2辆小货车一次可以运货20吨,5辆大货车与4辆小货车一次可以运货35吨,则4辆大货车与2辆小货车一次可以运货( D )
A. 22吨 B. 23吨 C. 24吨 D. 25吨
D
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二、 填空题(每题8分,共24分)
6. 某车间每天能生产甲种零件300个或者乙种零件500个,甲、乙两种零件各一个可配成一套.现在要用48天生产零件,且使所生产的零件刚好成套,那么生产甲种零件应当用 30 天,生产乙种零件应当用 18 天.
7. 同学们喜欢足球吗 如图,足球一般是用黑、白两种颜色的皮块缝制而成,黑色皮块是正五边形,白色皮块是正六边形.若一个足球上共有黑、白皮块32块,请你计算一下,黑色皮块和白色皮块的块数分别为 12 , 20 .
第7题
30
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20
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8. ★★某酒店客房部有三人间普通客房和双人间普通客房.三人间的价格为150元/天,双人间的价格为140元/天.为吸引游客,酒店实行团体入住五折优惠的措施,一个46人的旅游团,优惠期间到该酒店入住,住了一些三人间普通客房和双人间普通客房,若每间客房都正好住满,且一天共花去住宿费1310元,则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共 18 间.
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三、 解答题(共46分)
9. (14分)一套工具由1个A部件和6个B部件构成.用1kg材料可以做5个A部件或20个B部件.现有10kg材料,若要生产出最大数量的该套工具,则应该如何分配材料制作A,B部件
解:设用x kg材料制作A部件,y kg材料制作B部件.根据题意,得 解得 所以用4kg材料制作A部件,6kg材料制作B部件
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10. (14分)用白铁皮做罐头盒,每张白铁皮可制25个盒身或40个盒底,1个盒身与2个盒底配成一套.现在有36张白铁皮,分别用多少张白铁皮制盒身和盒底可使盒身与盒底正好配套
解:设用x张白铁皮制盒身,y张白铁皮制盒底可使盒身与盒底正好配套.根据题意,得 解得 所以用16张白铁皮制盒身,20张白铁皮制盒底可使盒身与盒底正好配套
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11. ★★(18分)某汽车制造厂开发了一种新式电动汽车,计划一年生产并安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成这种新式电动汽车的安装,该厂决定招聘一些新工人,他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆新式电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆新式电动汽车.
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解:(1) 设每名熟练工每月可以安装x辆新式电动汽车,每名新工人每月可以安装y辆新式电动汽车.根据题意,得 解得 所以每名熟练工每月可以安装4辆新式电动汽车,每名新工人每月可以安装2辆新式电动汽车
(1) 每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆新式电动汽车
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(2) 设该厂招聘n(0解:(2) 设抽调的熟练工有m名.根据题意,得12(4m+2n)=240.整理,得n=10-2m.因为01
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6.2 二元一次方程组的解法
第1课时 用代入消元法解二元一次方程组
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 解方程组 的最好方法是( C )
A. 由①,得m= ,再代入② B. 由②,得m= ,再代入①
C. 由①,得3m=4n+7,再代入② D. 由②,得9m=10n-25,再代入①
2. 对于二元一次方程组 把①代入②,消去y后所得到的方程为3x-x-5=8,则①可以是( A )
A. y=x+5 B. y=x-5 C. x=y+5 D. x=3y-5
C
A
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3. 老师设计了一个解方程组的接力游戏,四名同学每人做一步,每人只能看到前一人给出的步骤,并进行下一步计算,再将结果传递给下一个人,用合作的方式完成该方程组的解题过程,过程如图所示,合作中出现错误的同学是( B )
A. 甲 B. 丙 C. 乙和丁 D. 甲和丙
B
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4. 琪琪在解二元一次方程组 时,解得 则△和●代表的数分别是( A )
A. 5,2 B. 2,5 C. 1,-2 D. -2,1
5. ★定义一种新运算“※”,规定x※y=ax+by2,其中a,b为常数,且1※2=5,2※1=3,则3※1等于( B )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
A
B
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 二元一次方程组 的解为 .
7. 已知x与y互为相反数,且3x-2y=10,则x= 2 ,y= -2 .
8. 已知二元一次方程组
(1) 把方程②改写成用含x的代数式表示y的形式: y=4x-3 ;
(2) 这个方程组的解是 .
