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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级下册第二十章 勾股定理
1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？
2．图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．
（1）求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
（2）将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
3．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
（1）是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路少多少千米．
4．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，求图中空白部分的面积
5．如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端与墙的距离长，求这个梯子顶端与地面的距离有多少米？如果梯子顶端下滑了，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了吗？请计算说明．
6．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
7．如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
8．如图：有一个圆柱，底面圆的直径EF= ，高FC=12cm，P为FC的中点，求蚂蚁从E点爬到P点的最短距离是多少？（画出平面图形）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CD，CE分别是斜边AB上的中线和高线.求：
（1）AE：ED：DB.
（2）△CDE的面积.
10．如图，△ABC中，∠ACD = 90°，AB = 10，AC = 6，AD平分∠BAC，DE ⊥ AB，垂足为点E．
（1）线段AD与CE是否垂直平分？说明理由；
（2）求△BDE的周长；
（3）求四边形AEDC的面积．
11．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c．
12．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
13．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求∠ACB的度数．
14．如图是一块形状为四边形试验田，在四边形中，，，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积．
15．房屋建筑设计师掌握很多数学知识．一天，李师傅加工完一块板材有事离开了，走时，他给徒弟一个任务：测量一下这块三角形板材的∠N是不是直角．经过测量，发现MN=75米，NK=4米，MK=8.5米．请你帮徒弟想一想，怎么样才能说明∠N是直角？
16．已知a、b、c满足（a﹣3）2++|c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
17．观察下表
列 举 猜 想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
… …
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？
18．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD=AB．
（1）设∠C＝α，∠ABD＝β．
①当α＝50°时，求β．
②请求出β与α的数量关系．
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
20．如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？
21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．
22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”。如图，在三角形ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且三角形ABC是“有趣三角形”，求三角形ABC的“有趣中线”的长。
23．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么三角形，并说明理由。
24．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
25．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.8米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．
（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
26．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，试求出玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为多少米？
27．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．
（1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号）
（2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，）
28．在“欢乐周末 非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．
29．如图，在中，点B在边上，连接，已知．
（1）求证：；
（2）求和的长．
30．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）.
31．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3， ，求FC的长度．
32．如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）
（1）求此刻风筝离地面的高度；
（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
33．如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它来验证勾股定理．
34．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
35．如图，一架云梯斜靠在一面墙上，且云梯长，云梯底端到墙的距离为7m．
（1）这架云梯的顶端到地面的距离有多高？
（2）如果云梯的顶端A到下滑到A＇处，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？
36．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
37．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
38．如图所示，数轴上点A表示-2，过数轴上表示1的点B作垂直于数轴的BC，若BC=2，以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点P，则数轴上点P所表示的数是多少？
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
40．如图所示，这是某市地图的一部分，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示，甲、乙两人对着地图如下描述A处的位置．
甲：A处的坐标是；乙：A处在B处南偏西方向，相距．求B处的坐标．
41．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
42．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
（1）AC的长为 ．
（2）①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为 ▲ ；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为 ▲ ；
（3）当是直角三角形时，求t的值；
（4）在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值 ．
43．中，，，点是直角边所在直线上一点，连接，以为直角边向上作等腰，，，过点作，垂足为．
（1）如图1，当点在线段上，且时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出 ； ；
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时：
①请你由观察、猜想直接写出_▲_；
②请你规范、严谨的证明：．
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，点为线段上任意一点，以为斜边向上做等腰，，，连接，已知，请你直接写出当长度最短时，线段的值为 ．
44．等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时．
①按照要求补全图形；
②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由．
45．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
46．如图，在中，，，C是边上任意一点，连接，以为直角边向下作等腰直角，其中，，连接．
（1）和相等吗？请说明理由．
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）、和具有什么数量关系？并说明理由．
47．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
48．如图，在Rt中，在AC上，且，过点(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点从点出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒.
（1）经过 秒时，Rt是等腰直角三角形；
（2）经过几秒时，
（3）当是等腰三角形时，求出的值.
