科目：数学
(试题卷)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在
答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答
题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．本试卷共 4 页。如缺页，考生须及时报告监考老
师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名
准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！
2026 年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M ={x |
x +1
< 0}，
x 2 N ={x |1≤ x ≤ 3}
，则M N =
A．{x |1≤ x ≤ 2} B．{x |1≤ x < 2}
C．{x | 1< x ≤ 3} D．{x | 1< x < 2}
2．已知 i是虚数单位，复数 z 满足 z 2z = 1+ 3i，则 z =
A．1+ i B．1 i C．1+ 2i D．1 2i
3．一个袋中有 6 个大小和质地相同的球，其中红球 2 个，白球 4 个，现从中依次不放
回地随机摸取 2 次，每次摸出 1 个球，则第二次摸出的球是红球的概率为
2 1
A． B．
3 9
2 1
C． D．
9 3 D C
4．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、
AE 的中点，则 AE DF = E
A． 1 B．1 F
A
C． 1 D
B
． 1
2 2
5．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积
与球的表面积的比值为
A．1 B． 13 C． 15 D． 17
4 4 4
2 2
6 x y．已知圆C : (x 2)2 + y2 =1与双曲线E : 2 2 =1(a > 0,b > 0)的渐近线相切，则椭圆a b
2 2
T : x y+ =1的离心率e =
a2 b2
A． 6 B． 3 C． 2 D． 1
3 3 3 3
7．已知实数 x，y 满足：5x = 7 y 2y ，则
A． x ≥1 B． y ≥1
C． (x 1)(y 1) ≥ 0 D． (x 1)(y 1) ≤ 0
8．已知△ABC 中，a，b，c 1分别是角 A，B，C 的对边，△ABC 的面积 S = (b2 ab) tan C ，
4
角 C 的平分线交 AB 于 D 点，且 a = 2，CD 5= ，则BD =
3
A． 3 B． 4 C． 5 D．3
5 3 2
数学试题第 1 页 (共 4 页)
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知 tan x = 2，则
A 2sin x + cos x 5． = B． sin 2x 4=
sin x + cos x 3 5
C． sin2 x sin xcos x 6+ = D． cos 2x 3=
5 5
10．下列说法正确的是
A．样本数据 2，3，3，4，7，8，10，18 的第 80 百分位数为 10
B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数 r 的值越大
C．根据分类变量 x与 y 的成对数据，计算得到 χ 2 = 2.947＜x0.05 ，依据α = 0.05的独
立性检验，结论为变量 x与 y 不独立
D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平
带状区域内
ax + by + c = 0
11．已知 a,b,c 成等差数列，若关于 x, y 的方程组 恰有 2 组解，则
ln(x 1) y 1= 0
A． ab < 0 B a． a > 0 C． a + b > 0 D． +1> 0
b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．已知曲线 y = ex 在 x = 0 处的切线 l 与圆C : (x 1)2 + y2 = 4相交于 A、B 两点，则
| AB |= ____________.
13 2．已知函数 f (x) =1+ x 为奇函数，则实数 a = ____________. e a
y cos x14．函数 = 的值域为____________.
5+ 4sin x
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
已知数列{an}的前 n 项和 Sn = 2an 2，n∈N .
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn = loga 2，数列{bn nbn+1}的前 n 项和为Tn ，求证：Tn <1．
数学试题第 2 页 (共 4 页)
16．(本小题满分 15 分)
如图，三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 BCC1B1 ⊥平面 AA1C1C ，BC = AC = 2CC1 = 2，
∠ B1C1C
π
= ，M 为 AC 的中点.
3
（1）证明：平面 A1BM ⊥平面 AA1C1C ；
π
（2）若∠CAA1 = ，求直线 AB 与平面 A1BM 所成角的正弦值. 3
17．(本小题满分 15 分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量 X 服从参数为
λ(λ 0) λ
k
＞ 的泊松分布（记作 X π (λ) ），则其概率分布为 P(X = k) = e λ ， k∈N ，其
k !
