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【50道解答题·专项集训】
北师大版数学八年级下册第二章 不等式与不等式组
1．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
2．解不等式组 把它的解集在数轴上表示出来，并求该不等式组所有整数解的和．
3．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，请问橱具店在第一季度购进电饭煲和电压锅各多少个？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多，最多利润是多少？
4．解不等式组： 并把其解集表示在数轴上．
5．解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
6．|2a﹣24|+（3a﹣b﹣k）2=0，那么k取什么值时，b为负数？
7．解不等式组 ，并求其整数解．
8．解不等式组：，并求出最大整数解．
9．若三角形的三边长分别是 ， ， ，且 是不等式 的正偶数解，试求第三边的长 .
10． 为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同）
（1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设；
（2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？
11．对m．n定义一种新运算“※”，规定：m※n=am-bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4=3a-4b+5．已知2※3=1，3※（-1）=10．
（1）求a．b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
12．解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解．
13．关于x的不等式组 恰有两个整数解，求a的取值范围．
14．如图一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求的函数表达式．
（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标．
（3）若，请直接写出x的取值范围．
15．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
16．某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示：
甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元）
（1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？
（2）该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
17．某校为进行危房改造，政府最近将在某校搭建板房，从某厂调拔了用于搭建板房的板材5600m3和铝材2210m3，计划用这些材料在某校搭建甲、乙两种规格的板房共100间．若搭建一间甲型 板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如表所示：
板房规格 板材数量（m3） 铝材数量（m3）
甲型 40 30
乙型 60 20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．
18．小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
19．已知方程组的解为正数，求a的取值范围．
20．幼儿园有玩具若干份，分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件。如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友
21．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
（1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
（2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
（3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
22．某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
（1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
23．解不等式组： ，把解集在数轴上表示出来.
24． 成都市大邑县作为国家级现代农业示范区和四川省智慧农业试点县，近年来积极探索无人机技术在农业植保领域的应用，形成了“政府引导+企业主导+农户参与”的低空经济新模式。据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒。
（1）求A，B两款无人机每架每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？
（2）若当地高标准农田建设项目总占地面积不超过1500亩，计划使用A，B两款无人机共18架同时进行1小时的农药喷洒，喷洒期间两款无人机的平均农药损耗率为5%，那么最多能使用多少架A款无人机？
25．要使3个连续奇数之和不小于100，那么3个奇数中，最小的奇数应当是不小于什么数？
26．已知 ，且x-y＜0，求k的取值范围
27．x取哪些整数值时，不等式5x-2＞3（x-1）与都成立？
28．小明解不等式组 的过程如下：
解： 由①， 得3x+x>-4， 所以4x>-4， 因此x>-1.由②， 得2-5x≤1-4x-2， 所以-5x+4x≤1-2-2， 合并得， - x≤-3， 因此x≤3.所以原不等式组解为-1
判断小明的解答过程是否正确.若正确，请在框内打“√”，并把它的解集表示在数轴上；若错误，请在虚线框内打“×”，并写出你的解答过程.
29．解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
30．某造纸厂为了保护环境，准备购买A，B两种型号的污水处理设备共6台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台，B型3台需54万元，购买A型4台、B型2台需68万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水180吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1150吨，问共有几种购买方案？请你为该企业设计一种最省钱的购买方案并求此时的购买费用．
31． 解不等式组，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
32．某校为改善教师的办公条件，计划购进A、B两种办公椅共100把.经市场调查：购买A
种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元.
（1）求A种B种办公椅每把各多少元
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.
33．商店以7元/件的进价购入某种文具1 000件，按10元/件的售价销售了500 件.现对剩下的这种文具降价销售，如果要保证总利润不低于2 000元，那么剩下的文具最低定价是多少元？
34．习近平总书记强调：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需 100元，购买3 本甲种书和2本乙种书共需165元.
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本
35．解不等式组： ，并利用数轴确定不等式组的解集.
36．用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位/kg） 500 200
原料价格（元/kg） 8 4
现配制这种饮料10kg，要求至少含有4100单位的维生素C，设购买甲种原料x千克．
（1）问至少需要购买甲种原料多少千克？
（2）设用于购买这两种原料的总费用不超过76元时，则x在什么范围内才符合要求？
37．某中学组织学生研学， 原计划租用可坐乘客 45 人的 种客车若干辆，则有 30 人没有座位； 若租用可坐乘客 60 人的 种客车，则可少租 6 辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用 种客车多少辆？ 这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用 两种客车共 25 辆，要求 种客车不超过 7 辆， 且每人都有座位， 则有哪几种租车方案？
（3） 在 （2） 的条件下， 若 种客车租金为每辆 220 元， 种客车租金为每辆 300 元， 怎样租车才最合算？
38．在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场
39．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞0，求m的取值范围.
40． 每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚．
（1）如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？
41．已知关于x的不等式，两边同除以，得，试化简：.