49．直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，若，直角三角形的面积为，求它的各边长．
50． 如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）判断是直角三角形吗？请说明理由．
（2）连接，求的面积．
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【50道解答题·专项集训】人教版数学八年级下册第二十章 勾股定理
1．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？
【答案】解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B= （cm）．
【解析】【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．
2．图1是浙江某高科技公司生产的一款高清球机，它能进行全方位监控与拍摄，夜间的监控距离为．图2中，射线，是两条相交的公路，，将图1的球机安装在公路上的A处，．
（1）求该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度；
（2）将该球机安装到A处右侧多少距离外，夜间将监控不到公路上的事物？
【答案】（1）解：作于点H，在上取点P，使．
∵，，∴．
∵，∴．
∴该球机夜间在公路上所能监控到的部分的长度为
（2）解：，．
答：将该球机安装到A处右侧外，夜间将监控不到公路上的事物．
【解析】【分析】（1）作于点H，在上取点P，使．根据30°的直角三角形的性质求出AH长，然后根据勾股定理求出PH长解题即可；
（2）先求出平移后的球机安装位置，然后根据有理数的减法解题即可.
3．如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（、、在同一条直线上），并新修一条路，测得，，．
（1）是不是从村庄到河边的最近的路，请通过计算加以说明；
（2）求新路比原路少多少千米．
【答案】（1）解：是，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是为从村庄到河边的最近路；
（2）解：设，则，，
在中，根据勾股定理有，
，即，
解得：，
∴，
∴，
∴新路比原路少千米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据垂线段最短即可求出答案.
（2）设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：是，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴是为从村庄到河边的最近路；
（2）设，则，，
在中，根据勾股定理有，
，即，
解得：，
∴，
∴，
∴新路比原路少千米．
4．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣，如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，若BC=3，AC=4，求图中空白部分的面积
【答案】解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，根据勾股定理得AB2=AC2+BC2=52，
∴AB=5．
如图，延长CB交FH于点O，
∵四边形ABGM，APQC，BCDE均为正方形，四边形RFHN是长方形，
∴BG=AB=GM，∠ACB=∠ABG=∠F=∠H=∠MGB= 90° ，BC∥DE，
∴∠BOG=∠F=90°，∠CAB+∠ABC= 90°，∠ABC+∠GBO= 180°- 90°= 90°，
∴∠CAB=∠GBO，
在△ACB和△BOG中，
∴△ACB≌△BOG( AAS)，
∴AC=OB=4，OG=BC=3，
∴FR=4+3+4=11，
同理可证△MHG≌△GOB，
∴MH=OG=3，HG=OB=4，
∴FH=3+3+4= 10，
∴S空白部分=S长方形HFRN -S正方形BCDE-S正方形ACOP-S正方形ABCM
= 11×10-3×3-4×4-5×5= 60．
∴空白部分的面积为60．
【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，求出△ACB≌△BOG，求出AC=OB=4，OG=BC=3，分别求出长方形FHNR，正方形BCDE，正方形ACQP，正方形ABGM的面积即可求出答案。
5．如图所示，一架云梯长，斜靠在一面墙上，梯子底端与墙的距离长，求这个梯子顶端与地面的距离有多少米？如果梯子顶端下滑了，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了吗？请计算说明．
【答案】解：在中，
，
．
，
，
在中，，
．
故这个梯子的顶端距地面．梯子的底端在水平方向上不是滑动了，而是滑动了．
【解析】【分析】根据勾股定理可得OA，根据边之间的关系可得OA'，再根据勾股定理可得OB'，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．
把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．
（1）请设计一个图形说明等式（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2成立（画出示意图，并标上字母）
（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c，试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）
【答案】（1）解：设计的图形如下：
（2）解：a2+b2＝c2
【解析】【解答】解：（2）大正方形的边长为(a+b)。面积为：(a+b)2=a2+2ab+b2，
大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，
即大正方形的面积，
∴，
∴。
【分析】（1）设计一个长方形，长为2a+b，宽为a+b，它的面积就是 （a+b）（2a+b） ；
（2）确定大正方形ABCD的边长，计算面积，大正方形ABCD的面积又等于小正方EFGH的面积加上4个直角三角形的面积，根据面积相等建立等式求证即可。
7．如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
【答案】解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0，
∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。
∵ (a-3)2≥0， (b-4)2≥0， (c-5)2≥0。
∴ a=3，b=4，c=5。
∵ 32+42=52，
∴ a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
【解析】【分析】根据题意整理代数式，得到完全平方式的形式，根据平方的非负性，得到a、b、c的值，再根据股定理的逆定理，得到ΔABC是直角三角形.