中 e为自然对数的底数.
（1）当λ ≥ 20时，泊松分布可以用正态分布来近似，当λ ≥ 50 时，泊松分布基本上就
等于正态分布，此时可认为 X N (λ，λ) .若 X π (81) ，求 P(90＜X＜99)的值；
（2）设 X B(n，p) ，当 p ≤ 0.05 且 n ≥ 20时，二项分布可近似看成泊松分布，即
k
p(X = k) =Ckn p
k (1 λ p)n k ≈ e λ，k∈N ，其中λ = E(X ) .
k !
某工厂生产电子元器件，次品率为 0.3%，各元件是否为次品相互独立，记 X 为产
品中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这 1000 件产品中恰有 2 件次品的概率；
（ii）求使得 P(X = i)最大时的 X 值．
(参考数据： e 3 ≈ 0.05；若 X 2 N ( ，σ ) ，则有 P( σ＜X＜ +σ ) ≈ 0.6827，
P( 2σ＜X＜ + 2σ ) ≈ 0.9545， P( 3σ＜X＜ + 3σ ) ≈ 0.9973 )
数学试题第 3 页 (共 4 页)
18．(本小题满分 17 分)
抛物线C ：x2 = 2 py( p > 0) 的焦点为F ，O为坐标原点，抛物线C 上的一点M (2，m)
到焦点F 的距离为 2.
（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）已知直线l交抛物线C 于A，B两点，直线AO交抛物线的准线于点P ，且BP ⊥ x 轴.
（i)）证明：直线 l过定点；
（ii）点Q为抛物线C 的准线与 y 轴的交点，若△MAB 的面积与△QAB的面积相等，求
直线 l的方程.
19．(本小题满分 17 分)
已知函数 f (x) = (x 1)ln x + e (其中 e 为自然对数的底数）.
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
1
（2）当 x∈ ( ,1)时，证明： f (x) < x + e +1；
e
1 1
（3）若 f (x) = b 有两个不同的实数解 x1, x2 ，且 < xe 1
< x2 ，求证：x1 + (2 )xe 2
< e +1.
数学试题第 4 页 (共 4 页)1
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数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D D A C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
解：（1）①当时，，又 ，解得.................................2分
②当时，，所以 ..............................4分
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以...........................6分
（2）由....................................................................................8分
所以，........................................................................10分
所以.....................12分
因为，所以. ..................................................................................13分
16．(本小题满分15分)
法一：
解：（1）连接与交于点，连接，
三棱柱侧面为平行四边形，所以为的中点，
又为的中点，所以..........................................................................2分
又因为中,
由余弦定理可得.
所以，所以..........................................................4分
因为平面平面且交线为，平面
所以平面............................................................................................6分
又，所以平面,
又平面，所以平面平面...........................................7分
（2）由，，得，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，.............10分
所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
则...............................................................13分
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为....................................................15分
法二：
解：（1）延长与交于点，连接.
三棱柱侧面为平行四边形，又为的中点，
所以为的中点，所以，又,
所以四边形为平行四边形,所以.....................................................2分
又因为中,
由余弦定理可得.
所以，所以..........................................................4分
因为平面平面且交线为，平面,
所以平面............................................................................................6分
又，所以平面，
又平面，所以平面平面...........................................7分
（2）解法同法一
阅卷评分说明：
如图建立直角坐标系，写点的坐标.....................10分
求得平面的法向量为..............13分
求得直线与平面所成角正弦值为........15分
17．(本小题满分15分)
解：（1）因为当，且时，可近似地认为，
即X～N(81,81)，这里.........................................................2分
所以，
..............................................4分
...........................................................................................5分
（2）(i)由题知，其中..............................................7分
...............................................................9分
(ii)....................... ...... ............................................................................10分
所以.........................................................................12分
由解得，
所以，当时，；当时，.