2
-2
y=4x-3
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9. ★★已知一个两位数,它的十位数字比个位数字大3,若将十位数字和个位数字交换位置,所得的新两位数比原两位数的 大15,则这个两位数是 63 .
63
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三、 解答题(共51分)
10. (24分)用代入消元法解方程组:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
解:
解:
解:
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11. (12分)对于有理数x,y,规定新运算:x※y=ax+by+xy,其中a,b是常数,且2※1=9,(-3)※3=-6,求4※6的值.
解:由题意,得 解得 ,所以x※y=2x+3y+xy.所以4※6=2×4+3×6+4×6=50
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12. (15分)(山西中考)科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克,从2.5吨废旧智能手机中能提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中能提炼出的白银的克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
解:设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克.根据题意,得 解得 所以从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克
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12(共11张PPT)
小专题(二) 二元一次方程组的实际应用
第六章 二元一次方程组
类型一 图表信息问题
1. 某快车是一种便捷的出行工具,其计价规则如下表:
计费项目 里程费 时长费 远途费
单 价 1.8元/千米 0.3元/分钟 0.8元/千米
注:车费由里程费、时长费、远途费三部分构成,其中里程费按行车的实际里程计算;时长费按行车的实际时间计算;远途费的收取方式为:行车里程7千米以内(含7千米)不收远途费,超过7千米的,超出部分每千米收0.8元.
小王与小张各自乘坐快车,在同一地点约见,已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米,两人付给快车的乘车费相同.
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(1) 求这两辆快车的实际行车时间相差多少分钟.
(1) 根据题意,得1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×(8.5-7),整理,得x-y=19.因为小王和小张的实际乘车时间即为两辆快车的实际行车时间,所以这两辆快车的实际行车时间相差19分钟
(2) 实际乘车时间较少的人,由于出发时间比另一人早,所以提前到达约见地点在大厅等候.已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍,且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟,计算两人各自的实际乘车时间.
(2) 根据题意,得 解得 所以小王的实际乘车时间为37分钟,小张的实际乘车时间为18分钟
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解:设小王的实际乘车时间为x分钟,小张的实际乘车时间为y分钟.
2. 如图,长青化工厂与A,B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费15 000元,铁路运输费97200元.解决以下问题:
(1) 该工厂从A地购买了多少吨原料 制成运往B地的产品多少吨
解:(1) 设该工厂从A地购买了x吨原料,制成运往B地的产品y吨.根据题意,得 解得 答:该工厂从A地购买了400吨原料,制成运往B地的产品300吨
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(2) 这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元
第2题
解:(2) 8 000×300-(1 000×400+15 000+97 200)=1 887 800(元).答:这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元
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类型二 方案设计问题
3. 在3月12日植树节活动中,某校组织甲、乙两队参加义务植树活动,并购买队服(每人一套).某服装厂给出的服装的价格如下表:
购买服装的数量 1~39套(含39套) 40~69套(含69套) 70套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
甲、乙两队共75人,其中甲队人数较多,不少于40人,乙队人数较少,但不少于10人.如果各自购买队服,两队共需花费5600元.
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(1) 如果甲、乙两队联合起来购买服装,那么比各自购买服装可以节省多少元
解:(1) 联合起来购买75套共需花费75×60=4 500(元),所以可以节省5600-4500=1 100(元)
(2) 甲、乙两队各有多少人(列方程组解决问题)
解:(2) 设甲队有x人,乙队有y人.根据题意,得 解得 答:甲队有40人,乙队有35人
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(3) 到了现场,因工作分配需要,临时决定从甲队抽调a人,从乙队抽调b人,组成丙队.现已知重新组队后,甲队平均每人需植树1棵,乙队平均每人需植树4棵,丙队平均每人需植树6棵,甲、乙、丙三队共需植树265棵,请求出所有的抽调方案(要求从每队抽调的人数不少于10).
解:(3) 根据题意,得6(a+b)+(40-a)+4(35-b)=265.整理,得b= .因为要求从每队抽调的人数不少于10,且人数为正整数,所以 或 所以共有两种抽调方案:① 从甲队抽调13人,从乙队抽调10人;② 从甲队抽调11人,从乙队抽调15人
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4. 小明家需要用钢管做防盗窗,按设计要求,其中需要长为0.8米的钢管100根,还需要长为2.5米的钢管32根,两种长度的钢管粗细必须相同,并要求这些用料不能是焊接而成的.经市场调查,钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米.