8．如图：有一个圆柱，底面圆的直径EF= ，高FC=12cm，P为FC的中点，求蚂蚁从E点爬到P点的最短距离是多少？（画出平面图形）
【答案】解：已知如图：
∵圆柱底面直径EF= ，高FC=12cm，P为FC的中点，
∴EF= ×π× =8cm，FP=6cm，
在Rt△ABP中，
EP= =10cm，
∴蚂蚁从E点爬到P点的最短距离为10cm．
【解析】【分析】把圆柱的侧面展开，连接EP，利用勾股定理即可得出EP的长，即蚂蚁从E点爬到P点的最短距离．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CD，CE分别是斜边AB上的中线和高线.求：
（1）AE：ED：DB.
（2）△CDE的面积.
【答案】（1）解：由勾股定理，得AB=13．由CD是斜边AB上的中线，得
即解得
∴DE=AD-AE=
在Rt△ACE中，得
∴AE：ED：BD=50：119：169．
（2）解：
【解析】【分析】(1)由已知在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE是高，AB=5，BC=12，根据勾股定理可得AB的长，根据三角形的面积公式可求CE的长，在Rt△ACE中，根据勾股定理可得AE的长，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求BD，AD的长，从而可得DE的长，进一步即可求解；
(2)根据三角形的面积公式可求得△CDE的面积.
10．如图，△ABC中，∠ACD = 90°，AB = 10，AC = 6，AD平分∠BAC，DE ⊥ AB，垂足为点E．
（1）线段AD与CE是否垂直平分？说明理由；
（2）求△BDE的周长；
（3）求四边形AEDC的面积．
【答案】（1）解：垂直平分.
理由如下：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACB=90°，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴线段AD与CE垂直.
（2）解：∵∠ACD=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=，
∵AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
∵△AED≌△ACD，
∴DC=DE，
∴BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=4+8=12，
∴△BDE的周长为12.
（3）解：由（1）知DE=DC，在Rt△BDE中，BE=4，BD=8-DE，
∵，
∴，
解得，，
∴
=
=
=18．
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证出△AED≌△ACD，利用全等三角形的性质可得AE=AC，再结合AD⊥CE，可得AD是CE的垂直平分线，从而可证出线段AD与CE垂直；
（2）先利用勾股定理及线段的和差求出BE的长，再利用全等三角形的性质可得DC=DE，最后利用三角形的周长公式及等量代换求出△BDE周长即可；
（3）利用勾股定理求出DE的长，再利用三角形面积公式及割补法求出四边形ACDE的面积即可.
（1）垂直平分，理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=∠ACB=90°，
在△AED和△ACD中
∴△AED≌△ACD（AAS），
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE；
∴AD是CE的垂直平分线，
∴线段AD与CE垂直；
（2）∵∠ACD=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=，
∵AE=AC=6，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
又∵△AED≌△ACD，
∴DC=DE，
∴BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=4+8=12，
即△BDE的周长为12；
（3）由（1）知DE=DC，
在Rt△BDE中，BE=4，BD=8-DE，
又，
∴，
解得，，
∴
=
=
=18．
11．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c．
【答案】解：在△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∵c﹣a=4，b=12
∴c=a+4，
∴a2+122=（a+4）2
∴a=16
∴c=20，
即a=16，c=20
【解析】【分析】利用勾股定理得出结论，将c﹣a=4和b=12代入建立方程求出a的值，即可．
12．为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，，，，．根据你所学过的知识，解决下列问题：
（1）四边形的面积；
（2）点D到的距离．
【答案】（1）解：连结，
在中，∵，，
∴
在中，∵，
∴
∴是直角三角形，且
∴
答：四边形的面积为．
（2）解：过点D作于点E
∵
∴；
答：点D到的距离为．
【解析】【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用，结合三角形面积即可求出答案.
