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第二十章 勾股定理 单元知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
2．如图，长为12cm的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升8cm至点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
3．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．3或5
4．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
6．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（ ）
A．15 B．9 C．10 D．21
7．给出下列四个说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么5a，5b，5c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边长分别是5，12，那么第三边长必是13；③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2-4，4n，n2+4(n>2)，那么此三角形是直角三角形.其中正确的说法是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE
C． D．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH . 连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为 cm.
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 坐标是 ，则顶点 的坐标是 ．
13．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a、b、c的大小关系是 ．
14．如图，在数轴上，点为原点，点在数2位置上，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，则点表示的数为 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为 .
16．如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
18．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．
19．如图，在 中， 是 上的一点，若 ， ， ， ，求 的面积.
20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
21．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3）
22．（1）已知，求的值（其中n为正整数）；
（2）已知一个直角三角形的三条边长均为正整数，且斜边与其中一条直角边之和为25，求该直角三角形的面积．
23．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，点 E 在直线BC上(不与点B，C重合)，连接DE，过点 D 作DF⊥DE 交直线AC 于点F，连接EF.
（1）如图①，当点 F 与点A 重合时，请直接写出线段EF 与BE 的数量关系.
（2）如图②，当点 F 不与点A 重合时，请写出线段AF，EF，BE 之间的数量关系，并说明理由.
（3）若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF 的长.
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第二十章 勾股定理 单元知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，7，8 B．，， C．5，12，13 D．9，12，15
【答案】A
【解析】【解答】解：A.，不能构成直角三角形，故选项符合题意；
B.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
D.，能构成直角三角形，故选项不符合题意；
故选：．
【分析】根据勾股定理逆定理即可求出答案.
2．如图，长为12cm的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升8cm至点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【答案】A
【解析】【解答】解： 解：∵橡皮筋原长为12cm，且是在中点M处向上拉伸，
∴OM=AM=6cm，
∵把中点M向上拉伸了8cm，
∴MN⊥OA，MN=8cm，
∴根据勾股定理得：，
∴AN=ON=10cm，
橡皮筋被拉伸后总长为：AN+ON=20cm；
即橡皮筋被拉长了20-12=8cm.
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可求出ON、AN，即可求出橡皮筋被拉伸后的总长度，与原长比较，即可得出答案.
3．如果一个直角三角形的两边分别是6，8，那么斜边上的中线是（ ）
A．4 B．5 C．4或5 D．3或5
【答案】C
【解析】【解答】当一个直角三角形的两直角边分别是6，8时，
由勾股定理得，斜边= =10，则斜边上的中线= ×10=5，
当8是斜边时，斜边上的中线是4，
故答案为：C．
【分析】首先根据勾股定理算出直角三角形的斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案。
4．在下列三角形中，能从几何角度直接验证的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，中，，，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵垂线段最短，
∴，
∴，
故A符合题意，
选项、、均无法通过几何角度直接验证，
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理的逆定理与垂线段最短性质的结合应用。解题的核心是构造出三边长为1、、2的三角形，先通过勾股定理的逆定理验证，确定该三角形为直角三角形，再利用直角三角形中垂线段最短的性质，找到对应线段和2的位置关系，从而直接验证大小关系。
5．如图，以 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】S阴影=S△ACD+ S△ABE+ S△BCF= AD2+ AE2+ BF2= （AD2+ AE2+ BC2）= （ AC2+ AB2+ BC2）= （AC2+ AB2+ BC2）= ×（2 AB2）=4.5.
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的面积等于两直角边积的一半，又等腰直角三角形两腰相等即可得出S△ACD= 12 AD2，S△ABE= 12 AE2，S△BCF= 12 BF2，再根据S阴影=S△ACD+ S△ABE+ S△BCF根据乘法分配律的逆用，勾股定理整体代入即可算出答案。
6．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，则正方形B的面积是（ ）
A．15 B．9 C．10 D．21
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，得，而正方形A、C、D的面积依次为5、6、20，所以，解得
故答案为：B.
【分析】利用勾股定理，先写出A、B、C、D的面积的关系，再求解.
7．给出下列四个说法：①如果a，b，c为一组勾股数，那么5a，5b，5c仍是勾股数；②如果直角三角形的两边长分别是5，12，那么第三边长必是13；③如果一个三角形的三边长是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2-4，4n，n2+4(n>2)，那么此三角形是直角三角形.其中正确的说法是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【答案】C
【解析】【解答】解：①若 a，b，c为一组勾股数，则，
∴，
∴ 5a，5b，5c仍是勾股数 .即①正确；
②若斜边为12，则由勾股定理知第三边为；若直角为5、12，则由勾股定理知第三边为，因此 第三边长 是13或，即②错误；
③∵，
∴122+212=585≠625=252，
∴ 三角形不是直角三角形，即③错误；
④∵
∴
∴ 三角形是直角三角形 ，即④正确.
综上所述，①④正确.
故选：C.