(1) 试问:把一根长为6米的钢管进行切割,有下面几种方法,请完成填空(余料作废).
方法①:只切割成长为0.8米的用料时,最多可切割7根;
方法②:先切割下1根2.5米长的用料,余下部分最多能切割成长为0.8米的用料 4 根;
方法③:先切割下2根2.5米长的用料,余下部分最多能切割成长为0.8米的用料1根.
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(2) 分别用(1)中的方法②和方法③各切割多少根6米长的钢管,才能刚好得到所需要的相应数量的材料
解:(2) 设用方法②切割x根6米长的钢管,用方法③切割y根6米长的钢管.根据题意,得 解得 答:用方法②切割24根6米长的钢管,用方法③切割4根6米长的钢管,才能刚好得到所需要的相应数量的材料
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解:(3) 设用方法①切割m根6米长的钢管,用方法③切割n根6米长的钢管.根据题意,得 解得 所以m+n=28.因为x+y=24+4=28,所以m+n=x+y.设用方法①切割a根6米长的钢管,用方法②切割b根6米长的钢管.根据题意,得 解得 无意义.所以方法①与方法③联合,所需要6米长的钢管与(2)中的根数相同
(3) 试探究:除(2)中的方案外,在(1)中还有哪两种方法联合,所需要6米长的钢管与(2)中的根数相同
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4(共10张PPT)
6.2 二元一次方程组的解法
第2课时 用加减消元法解二元一次方程组
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 解关于x,y的二元一次方程组 时,若①+②可以直接消去未知数y,则☉和 的关系是( B )
A. 互为倒数 B. 互为相反数
C. 大小相等 D. 无法确定
2. 已知二元一次方程组 则x-y的值是( A )
A. 2 B. -2 C. 0 D. -1
B
A
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3. 利用加减消元法解方程组 嘉嘉说:“要消去x,可以将①×3-②×5.”淇淇说:“要消去y,可以将①×3+②×2.”关于嘉嘉和淇淇的说法,下列判断正确的是( B )
A. 嘉嘉对,淇淇不对 B. 嘉嘉不对,淇淇对
C. 嘉嘉和淇淇都对 D. 嘉嘉和淇淇都不对
B
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4. 若关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y=7,则k的值是( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. ★已知 和 是方程mx-ny=4的两组解,则下列结论正确的是( C )
A. m=-3,n=4 B. m=3,n=-4
C. m=3,n=4 D. m=-3,n=-4
B
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 用加减消元法解二元一次方程组 时,要使方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数,必须进行适当的变形.有以下四种变形:① ② ③ ④ 其中,正确的是 ②④ (填序号).
7. 已知二元一次方程组 不解方程组,则x+y= 5 ,x-y= -21 .
②④
5
-21
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8. ★已知关于x,y的二元一次方程组 佳佳通过计算发现,无论a取何值,x+2y的值始终不变,则这个值是 1.5 .
9. ★★如图,在天平上放若干苹果和香蕉,其中图①②中的天平保持平衡,现要使图③中的天平也保持平衡,需要在天平右盘中放入砝码的克数为 250 .
1.5
250
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三、 解答题(共51分)
10. (24分)解下列方程组:
(1) (浙江中考)
(2)
解:
解:
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(3)
(4)
解:
解:
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11. (13分)(吉林中考)钢琴素有“乐器之王”的美称.键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个,白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色琴键的个数.
解:设白色琴键的个数为x,黑色琴键的个数为y.根据题意,得 解得 所以白色琴键的个数为52,黑色琴键的个数为36
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12. ★(14分)已知关于x,y的方程组 和 的解相同,求a,b的值.
解:根据题意,得方程组 解得 将 代入方程组 得 解得
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12(共10张PPT)
6.1 二元一次方程组
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 下列方程中,属于二元一次方程的是( D )
A. 2x+3y=z B. +y=5
C. x2+y=0 D. y= (x+8)
2. 下列方程组中,属于二元一次方程组的是( B )
A. B.
C. D.
D
B
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3. 表中给出的每一对x,y的值都是二元一次方程ax-y=9的解,则m等于( A )
x 1 2 3
y -7 m -3
A. -5 B. -3 C. 3 D. 5
4. ★二元一次方程组 的解为 则被遮盖的两个数 ,*分别为( A )
A. 2,1 B. 1,2 C. 2,3 D. 3,2
A
A
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5. ★(威海中考)《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书中提到这样一道题目:以绳测井.若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何 大意如下:用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等份,那么绳长比井深多4尺;如果将绳子折成四等份,那么绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺 若设绳长x尺,井深y尺,则符合题意的方程组是( C )
C
A. B.
C. D.
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 若(k+2)x+y|k|-1=0是关于x,y的二元一次方程,则k= 2 .
