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一次方程组 单元同步复习卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在方程组 、 、 、 、 、 中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数多15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．《算法统宗》原文：“今有布三十尺，裁为衣与裙．裁衣每件用布四尺，裁裙每件用布二尺．衣裙共十件，布刚好用尽．问衣、裙各几何？”译文：“用三十尺布做衣服和裙子，做一件衣服要四尺布，做一条裙子要二尺布，最后总共做了十件，布正好用完．问衣服、裙子各做了几件？”设衣服做了件，裙子做了件，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
6．若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法：
设坡路有x km，平路有y km，则全程为（x＋y）km．已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．方程的整数解的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度， 首先按图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程组 的解是 ．
12．小慧去花店买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩11元；若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺5元．若她想购买10支百合，则她所带的钱还缺 元．
13．两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米.设甲每秒跑 米，乙每秒跑 米，依题意，可列方程组为 .
14．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为 ；
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y<0，则m的取值范围是 ．
16．如下图所示，高速公路上，一辆长为4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长为12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追赶到超越卡车，需要花费的时间约是 秒（结果保留整数）.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程和方程组：
（1） ；
（2）
18．列方程组解应用题：
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
19．甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．
20．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸.屈绳量之，不足一尺.问木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺 若设绳子长x尺，木长y尺，则可列方程组为 .
21．在等式y=ax+b中，当x=1时，y=﹣3；当x=﹣3时，y=13．
（1）求a、b的值；
（2）当﹣1＜x＜2，求y的取值范围．
22．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米．
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求该实践基地的面积．
23．解下列方程组：
（1）
（2）
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一次方程组 单元同步复习卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在方程组 、 、 、 、 、 中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】【解答】解：方程组 、 、 是二元一次方程组，共3个，
故答案为：B.
【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程，两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组，据此判断即可.
2．如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数多15°，设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】设∠ABD与∠DBC的度数分别为 ， ，
根据题意得： ，
故答案为：D.
【分析】因为AB⊥BC，所以∠ABC=90°，则 ；∠ABD的度数比∠DBC的度数多15°，则 ；由此联立得出方程组即可.
3．端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组：
．
故选：B．
【分析】根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品分别得出等式组成方程组即可．
4．《算法统宗》原文：“今有布三十尺，裁为衣与裙．裁衣每件用布四尺，裁裙每件用布二尺．衣裙共十件，布刚好用尽．问衣、裙各几何？”译文：“用三十尺布做衣服和裙子，做一件衣服要四尺布，做一条裙子要二尺布，最后总共做了十件，布正好用完．问衣服、裙子各做了几件？”设衣服做了件，裙子做了件，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设衣服做了件，裙子做了件，
根据题意得，
故答案为：A．
【分析】
设衣服做了件，裙子做了件，根据件数总共做了十件列方程x+y=10； 根据布的数量 三十尺布用完列方程为4x+2y=30，解答即可．
5．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论取什么实数，的值始终不变；
④若用表示，则；
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】
①当这个方程组的解
，
的值互为相反数时，
①+②得
解得
，符合题意；
②当
时，
解得
将
代入
中
解得
方程组的解不是方程
的解，不符合题意；
③当
时
解得
无论
取什么实数，
的值始终不变，符合题意；
④若用
表示
，则
，符合题意；
终上所述，正确的有①③④
故答案为：D．
【分析】根据方程组的解法可以得出 ，①令x+y=0，即可求出a的值，验证即可；②由①得出 ，求出a的值，再由与a=1比较即可得出答案；③解方程组可求出方程组的解，再代入求值即可；④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系。
6．若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： ，
①×2得：6x+10y=12 ③，
②-③得：5y=5，
解得：y=1，
把y=1代入①中：3x+5=6，
解得：，
∴方程组的解为：，
把方程组的解代入代入方程3x+ky=10中：，
解得：k=9；
故答案为：C.
【分析】先利用加减消元法求出方程组的解，再根据二元一次方程解得定义代入3x+ky=10中，求得k的值即可.
