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一元二次方程及其应用 单元综合突破提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．某农家前年水蜜桃的亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．假设从前年到今年水蜜桃亩产量的年平均增长率都为x，则可列方程（ ）
A．800（1+2x）=1200 B．800（1+x2）=1200
C．800（1+x）2=1200 D．800（1+x）=1200
4．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1=0 B．x2+3=0 C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
5．已知x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5
C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.5
6．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2﹣3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0
7．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
8．如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
10．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若x、y满足 ，则 的值为 ．
12．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人．
13．设，是一元二次方程的两根，则 ．
14． 2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场.求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 .
15．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为 .
16． 定义：若 (t为正整数，且0三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解一元二次方程：
（1） ；
（2） .
18．城市露营成为一种新的周末生活方式.某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品.已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元.
（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶.该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价.
19．已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
20．一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？
21．某商场经销一种高档水果，原售价每千克40元，连续两次降价后每千克售价元；每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）已知这种水果每千克进价30元，每天可售出48千克，经市场调查发现，若每千克降价元，日销售量将增加4千克，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，那么每千克应降价多少元？
22．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程.
23．对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最大数；即，例如；若满足，则，例如，，根据上述材料，完成下列问题：
（1） ；若，则x的取值范围为 ；
（2）若，求x的值.
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一元二次方程及其应用 单元综合突破提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根．
2．已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：将代入，得：，
解得：，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程根的定义 ，将代入，得关于字母c的方程，计算求解即可．
3．某农家前年水蜜桃的亩产量为800千克，今年的亩产量为1200千克．假设从前年到今年水蜜桃亩产量的年平均增长率都为x，则可列方程（ ）
A．800（1+2x）=1200 B．800（1+x2）=1200
C．800（1+x）2=1200 D．800（1+x）=1200
【答案】C
【解析】【解答】设从前年到今年水蜜桃亩产量的年平均增长率都为x，则去年水蜜桃的亩产量为800×（1+x）千克，今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加x，为：800×（1+x）×（1+x）千克，由题意得：800（1+x）2=1200．故选C．
【分析】可先表示出去年水蜜桃的亩产量，那么去年水蜜桃的亩产量×（1+增长率）=1200，把相应数值代入即可求解．
4．已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是（ ）
A．3x+1=0 B．x2+3=0 C．3x2﹣1=0 D．3x2+6x+1=0
【答案】D
【解析】【解答】已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是1，则这个一元二次方程可能是3x2+6x+1=0，
故答案为：D．
【分析】根据二次项系数及常数项得到结果即可．
5．已知x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，则（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0的解是（ ）
A．x1=﹣1，x2=﹣3.5 B．x1=1，x2=﹣3.5
C．x1=1，x2=3.5 D．x1=﹣1，x2=3.5
【答案】A
【解析】【解答】∵x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4，（2x+3）2+3（2x+3）﹣4=0，
∴2x+3=1或2x+3=-4，
∴x1=-1，x2=-3.5，
故答案为：A.