【分析】根据勾股数的定义及勾股定理及其逆定理验证每个说法，确定正确选项即可.
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CAB的内部相交于点P，画射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．则下列结论错误的是（ ）
A．∠CAD＝∠BAD B．CD＝DE
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】
A：∠CAD＝∠BAD，根据作图过程知AP平分∠BAC，结论正确，不符合题意
B：CD＝DE，根据作图过程知AP平分∠BAC，角平分线上的点到角的两边距离相等，结论正确，不符合题意
C：，由勾股定理得BC=4，根据得出CD=，进而算出BD=，结论正确，不符合题意
D：，根据勾股定理，结论不正确，符合题意
故选：D
【分析】根据题中描述的作图过程，得知AP是∠BAC的平分线，根据角平分线定理和勾股定理逐一进行判定。
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH . 连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠EGH=45°，∠FGH=90°，
∵OG=GP，
∴∠GOP=∠OPG=67.5°，
∴∠PBG=22.5°，
又∵∠DBC=45°，
∴∠GBC=22.5°，
∴∠PBG=∠GBC，
∵∠BGP=∠BGC=90°， BG= BG，
∴△BPG≌△BCG ( ASA )，
∴PG=CG .
设OG=PG=CG=x，
∵O为EG， BD的交点，
∴EG=2x， FG= x，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
∴BF=CG=x，
∴BG=x+ x，
∴BC2=BG2+CG2=x2( +1)2+x2= (4+2 )x2，
∴，
故答案为：B.
【分析】先证明△BPG≌△BCG ( ASA) ，得出PG=CG .设设OG=PG=CG=x，则EG=2x， FG= x，再由勾股定理得出BC2= (4+2 )x2，即可得出答案.
10．已知三角形的两边长分别是和，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：解方程，得或，
当第三边长为或时，都可以构成三角形，
①当第三边长为时，如图，此三角形为等腰三角形，
过点作于点，
设，，
，
在中，，
，
；
②当第三边长为时，，
此三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为和，
该三角形的面积为；
综上所述，该三角形的面积为或．
故答案为：D．
【分析】先解一元二次方程得到或，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，判断出第三边长为或时，都可以构成三角形，再分两种情况讨论，当第三边长为时，三角形为等腰三角形，作底边上的高，根据三线合一与勾股定理求出高，即可求面积；当第三边长为时，根据勾股定理的逆定理判断此三角形为直角三角形，直角边为和，即可求面积．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80 cm，高AB=60 cm，水深AE=40 cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG=60 cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑，则蚂蚁爬行的最短路线长为 cm.
【答案】100
【解析】【解答】解：如图，
作点 A A'，关于BC 的对称点 A'，连接A'G 交 BC 于点 Q，则AQ+QG=A'Q+QG=A'G，所以蚂蚁沿着A→Q→G 的路线爬行时路程最短，最短路程等于A'G的长.在Rt△A'EG 中，A'E=80cm，EG=60cm，所以 所以A'G=100cm，所以最短路线长为 100 cm.故答案为 100.
【分析】作出A关于BC的对称点A'，连接A'G，与BC交于点Q，此时AQ+QG最短；A'G为直角 的斜边，根据勾股定理求解即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 坐标是 ，则顶点 的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵菱形 的顶点 坐标是（3，4），
∴AB=OC= =5，BD=4，
∴AD= =3，
∴OD=OA+AD=5+3=8，
∴顶点 的坐标是（8，4）．
故答案为：（8，4）．
【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为D，利用勾股定理求出AB和AD的长，再利用线段的计算求出OD的长，即可得到点B的坐标。
13．如图，每个小正方形的边长都为1，则△ABC的三边长a、b、c的大小关系是 ．
【答案】c＜a＜b
【解析】【解答】解：根据题意可得：a= ，b= =5，c=4，
∴c＜a＜b．
【分析】根据勾股定理分别求出a、b、c的长度，从而得出线段的大小．
14．如图，在数轴上，点为原点，点在数2位置上，过点作，且．以点为圆心，为半径作弧，交数轴的右侧于点，则点表示的数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵点在数2位置上 ，
∴OA=2，
∵，
∴在中，.
∵以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴的右侧于点P，
∴.
∴点P表示的数为.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出OB的长度，再根据同圆的半径相等即可求出OP的长度，从而根据数轴上的点所表示的数的特点，可得出点P所表示的数.
15．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，若BE=2，则AC的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴∠EDB=90°，BD=DC=BC，
∵∠B=30°，BE=2，
∴DE=1，
∵∠A=90°，
∴AC=BC，
∴AC=BD，
在Rt△BDE中，BD=，
∴AC=BD=，
故答案为：.
【分析】根据垂直平分线的性质求出∠EDB=90°，BD=DC=BC，再结合含30°的直角三角形的性质推出AC=BD，最后利用勾股定理求出BD，则知AC长.