42．新定义函数：在y关于x的函数中，若时，函数y有最大值和最小值，分别记和，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数，若对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
43．某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲种服装进价为多少元/件？乙种服装进价为多少元/件？
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元：
① 求甲种服装最多购进多少件？
② 该服装店对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
44．8月初，某超市购进了10箱A款酱油和若干箱B款酱油进行销售，每箱12瓶，其中A款酱油的进价为每箱60元，售价为每瓶9元，B款酱油的进价为每箱96元，售价为每瓶18元，第1周，这两款酱油均未售完，售出部分的销售额为2340元，利润为1220元．
（1）求第1周A、B两款酱油各售出多少瓶？
（2）第2周，这两款酱油剩下的部分很快售完，且这些剩下的酱油总利润不高于280元，请通过计算求出该超市8月初购进了多少箱B款酱油．
45．在平面直角坐标系中， 已知一次函数y=2x+b的图象经过点A（2，5） ．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当图象与轴有交点时，求的取值范围；
（3）当图象最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
（4）平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
46．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车型 运费
运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆；
（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．
47．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A型车和3辆B型车，销售额为114万元．本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，通过计算说明有哪几种购车方案？
48．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）______，______；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的值．
49．2022年北京冬奥会掀起“一墩难求”热潮，由于供货紧张，某商场第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元．
（1）雪容融和冰墩墩的进货单价各是多少元？
（2）商家决定采购冰墩墩的数量比雪容融数量的倍多15个，在采购总价不超过1290元的情况下，冰墩墩最多能购进多少个？
50．根据以下素材，请完成任务．
养成健康饮水的习惯
素材1：健康饮水知识一 1．人体每天所需水分为毫升．如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家应养成主动饮水的习惯，把每天所需的水分安排在一天内喝完．2．推荐喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水．3．饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险．
素材2：健康饮水知识二 科学证明，健康饮水的适宜温度大约在．喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状．如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况．
素材3 小贴士：若接水过程中不计热量损失，温度热量可以用下列公式转化：温水体积×温水温度+开水体积×开水温度=混合后体积×混合后温度
如上图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速．
问题解决
任务一 小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间；
任务二 如果小康同学先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康同学至少要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度？
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【50道解答题·专项集训】
北师大版数学八年级下册第二章 不等式与不等式组
1．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
所以原不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
．
故答案是：﹣3＜x≤2，数轴见解析
【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
2．解不等式组 把它的解集在数轴上表示出来，并求该不等式组所有整数解的和．
【答案】解：解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，
解不等式 ，得：x≥﹣1，
故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，
将不等式组解集表示在数轴上如下：
所有整数解的和为：﹣1+0+1=0．
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，将解集表示在数轴上，再把所有整数解相加可得．
3．星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，请问橱具店在第一季度购进电饭煲和电压锅各多少个？
（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多，最多利润是多少？
【答案】（1）解：设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，依题意得：
，
解得，
答：橱具店购进电饭煲20台，电压锅10台；
（2）解：设购买电饭煲a台，则购买电压锅台，
依题意得，
解得：，
又∵a为正整数，
∴a可取23，24，25．
故有三种方案：①购买电饭煲23台，电压锅27台；
②购买电饭煲24台，电压锅26台；
③购买电饭煲25台，电压锅25台．
（3）解：设橱具店赚钱数额为W元，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，当时，W最大，此时购进电饭煲、电压锅各25台，最多利润是2250元．
【解析】【分析】（1）设厨具店购进电饭煲x台，电压锅y台，根据购进这两种电器共30台列出方程x+y=30；根据购进这两种电器共用去了5600元可列出方程200x+160y=5600，联立两方程求解即可；
（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅(50-a)台，根据“购买电饭煲a台的费用+购买电压锅(50-a)台的费用不超过9000元，及电饭煲的数量不少于23个”列不等式组，求出其正整数解即可；
（3）结合（2）中的数据求出三种方案橱具店所赚的钱数，然后进行比较即可．
4．解不等式组： 并把其解集表示在数轴上．
【答案】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
∴解集为：3＜x≤5，
在数轴上表示不等式组的解集，如图．
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 ， 最后将解集在数轴上表示出来求解即可。
5．解不等式 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：由 ；去括号得： 移项得： ；系数化为1得： .∴不等式的解集为 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
【解析】【分析】根据一元一次不等式的解法去括号——移项——系数化为1即可求得.
6．|2a﹣24|+（3a﹣b﹣k）2=0，那么k取什么值时，b为负数？
【答案】解：根据题意得：2a﹣24=0，3a﹣b﹣k=0，
解得：a=12，
则b=3a﹣k=36﹣k，
根据题意得：36﹣k＜0，
解得：k＞36．
故k＞36时b为负数．
【解析】【分析】首先根据非负数的性质求得a的值，得到3a﹣b﹣k=0，即可利用k表示出b的值，然后根据b是负数得到一个关于k的不等式，即可求解．
7．解不等式组 ，并求其整数解．
【答案】解：解不等式 +6≥x，得：x≤7，
解不等式4﹣5（x﹣2）＜8﹣2x，得：x＞2，
∴不等式组的解集为2＜x≤7．
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
8．解不等式组：，并求出最大整数解．
【答案】解：由①得：，
由②得：，
所以不等式组的解集为：，
∴最大整数解为：6
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
9．若三角形的三边长分别是 ， ， ，且 是不等式 的正偶数解，试求第三边的长 .
【答案】解：不等式 可化为 .
解得 .
要使 、 、 能构成三角形，则 .
又因为 是正偶数，
∴ .
∴第三边的长 为 .
【解析】【分析】先求出不等式的解集，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围.根据x是正偶数判断出x的值即可.