（2）过点D作于点E，根据三角面积即可求出答案.
13．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求△ABC的周长；
（2）求∠ACB的度数．
【答案】解：（1）由题意得：，，，
∴三角形ABC的周长；
（2）∵，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴∠ACB＝90°
【解析】【分析】（1）先分别利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AB，BC，AC的长，再计算三角形的周长即可；
（2）根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角进行判断求解即可.
14．如图是一块形状为四边形试验田，在四边形中，，，请你帮助农民伯伯计算这块实验田的面积．
【答案】解：在中，，根据勾股定理得，
，
在中，，
，
是直角三角形，
答：这块实验田的面积为.
【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再利用三角形的面积公式及割补法求出即可.
15．房屋建筑设计师掌握很多数学知识．一天，李师傅加工完一块板材有事离开了，走时，他给徒弟一个任务：测量一下这块三角形板材的∠N是不是直角．经过测量，发现MN=75米，NK=4米，MK=8.5米．请你帮徒弟想一想，怎么样才能说明∠N是直角？
【答案】解：在△MNK中，
因为MN2+NK2 =7.52+42 ．
=56.25+16
=72.25，
MK2=8.52=72.25，
所以MN2+NK2= MK2．
所以△MNK是直角三角形，∠N=90°是直角．
【解析】【分析】根据勾股定理以及勾股定理的逆定理，判断得到答案即可。
16．已知a、b、c满足（a﹣3）2++|c﹣5|=0．
求：（1）a、b、c的值；
（2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
【答案】解：（1）∵（a﹣3）2+，
又∵（a﹣3）2≥0，，|c﹣5|≥0，
∴a﹣3=0，b﹣4=0，c﹣5=0，
∴a=3，b=4，c=5；
（2）∵32+42=52，
∴此△是直角三角形，
∴能构成三角形，且它的周长l=3+4+5=12．
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合非负数的性质，易求a、b、c的值；
（2）由于32+42=52，易知此三角形是直角三角形，故能够构成三角形，再利用三角形周长公式易求其周长．
17．观察下表
列 举 猜 想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
… …
13、b、c 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值，并验证13，b，c是否是勾股数？
【答案】解：根据图表，由图可得规律：，解得．
所以b=84；c=85．
∵132+842=7225，852=7225，
∴13，84，85是勾股数．
【解析】【分析】根据图表，找出规律，即第一个数的平方等于两相邻数的和，故b，c的值可求．再根据勾股定理逆定理可得13，b，c是勾股数．
18．如图，在△ABC中，边BC＝30，点D在边AB上，BD＝18，连接CD，CD＝24，当AD＝CD时，求AC的长.
【答案】解：
为直角三角形，
在中
【解析】【分析】由勾股定理逆定理知△BCD为直角三角形，且∠BDC=90°，由题意可得AD=CD=24，然后在Rt△ADC中，利用勾股定理计算即可.
19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上（不与A，C重合），连接BD，BD=AB．
（1）设∠C＝α，∠ABD＝β．
①当α＝50°时，求β．
②请求出β与α的数量关系．
（2）若AB＝5，BC＝6，求AD的长．
【答案】（1）解：①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=50°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠C=80°，
∵BD=AB，
∴∠BDA=∠A=80°，
∴β=180°-∠A-∠BDA=20°.
②∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∴β=180°-2∠A，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=α，
∴∠A=180°-2∠C=180°-2α，
∴β=180°-2（180°-2α）=4α-180°.