即
所以当或时，最大..............................................................15分
18．(本小题满分17分)
解：（1）法一：由抛物线的定义有，又点在抛物线上，
所以.........................................................................................................2分
解得：，，
所以抛物线的标准方程为..........................................................................5分
法二：由题可知..................................................................................2分
解得：，.
所以抛物线的标准方程为..........................................................................5分
（2）(i)由题可知直线的斜率存在，设直线：，，（）
因为点在准线上，且轴，所以.
由、三点共线，所以，即，
化简得①....................................................................................................7分
联立，消得,
由韦达定理得：....................................................................9分
又得代入①得②.......................................................11分
将代入②得,
又，所以.
所以直线：过定点...........................................................................13分
(ii)因为的面积与的面积相等，所以点与点Q到直线的距离相等.
①若直线过的中点，又，，的中点为,
则直线的斜率，
所以直线的方程为..................................................................................15分
②若直线，则直线的斜率,
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或..............................................................17分
19． (本小题满分17分)
解：（1）函数的定义域为............................................................................1分
，..............................................2分
所以函数在上单调递增，又..................................................3分
所以当时；当时.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为..................................4分
（2）法一：
当时，...............6分
因为，所以，且,
所以,
所以，即.....................................................8分
法二：当时，设，
则，............................................5分
所以函数在上单调递增，又，,
由零点存在定理，存在唯一，使得,
当时；当时.
所以在上单调递减，在上单调递增............................................7分
又，所以，
所以..................................................................................................8分
（3）如图，由(1)可知，在单调递减，在单调递增，
因为，，
所以...........................9分
易知在处的切线为.........10分
设
则，，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即..............................................................13分
所以，所以①................................................14分
由(2)知，当时，，所以，
所以②..................................................................................................16分
由①+②得，............................................................................17分
z
y
x
H
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数学参考答案第 5 页 共 5 页科目：数学
(试题卷)
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不留痕迹。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．本试卷共 4页。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4．考试结束后，将本答题卷和答题卡一并交回。
姓 名
准考证号
祝 你 考 试 顺 利 ！
2026年常德市高三年级模拟考试
数 学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知是虚数单位，复数满足，则
A． B． C． D．
3．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球2个，白球4个，现从中依次不放回地随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为
A． B．
C． D．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为BC、AE的中点，则
A． B．
C． D．
5．一个圆锥的底面半径与一个球的半径相等，且它们的体积也相等，则圆锥的侧面积与球的表面积的比值为
A． B． C． D．
6．已知圆与双曲线的渐近线相切，则椭圆的离心率
A． B． C． D．
7．已知实数x，y满足：，则
A． B．
C． D．
8．已知中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，的面积，角C的平分线交AB于D点，且，，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，则
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是
A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10
B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大
C．根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立
D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内
11．已知成等差数列，若关于的方程组恰有2组解，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知曲线在处的切线与圆相交于A、B两点，则____________.
13．已知函数为奇函数，则实数____________.
14．函数的值域为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知数列的前n项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：．
16．(本小题满分15分)
如图，三棱柱中，平面平面，， ，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．(本小题满分15分)
泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布.若随机变量X服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，，其中为自然对数的底数.
（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值；
（2）设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布，即，其中.
某工厂生产电子元器件，次品率为0.3%，各元件是否为次品相互独立，记X为产品中的次品数，按泊松分布近似计算.
（i）这1000件产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得最大时的X值．
(参考数据：；若，则有，
，)
18．(本小题满分17分)
抛物线：的焦点为，为坐标原点，抛物线上的一点到焦点的距离为2.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，且轴.
（i)）证明：直线过定点；
（ii）点为抛物线的准线与y轴的交点，若的面积与的面积相等，求直线的方程.
19．(本小题满分17分)
已知函数(其中e为自然对数的底数）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，证明：；
（3）若有两个不同的实数解，且，求证：.