10． 为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同）
（1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设；
（2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？
【答案】（1）解：根据题意可得：
（米），
答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设．
（2）解：设A工程队派出x人，则B工程队派出（20-x）人，
，
解得：，
∵x为整数，
∴，
∴该公司有3种方案：
方案1：A工程队17人，B工程队3人；
方案2：A工程队18人，B工程队2人；
方案3：A工程队19人，B工程队1人．
【解析】【分析】（1）用两工程队合作的工作总量减去A工程队的工作总量，再除以B工程队人数即可；
（2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20-x）人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人”列不等式组，求出不等式组的整数解，即可得到答案．
11．对m．n定义一种新运算“※”，规定：m※n=am-bn+5（a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如3※4=3a-4b+5．已知2※3=1，3※（-1）=10．
（1）求a．b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
【答案】（1）解：，，
，
解得：，；
（2）解：，且，，
，
，
即，
解得：，
关于的不等式组，有且只有一个整数解，
，
解得：，
即字母的取值范围是.
【解析】【分析】（1）根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出解集即可．
12．解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出所有非负整数解．
【答案】解：，由①得，，由②得，
故不等式组的解集为：．
∴ 非负整数解为0，1.
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出不等式组的解集，然后根据数轴上表示解集的方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将解集表示在数轴上，进而找出不等式组的解集中的非负整数，可得不等式组的非负整数解.
13．关于x的不等式组 恰有两个整数解，求a的取值范围．
【答案】解：解 得：x＜-2，
解 得：x＞2-a，
则不等式组的解集是：2-a＜x＜-2．
不等式组只有两个整数解，是-3和-4．
根据题意得：-5≤2-a<-4，
解得6【解析】【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．
14．如图一次函数的图象经过点，与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求的函数表达式．
（2）若点D在y轴负半轴，且满足，求点D的坐标．
（3）若，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数与正比例函数的图象交于点C，点C的横坐标为1，
∴把x=1代入正比例函数得：，
∴点，
∴把点、代入一次函数得：
，解得：，
∴AB的函数解析式为；
（2）解：由（1）得：，AB的函数解析式为，
∴令y=0时，则有，
∴点，
∴OB=4，
令表示点C的横坐标，表示点C的纵坐标，则由图象可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点D在y轴负半轴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）根据函数图象，可得的解集为： ．
【分析】（1）由题意可先求出点C的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）可先求出△BOC的面积，然后可得△COD的面积，进而根据面积计算公式可进行求解；
（3）直接根据图象可进行求解．
15．由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元．
（1）求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】（1）解：设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有：
，
解得： ．
答：一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元
（2）解：设A型口罩x个，依题意有：
，
解得35≤x≤37.5，
∵x为整数，
∴x=35，36，37．
方案如下：
方案 B型口罩 B型口罩
一 35 15
二 36 14
三 37 13
设购买口罩需要y元，则y=5x+7（50﹣x）=﹣2x+350，k=﹣2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴x=37时，y的值最小．
答：有3种购买方案，其中方案三最省钱
【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组，然后解二元一次方程方程组，即可求解。
（2）根据题意列一元一次不等式组并求出x的取值范围，即可求解。
16．某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示：
甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元）
（1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？
（2）该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
【答案】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
【解析】【分析】
（）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，根据表格中的数量关系列出二元一次方程组即可解答；
（）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，表示利润ｗ关于ａ的函数关系，再根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”列出不等式解出的范围，最后结合一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，
则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
17．某校为进行危房改造，政府最近将在某校搭建板房，从某厂调拔了用于搭建板房的板材5600m3和铝材2210m3，计划用这些材料在某校搭建甲、乙两种规格的板房共100间．若搭建一间甲型 板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如表所示：
板房规格 板材数量（m3） 铝材数量（m3）
甲型 40 30
乙型 60 20
请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案．
【答案】解：设搭建甲种板房x间，则搭建乙种板房（100﹣x）间，根据题意得：
，
解得：20≤x≤21，
∵x只能取整数，
∴x=20，21，
∴共有2种搭建方案：
方案一：搭建甲种板房20间，搭建乙种板房80间；
方案二：搭建甲种板房21间，搭建乙种板房79间．
【解析】【分析】设搭建甲种板房x间，则搭建乙种板房（100﹣x）间，根据题意列出不等式组，再根据x只能取整数，求出x的值，即可得出答案．
18．小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【解析】【分析】
（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意列方程组，计算求解即可解答；
（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数W随a的增大而减小，当时可得最大值，即可求解．
（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，
由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
19．已知方程组的解为正数，求a的取值范围．
【答案】解：解方程组得：，
由题意得：，
解得：，
∴
【解析】【分析】先解二元一次方程组得，再根据其解为正数得，解出不等式的解集即可.
20．幼儿园有玩具若干份，分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件。如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友
【答案】解：设幼儿园有x个小朋友，则这个幼儿园有（3x+59）件玩具，从而3 （3x+59）－5(x－1)﹤5解这个不等式组得， 根据题意，x取整数，即x=30则 3x+59=3×30+59=149所以，这个幼儿园有149件玩具，有30个小朋友
【解析】【分析】根据题意找出不等的关系量，由每人分3件，还余59件，得到玩具的总件数，由每人分5件最后一个人不少于3件但不足5件，得到不等式组，由同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不着，求出这个不等式组的解集，由小朋友是整数，得到这个幼儿园的玩具数和小朋友的人数.