7. 已知 是关于x,y的二元一次方程3mx-ny+6=0的解.
(1) 4m-n= -2 ;
(2) n= 4m+2 (用含m的代数式表示).
2
-2
4m+2
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8. ★《九章算术》是我国的一部数学经典著作,其中一次方程组的系数和常数项用算筹摆成,如图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来,就是 类似地,如图②所示的算筹图用方程组表示出来,就是 .
第8题
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9. ★将一张面值为100元的人民币,兑换成10元或20元的零钱,兑换方案有 6 种.
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三、 解答题(共51分)
10. (11分)已知方程(2m-6)x|m-2|+(n-2) =0是关于x,y的二元一次方程,求m,n的值.
解:由题意可知,|m-2|=1,n2-3=1,解得m=1或m=3,n=±2.又2m-6≠0,n-2≠0,解得m≠3,n≠2.所以m=1,n=-2
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11. (20分)已知二元一次方程3x+2y=18.
(1) 当x=2时,y= 6 ;当y=2时, x= .
(2) 把方程写成用含x的代数式表示y的形式.
解:(2) 因为3x+2y=18,所以2y=18-3x.所以y=9- x
(3) 写出此方程的所有非负整数解.
=0,
=9,
=2,
=6,
=4,
=3,
=6,
=0
解:(3) 此方程的所有非负整数解为
6
x=
=0,
=9,
=2,
=6,
=4,
=3,
=6,
=0
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12. ★(20分)根据题意,列二元一次方程组(不求解):
(1) 两批货物,第一批360吨,用5节火车车厢和12辆汽车正好装完;第二批500吨,用7节火车车厢和16辆汽车正好装完.每节火车车厢和每辆汽车各装货物多少吨
解:(1) 设每节火车车厢、每辆汽车分别装货物x吨、y吨.根据题意,得
(2) 用一根绳子环绕一棵大树.若环绕大树3周,则绳子还多4尺;若环绕大树4周,则绳子又少了3尺.这根绳子有多长 环绕大树一周需要多少尺
解:(2) 设这根绳子有x尺长,环绕大树一周需要y尺.根据题意,得
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小专题(一) 二元一次方程组常见消元技巧
第六章 二元一次方程组
类型一 利用换元法解方程组
1. 阅读材料,解答问题:
解方程组 时,我们可以设x+y=a,x-y=b,则原方程组可以变形为 解得 则 再解这个方程组,得 这种解方程的过程,就是把某个式子看作一个整体,用一个字母代替它,这种解方程组的方法叫作换元法.
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请用换元法解方程组:
解:设x+y=a,x-y=b,则原方程组可以变形为 解得 所以 解得
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类型二 利用整体思想解方程组
2. 阅读材料,解决问题:
解方程组 时,由①,得x-y=1③,然后将③代入②,得4×1-y=5,得y=-1,从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”.
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请用这样的方法解方程组:
解:记 由①,得2x-y=2③,将③代入②,得 +2y=12,解得y=5.把y=5代入③,得x=3.5.所以方程组的解为
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3. 已知关于x,y的二元一次方程组 的解满足x+y=4,求a的值.
解:记 ①+②,得5x+5y=3a+2,所以x+y= .又x+y=4,所以 =4,解得a=6
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类型三 解系数较大的方程组
4. 阅读下面解方程组的方法,然后解答问题:
解方程组 时,由于x,y的系数及常数项的数值较大,如果用常规的代入消元法、加减消元法来解,那么计算量较大,且易出现运算错误,而采用下面的解法则比较简单:
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②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1③.
③×14,得14x+14y=14④.
①-④,得y=2,把y=2代入③,得x=-1.
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所以原方程组的解是
(1) 请你运用上述方法解方程组
解:(1) 记 ②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1③.③×2 022,得2 022x+2 022y=2 022④.①-④,得y=2.把y=2代入③,得x+2=1,解得x=-1.所以原方程组的解是
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(2) 请你直接写出方程组 的解: ______ .
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(3) 猜测关于x,y的方程组 (m≠n)的解是什么 并用方程组的解加以验证.
