7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

(共20张PPT)
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章 复数
引 入
问题1 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因其实都是为了解决生产生活中的问题.他们分别解决了什么实际问题和数学问题呢？
引 入
问题1 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系.回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因其实都是为了解决生产生活中的问题.他们分别解决了什么实际问题和数学问题呢？
自然数集
整数集
有理数集
实数集
刻画相反意义的量
引入了
负数
解决测量等分问题
引入了
分数
解决度量正方形对角线等问题
引入了
无理数
计数的需要
引入了
自然数
？
从社会实践来看
引入
新数
引 入
问题2 你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？
（1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解；
（2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解；
（3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解.
引 入
问题2 你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？
（1）在自然数集中求方程 x+1=0 的解；
（2）在整数集中求方程 2x-1=0 的解；
（3）在有理数集中求方程 x2-2=0 的解.
从数学发展的角度来看
（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；
无解
有解
无解
有解
有解
无解
（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；
（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．
无解
有解
？
（1）在自然集中求方程x+1=0的解；
自然数集
N
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．
温故知新
数系的扩充
N
Z
Q
R
自然数
0
正整数
负整数
整数
分数
有理数
无理数
实数
联系数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗
引入一个新数：
满足
i
i2 = -1
在实数集R中，方程x2+1=0有解吗？
温故知新
数系的扩充
N
Z
Q
R
自然数
0
正整数
负整数
整数
分数
有理数
无理数
实数
1、i的引入
引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：
（1）i2 1；
（2）实数与i可以进行加法和乘法运算：
实数a与数i相加记为：a+i
实数b与数i相乘记为：bi ，并规定0 i =0
实数a与 bi相加记为：a+bi
（3）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
新知研学
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数。通常用字母 z 表示。
全体复数组成的集合叫做复数集，记作C。
其中 i 为虚数单位。
实部
虚部
2、复数的概念
新知研学
z= a + bi（a∈R，b∈R）
判断下列数是复数吗？如果是，说出各复数的实部和虚部
即学即练
新知研学
实数
虚部为0
虚部不为0
虚数
纯虚数
虚部不为0，实部为0
思考:复数集C和实数集R之间有什么关系？
对于复数z=a+bi（a，b∈R）：
当且仅当b=0时，复数z表示
当且仅当a=b=0时，复数z表示
当b≠0时，复数z表示
当a=0，b≠0时，复数z表示
新知研学
实数集R是复数集C的真子集
实数
实数0
虚数
纯虚数
复数a+bi
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数
即学即练
新知研学
实数
实数
实数
实数
纯虚数
纯虚数
虚数
虚数
纯虚数
虚数
例1. 实数m取什么值时，复数 是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 ，即 时，复数z是实数；
（2）当 ，即 时，复数z是虚数；
（3）当
即 时，复数z是纯虚数。
学以致用
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
注意：一般对两个虚数只能说相等或不相等；不能比较大小。
新知研学
4、两个复数相等
例2. 如果(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x，y的值。
学以致用
解: 因为 (x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i
所以
所以
本节课你学会了什么？
用心总结
数系扩充的基本规则
复数的基本概念
两个复数相等的含义
复数的分类
……
课本73页 习题7.1：2、3
“课后”作业
下课
Thanks!
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