21．第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．在第十五届全国运动会到来之际，学校计划购买一批体育用品，经调查发现，同一款式的跳绳和足球在甲、乙两家商店标价均相同，其中跳绳每根标价10元，足球每个标价40元．两家商店分别开展了不同的促销活动，优惠方式如下：
甲商店：跳绳和足球都按九折出售．
乙商店：买两个足球送一根跳绳
学校计划订购足球40个，跳绳若干（多于20根），单独在甲商店或者乙商店购买
（1）若订购跳绳的数量是30根，如果在乙商店订购，购买跳绳和足球的总费用是多少？
（2）当订购跳绳的数量是多少根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同？
（3）根据跳绳的购买数量，设计一种省钱的订购方案
【答案】（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
【解析】【分析】(1) 根据乙店 “买 2 个足球送 1 根跳绳” 的规则，先算出需付费的跳绳数量，再结合足球和跳绳的单价计算总费用。
(2) 设跳绳数量为x，分别列出甲店（全部九折）和乙店的费用代数式，令两者相等列方程求解，得到费用相同时的x值。
(3) 通过比较两店费用的代数式，列不等式求解不同x范围下更省钱的购买方案。
（1）解：由题意得：元，
∴购买跳绳和足球的总费用是1700元；
（2）解：设订购跳绳的数量是x根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同，
根据题意得：，
解得：，
∴当订购跳绳的数量是40根时，在甲、乙两家商店购买跳绳和足球的总费用相同．
（3）解：设订购跳绳的数量是x根，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当时，
解得：，
当购买跳绳数量大于20根且小于40根时，在乙商店购买跳绳和足球划算；当购买跳绳数量为40根时，在甲、乙商店一样；当购买跳绳数量大于40根时，在甲商店购买跳绳和足球划算．
22．某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
（1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解题需先列方程求进价，再列不等式组求进货方案数。
(1)设甲种文化衫进价为元，根据甲比乙贵10元表示出乙的进价为元，结合“20件甲的进价+30件乙的进价=2200元”列出一元一次方程，解方程求出的值，进而得到乙的进价；
(2)设购进甲种文化衫件，表示出乙的数量为件，根据“总进价≤8780元”和“甲的数量>乙的数量”列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为正整数确定进货方案的数量。
（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
23．解不等式组： ，把解集在数轴上表示出来.
【答案】解：解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以，原不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为：
.
【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，然后根据“大小小大取中间”确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可.
24． 成都市大邑县作为国家级现代农业示范区和四川省智慧农业试点县，近年来积极探索无人机技术在农业植保领域的应用，形成了“政府引导+企业主导+农户参与”的低空经济新模式。据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒。
（1）求A，B两款无人机每架每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？
（2）若当地高标准农田建设项目总占地面积不超过1500亩，计划使用A，B两款无人机共18架同时进行1小时的农药喷洒，喷洒期间两款无人机的平均农药损耗率为5%，那么最多能使用多少架A款无人机？
【答案】（1）解：设A款无人机每架每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为y亩土地进行农药喷洒，
由题意得
解得
答：A款无人机每架每小时可为100亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为80亩土地进行农药喷洒.
（2）解：设使用m架A款无人机，则使用(18-m)架B款无人机，
根据题意，得[100m+80(18-m)]×(1-5%)≤1500，
解得
∵m取正整数，
∴m最大为6，
答：最多能使用6架A款无人机.
【解析】【分析】（1）设A款无人机每架每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款无人机每架每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款无人机和2架B款无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，2架A款无人机和3架B款无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒”列出二元一次方程组求解即可.
（2）设使用m架A款无人机，则使用(18-m)架B款无人机，根据题意列不等式求出m的最大整数解即可.
25．要使3个连续奇数之和不小于100，那么3个奇数中，最小的奇数应当是不小于什么数？
【答案】解：设这3个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，2n+3．
由题意，列出下列不等式（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）≥100．
解此不等式6n≥97， ，即 ．
由于n是整数，比16大的最小整数是17．
∴满足已知条件最小的奇数是2n﹣1=2×17﹣1=33
【解析】【分析】三个连续正整数之间的关系是前边的数总是比后边的数小2，因而可以设这3个连续奇数分别为2n﹣1，2n+1，2n+3．
根据三个连续正整数的和不大于100，求得不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
26．已知 ，且x-y＜0，求k的取值范围
【答案】解：两式相减得x-y=-2k+1，
因为x-y<0，所以-2k+1<0，所以k>0.5.
【解析】【分析】通过观察，两式相减便会出现关于x-y的等式，然后与x-y＜0对比，即可快速确定k的取值范围.
27．x取哪些整数值时，不等式5x-2＞3（x-1）与都成立？
【答案】解：解不等式组
由①得，
由②得x≤2
该不等式组的解为：
所以x可取的整数值是0，1，2．
即当x为0，1，2时都成立．
【解析】【分析】联立两不等式组成不等式组，分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而再确定出解集中的整数即可.
28．小明解不等式组 的过程如下：
解： 由①， 得3x+x>-4， 所以4x>-4， 因此x>-1.由②， 得2-5x≤1-4x-2， 所以-5x+4x≤1-2-2， 合并得， - x≤-3， 因此x≤3.所以原不等式组解为-1判断小明的解答过程是否正确.若正确，请在框内打“√”，并把它的解集表示在数轴上；若错误，请在虚线框内打“×”，并写出你的解答过程.
【答案】解：
由①， 得3x+x>-4， 所以4x>-4， 因此x>-2.
由②， 得2-5x≤1-4x-2， 所以-5x+4x≤1+2-2， 合并得， - x≤1， 因此≥-1.
所以原不等式组解为x≥-1.