解:(3) 猜测: 当x=-1,y=2时,第一个方程:左边=-m+(m+1)×2=-m+2m+2=m+2=右边,第二个方程:左边=-n+(n+1)×2=-n+2n+2=n+2=右边,所以 是原方程组的解
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类型四 利用参数法解方程组
5. 解方程组:
解:记 由①,设x=2m,则y=3m,将其代入②中,得4×2m-3×3m=3,解得m=-3.所以x=2×(-3)=-6,y=3×(-3)=-9.所以原方程组的解为
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6.4 三元一次方程组
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 下列方程组中,不是三元一次方程组的是( B )
A. B.
C. D.
B
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2. 解三元一次方程组 要使解法较为简便,首先应进行的变形为( A )
A. ①+② B. ①-② C. ①+③ D. ②-③
A
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3. 三元一次方程组 的解是( D )
A. B. C. D.
4. 若(2x-4)2+(x+y)2+|4z-y|=0,则x+y+z等于( A )
A. - B. C. 2 D. -2
D
A
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5. 有甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件、乙2件、丙1件,则共需315元;若购买甲1件、乙2件、丙3件,则共需285元.现要购买甲、乙、丙各1件,则共需( C )
A. 128元 B. 130元 C. 150元 D. 160元
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 已知关于x,y,z的三元一次方程组 的解使式子x-2y+3z的值等于-6,则k的值为 -1 .
7. 已知关于a,b,c的单项式 ax+y-zbx+z-ycz与- a11by+z-xc的和等于0,则x+y+z= 13 .
-1
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关于a,b,c的运算 a-c 2b-c a+b-c 2a+b+c
运算的结果 -4 1 -1 10
9. 已知一个三位数,各数位上的数字之和为12,个位上的数字是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍,百位上的数字是十位上的数字的3倍,则这个三位数是 318 .
10
318
8. 已知a,b,c是有理数,观察下表中的运算,并在空格内填上相应的数.
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三、 解答题(共51分)
10. (18分)解方程组:
(1)
(2)
解:
解:
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11. (15分)已知等式y=ax2+bx+c,且当x=1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=-3时,y=28.
(1) 求a,b,c的值;
解:(1) 由题意,得 解得
(2) 当x=-2时,y的值是多少
解:(2) 由(1)知,a,b,c的值分别是2,-3,1.所以y=2x2-3x+1.当x=-2时,y=2×(-2)2-3×(-2)+1=2×4+6+1=15
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12. (18分)某市举办“春暖桃城·温享生活”消费券多次投放活动,每期消费券共可减68元,共5张,其中A型1张,B型2张,C型2张,如下表:
消费券类型 A型 B型 C型
活动情况 满168元减38元 满50元减10元 满20元减5元
在此次活动中,小明父母领到多期消费券.
(1) 若小明妈妈用三种不同类型的消费券共减了199元,已知她用了3张A型消费券,5张B型消费券,则用了 7 张C型消费券.
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(2) 小明父母使用消费券共减了230元.若他们用12张三种不同类型的消费券消费,已知C型消费券比A型消费券多1张,求他们用这三种不同类型的消费券各多少张.
解:设小明父母用了A型消费券x张,B型消费券y张,C型消费券z张.根据题意,得 解得 答:小明父母用了A型消费券5张,B型消费券1张,C型消费券6张
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第六章小测
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 下列4组数中,是二元一次方程3x-y=4的解的为( A )
A. B.
C. D.
A
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2. 解关于x,y的二元一次方程组 时,若①-②可直接消去一个未知数,则◎和☆的关系是( A )
A. ◎=☆ B. ◎+☆=0
C. ◎+☆=1 D. ◎×☆=1
A
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3. 解以下两个方程组:① ② 较为简便的方法是( A )
A. ①用代入消元法,②用加减消元法
B. ①用加减消元法,②用代入消元法
C. 都用代入消元法
D. 都用加减消元法
A
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4. 我国民间流传着许多趣味算题,多以顺口溜的形式表达,请大家看这样的一个数学问题:一群老人去赶集,半路买了一堆梨,一人一个多一梨,一人两个少二梨,请问君子知道否,几个老人几个梨 下列结论正确的是( A )
A. 3个老人4个梨 B. 4个老人3个梨
C. 5个老人6个梨 D. 7个老人8个梨
A
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5. 两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的 ,另一根露出水面的长度是它的 .若两根铁棒的长度之差为20cm,有下列说法:① 两根铁棒的长度之和为340cm;② 其中一根铁棒的长度为170cm;③ 两根铁棒的长度之和为440cm;④ 其中一根铁棒露出水面的长度为60cm.其中,说法正确的个数为( C )
A. 0 B. 3 C. 2 D. 1
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 若3x2a+b+1+5ya-2b-1=0是关于x,y的二元一次方程,则a+b= - .