（2）解：过点B作BN⊥AC于点N，
设AN=x，则CN=5-x，
∵BN2=AB2-AN2=BC2-CN2，
∴25-x2=36-（5-x）2，
∴x=，
∴AD=2AN=．
【解析】【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到：然后利用三角形内角和定理即可求解；
②根据等腰三角形的性质得到：进而即可求出，根据三角形外角的性质即可求解；
（2）过点B作BN⊥AC于点N，设AN=x，则CN=5-x，根据勾股定理列出方程解此方程即可求解.
20．如图，在修一条东西走向的公路时遇到一座小山，于是要修一条隧道．已知、、三点在同一条直线上．为了在小山的两侧、同时施工，过点作一条南北走向的直线l（即直线l，在直线l上取一点，使得米，经测量米．若施工队每天共挖米，求施工队几天能挖完？
【答案】解：由题意知，，
米，米，
米，
故（天），
答：施工队天能挖完．
【解析】【分析】根据题意得出 再利用勾股定理得出BC的长即可得出答案.
21．如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，若BD＝4，DC＝5，AD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】解：三角形ABC是直角三角形，理由如下：
∵AD为BC边上的高，
∴，
∵BD＝4，DC＝5，AD＝，
∴由勾股定理得：，，，
∵，，
∴，
∴∠BAC=90°，
∴三角形ABC是直角三角形.
【解析】【分析】先求出AB、AC和BC的长，再利用勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，即可得到三角形ABC是直角三角形。
22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”。如图，在三角形ABC中，∠C=90°，较短的一条直角边BC=1，且三角形ABC是“有趣三角形”，求三角形ABC的“有趣中线”的长。
【答案】解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，如图所示，BC=1，设BD=2x，则CD=x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2=BC2+CD2，即（2x）2=12+x2，解得：x= ，则△ABC的“有趣中线”的长等于
【解析】【分析】抓住题中根据已知条件如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”。根据题中已知三角形是直角三角形，且已知较短直角边的长，因此排除有趣的中线不可能是斜边和BC边上的中线，即此三角形的有趣中线只能是AC边上的中线，设BD=2x，则CD=x，利用勾股定理即可求出结果。
23．如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识判断△ABC是什么三角形，并说明理由。
【答案】解：直角三角形，理由如下：∴小方格边长为1，
∴AB2=12+22=5，AC2=22+42=20，BC2=32+42=25，∴AB2+AC2=BC2，△ABC为直角三角形。
【解析】【分析】在网格图中，根据勾股定理即可得到AB，AC以及BC的长度，根据勾股定理计算得到三角形ABC的形状即可。
24．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm，8cm，30cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从P处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
【答案】解：将长方体的表面展开，连接PC
则
【解析】【分析】先将长方体的表面展开，再根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理计算即可.
25．某实践探究小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表：
测量示意图
测量数据 边的长度 ①测得水平距离BC的长为15米．
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米．
③小明牵线放风筝的手到地面的距离为1.8米．
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析，他们发现根据勘测组的全部数据就可以计算出风筝离地面的垂直高度AD．请完成以下任务．
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17．求线段AD的长．
（2）如果小明想要风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该再放出多少米线？
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AB＝17，
由勾股定理，可得：，
∴AD＝AC+CD＝8+1.8＝9.8，
∴线段AD的长为9.8米；
（2）解：如图，当风筝沿DA方向再上升12米，则A'C＝20米，
在Rt△A'BC中，∠A'CB＝90°，BC＝15，
由勾股定理，可得，
∴25-17＝8，
∴他应该再放出8米长的线．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出的AC的长，再加上CD的长度，即可求出AD的高度；
（2）根据题意得A'C＝20米，再根据勾股定理计算出A'B，即可求解.
26．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，试求出玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为多少米？
【答案】解：作AE⊥OM，BF⊥OM，垂足分别为E、F，如图：
由题意： ，∠AOB=90°，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF，
即OE+OF=AE+BF=CD=17（米）
∵EF=EM-FM=AC-BD=10-3=7（米），
∴EO+OE+OF=17（米），
∴OE=5米，OF=12米，
∴OM=OF+FM=15米，
又因为由勾股定理得ON=OA= =13（米），
∴MN=15-13=2（米）.