【分析】将2x+3看做一个整体，由已知x2+3x﹣4=0的解是x1=1，x2=﹣4可得2x+3=1或2x+3=-4，解两个一元一次方程即可求解。
6．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ）
A．x2﹣3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x2+2x+3=0
【答案】A
【解析】【解答】解：A、这里a=1，b=﹣3，c=1，
∵△=b2﹣4ac=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
本选项符合题意；
B、这里a=1，b=0，c=1，
∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，
∴方程没有实数根，
本选项不合题意；
C、这里a=1，b=﹣2，c=1，
∵△=b2﹣4ac=0，
∴方程有两个相等的实数根，
本选项不合题意；
D、这里a=1，b=2，c=3，
∵△=b2﹣4ac=﹣5＜0，
∴方程没有实数根，
本选项不合题意；
故选A
【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出大于0的选项即可．
7．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（ ）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【解析】【解答】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故答案为：B ．
【分析】根据一元二次过程根与系数直角的关系得出α+β=﹣1，αβ=﹣2，再整体代入即可算出答案。
8．如图，在长为米，宽为米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化．设修建的道路宽为米，如果绿化面积为平方米，那么与之间的函数关系式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图 ：
设修建的道路宽为米，则空白矩形的长为（100-x）米，空白矩形的宽为（80-x）米
依题意可得：
故选：C．
【分析】
设修建的道路宽为米，则空白矩形的长为（100-x）米，空白矩形的宽为（80-x）米，根据矩形的面积公式写出y与x之间的关系式即可．
9．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
10．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设矩形的长为，宽为，
由图①可得xy=64+6(x-8)+32，
由图②可得xy=64+6(y-8)+44，
两式相减可得6（x-y）-12=0，
∴，
，
∴，
∴，
∴，（舍去），
，
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故答案为：B．
【分析】设矩形的长为，宽为，由图①可得xy=64+6(x-8)+32，由图②可得xy=64+6(y-8)+44，两式相减可得，则，再代入到xy=64+6(y-8)+44中，求出y值，进而得出x的值，进而得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若x、y满足 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x2+2x+y2-8y+17=0，
∴x2+2x+1+y2-8y+16=0，
即（x+1）2+（y-4）2=0
又∵（x+1）2≥0，（y-4）2≥0，
∴x+1=0，y-4=0
∴x=-1，y=4，
∴ =4-1= ，
故答案为： .
【分析】把17拆分成1和16，原方程变形为x2+2x+1+y2-8y+16=0，利用完全平方式和非负数的性质，求出x、y，再计算代数式的值．
12．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人．
【答案】22
【解析】【解答】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
∴2（1+x）＝22．
故答案为：22．
【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解方程求出符合题意的x的值，再把第一轮传染后患流感共有的人数（1+x）×2，即可求出答案.
13．设，是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】
【解析】【解答】∵x1、x2是一元二次方程的两实数根，
∴x1+x2＝-2，x1x2＝-8，
∴x12+x22＝（x1+x2）2-2x1x2＝4+16＝20，
故答案为：20．
【分析】首先根据根与系数的关系求出x1+x2＝-2，x1x2＝-8，然后把x12+x22转化为x12+x22＝（x1+x2）2-2x1x2，最后整体代值计算．
14． 2019﹣2020赛季中国男子篮球职业联赛（CBA），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为552场.求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，则可列方程为 .
【答案】
【解析】【解答】设参赛队伍有x支，根据题意“每两队之间都进行两场比赛”，则 .故答案为 .
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛552场，可列出方程.
15．设α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为 .
【答案】2020
【解析】【解答】∵α，β是方程x2﹣x﹣2019＝0的两个实数根
由韦达定理可得：
α+β＝1，αβ＝﹣2019，
而α2+αβ+β2＝（α+β）2﹣αβ
＝1+2019
＝2020
故答案为2020.
【分析】根据韦达定理可以求出α+β＝1，αβ＝﹣2019，将α2+αβ+β2可化为（α+β）2﹣αβ，代入求值即可解答.
16． 定义：若 (t为正整数，且0【答案】5；485
【解析】【解答】解：设设两个连续正奇数为 m和 m+2， ，
其乘积为：
∴4t3 3t 2=m(m+2)=m2+2m
∴4t3 3t 2=m2+2m+1-1
即4t3 3t 1= (m+1)2
∴m=或m=-（舍去），
又 4t3 3t 1= 4t3 4t+t 1=4t(t+1)(t-1)+(t-1)=(t-1)[4t(t+1)+1]=(t-1)(2t+1)2，
∴m=(2t+1)-1，
∵m为正奇数，m是整数，
∴是偶数，也是整数，
令p=，是偶数，
则t=p2+1，
∴当p=2时，t=5，则4t3 3t 2=483=21×23；
当p=22时，t=485；
当p=24时，t=530；
∵ 0∴t的最小值为5，最大值为485，
即彗星数的最小值为 5 ，最大值为 485.
故答案为：5；485.
【分析】通过分析方程结构，设连续正奇数为 m 和 m+2，其乘积为m2+2m，对方程4t3 3t 2=m2+2m整理变形得m=(2t+1)-1，从而得是正偶数，再结合“ 0三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解一元二次方程：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：∵
∴（x-1)(x-5）=0
∴x1=1，x2=5
（2）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
【解析】【分析】(1)利用十字相乘法，把方程的左边进行因式分解即可
（2）本题考查的是配方法解一元二次方程，先把方程的常数项移到右边，两边同时加4，构成完全平方公式，再开方即可.