7. 若方程组 的解x,y的值互为相反数,则k的值为 -1 .
8. 某部队进行军训,从甲地到乙地要翻越一座山,没有平路可走,去时用了6.5小时,返回时用了7.5小时.已知上坡时每小时走5千米,下坡时每小时走6 千米.甲、乙两地间的距离为 40 千米.
9. ★★已知关于x, y的方程组 有下列结论:① 可以是方程组的解;② 当k=- 时,x,y的值互为相反数;③ 若方程组的解也是方程x+y=1+k的解,则k=-3.其中,正确的是 ①②③ (填序号).
-
-1
40
①②③
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三、 解答题(共51分)
10. (18分)解下面的方程组:
(1)
(2)
解:
解:
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11. (15分)甲、乙两人分别匀速地从相距30千米的A,B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米,再经过2小时,甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍,求甲、乙两人的速度.
解:设甲的速度为x千米/时,乙的速度为y千米/时.① 当甲、乙两人相遇前相距3千米时, 依题意,有
解得 ② 当甲、乙两人相遇后又相距3千米时,依题意,有 解得 答:甲的速度为4千米/时,乙的速度为5千米/时,或甲的速度为5 千米/时,乙的速度为5 千米/时
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12. (18分)某超市销售每台进价分别为400元、350元的A,B两种型号的豆浆机.下表是近两周的销售情况(进价、售价均保持不变,利润=销售收入-进价):
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 3500元
第二周 4台 10台 6000元
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(1) 求A,B两种型号的豆浆机每台的售价分别为多少元;
解:(1) 设A种型号的豆浆机每台的售价为x元,B种型号的豆浆机每台的售价为y元.根据题意,得 解得 所以A种型号的豆浆机每台的售价为500元,B种型号的豆浆机每台的售价为400元
(2) 若第三周该超市采购这两种型号的豆浆机共20台,并且B型号的台数比A型号的台数的2倍少1,如果这20台豆浆机全部售出,求这周销售的利润.
解:(2) 设采购A种型号豆浆机m台,则采购B种型号豆浆机(20-m)台.由题意,得20-m=2m-1,解得m=7.所以20-m=20-7=13.因为7×(500-400)+13×(400-350)=1 350(元),所以这周销售的利润为1 350元
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阶段检测(6.1~6.2)
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 有以下两个判断:① 方程xy=3是二元一次方程;② =y是二元一次方程.下列说法正确的是( D )
A. ①对 B. ②对 C. ①②均对 D. ①②均不对
D
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2. 解方程组 的思路可用如图所示的框图表示,圈中应填写的内容是( C )
A. ①×2+②×3 B. ①×2-②×3
C. ①×3-②×2 D. ①×3+②×2
C
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3. (深圳中考)在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.大意如下:一些客人到李三公的店中住宿,如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.设该店有客房x间,房客y人,则可列方程组为( A )
A. B.
C. D.
A
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4. ★(龙东地区中考)某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔作为奖励(两种奖品都买),其中笔记本每本3元,碳素笔每支2元,共花费28元,则购买方案共有( B )
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
5. ★★若关于x,y的二元一次方程组 的解为整数,则满足条件的所有整数a的值的和为( B )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
B
B
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 若x2m-1+5y3m-2n=7是关于x,y的二元一次方程,则m= 1 ,n= 1 .
7. 已知等式(2a-7b)x+(3a-8b)=8x+10成立,则a= ,b= - .
8. 如果 和 都是关于x,y的二元一次方程x-my=1的解,那么○代表的值为 -3 .
9. ★定义新运算:规定x※y=mx+ny2,且3※2=9,2※1=1,则(7※1)※2= 16 .
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-3
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三、 解答题(共51分)
10. (24分)解方程组:
(1)
(2)
解:
解:
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11. (13分)下面是两名同学解二元一次方程组 时不完整的解题过程:
甲同学:①-②,得2y=-36,所以y=-18.
乙同学:由①,得4x=7y+19③,将③代入②,得-7y+19-5y=17,所以-12y=-2.所以y= .
