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第二十一章 四边形 单元同步培优测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为20，则的长等于（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．3.5
2．下列说法中错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
3．如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 是 上一动点，点 是 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，在直角坐标系中，菱形 的顶点 在原点，点 的坐标为 ，点 的纵坐标是 ，则菱形 的边长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
6．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
7．如图，中，，，E、F分别是、的中点，若，则四边形的周长是（ ）
A．20 B．22 C．29 D．31
8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠ABC=25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．50° C．65° D．55°
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点。有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC= .
12．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC= ．
13．如图，在 ABCD中，AB=2 cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长 cm．
14．如图，在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 ．米．
15．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b， ∠1=60°，则∠2的度数为 ° 。
16．如图1，一个菱形可以分割成八个全等的等边三角形，按图2所示的方式(不重叠无缝隙摆放在矩形纸片ABCD内，顶点E，F，G，H，M，N均恰好落在矩形ABCD的边上，若菱形的边长为4，则FG的长为 ，BC的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE=DF．
18．若多边形的内角和与外角和之比为 ，求它的边数．
19．如图，在中，，，．求的面积．
20．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长．
21．如图，长方形中，，，求长方形面积．
22．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．
23．如图，在矩形 中， ， ，若点M、N分别是线段 、 上的两个动点，则求 的最小值.
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第二十一章 四边形 单元同步培优测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为20，则的长等于（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．3.5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵是菱形，
∴，，
又∵为边中点，
∴，
故选A．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
2．下列说法中错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
【答案】D
【解析】【解答】解：A、多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故A不符合题意；
B、四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故B不符合题意；
C、多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故C不符合题意；
D、三角形是多边形，但多边形不一定是三角形，故D符合题意.
故选： D.
【分析】在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断.
3．如图，四边形 是菱形，对角线 ， 相交于点 ， ， ，点 是 上一动点，点 是 的中点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接 ，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ，
四边形 是菱形， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
点 是 的中点，
，
，
即 的最小值为 ，
故答案为：A．
【分析】由三角形的三边关系可得当点P在DE上时，PD+PE的最小值为DE的长，由菱形的性质可得AO=CO=，BO=DO=3，AC垂直BD，AB=AD，由锐角三角函数可求，证明 是等边三角形，由等边三角形的性质可得DE垂直AB，即可求解。
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则 ABCO的周长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，
∵C（1，2），
∴OE=1，CE=2，
∴，
∵A（3，0），∴OA=3，
∵四边形ABCO是平行四边形 ，
∴AB=OC=，BC=OA=3，
∴ ABCO的周长=2（OA+OC）=6+2.
故答案为：D.
【分析】过C作CE⊥OA于E，在Rt△OCE中，用勾股定理求出OC的值，然后根据平行四边形的性质并结合四边形的周长等于相邻两边之和的2倍可求解.
5．如图，在直角坐标系中，菱形 的顶点 在原点，点 的坐标为 ，点 的纵坐标是 ，则菱形 的边长为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【解析】【解答】连接AB交OC于点M，
∵四边形 是菱形，
∴OM=CM= OC= ×4=2，OC⊥AB，
∵点 的纵坐标是 ，
∴BM=1，
∴OB= = ，即：菱形的边长为 .
故答案为：D.
【分析】连接AB交OC于点M，根据菱形的性质得OM=2，OC⊥AB，再根据勾股定理，即可求解.
6．如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
等腰直角三角形中，为边上中点，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积，
∵的长为8，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据直角三角形的特点和证明等腰三角形三线合一的特点，易证，从而可得四边形的面积，最后再根据三角形的面积公式，代入数据即可去接
7．如图，中，，，E、F分别是、的中点，若，则四边形的周长是（ ）
A．20 B．22 C．29 D．31
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形的性质可得，，再证出是的中位线，可得，，再求出，最后利用四边形的周长公式及等量代换求出四边形的周长为即可．
8．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，∠ABC=25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．60° B．50° C．65° D．55°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB=90°，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠ABC=25°，
∴∠ADC=∠BCD+∠ABC=50°，
故答案为：B.
【分析】根据直角三角形斜边中线定理得出CD=BD，再根据等边对等角得出∠BCD=∠ABC=25°，再根据三角形外角定理得出∠ADC=∠BCD+∠ABC=50°，即可得出答案.