【解析】【分析】先判断小明的解答错误， 在框内打 “×” ；再根据不等式的基本性质，解一元一次不等式组；最后再确定不等式组的解集，即可得出答案.
29．解不等式组 ，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】【解答】解：(1)解不等式①，得 ，
故答案为： ；
(2)解不等式②，得 ，
故答案为： ；
(4)原不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【分析】分别解出不等式组中的两个不等式，在数轴上表示出来，交集为不等式组的解集
30．某造纸厂为了保护环境，准备购买A，B两种型号的污水处理设备共6台，用于同时治理不同成分的污水，若购买A型2台，B型3台需54万元，购买A型4台、B型2台需68万元．
（1）求出A型、B型污水处理设备的单价；
（2）经核实，一台A型设备一个月可处理污水220吨，一台B型设备一个月可处理污水180吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1150吨，问共有几种购买方案？请你为该企业设计一种最省钱的购买方案并求此时的购买费用．
【答案】解：（1）设A型污水处理设备的单价为x万元，B型污水处理设备的单价为y万元，根据题意可得：，解得：．
答：A型污水处理设备的单价为12万元，B型污水处理设备的单价为10万元；
（2）设购进a台A型污水处理器，根据题意可得：
200a+180（6﹣a）≥1150，
解得：a≥3.5，
因为a是整数，
所以a=4，5，6，
所以6﹣a=2，1，0，
所以有3种方案：
方案一：购进4台A型污水处理设备，购进2台B型污水处理设备；
方案二：购进5台A型污水处理设备，购进1台B型污水处理设备；
方案三：购进6台A型污水处理设备，购进0台B型污水处理设备．
∵A型污水处理设备单价比B型污水处理设备单价高，
∴A型污水处理设备买越少，越省钱，
∴购进4台A型污水处理设备，购进2台B型污水处理设备最省钱．
购买的费用：4×12+2×10=68（万元）
【解析】【分析】（1）利用等量关系：购买A型2台、B型3台需54万；购买A型4台、B型2台需68万元，设未知数，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x、y的值即可.
（2）设购进a台A型污水处理器，利用该企业每月的污水处理量不低于1150吨，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的整数解，可得到具体的购买方案及最省钱的购买方案.
31． 解不等式组，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式①：
，
，
，
；
解不等式②：
，
，
，
；
不等式组的解集为：．
将其表示在数轴上如图所示：
【解析】【分析】根据题意分别解不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
32．某校为改善教师的办公条件，计划购进A、B两种办公椅共100把.经市场调查：购买A
种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元.
（1）求A种B种办公椅每把各多少元
（2）因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.
【答案】（1）解：设种办公椅元把，种办公椅元把，
依题意得，
解得．
答：种办公椅元把，种办公椅元把．
（2）解：设购买种办公椅把，则购买种办公椅把，
依题意得，
解得
设实际所花费用为元，则．
，
随着的增大而增大，
当时，取最小值，
最小值，
此时．
答：当购买把种办公椅，把种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为元．
【解析】【分析】(1)根据总价格=数量×单价列出二元一次方程组求解即可.
(2)根据A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍，列出不等式方程求出m的取值范围，再根据实际花费列出一元一次方程求出即可.
33．商店以7元/件的进价购入某种文具1 000件，按10元/件的售价销售了500 件.现对剩下的这种文具降价销售，如果要保证总利润不低于2 000元，那么剩下的文具最低定价是多少元？
【答案】解：设剩下的文具定价为x元/件.
由题意得，500(10－7)＋500(x－7)≥2000.
解得x≥8.
∴ x的最小值为8.
答：剩下的文具最低定价8元.
【解析】【分析】设剩下的文具定价为x元/件，根据总利润不低于2 000元 列出不等式，求解即可.
34．习近平总书记强调：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需 100元，购买3 本甲种书和2本乙种书共需165元.
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本
【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元.
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100-m)本，
根据题意得：35m+30(100-m)≤3200
解得：m≤40，
∴m的最大值为40.
答：该校最多可以购买甲种书40本.
【解析】【分析】】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100-m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论.
35．解不等式组： ，并利用数轴确定不等式组的解集.
【答案】解：
解①得x＜3，
解②得x≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3.
用数轴表示为：
【解析】【分析】分别解出不等式组中每一个不等式的解集，然后根据大小小大取中间得出该不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来，表示的时候要注意界点的位置、界点的实心与空心的问题，解集线的走向等即可。
36．用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量（单位/kg） 500 200
原料价格（元/kg） 8 4
现配制这种饮料10kg，要求至少含有4100单位的维生素C，设购买甲种原料x千克．
（1）问至少需要购买甲种原料多少千克？
（2）设用于购买这两种原料的总费用不超过76元时，则x在什么范围内才符合要求？
【答案】（1）解：设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料千克，根据题意得，
，
解得，
答：至少需要购买甲种原料7千克；
（2）解：∵购买这两种原料的总费用不超过76元，则根据题意得，
，
解得，
又由（1）中，
∴符合要求的x的范围内是．
【解析】【分析】（1）设购买甲种原料x千克，则购买乙种原料（10-x）千克，根据不等量关系：甲原料维生素含量+乙原料维生素含量≥4100，列出不等式即可；
（2）根据不等量关系：甲原料的费用+乙原料的费用≤76，列出不等式求解后联立（1）不等式的解集即可得出答案.