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(1) 甲、乙两名同学的解题过程正确吗 若不正确,请找出错误的地方,并指出他用的是哪种消元法.
解:(1) 甲同学的解题过程有错误.①-②时,未给②中等号左边的式子添括号致错,用的是加减消元法.乙同学的解题过程也有错误.将③代入②时,未给③中等号右边的式子添括号致错,用的是代入消元法
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(2) 请你改正并完善两名同学的解题过程.
解:(2) 甲同学:①-②,得7y-(-5y)=-36,解得y=-3.将y=-3代入①,得-4x+7×(-3)=-19,解得x=- .所以原方程组的解为 乙同学:由①,得4x=7y+19③.将③代入②,得-(7y+19)-5y=17,解得y=-3.将y=-3代入①,得-4x+7×(-3)=-19,解得x=- .所以原方程组的解为
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12. ★★ (14分)《九章算术》中记载:“今有五雀、六燕,集称之衡,雀俱重,燕俱轻.一雀一燕交而处,衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何 ”译文:“今有5只雀、6只燕,分别聚集而且用衡器称之,聚在一起的雀重,燕轻.将1只雀、1只燕交换位置而放,质量相等.5只雀和6只燕的质量为1斤.问雀、燕每1只的质量各为多少斤 ”其中,斤是古时的单位.
请列方程组解答上面的问题.
解:设雀、燕每1只的质量各为x斤、y斤.根据题意,得 解得 所以雀、燕每1只的质量各为 斤、 斤
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6.3 二元一次方程组的应用
第2课时 用二元一次方程组解稍复杂的实际问题
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题6分,共30分)
1. 在全国足球甲级A组的前11轮比赛中,某队保持不败,共积累23分.按比赛规则,胜一场得3分,平一场得1分,那么该队胜的场数是( C )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 现有两辆汽车从相距120km的A,B两地同时出发匀速行驶,如果两辆汽车的行驶方向相同,那么6h后,快车追上慢车;如果两辆汽车相向行驶,那么1.2h后两车相遇.快车的速度为( C )
A. 40km/h B. 50km/h C. 60km/h D. 80km/h
C
C
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3. 某商场按定价销售某种商品时,每件可获利45元;按定价的八五折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获得的利润相等.这种商品每件的进价、定价分别是( B )
A. 95元、140元 B. 155元、200元
C. 100元、145元 D. 150元、195元
4. 某中学现有学生4200名,计划一年后初中在校学生增加8%,高中在校学生增加11%.这样会使在校学生共增加10%,这所中学现在的初中在校学生人数是( A )
A. 1 400 B. 1 900 C. 2 800 D. 2 300
B
A
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5. ★已知从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路.一辆汽车上坡时的行驶速度为20km/h,下坡时的行驶速度为35km/h,车从甲地开往乙地需9h,若从乙地返回甲地上、下坡的速度不变,时间为7.5h,则甲、乙两地间的公路的长为( B )
A. 300km B. 210km C. 200km D. 150km
B
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二、 填空题(每题8分,共24分)
6. 《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述:程途八百里,朝去暮还来.某日,戴宗去160里之外的地方打探情报,去时顺风,用了2小时;回来时逆风,用了4小时,则戴宗在无风时的平均速度为 60 里/时(里为古时的单位).
7. (绵阳中考)端午节是我国的传统节日,人们有吃粽子的习俗.某商场从6月12日起开始打折促销,肉粽打六折,白粽打七折,打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元,打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元.轩轩想给敬老院送肉粽和白粽各5盒,则他6月13日购买粽子比在打折前购买节省 145 元.
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8. ★如图,在一圆形跑道上,甲从A点、乙从B点同时出发,反向而行,8分钟后两人相遇,再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇.甲环行一周需要的时间是 28 分钟.
28
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三、 解答题(共46分)
9. (14分)某超市将某种碳酸饮料每瓶的价格上调10%,将某种果汁饮料每瓶的价格下调5%,调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元.已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元,问这两种饮料在调价前每瓶各多少元
解:设调价前碳酸饮料每瓶x元,果汁饮料每瓶y元.根据题意,得 解得 答:调价前碳酸饮料每瓶3元,果汁饮料每瓶4元
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10. (14分)为防止城市雨水内涝,政府对一段1 200米长的管道进行改造,如果乙工程队单独施工了18天,那么剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成;如果甲工程队单独施工了16天,那么剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成.