7．古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设甲有羊只，乙有羊只，
由题意可得：，
故选：D．
【分析】根据甲，乙的对话建立方程组，需分两步分析：甲得到乙的9只羊后的数量关系，乙得到甲的9只羊后的数量关系．
8．一道来自课本的习题：
从甲地到乙地先有一段上坡路后有一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54分钟，从乙地到甲地需42分钟，甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，采用间接设法：
设坡路有x km，平路有y km，则全程为（x＋y）km．已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设从甲地到乙地的上坡的距离为，平路的距离为，
已经列出一个方程，
则另一个方程正确的是：．
故答案为：B．
【分析】根据题意，求解即可。
9．方程的整数解的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，而是整数，是整数，且，
∴或或，
（1）当时，有①，②，
其中方程组①有整数解，②没有整数解；
(2)当时，有①，②，③，④，
其中，方程组①没有整数解，方程组②没有整数解，方程组③有整数解，方程组④没有整数解；
(3)当时，有①，②，
其中，方程组①没有整数解，方程组②有整数解；
综上所述，原方程组的整数有3个，
故选：C．
【分析】根据题意得出或或，据此，分为三种情况，分别判断出三种情况下，二元一次方程组的整数解的情况，即可得出答案.
10．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度， 首先按图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ）
A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm
【答案】D
【解析】【解答】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，由题意得两式相加得：2a=152，解得a=76。
故答案为：D
【分析】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高为acm，分析图像建立方程组求出解就可以得出桌子高度。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．方程组 的解是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：
①×2-②×3得， ，
∴
把 代入①得，
解得，
∴方程组的解为 ，
故答案为：
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
12．小慧去花店买鲜花，若买6支玫瑰和4支百合，则她所带的钱还剩11元；若买4支玫瑰和6支百合，则她所带的钱还缺5元．若她想购买10支百合，则她所带的钱还缺 元．
【答案】37
【解析】【解答】解：设每支玫瑰的价格为x元，每支百合的价格为y元，
依题意得：6x+4y+11＝4x+6y-5，
∴x＝y-8，
∴6x+4y+11-10y＝6（y-8）+4y+11-10y＝-37，
∴购买10支百合，她所带的钱还缺37元.
故答案为：37．
【分析】设每支玫瑰价格为x元，每支百合价格为y元，由“买6支玫瑰和4支百合，她所带钱还剩下11元；买4支玫瑰和6支百合，她所带钱还缺5元”，得到x，y的二元一次方程6x+4y+11＝4x+6y-5，整理得x＝y-8，再由缺的钱＝小慧带的钱数-购买10支百合的费用，即可求出答案.
13．两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米.设甲每秒跑 米，乙每秒跑 米，依题意，可列方程组为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，根据题意得出：
故答案为：
【分析】根据题意，由如果乙先跑16米，甲8秒可以追上乙，可根据两人行驶时间相同得出等式，根据如果乙先跑2秒，则甲4秒可以追上乙，根据行驶时间差为2由路程得出等式，进而得出答案．
14．已知关于x，y的方程组的解为，则关于m、n的方程组的解为 ；
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得m-2=6，n+3=7，
解得：
故答案为：.
【分析】把m-2，n+3看作一个整体，根据 的解为 可得m-2=6，n+3=7，解出即可.
15．关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y<0，则m的取值范围是 ．
【答案】m＜-2
【解析】【解答】解：
①+②得：
x+y<0，
＜
＜
故答案为：m＜-2.
【分析】利用加减消元法求出
，再根据x+y<0，可得，再求出m的取值范围即可。
16．如下图所示，高速公路上，一辆长为4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长为12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追赶到超越卡车，需要花费的时间约是 秒（结果保留整数）.
【答案】6秒
【解析】【解答】解：设整个超越过程历时x小时，在这一过程中卡车行驶了y千米，则轿车行驶了（y＋0.012＋0.004）千米，则 ，解得x＝0.0016（小时），0.0016小时＝5.76秒≈6秒．
故答案为：6秒.