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米.
【解析】【分析】首先利用AAS得出△AOE≌△OBF，根据全等三角形的对应边相等得出 OE=BF，AE=OF， 进而得出CD、OM的长，根据勾股定理由ON=OA算出ON的长，从而即可算出MN的长.
27．如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍．
（1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号）
（2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，）
【答案】（1）解：开始时绳子的长度为的3倍，AC=3，
米，
（米；
（2）解：如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
（米，
在Rt ACD中：
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
【解析】【分析】
（1）由已知条件得BC=18；根据勾股定理即可得出AB的长；
（2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果．
（1）开始时绳子的长度为的3倍．
米，
（米；
（2）如图，连接，
此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置．
船移动到点的位置时绳长（米，
（米，
船向岸边移动的距离为（米，
答：船向岸边移动了大约6.5米．
28．在“欢乐周末 非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内．
（1）求风筝离地面的垂直高度；
（2）在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明．
【答案】（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，，
在中，，
∴；
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则，
∴，
在中，，
∵，余线仅剩，
∴，
∴不能上升，即不能成功．
【解析】【分析】（1）过点A作于点E，则，，，根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）假设能上升，延长至点F，连接，则，根据边之间的关系可得EF，根据勾股定理可得AF，再比较大小即可求出答案.
（1）解：如图1所示，过点A作于点E，则，，，
在中，，
∴；
（2）解：不能成功，理由如下：
假设能上升，如图所示，延长至点F，连接，则，
∴，
在中，，
∵，余线仅剩，
∴，
∴不能上升，即不能成功．
29．如图，在中，点B在边上，连接，已知．
（1）求证：；
（2）求和的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：设，则，
∴．
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
则，
故的长为17，的长为9．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得 ，即，求出x的值，再求出AD和BD的长即可.
30．一个长方形的长与宽之比为5：3，它的对角线长为 cm，求这个长方形的长与宽（结果保留2个有效数字）.
【答案】解：设长为5xcm，则宽为3xcm，用勾股定理得（5x）2+（3x）2=（ ）2，
∴25x2+9x2=68，
∴34x2=68，
∴x2=2，即x= 或x= （舍去），
∴长为5× ≈7.1（cm），宽为3× ≈4.2（cm）
答：长方形的长为7.1cm，宽为4.2cm.
【解析】【分析】一个长方形的长与宽之比为5：3，设长为5xcm，则宽为3xcm，根据对角线的长用勾股定理即可列出方程，求出长方形的长和宽，再进行估算.
31．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3， ，求FC的长度．
【答案】解： ，点D是AB的中点，DF＝3
点D、E是AB、AC的中点，
且
【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形中位线定理得到 ，得到 ，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可。
32．如图所示，某两位同学为了测量风筝离地面的高度，测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离为8米． 已知牵线放风筝同学的身高为1.60米，放出的风筝线长度为17米（其中风筝本身的长宽忽略不计）
（1）求此刻风筝离地面的高度；
（2）为了不与空中障碍物相撞，放风筝的同学要使风筝沿方向下降9米，若该同学站在原地收线，请问他应该收回多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为16.6米；
（2）解：如图，设风筝沿方向下降9m至点，则 ，
在中，由勾股定理可知，
，
答：该同学应该收回7米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）设风筝沿方向下降9m至点，则 ，根据勾股定理可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
33．如图是著名的赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你用它来验证勾股定理．
【答案】解：S小正方形=（b﹣a）2=b2﹣2ab+a2，另一方面S小正方形=c2﹣4× ab=c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2=c2﹣2ab，
∴a2+b2=c2．
（说明：其他解法参照给分）
【解析】【分析】通过图中小正方形面积证明勾股定理．
34．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东的方向，航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？
【答案】解：由题意得：（海里），海里，，
在中
∴（海里），
∴乙船的航速是（海里/时），
答：乙船的航速是9海里/时．
【解析】【分析】
根据题意，再用勾股定理求出的长，即可求解．
35．如图，一架云梯斜靠在一面墙上，且云梯长，云梯底端到墙的距离为7m．
（1）这架云梯的顶端到地面的距离有多高？
（2）如果云梯的顶端A到下滑到A＇处，那么它的底部在水平方向也滑动了吗？
【答案】（1）解∶在中，由勾股定理得，
即，
所以 ，
即这架云梯的顶端到地面的距离有高；
（2）解：梯子的底部在水平方向不是滑动了．理由：
令云梯的顶端下滑了至点，则
，
在中，由勾股定理得，
即
所以
，
即梯子的底端在水平方向也滑动了．
∴梯子的底部在水平方向不是滑动了．
【解析】【分析】(1)在直角三角形ABO中，利用勾股定理即可求出AO的长；
(2)首先求出AO的长，利用勾股定理可求出， 的长，进而得到 的值.