37．某中学组织学生研学， 原计划租用可坐乘客 45 人的 种客车若干辆，则有 30 人没有座位； 若租用可坐乘客 60 人的 种客车，则可少租 6 辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用 种客车多少辆？ 这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用 两种客车共 25 辆，要求 种客车不超过 7 辆， 且每人都有座位， 则有哪几种租车方案？
（3） 在 （2） 的条件下， 若 种客车租金为每辆 220 元， 种客车租金为每辆 300 元， 怎样租车才最合算？
【答案】（1）解：设原计划租用 种客车 辆， 则这次研学去了 人，
根据题意得 ，
解得 ，
．
答： 原计划租用 种客车 26 辆， 这次研学去了 1200 人
（2）解：设租用 种客车 较， 则租用 种客车 辆，
根据题意得 ，
解得 ，
又 为正整数， 可以为 ，
该学校共有 3 种租车方案，
方案 1 ： 租用 5 辆 种客车， 20 辆 种客车；
方案 2 ： 租用 6 辆 种客车， 19 辆 种客车；
方案 3 ： 租用 7 辆 种客车， 18 辆 种客车
（3）解：选择方案 1 的总租金为 (元)；
选择方案 2 的总租舍为 (元)；
选择方案 3 的总租金为 (元)．
，
租用 5 辆 种客车， 20 辆 种各车最合算
【解析】【分析】(1)设租用A种客车x辆，则这次研学一共有 人，根据等量关系列出方程即可求解；
(2)设租用B种客车y辆，则租用A种客车 辆，根据不等关系列出不等式，进而可求解.
38．在某校班际篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得3分，负一场得1分，如果某班要在第一轮的28场比赛中至少得43分，那么这个班至少要胜多少场
【答案】解：设这个班要胜x场，根据题意得，
3x+(28-x)≥43，
解得x≥ ，
∵x为正整数，
∴x的最小正整数为8
所以这个班至少要胜8场
【解析】【分析】此题的不等关系为：胜场的得分+负场的得分≥43，胜场数+负场数=28，设未知数，列不等式，求出不等式的最小正整数解即可。
39．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞0，求m的取值范围.
【答案】解：将两个方程相加即可得2x+2y＝2m+4，
则x+y＝m+2，
根据题意，得：m+2＞0，
解得m＞﹣2.
【解析】【分析】两方程相加可得x+y＝m+2，根据题意得出关于m的方程，解之可得.
40． 每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚．
（1）如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）解：设科技类为x本、文学书为y本，由题意列方程组得
解得：
答：书架上科技类书有60本，则有文学书30本
（2）解：设最多还可以摆放m本科技书，由题意列不等式得
解得：
答：科技类书最多还可以摆90本.
【解析】【分析】
（1）设科技类为x本、文学书为y本，由相等关系“ 科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架 ”列方程组并求解即可；
（2）设最多还可以摆放m本科技书，由不等关系“ 最多还可以摆多少本 ”列不等式并求解即可.
41．已知关于x的不等式，两边同除以，得，试化简：.
【答案】解：因为，两边同除以，得，
所以，，
所以，
所以
【解析】【分析】根据不等式的性质结合题意可得m-1<0，求出m的范围，然后确定出m-1、2-m的符号，再利用绝对值的性质以及合并同类项法则进行化简.
42．新定义函数：在y关于x的函数中，若时，函数y有最大值和最小值，分别记和，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”．
（1）若函数为“三角形函数”，求a的取值范围；
（2）判断函数是否为“三角形函数”，并说明理由；
（3）已知函数，若对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴随x的增大而增大，
又，
∴当时，；
当时，，
∵为三角形函数，
∴，
∴
（2）解：是三角形函数，理由如下：
∵对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
∴，，
∴它是三角形函数
（3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，∴，
若a为最小，c为最大，则有，
同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴是三角形函数，
∵，
∴对称轴为直线，
①当时，
∴当时，，当时，，
则，解得，
∴无解；
②当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
③当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
④当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或．
【解析】【分析】（1）由根据函数的增减性得最大值和最小值，由新定义得到到关于a的不等式组，解题即可；
（2）根据抛物线的性质可求得其最大值和最小值，然后根据三角形函数的定义判断即可；
（3）根据三边关系可判断函数是三角形函数，再利用新定义分别得到关于m的不等式组，解不等式组即可．
（1）解：∵，
∴随x的增大而增大，
又，
∴当时，；
当时，，
∵为三角形函数，
∴，
∴；
（2）解：是三角形函数，
理由如下：
∵对称轴为直线，抛物线开口向上，
∵，
∴当时，，
∵，
∴当时，，
∴，，
∴它是三角形函数；
（3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，
∴，
若a为最小，c为最大，则有，
同理当b为最小，c为最大时也可得，
∴是三角形函数，
∵，
∴对称轴为直线，
①当时，
∴当时，，当时，，
则，解得，
∴无解；
②当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
③当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴；
④当时，
∴当时，，当时，，
则，
解得，
∴无解；
综上述可知m的取值范围为 或．
43．某服装店准备购进甲、乙两种服装出售，甲种每件售价120元，乙种每件售价90元．每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元，购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．
（1）甲种服装进价为多少元/件？乙种服装进价为多少元/件？
（2）若购进这100件服装的费用不得超过7500元：
① 求甲种服装最多购进多少件？
② 该服装店对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么该服装店如何进货才能获得最大利润？
【答案】解：（1）设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，
根据题意得： ，
解得：．
答：甲种服装进价为80元/件，乙种服装进价为60元/件；
（2）①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（100-m）件，根据题意得：