(1) 甲、乙工程队每天各施工多少米
解:(1) 设甲工程队每天施工x米,乙工程队每天施工y米.根据题意,得 解得 答:甲工程队每天施工60米,乙工程队每天施工40米
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(2) 若甲工程队施工一天的费用为3 000元,乙工程队施工一天的费用为2 000元,当两队的施工天数相同时,求需支付的总费用.
解:(2) 设甲工程队施工a天,则乙工程队施工a天.由题意,得60a+40a=1 200,解得a=12.3 000×12+2 000×12=60 000(元).答:需支付的总费用为60 000元
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11. ★★(18分)为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,有效开展“阳光体育”活动,某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动.若购买2副乒乓球拍和3盒乒乓球,则共需75元;若购买3副乒乓球拍和2盒乒乓球,则共需100元.
(1) 求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格.
解:(1) 设每副乒乓球拍的价格为x元,每盒乒乓球的价格为y元.根据题意,得 解得 答:每副乒乓球拍的价格为30元,每盒乒乓球的价格为5元
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(2) 该中学计划购买20副乒乓球拍和30盒乒乓球.元旦期间,商场搞促销活动:甲商场全部商品打九折出售,乙商场买2副乒乓球拍送1盒乒乓球.请问在哪个商场购买合算 请说明理由.
解:(2) 在甲商场购买合算 理由:在甲商场购买需要(20×30+30×5)×0.9=675(元),在乙商场购买需要20×30+ ×5=700(元).因为675<700,所以在甲商场购买合算.
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6.2 二元一次方程组的解法
第3课时 二元一次方程组解法的灵活应用
第六章 二元一次方程组
一、 选择题(每题5分,共25分)
1. 有下列二元一次方程组:① ② ③ ④ 解以上方程组比较适合选择的方法是( B )
A. ①②用代入法,③④用加减法 B. ①③用代入法,②④用加减法
C. ②③用代入法,①④用加减法 D. ②④用代入法,①③用加减法
B
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2. 解方程组 时,下列消元方法不正确的是( C )
A. ①×3-②×2,消去a
B. 由②,得b=4-3a③,把③代入①中,消去b
C. ①+②×2,消去b
D. ②×2-①,消去b
3. 若5x5y2m+3n与-7x3m+2ny6是同类项,则n-m等于( A )
A. 1 B. -1 C. 2 D. 3
C
A
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4. ★已知一个两位数的十位上的数字与个位上的数字之和是7.如果把这个两位数加上45,那么所得的数恰好是原两位数的个位上的数字与十位上的数字对调后组成的两位数,则原来的两位数是( D )
A. 36 B. 25 C. 61 D. 16
D
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5. ★★在大禹治水的时代,有一种神龟背负着一张神秘的图(如图①)浮出洛水,吉祥献瑞,后世称之为“洛书”.当后人将“洛书”上的数填在如图②所示的表中时发现:每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等,像这样的数字方阵,称为“幻方”.如果图③也是一个“幻方”,那么x+y的值为( C )
A. 7 B. 9 C. 13 D. 15
C
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二、 填空题(每题6分,共24分)
6. 已知关于x,y的方程组 则x+y的值为 1 .
7. 若关于x,y的二元一次方程组 的解中x和y的值相等,则m= 11 .
8. 爸爸比小云大25岁,5年后,爸爸的年龄比小云的2倍少10岁,则今年小云 30 岁.
9. ★解关于x,y的二元一次方程组 时,甲同学正确解得 乙同学因把c写错而得到 则a= 0.25 ,b= 0.75 ,c= -3 .
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-3
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三、 解答题(共51分)
10. (24分)解下列方程组:
(1)
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(4)
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(3)
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11. (13分)我们定义一个关于非零常数a,b的新运算,规定:a◎b=ax+by.例如3◎2=3x+2y.
(1) 若x=-5,2◎4=-18,求y的值;
解:(1) 根据题意,得2◎4=2x+4y=-18.把x=-5代入,得-10+4y=-18,解得y=-2
(2) 若1◎1=8,4◎2=20,求x,y的值.
解:(2) 根据题意,得 ②-①×2,得2x=4,所以x=2.把x=2代入①,得y=6.所以x=2,y=6
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12. (14分)(安徽中考)乡村振兴战略实施以来,很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地,采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表:
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金/万元
A 4 8
B 3 9
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已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元,问:A,B这两种农作物的种植面积各是多少公顷
解:设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷.根据题意,得 解得 所以A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷
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