【分析】设整个超越过程历时x小时，在这一过程中卡车行驶了y千米，由图和已知可知，轿车行驶的距离等于卡车行驶的距离和两个车长，由此可列出一个方程，再由卡车行驶的距离列方程，从而得到方程组，求出解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程和方程组：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：
两边同时乘以4去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并得： ；
（2）解：
由① 得： ③，
③-②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴原方程组的解是 ．
【解析】【分析】（1）根据解方程的步骤：等号两边同时乘以4去分母，再去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，进行计算即可；（2）根据观察看出用加减消元法，即可得到方程的解．
18．列方程组解应用题：
某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【答案】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
，
解得.
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，结合黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组，求得方程组的解，即可得到答案.
19．甲，乙，丙三人各有邮票若干枚，要求互相赠送．先由甲送给乙，丙，所给的枚数等于乙，丙原来各有的邮票数；然后依同样的游戏规则再由乙送给甲，丙现有的邮票数，最后由丙送给甲，乙现有的邮票数．互相送完后，每人恰好各有64枚．你能知道他们原来各有邮票多少枚吗？说出你的思考过程．
【答案】解：设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．
甲 乙 丙
原有 x y z
第一次送后 x﹣y﹣z 2y 2z
第二次送后 2（x﹣y﹣z） 2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z 4z
第三次送后 4（x﹣y﹣z） 2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z] 4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
根据第三次赠送后列方程组，即，③﹣②得 2z﹣y=8 ④，②+①得 y﹣z=24 ⑤，④+⑤得 z=32，将z代入⑤得 y=56，将y、z代入①得 x=104，答：甲原有邮票104枚，乙原有邮票56枚，丙原有邮票32枚．
【解析】【分析】假设甲原有邮票x枚，乙原有邮票y枚，丙原有邮票z枚．根据题目说明列出三次赠送的过程如下表
甲 乙 丙
原有 x y z
第一次送后 x﹣y﹣z 2y 2z
第二次送后 2（x﹣y﹣z） 2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z 4z
第三次送后 4（x﹣y﹣z） 2[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z] 4z﹣2（x﹣y﹣z）﹣[2y﹣（x﹣y﹣z）﹣2z]
根据第三次赠送后的结果列出方程组
先化简，最后代入消元法或加减消元法求出方程组的解即可．
20．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸.屈绳量之，不足一尺.问木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 尺.将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺 若设绳子长x尺，木长y尺，则可列方程组为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设绳子长x尺，木长y尺，
由题意得：.
故答案为：.
【分析】设绳子长x尺，木长y尺，根据题中的两个相等关系“绳子长-木长=4.5，绳子长+1=木长”可列关于x、y的方程组.
21．在等式y=ax+b中，当x=1时，y=﹣3；当x=﹣3时，y=13．
（1）求a、b的值；
（2）当﹣1＜x＜2，求y的取值范围．
【答案】解：（1）将x=1时，y=﹣3；x=﹣3时，y=13代入得：，解得：；（2）由y=﹣4x+1，得到x=，∵﹣1＜x＜2，∴﹣1＜＜2，解得：﹣7＜y＜5．
【解析】【分析】（1）将x与y的两对值代入y=ax+b，即可求出a与b的值；
（2）将y看做已知数，求出x，根据x的范围求出y的范围即可．
22．某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米．
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求该实践基地的面积．
【答案】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
由题意得：，
解得．
答：小长方形的长和宽分别为45米，15米．
（2）解：大长方形的长为米，宽为60米，
所以大长方形的面积．
答：该实践基地的面积为．
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形中的数量关系列出方程组，再求解即可；
（2）先求出长方形的长和宽，再利用长方形的面积公式列出算式求解即可.
（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
由题意得：，
解得．
答：小长方形的长和宽分别为45米，15米．
（2）解：大长方形的长为米，宽为60米，
所以大长方形的面积．
答：该实践基地的面积为．
23．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）由x：y=4：3得
设则x=4k，y=3k.①
把①代入x-3y=2得4k-9k=2，解得
把代入①得
∴原方程组的解是
（2）设则原方程组可化为
解得即
∴原方程组的解为
【解析】【分析】（1）设x=4k，y=3k，然后代入第一个方程求出k的值解答即可；
（2）设原方程化为求出a，b的值，即可得到然后利用求出x和y的值解答即可.
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