E
F
D
C
B
A
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数学试题第 2 页 (共4页)2026 年常德市高三年级模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D D D A C B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．2 2 1 13．1 14．[ , 1]
2 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
解：（1）①当n =1时， S1 = 2a1 2，又 S1 = a1 ，解得a1 = 2 .................................2 分
②当n ≥ 2 时，an = Sn Sn 1 = 2an an 1，所以an = 2an 1 ..............................4 分
所以数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以an = 2
n ...........................6 分
b log 2 log 2 1（2）由 n = a = n = ....................................................................................8 分 n 2 n
所以b 1 1 1nbn+1 = = ，........................................................................10 分 n(n +1) n n +1
1 1 1 1 1 1 1 1
所以Tn = (1 ) + ( ) + ( )+ + ( ) =1 .....................12 分 2 2 3 3 4 n n +1 n +1
因为n∈N ，所以Tn <1. ..................................................................................13 分
16．(本小题满分 15 分)
法一：
解：（1）连接 AB1与 A1B 交于点 N ，连接MN ，
三棱柱侧面 AA1B1B为平行四边形，所以 N 为 A1B 的中点，
又M 为 AC 的中点，所以MN / /B1C ..........................................................................2 分
数学参考答案第 1 页 共 5 页
又因为 B1C
π
1C 中CC1 =1, B1C1 = BC = 2,∠B1C1C = , 3
由余弦定理可得 B 2 2 2 π1C = C1C +C1B 2C1C C1B cos = 3 . 3
B C 2 +C 2 2所以 1 1C = B1C1 ，所以 B1C ⊥ CC1 ..........................................................4 分
因为平面 BCC1B1 ⊥平面 AA1C1C 且交线为CC1， B1C 平面 BCC1B1
所以 B1C ⊥平面 AA1C1C ............................................................................................6 分
又MN / /B1C ，所以MN ⊥平面 AA1C1C ,
又MN 平面 A1BM ，所以平面 A1BM ⊥平面 AA1C1C ...........................................7 分
（2）由∠CC1A
π 1
1 = ∠CAA1 = ，CC1 = AC ，得1 1 A1C ⊥ CC ，故CA ,CC ,CB3 2 1 1 1 1
两两垂直，
以C 为坐标原点，CA1,CC1,CB 所在直线为 x, y, z1 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则 B1(0,0, 3) ， A1( 3,0,0) ， A( 3, 1,0) ，B(0, 1, 3) ，M (
3 , 1 ,0) .............10 分
2 2
所以 AB = ( 3,0, 3)， A1B = ( 3, 1, 3)， A M = (
3 , 1 ,0)， 1 2 2
设平面 A1BM 的法向量为n
= (x, y, z)，
n ·A1B = 3x y + 3z = 0
则 ，令 x =1，则 y = 3 ，z = 0，
n ·A1M
3
= x 1 y = 0
2 2
则 n = (1, 3,0) ...............................................................13 分
设直线 AB 与平面 A1BM 所成角为θ，
AB·n
则 sinθ | cos AB,n | 3 2= < >= = = ，
AB n 6 ×2 4
故直线 AB 与平面 A BM 21 所成角的正弦值为 ....................................................15 分
4
法二：
解：（1）延长 A1M 与C1C 交于点H ，连接BH .