，
解得65≤m≤75，
∴甲种服装最多购进75件；
②设总利润为w元，购进甲种服装m件，则
w=（120-80-a）m+（90-60）（100-m）=（10-a）m+3000，且65≤m≤75，
当00，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=75时，w有最大值，即购进甲种服装75件，乙种服装25件；
当a=10时，所有进货方案利润相同；
当10∴w随m的增大而减少，
∴当m=65时，w有最大值，即购进甲种服装65件，乙种服装35件．
【解析】【分析】（1）设甲种服装进价为x元/件，乙种服装进价为y元/件，根据相等关系“每件甲服装的进价比乙服装的进价贵20元“和“购进3件甲服装的费用和购进4件乙服装的费用相等”可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组可求解；
（2）①设甲种服装购进m件，则乙种服装购进（100-m）件，根据“甲种服装不少于65件”和“购进这100件服装的费用不得超过7500元”，列出关于m、n的不等式组，解这个不等式组即可求解；
②求出总利润w的表达式，针对a的不同取值范围分别进行讨论，然后可确定其进货方案．
44．8月初，某超市购进了10箱A款酱油和若干箱B款酱油进行销售，每箱12瓶，其中A款酱油的进价为每箱60元，售价为每瓶9元，B款酱油的进价为每箱96元，售价为每瓶18元，第1周，这两款酱油均未售完，售出部分的销售额为2340元，利润为1220元．
（1）求第1周A、B两款酱油各售出多少瓶？
（2）第2周，这两款酱油剩下的部分很快售完，且这些剩下的酱油总利润不高于280元，请通过计算求出该超市8月初购进了多少箱B款酱油．
【答案】（1）解：设第1周A款酱油售出x瓶，B款酱油售出y瓶，
∵每箱12瓶．其中A款酱油的进价为每箱60元，B款酱油的进价为每箱96元，
∴A款酱油的进价为每瓶5元，B款酱油的进价为每瓶8元，
由题意得：，
解得：，
答：第1周A款酱油售出80瓶，B款酱油售出90瓶；
（2）解：设该超市8月初购进了m箱B款酱油，则第2周，A款酱油售出（瓶），B款酱油售出瓶，
由题意得：，
解得：，
∵m为整数，且，
∴，
答：该超市8月初购进了8箱B款酱油．
【解析】【分析】 (1) 根据题意列二元一次方程组并求解；
(2)在(1)的条件下，列出剩余总利润和B款酱油箱数的关系式，再确定箱数的取值。
45．在平面直角坐标系中， 已知一次函数y=2x+b的图象经过点A（2，5） ．点在此一次函数的图象上，其横坐标为，直线上、两点间的部分（包括、两点）记为图象．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）当图象与轴有交点时，求的取值范围；
（3）当图象最高点与最低点的纵坐标之差为时，求的值；
（4）平面内有一点，以点为对称中心构造正方形，使得轴，当图象与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵一次函数的图像经过点，∴，
解得：
∴该一次函数的表达式为；
（2）解：当时，，解得：
∴当图像与轴有交点时，，
∴m的取值范围为；
（3）解：当时，，即，∵，图像最高点与最低点的纵坐标之差为，
∴，
解得：或，
∴的值为或；
（4）或
【解析】【解答】（4）解：如图，由题意可知，点在直线上，
∵以点为对称中心构造正方形，轴，
∴点也在直线上，，，
∵点在一次函数的图像上，其横坐标为，
∴，
1）当点在点的上方时，此时m>2，
∵图像与正方形的边有且只有一个交点，
∴，
解得：；
2）当点在点的下方时，此时m<2，
∵图像与正方形的边有且只有一个交点，
①若点在第一象限，则
，
该不等式组的解集为空集；
②若点E在第三象限，则
，
解得：；
综上所述，的取值范围是或．
【分析】本题考查是一次函数综合题，
（1）将点代入求出的值即可；
（2）求出当时，的值即可得；
（3）先求出点的纵坐标，再根据图像最高点与最低点的纵坐标之差为建立方程，解方程即可得；
（4）分点在点的上方，点在点的下方两种情况，分别建立关于的不等式组，求解即可；根据的坐标并结合正方形的性质得到四点坐标是解题的关键．
46．某农产品生产基地收获红薯192吨，准备运给甲、乙两地的承包商进行包销．该基地用大、小两种货车共18辆恰好能一次性运完这批红薯，已知这两种货车的载重量分别为14吨/辆和8吨/辆，运往甲、乙两地的运费如下表：
车型 运费
运往甲地/（元/辆） 运往乙地/（元/辆）
大货车 720 800
小货车 500 650
（1）求这两种货车各用多少辆；
（2）如果安排10辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，其中前往甲地的大货车为a辆，总运费为w元，求w关于a的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若甲地的承包商包销的红薯不少于96吨，请你设计出使总运费最低的货车调配方案，并求出最低总运费．
【答案】解：（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意得：
14x+8（18﹣x）=192，解得：x=8，18﹣x=18﹣8=10．
答：大货车用8辆，小货车用10辆．
（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），
∴w=720a+800（8﹣a）+500（10﹣a）+650[10﹣（10﹣a）]=70a+11400（0≤a≤8且为整数）；
（3）由题意可得：14a+8（10﹣a）≥96，解得：a≥．
又∵0≤a≤8，
∴3≤a≤8 且为整数．
∵w=70a+11400，k=70＞0，w随a的增大而增大，
∴当a=3时，W最小，最小值为：W=70×3+11400=11610（元）．
答：使总运费最少的调配方案是：3辆大货车、7辆小货车前往甲地；5辆大货车、3辆小货车前往乙地．最少运费为11610元．
【解析】【分析】（1）设大货车用x辆，则小货车用（18﹣x）辆，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设运往甲地的大货车是a，那么运往乙地的大货车就应该是（8﹣a），运往甲地的小货车是（10﹣a），运往乙地的小货车是10﹣（10﹣a），根据题意建立函数关系式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
47．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出2辆A型车和3辆B型车，销售额为114万元．本周已售出3辆A型车和2辆B型车，销售额为106万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，通过计算说明有哪几种购车方案？
【答案】（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
依题意得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元．
（2）设甲公司购买A型车m辆，则购买B型车（6﹣m）辆，
依题意得：，
解得：2≤m≤，
又∵m为整数，
∴m＝2或3，
∴共有2种购车方案，
方案1：购买A型车2辆，B型车4辆；
方案2：购买A型车3辆，B型车3辆．
【解析】【分析】（1）、根据等量关系列出二元一次方程组，求解即可；（2）、根据条件列出关于m的不等式组，根据解集以及m的限定条件——m为整数，判断出m有两个取值. 根据取值的不同，列出所对应的方案即可.