18．城市露营成为一种新的周末生活方式.某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品.已知购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元.
（1）求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价各是多少？
（2）该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，每顶精英型帐篷售价为200元时，每天销量为60顶，售价每降低1元每天可多售出5顶.该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若降价m元，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价.
【答案】（1）解：设购进的精英型帐篷的单价是x元，豪华型帐篷的单价是y元，
根据题意得：
解得：
答：购进的精英型帐篷的单价是150元，豪华型帐篷的单价是600元；
（2）解：根据题意可知，该公司精英型帐篷每天的销量为(60+5m)顶，
根据题意得：(200-m-150)(60+5m)=4400
整理得：
解得：
当m=10时，200-m=200-10=190(元)；
当m=28时，200-m=200-28=172(元)；
答：精英型帐篷的售价为190或172元.
【解析】【分析】(1)设购进的精英型帐篷的单价是x元，豪华型帐篷的单价是y元，根据购买3顶精英型帐篷和2顶豪华型帐篷成本为1650元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)利用该公司每天销售精英型帐篷的利润=每顶的销售利润×日销售量，列出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论.
19．已知关于x的方程有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值．
【答案】（1）解： 关于的方程有两个实数根，
，解得
（2）解：依题意，得，．
，
．
．
，
又，
经检验是分式方程的解
所以
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，，化简等式坐标，再整体代入，解方程即可求出答案.
20．一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？
【答案】（1），
（2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得：
整理，得：
解得：，，
要让利于顾客，
应舍去，
故，
答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元
【解析】【解答】解：（1）设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
则每天销售量增加2x件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（利润问题）.
（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到每天销售量增加2x件，每件服装盈利元．
（2）根据“每件利润×销量=总利润”列方程，结合让利于顾客的条件确定解.
（1）解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
则每天销售量增加x件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得：
整理，得：
解得：，，
要让利于顾客，
应舍去，
故，
答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元．
21．某商场经销一种高档水果，原售价每千克40元，连续两次降价后每千克售价元；每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率；
（2）已知这种水果每千克进价30元，每天可售出48千克，经市场调查发现，若每千克降价元，日销售量将增加4千克，那么每天要想获利510元且尽快减少库存，那么每千克应降价多少元？
【答案】（1）解：设每次下降的百分率为x，则连续两次降价后售价可表示为，
由题意得：，
解得，（舍），
答：每次下降的百分率为．
（2）解：设每千克应降价y元，则每千克盈利元，日销售量为千克
由题意得：，
整理得：，
解得，，
要尽快减少库存，
∴，
每千克应降价2.5元．
【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率为x，则连续两次降价后售价可表示为，根据题意可得，求解即可；
（2）设每千克应降价y元，则每千克盈利元，日销售量为千克，由题意可得，，解方程即得答案．
（1）解：设每次下降的百分率为x，
由题意得：，
解得，（舍），
答：每次下降的百分率为．
（2）解：设每千克应降价y元，
由题意得：，
整理得：，
解得，，
要尽快减少库存，
每千克应降价2.5元．
22．为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏：
（1）解不等式组：；
（2）当m取（1）的一个整数解时，解方程.
【答案】（1）解：由①得，，
由②得，，
故不等式组组的解集为：；
（2）解：由（1）知，
令，
则方程变为，
，
，
，（答案不唯一）.
【解析】【分析】（1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（2）找出（1）中不等式组的一个整数解2，将m=2代入关于x的一元二次方程得x2-2x-2=0，此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可.
23．对于三个数a、b、c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中的最大数；即，例如；若满足，则，例如，，根据上述材料，完成下列问题：
（1） ；若，则x的取值范围为 ；
（2）若，求x的值.
【答案】（1）1；
（2）解：∵，
∴
∴
∴，
解得，，
故答案为：，.
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：1；.
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先分别求出，，再列出方程求解即可.
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