三棱柱侧面 AA1C1C 为平行四边形，又M 为 AC 的中点，
所以C 为HC1的中点，所以HC = CC1 = BB1，又HC / /BB1 ,
所以四边形BHCB1为平行四边形,所以BH / /B1C .....................................................2 分
又因为 B1C1C 中CC1 =1, B1C1 = BC = 2,∠B
π
1C1C = , 3
由余弦定理可得 B C 2 C C 2 C 2 π1 = 1 + 1B 2C1C C1B cos = 3 . 3
所以 B C 21 +C1C
2 = B 21C1 ，所以 B1C ⊥ CC1 ..........................................................4 分
因为平面 BCC1B1 ⊥平面 AA1C1C 且交线为CC1， B1C 平面 BCC1B1 ,
所以 B1C ⊥平面 AA1C1C ............................................................................................6 分
数学参考答案第 2 页 共 5 页
又 BH / /B1C，所以BH ⊥平面 AA1C1C ，
又 BH 平面 A1BM ，所以平面 A1BM ⊥平面 AA1C1C ...........................................7 分
（2）解法同法一
阅卷评分说明： z
如图建立直角坐标系，写点的坐标.....................10 分
求得平面 A1BM 的法向量为n = (1, 3,0) ..............13 分
2求得直线 AB 与平面 A1BM 所成角正弦值为 ........15 分
4
H y
17．(本小题满分 15 分) x
解：（1）因为当 X ~ π (λ) ，且λ = 81时，可近似地认为 X ~ N (λ,λ) ，
即 X～N(81,81)，这里 = 81,σ = 81 = 9 .........................................................2 分
所以， P(90 < X < 99) = P(81+ 9 < X < 81+18) = P( +σ < X < + 2σ )
1= P ( 2σ < X < + 2σ ) P ( σ < X < +σ ) ..............................................4 分 2
0.9545 0.6827= = 0.1359 ...........................................................................................5分
2
（2）(i)由题知 X ~ π (λ) ，其中λ = np =1000×0.003 = 3..............................................7 分
2
P(X 2) 3= = e 3 9= 3 ≈ 4.5×0.05 = 0.225 ...............................................................9 分 2! 2e
3i e 3(ii) P(X = i) = ....................... ...... ............................................................................10 分
i!
P(X = i +1) 3i+1 i! 3
所以 = i = .........................................................................12 分 P(X = i) (i +1)! 3 i +1
由 3 ≤1解得 i ≥ 2，
i +1
所以，当 i ≤ 2时，P(X = i) ≥ P(X = i +1)；当 i ≥ 3时，P(X = i) < P(X = i +1) .
即 P(X = 1) < P(X = 2) = P(X = 3) > P(X = 4) >
所以当 X = 2或 X = 3时，P(X = i) 最大..............................................................15 分
18．(本小题满分 17 分)
解：（1）法一：由抛物线的定义有 | MF | p= m + ，又点M (2，m)在抛物线上，
2
p
所以 m + = 2 2 .........................................................................................................2 分
2 pm = 4
解得：m =1， p = 2，
所以抛物线C 的标准方程为 x2 = 4y ..........................................................................5 分
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4 (m p + )2法二：由题可知 = 2 2 ..................................................................................2 分
2 pm = 4
解得：m =1， p = 2 .
所以抛物线C 的标准方程为 x2 = 4y ..........................................................................5 分
（2）(i)由题可知直线 l的斜率存在，设直线 l：y = kx + b，A(x1，y1)，B(x2，y2 )（ x1x2 ≠ 0）
因为点P 在准线上，且BP ⊥ x 轴，所以P(x2， 1) .
由 A、O、P 三点共线，所以 k = k y1 1OA Op ，即 = ， x1 x2
化简得 x2 y1 + x1 = 0①....................................................................................................7分
y = kx + b联立 ，消 y 得 x
2 4kx 4b = 0 ,
2
x = 4y
由韦达定理得： x1 + x2 = 4k，x1x2 = 4b ....................................................................9 分
又 x 2 = 4y 得 y x
2 2
= 1
x1 x2
1 1 代入①得 + x = 0 ②.......................................................11 分 1 4 4 1
将 x1x2 = 4b代入②得 bx1 + x1 = 0 ,
又 x1 ≠ 0，所以b =1.
所以直线 l： y = kx +1过定点 (0,1) ...........................................................................13 分
(ii)因为 MAB的面积与 QAB 的面积相等，所以点M 与点 Q 到直线 l的距离相等.
①若直线 l过MQ 的中点，又M (2，1)，Q(0, 1) ，MQ 的中点为T (1，0) ,
则直线 l的斜率 k k 1 0= ， FT = = 10 1
所以直线 l的方程为 y = x +1..................................................................................15 分
②若直线 l / /MQ ，则直线 l的斜率 k = k 1 ( 1) , MQ = =12 0
所以直线 l的方程为 y = x +1.