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO＝α，则∠DAB的度数是（ ）
A．α B．2α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∵∠DHO＝α，
∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝90°﹣α，
∴∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°﹣α，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣90°+α﹣90°+α＝2α.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，由等腰三角形的性质可得∠ABD＝∠ADB，由直角三角形斜边上中线的性质可得OH＝OB＝BD，易得∠OHB＝90°﹣α，∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°-α，然后根据内角和定理进行计算.
10．如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠ABC=60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE=DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点。有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF.
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
当MN经过点O时，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
四边形MENF是平行四边形，故①正确；
当MN经过点O且时，
由①得，四边形MENF是平行四边形，
四边形MENF是矩形，故②正确；
当MN经过点O且时，
由①得，四边形MENF是平行四边形，
四边形MENF是菱形，故③正确；
要使四边形MENF是正方形，则MN经过点O且，，
此时有且只有一个正方形MENF，故④错误.
故答案为：C.
【分析】当MN经过点O时，利用平行四边形的性质，通过AAS判定，得到MO=NO，即可证得四边形MENF是平行四边形，又点E、F为动点，故存在无数个平行四边形MENF，①正确；在①的基础上使，即可证得四边形MENF是矩形，故存在无数个矩形MENF，②正确；在①的基础上使，即可证得四边形MENF是菱形，故存在无数个菱形MENF，③正确；要使四边形MENF是正方形，则MN经过点O且，，此时有且只有一个正方形MENF，故④错误.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=12，如果∠AOD=60°，则DC= .
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OA＝6，
∴.
故答案为：.
【分析】由矩形的性质可得OA＝OD＝AC＝×12＝6，∠ADC=90°，结合∠AOD＝60°可得△AOD是等边三角形，则AD＝OA＝6，然后利用勾股定理进行计算.
12．如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，AC为正方形ABCD的对角线，则∠EAC= ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵△ADE为等边三角形，
∴∠EAD＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC＝45°，
∴∠EAC＝∠EAD＋∠DAC＝105°．
故答案为105°．
【分析】因为正方形的对角线互相平分，且每个内角是90°，故∠CAD＝45°，又因为等边三角形三个角相等，均为60°，所以∠DAE＝60°，∠EAC＝∠CAD＋∠DAE＝60°＋45°＝105°．
13．如图，在 ABCD中，AB=2 cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长 cm．
【答案】4
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∵AB=CD=2 cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，
∵AC⊥BC，
∴AC= =6cm，
∴OC=3cm，
∴BO= =5cm，
∴BD=10cm，
∴△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）=BD﹣AC=10﹣6=4cm，
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD=2 cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．如图，在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为 ．米．
【答案】300
【解析】【解答】解：
如图，点D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE、EF、DF为的中位线，
∴
∵的周长为600米，
∴AB+BC+AC=600，
∴，
∴ 水渠的总长为300米.
故答案为：300.
【分析】根据三角形中位线定理得到，即可得到答案.
15．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b， ∠1=60°，则∠2的度数为 ° 。
【答案】60
【解析】【解答】解：延长AB交直线b于点F，如图所示：
∵a//b，
∴∠AFC=∠1=60°.
因为四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠2=∠AFC=60°.
故答案为：60.
【分析】延长AB交直线b于点F，利用平行线的性质求得∠AFC的度数，再次利用平行线性质，即可得到∠2的度数.
16．如图1，一个菱形可以分割成八个全等的等边三角形，按图2所示的方式(不重叠无缝隙摆放在矩形纸片ABCD内，顶点E，F，G，H，M，N均恰好落在矩形ABCD的边上，若菱形的边长为4，则FG的长为 ，BC的长为 .