36．如图，一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，若AB=3cm，BC=5cm，BF=6cm，问蜘蛛要沿着怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？这时蜘蛛走过的路程是多少厘米？
【答案】解：（1）如图（1）当蚂蚁从A出发先到EF上再到点G时∵BC=5cm，∴FG=BC=5cm，∴BG=5+6=11cm在Rt△ABG中AG===，∵>10（2）如图（2）当蚂蚁从A出发先到BF上再到点G时∵AB=3cm，BC=5cm∴AC=AB+BC=3+5=8cm∵BF=6cm，∴CG=BF=6cm在Rt△ABG中AG= = =10cm ∴第一种方案最近，这时蜘蛛走过的路程是10cm．
【解析】【分析】本题先把长方体展开，根据两点之间线段最短的性质，得出最短的路线是AG，然后求出展开后的线段AC、CG的长，再根据勾股定理求出AG即可．
37．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【答案】解：如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则CD=14﹣x，
由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，
故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，
解之得：x=9．
∴AD=12．
∴S△ABC= BC AD= ×14×12=84．
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．此题主要考查了勾股定理，根据题意正确表示出AD2的值是解题关键．
38．如图所示，数轴上点A表示-2，过数轴上表示1的点B作垂直于数轴的BC，若BC=2，以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点P，则数轴上点P所表示的数是多少？
【答案】解：由勾股定理，得
AP=AC=
因为OA=2，所以OP=AP-OA= -2，所以点P到原点的距离是、 -2．
因为点P在原点右侧，所以点P表示的数为 - 2．
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，则由同圆的半径相等的性质得出AP的长，然后利用线段间的和差关系求出OP的长，结合P在原点的右侧，即可解答.
39．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知BC＝10，AD＝12，求BD，DE的长．
【答案】解∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2，
∵AD＝12，
∴，
∵E为AB的中点，D点为BC的中点，
∴．
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质可求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长；然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE的长.
40．如图所示，这是某市地图的一部分，分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示，甲、乙两人对着地图如下描述A处的位置．
甲：A处的坐标是；乙：A处在B处南偏西方向，相距．求B处的坐标．
【答案】解：由点A的坐标建立平面直角坐标系，如图所示．连接，过点B作轴于C点．
由题意，得，，，
∴由勾股定理求得，
∴，
∴．
【解析】【分析】连接，过点B作轴于C点，先利用勾股定理求出，再利用线段的和差求出OC的长，从而可得点B的坐标.
41．【问题情境】
贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？
（1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________．
【变式探究】
（2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？
【拓展应用】
（3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计）
【答案】解：（1）25；
（2）将圆柱体侧面展开，如图：
由题意得：，，
，
该蚂蚁爬行的最短路程厘米；
（3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点，
连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，
，，，，
根据勾股定理有：
，
蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为．
【解析】【解答】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
故答案为：25；
【分析】（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（2）将圆柱体侧面展开，由题意得：，，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理即可求出答案.