综上，直线 l的方程为 y = x +1或 y = x +1..............................................................17 分
19． (本小题满分 17 分)
解：（1）函数 f (x) 的定义域为 (0,+∞) ............................................................................1 分
f ′(x) ln x x 1 ln x 1 1 1 1= + = + ， f ′′(x) = + 2 > 0 ..............................................2 分
x x x x
所以函数 f ′(x)在 (0,+∞) 上单调递增，又 f ′(1) = 0 ..................................................3 分
所以当 x∈ (0,1) 时 f ′(x) < 0；当 x∈ (1,+∞) 时 f ′(x) > 0 .
所以 f (x) 的单调递减区间为 (0,1) ，单调递增区间为 (1,+∞) ..................................4 分
（2）法一：
当 x 1∈ ( ,1)时， f (x) ( x + e +1) = (x 1)ln x + x 1= (x 1)(ln x +1) ...............6 分
e
因为 x (1∈ ,1)，所以 x 1< 0 ，且 ln x +1> 0 ,
e
所以 (x 1)(ln x +1) < 0 ,
数学参考答案第 4 页 共 5 页
所以 f (x) ( x + e +1) < 0，即 f (x) < x + e +1.....................................................8 分
法二：当 x 1∈ ( ,1)时，设 g(x) = f (x) ( x + e +1) = (x 1)ln x + x 1，
e
则 g′(x) = f ′(x) 1 ln x 1 2 g′′(x) 1 1+ = + ， = + 2 > 0 ............................................5 分 x x x
所以函数 g′(x) 1在 ( ,1)上单调递增，又 g′(1) =1 e < 0 ， g′(1) =1> 0 ,
e e
1由零点存在定理，存在唯一 x0 ∈ ( ,1)，使得 g′(x0 ) = 0 , e
x (1当 ∈ , x0 )时 g′(x) < 0 ；当 x∈ (x0 ,1)时 g′(x) > 0 .e
g(x) (1所以 在 , x0 )上单调递减，在 (x0 ,1)上单调递增............................................7 分 e
又 g(1) = g(1) = 0，所以 g(x) < 0，
e
所以 f (x) < x + e +1..................................................................................................8 分
1
（3）如图，由(1)可知， f (x) 在 ( ,1)单调递减，在 (1,+∞) 单调递增，
e
因为 f (1) = e， f (1) e 1 1= +1 ，f (e) = 2e 1> f ( ) ，
e e e
b e 1 1 , 1所以 < + < x1 <1< x2 < e ...........................9 分 e e
易知 f (x) 在 x = e处的切线为 l : y = (2 1 )x .........10 分
e
设 h(x) 1 1= f (x) (2 )x = (x 1)ln x + e (2 )x
e e
则 h′(x) = f ′(x) (2 1 ) = ln x 1 1 1+ ， h′′(x) 1 1= + 2 > 0 ， e x e x x
所以函数 h′(x)在 (0,+∞) 上单调递增，又 h′(e) = 0 ，
所以当 x∈ (0,e)时 h′(x) < 0；当 x∈ (e,+∞) 时 h′(x) > 0 ，
所以 h(x) 在 (0,e)上单调递减，在 (e,+∞)上单调递增，
所以 h(x) ≥ h(e) 1= 0 ，即 f (x) ≥ (2 )x ..............................................................13 分
e
所以b = f (x2 ) ≥ (2
1 1
)x2，所以 (2 )x2 ≤ b①................................................14 分 e e
由(2) 1知，当 x∈ ( ,1)时， f (x) < x + e +1，所以b = f (x1) < x1 + e +1， e
所以 x1 < b + e +1②..................................................................................................16 分
由①+ 1②得， x1 + (2 )x2 < e +1............................................................................17 分 e
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