【答案】；
【解析】【解答】解：如图，连接FN交EK于点O，过点O作PQ⊥BC于点P，交AD于点Q，
∴∠QPB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABPQ是矩形，
∴AB=QP，
∵△ENQ和△EFK都是全等的等边三角形，
∴∠EFK=∠ENK=60°，EF=FK=NK=EN=EK=2，
∴四边形ENKF是菱形，
∴NF⊥EK，OE=OK=EK=1，OF=ON=FN，∠EFN=∠EFK=30°，
∴OF===，
∵OG=OK+KG=1+4=5，
∴FG===2，
∵S△OFG=OP·FG=OF·OG，即2OP=5，
∴OP=，
∴AB=PQ=2OP=，
∵OP∥BE，
∴△GOP∽△GEB，
∴=，即=，
∴BE=，
∴AE=AB-BE=-=，
∴AN===，
∵AD∥BC，EN∥GH，
∴∠ANE=∠CGH，
在△ANE和△CGH中，
，
∴△ANE≌△CGH（AAS），
∴CG=AN=，
∴BC=BF+FG+GC=+2+=.
故答案为：2，.
【分析】连接FN交EK于点O，过点O作PQ⊥BC于点P，交AD于点Q，先证明四边形ABPQ是矩形，得出AB=QP，根据△ENQ和△EFK都是全等的等边三角形，求出四边形ENKF是菱形，得出NF⊥EK，OE=OK=EK=1，OF=ON=FN，∠EFN=∠EFK=30°，然后根据勾股定理求出OF、OG长，然后在Rt△OFG中，根据勾股定理求出FG长；在Rt△OFG中，根据等积法求出OP长，则可得出AB长，证明△GOP∽△GEB，列比例式求出BE长，则可得出AE长，在Rt△AEN中，根据勾股定理求出AN长，然后根据AAS证明△ANE≌△CGH，得出CG=AN，最后根据线段间的和差关系求BC长即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，BE∥DF．求证：BE=DF．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠ACB=∠DAC，
∵BE∥DF，
∴∠BEC=∠AFD，
∴△CBE≌△ADF，
∴BE=DF．
【解析】【分析】先证BC=AD，∠ACB=∠DAC，∠CEB=∠AFD，根据AAS证出△BEC≌△DFA，从而得出BE=DF．
18．若多边形的内角和与外角和之比为 ，求它的边数．
【答案】解：设该多边形的边数为n
则 ，
解得：n=9．
故它的边数为9．
【解析】【分析】根据多边形的内角和与外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．
19．如图，在中，，，．求的面积．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∵，，
，
，
，
是直角三角形，即是直角，
∴是矩形，
．
【解析】【分析】由平行四边形的对边相等得AB=CD=24，然后由勾股定理的逆定理判断出∠D=90°，从而根据有一个是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABCD是矩形，进而根据矩形的面积等于长乘宽可得答案.
20．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长．
【答案】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠B=90°，∠AEG+∠AGE=90°，
∵∠GEF=90°，
∴∠AEG+∠BEF=90°，
∴∠AGE=∠BEF，
∴△AEG∽△BFE，
∵E为AB边的中点，
∴GA：AE=BE：BF，
∴AE=BE= ，GE= ，EF= ，GF= =3．
另法：取GF的中点H，连接EH，
∵GA∥BF，GF和BA不平行，
∴四边形GABF是梯形，
∴EH= （梯形中位线定理），
∵GA=1，BF=2，
∴EH= ，
∵∠GEF=90°，
∴△GEF是直角三角形，
∴GF=2EH=2× =3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
【解析】【分析】求GF的长，可以先求GE、FE的长，E为AB边的中点，得出AE的长是解决此问题的途径，通过证明△AEG∽△BFE可以得出．
21．如图，长方形中，，，求长方形面积．
【答案】解：∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴长方形面积
【解析】【分析】先根据矩形的性质得，，再结合等腰三角形的两底角相等以及三角形的内角和定理可得，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2AB，在Rt△ABD中，用勾股定理求得的值，最后根据矩形的面积公式可求解．
22．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积．
【答案】解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm，
∴大正方形的边长是，
∴留下部分（即阴影部分）的面积是
，
答：留下部分的面积为．
【解析】【分析】先求出两个小正方形的边长，再利用割补法求出留下部分（即阴影部分）的面积是，最后计算即可。
23．如图，在矩形 中， ， ，若点M、N分别是线段 、 上的两个动点，则求 的最小值.
【答案】解：作点A关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于H.
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，∠ABD=30°，BC=8，
∴BD=16，AB= ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为12.
【解析】【分析】作点A关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于H，则 ，求出 的长度即可解决问题.
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