48．某数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一个新的数学符号，规定如下：
对于三个实数，用表示这三个数中最大的数，例如，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）______，______；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求的值．
【答案】（1）解：根据表示这三个数中最大的数，
可得，.
（2）解：因为，所以，解得，
所以的取值范围为：.
（3）解：由，
所以，当，即时，，，
解得：，不在范围内，不符合题意；
当时，，而，故不符合题意；
当时，，，
解得：，符合题意；
综上所述，的值为．
【解析】【分析】（1）根据三个实数，用表示这三个数中最大的数，即可得到答案；
（2）由，得出不等式组，求解不等式组，即可得到答案；
（3）由，可得分三种情况进行讨论：当时；当时；当时，分别求解即可得到答案．
（1）解：根据题意可得：
，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
解得，
的取值范围为：；
（3）解：，
当，即时，，
，
解得：，不在范围内，不符合题意；
当时，，而，故不符合题意；
当时，，
，
解得：，符合题意；
综上所述，的值为．
49．2022年北京冬奥会掀起“一墩难求”热潮，由于供货紧张，某商场第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元．
（1）雪容融和冰墩墩的进货单价各是多少元？
（2）商家决定采购冰墩墩的数量比雪容融数量的倍多15个，在采购总价不超过1290元的情况下，冰墩墩最多能购进多少个？
【答案】（1）解：设每个雪容融的进价是x元，则每个冰墩墩的进价是y元，根据题意，得
，解得：，
答：雪容融和冰墩墩的进货单价各是24元，18元
（2）解：设购进m个冰墩墩，则购进个雪容融，根据题意，得
24×+18m≤1290，
解得：m≤45，
∴冰墩墩最多能购进45个
【解析】【分析】（1）根据题意设每个雪容融的进价是x元， 每个冰墩墩的进价是y元，则 可以得到方程组，解出答案即可。
（2）根据题意设冰墩墩购进m个， 则购进雪容融 个，然后列出不等式解出即可得到答案。
50．根据以下素材，请完成任务．
养成健康饮水的习惯
素材1：健康饮水知识一 1．人体每天所需水分为毫升．如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态．建议大家应养成主动饮水的习惯，把每天所需的水分安排在一天内喝完．2．推荐喝温开水或茶水，少喝或不喝含糖饮料，不能用饮料代替白水．3．饮水不足、过多均不利益身体健康，缺水后可能会引起供血量减少，血液粘性增加：喝的过量也会增加心、肾的患病风险．
素材2：健康饮水知识二 科学证明，健康饮水的适宜温度大约在．喝水的时候要注意避免喝过冷或过热的水，如果患者长期喝冷水，可能会刺激胃肠道，从而引起腹泻、腹痛等胃肠道不适症状．如果喝过热的水，容易造成食道口腔黏膜的损伤以及胃部损伤，引起炎症反应，出现溃疡等情况．
素材3 小贴士：若接水过程中不计热量损失，温度热量可以用下列公式转化：温水体积×温水温度+开水体积×开水温度=混合后体积×混合后温度
如上图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速．
问题解决
任务一 小健同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热量损失），求小健同学分别接温水和开水的时间；
任务二 如果小康同学先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康同学至少要接多长时间温水才能达到饮用的适宜温度？
【答案】解：任务一：设小健同学分别接温水和开水的时间分别为，由愿意得．
解得
答：小健同学生接温水的时间为，接开水的时间为，
任务二：设小康同学接温水为，由题意得
解得．
答：小康同学接温水的时间至少为，才能达到饮用的适宜温度.
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设小健同学分别接温水和开水的时间分别为，根据体积关系：温水的流速为；开水的流速，总体积是280ml，可得方程：20x+15y=280，再根据热量关系：已知温水温度30℃，开水温度100℃，混合后温度35℃，由热量公式可得：30×20x＋100×15y=280×35，联立两个方程构成关于x和y二元一次方程组，解出x与y的值，即可得出答案．
（2）设小康同学接温水为，结合“健康饮水的适宜温度大约在”，列出关于a一元一次不等式，解得a的取值范围即可得出答案．
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