16．如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵在，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
同理可以求出正方形的边长为，
正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
【分析】先求出正方形的边长为，正方形的边长为，可得规律正方形的边长为，再将n=2024代入计算即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米；
（2）解：如图，
由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）由题意可得CM，再根据勾股定理可得BM，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．如图，将四张长、宽分别为的长方形硬纸片拼成一个中间“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为，中间小正方形的面积为，求的值．
【答案】解：由题意得，，，，，
，，
，
，
【解析】【分析】先得到，，再利用完全平方公式得到、的值，然后利用分式的乘除法法则化简，再整体代入计算解题．
19．如图，在 中， 是 上的一点，若 ， ， ， ，求 的面积.
【答案】解： ，
是直角三角形，
，
在 中， ，
，
.
因此 的面积为84.
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理求证 是直角三角形，再利用勾股定理求出 的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案.
20．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
（2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，即解得：AB=10(dm)，
∴绳子长度=AB+AC=10+8=18(dm)
（2）解：如图
由1可知BE=16-10=6(dm)
若物体C升高7dm，则此时
AC=8-7=1(dm)，
AB=18-1=17(dm)，
∴在Rt△ABD中，
∴BE=BD-ED=15-6=9(dm)
答：滑块B向左滑动的距离为9dm
【解析】【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理运算求出AB，而绳子长度=AB+AC；
（2）C升高7dm，由1知AB=17dm，BE=6dm， 利用勾股定理运算求出BD．移动距离等于BD-BE即可求解。
（1）解：设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴绳子长度；
（2）解：如图进行标注：
若物体升高，则此时，
∴在中，，
∴，
答：滑块向左滑动的距离为．
21．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？（π取3）
【答案】解：如图所示，
∵圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，
∴AC=2π×1.5≈9cm，
∴AB= = =15（cm）．
答：蚂蚁所走过的最短路径是15cm．
【解析】【分析】根据题意画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理求解即可．
22．（1）已知，求的值（其中n为正整数）；
（2）已知一个直角三角形的三条边长均为正整数，且斜边与其中一条直角边之和为25，求该直角三角形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴
当时，|c－1|=c－1，代入得：
，
∴，
∴，，
解得，，，
∴，
∵，n(n+1)是偶数，故n(n+1)+2也是偶数，
∴；
当时，|c－1|=1－c，代入得：
，
∴，
∴，，
解得，，，
∴，
∴，
综上，；
（2）设这个直角三角形的两直角边与斜边长分别为a、b、c，且均为正整数，
根据题意，设a+c=25，且，
∴，即，
∴，且是完全平方数，
∵a和c正整数，
∴、的奇偶性相同，
∴c－a=1，9，
∵c+a=25，
∴或，
∴该直角三角形的面积为或．
【解析】【分析】（1）分和两种情况化简绝对值并进行移项，利用完全平方公式和平方式的非负性求得a、b、c的值，再判断的奇偶性，即可求解；
（2）设个直角三角形的两直角边与斜边长分别为a、b、c，且均为正整数，根据题意可得a+c=25，且，利用平方差公式和完全平方数的性质，判断得，且是完全平方数，、的奇偶性相同，可确定c－a的值，即可取得a，b，c可取得的值，进而可计算直角三角形的面积.
23．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，点 E 在直线BC上(不与点B，C重合)，连接DE，过点 D 作DF⊥DE 交直线AC 于点F，连接EF.
（1）如图①，当点 F 与点A 重合时，请直接写出线段EF 与BE 的数量关系.
（2）如图②，当点 F 不与点A 重合时，请写出线段AF，EF，BE 之间的数量关系，并说明理由.
（3）若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF 的长.
【答案】（1）解：EF=BE.
（2）解：过点 A 作AG⊥AC 交ED 延长线于点G，连接FG，
∴AG∥BC，
∴∠AGD=∠BED，
在△AGD和△BED中：∵∠AGD=∠BED，∠ADG=∠BDE，AD=BD，
∴△AGD≌△BED，
∴AG=BE，
∵FD垂直平分GE，
∴
∵GF2=AG2+AF2，
∴EF2=BE2+AF2；
（3）解：如图，当点E 在线段 BC上时，
设AF=x，则CF=5-x，BE=2，由 得
如图，当点E在BC 延长线上时，
设AF=x，则CF=5-x，BE=4，同理由 得x=1.
综上所述，AF 的长为 或1.
【解析】【解答】解：（1）∵ D 为AB 的中点， DE⊥DF，
∴DE垂直平分AB，
∴EF=BE.
【分析】（1）由题意知：DE垂直平分AB，从而得出EF=BE；
（2）过点 A 作AG⊥AC 交ED 延长线于点G，连接FG，首先可证△AGD≌△BED，从而得出AG=BE，再根据中垂线的性质可得出然后根据勾股定理得出GF2=AG2+AF2，等量代换为EF2=BE2+AF2；
（3）可分成两种情况：当点E 在线段 BC上时，设AF=x，根据可得方程解方程即可得出 AF =；当点E在BC 延长线上时，设AF=x，根据可得方程解方程即可得出 AF =1.
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