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第七章 复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
人教2019A版必修 第二册
复数集
实数集
有理数集
整数集
自然数集
学习目标：
1.了解数系的扩充过程，认识引进虚数单位i的必要性.
2.理解复数的概念、表示法及相关概念．
3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．
学习重点：
概括并理解复数概念
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
1945年，意大利数学家卡丹在《大本》中提出问题:
把10分成两部分，使其乘积为40，这两部分分别是多少？
解：令一部分为x，则另一部分为（10-x）
则 x(10-x)=40
即 x2-10x+40=0
请回顾数的发展过程,并大胆猜测数学家如何求解 ？
负数 x=-1
自然数集N
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
数集
方程求解情况
引入
整数集Z
有理数集Q
x2-10x+40=0
实数集R
x2-10x+40=0
x2-2=0
2x-1=0
x+1=0
无解
无解
无解
无解
无理数 x=
分数 x=
问题1：如何解决 的存在性问题？
引入新数i,规定i2=-1。i称为虚数单位。
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课堂小结
课后作业
1545年意大利有名的数学“怪杰”卡尔丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时这种数被他称作“诡辩”.几乎过了100年，法国数学家笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字--虚数，1777年瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”并用i ( imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位。直到1801年，德国数学家高斯系统地使用了i这个符号，于是使之通行于世。
历史再现
情境创设
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课堂小结
课后作业
1945年，意大利数学家卡丹在《大本》中提出问题:
把10分成两部分，使其乘积为40，这两部分分别是多少？
解：令一部分为x，则另一部分为（10-x）
则 x(10-x)=40
即 x2-10x+40=0
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
自然数集N
整数集Z
有理数集Q
实数集R
2+（-2）
2 （-2）
2+
2
2+
2
成立!
观察以下式子，思考：
在数域扩充后，原来数系中规定的加法和乘法运算法则和运算律在新数集中仍然成立吗？
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
问题2：那么把“新数i”添加到实数集中，组成的新数集包括哪些元素？请试用实数a和i进行加法或乘法运算,看谁写的运算关系式最丰富多彩？
新数集
R
a+i
ai
a
i
a+1i
0+ai
a+0i
0+1i
a+bi
(a,b R)
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
2.实数m取什么值时，复数 是
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数
解:(2)若复数 为虚数，
即 解得
综上所述，
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
2.实数m取什么值时，复数 是
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数
解:(3)若复数 为纯虚数，
即 解得
综上所述，m=2
情境创设
新知探究
牛刀小试
课堂小结
课后作业
3.求满足下列条件的实数x和y的值：
（1）
（2）
解:(1)由题知 解得
解:(2)由题知 解得
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新知探究
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课堂小结
课后作业
复数
复数的代数形式：a+bi(a,b∈R)
复数的分类
实数：b=0
虚数 b≠0
非纯虚数：a≠0
纯虚数：a=0
复数相等：a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d
数系的扩充：N——Z——Q——R——C
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课后作业
课堂作业：P73的2题、3题
思考：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？观看下列视频并思考。
我们解决过的每一个问题都将成为日后用以解决其他问题的法则！
笛卡尔
下课
Thanks!
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