42．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒．．
（1）AC的长为 ．
（2）①当点P在AC延长线上运动时，PC的长为 ▲ ；（用含t的代数式表示）
②当点P在的角平分线上，则PC的长为 ▲ ；
（3）当是直角三角形时，求t的值；
（4）在整个运动中，直接写出为轴对称图形时t的值 ．
【答案】（1）4
（2）①．②
（3）解：当时，点P与点C重合，，
当时，在中，，
在中，，
，
（4）或2.5或4．（的小数1.5625）
【解析】【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴由勾股定理得：AC==4，
（2）①∵已知点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
∴当点P在AC的延长线上时，点P运动的长度为：AC+CP=2t，
∵AC=4，
∴CP=2t-AC=2t-4．
故答案为：2t-4．
②解：过点P作PM⊥AB于点M，如图所示：
∵∠ACB=90°，
∴PC⊥BC，
∵点P在∠ABC的角平分线上， PM⊥AB，
∴PC=PM，
又∵PB=PB，
∴Rt△PCB≌Rt△PMB，
∴ CB=MB，
∴AM=AB-MB=AB=BC=5-3=2，
设PM=PC=x，则AP=4-x，
在Rt△APM中，，
∴，
解得：x=，
则
故答案为：．
（4）解：当AB作为等腰三角形ABP的底边时，如图所示：
则PA=PB，设PA=a，则PC=AC-AP=4-a，
在Rt△PCB中，，
，
解得：，
此时；
当AB作为等腰三角形ABP的腰时，如图所示：
AP1=AB=5，此时t=5÷2=；
AB=BP2时，
∵BC⊥AP2，
∴AP2=2AC=8，
此时t=8÷2=4，
综上所述，为轴对称图形时t的值为或2.5或4．（的小数1.5625）
【分析】(1)由勾股定理可求得AC的值，
（2）①点P运动的长度为：AC+CP=2t，根据线段的和差关系解答即可；
②根据角平分线的性质设PM=PC=x，则AP=4-x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；
（3）分情况讨论，时 ，点P与点C重合，则，； 当时，根据勾股定理，在中，， 列出方程，解方程即可求解．
（4）当AB作为底时，PA=PB，设PA=a，则PC=AC-AP=4-a，在Rt△PCB中，勾股定理求得a的值，当AB作为腰时，AP1=AB=5，此时t=；当AP2=2AC=8，此时t=4．
43．中，，，点是直角边所在直线上一点，连接，以为直角边向上作等腰，，，过点作，垂足为．
（1）如图1，当点在线段上，且时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出 ； ；
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时：
①请你由观察、猜想直接写出_▲_；
②请你规范、严谨的证明：．
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，点为线段上任意一点，以为斜边向上做等腰，，，连接，已知，请你直接写出当长度最短时，线段的值为 ．
【答案】（1）6；2
（2）解：①∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴EF=CD=2，
故答案为：2；
②证明：∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴DF=AC，
∵BC=AC，
∴DF=BC，
∴CD＝BF．
（3）4.8
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，．
故答案为：6；2；
（3）解：补全图形，作，取中点O，连接、、，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，长度最短，如图所示，
此时，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∴．
【分析】（1）证明，得出，即可；
（2）同（1）证明，得出，即可；
（3）补全图形，作，可求，，当时，长度最短，设直线交于点S，证，得出，利用等积法求出即可．
44．等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时．
①按照要求补全图形；
②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：①解：补图如图1，
②解：，证明如下；
如图2，延长到，使得，连接，作，交于，
∴，
∵等边，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：解：或，理由如下；由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；
当在的右侧时，如图3，连接，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴在上，
∴；
当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，作于，
∴，
设，则，，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴；
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）①按照要求补图即可；
②如图2，延长到，使得，连接，作，交于，则，证明，是等边三角形，则，由，可求，设，，则，证明，则，即，可求，，则，进而可证，解答即可；
（2）由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；当在的右侧时，如图3，连接，证明，则，，由，可知在上，进而可得；当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，证明，则，，如图4，作于，则，设，则，，，可求，，由勾股定理得，，，进而可得，解答即可．
（1）①解：补图如图1，
②解：，证明如下；
如图2，延长到，使得，连接，作，交于，
∴，
∵等边，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：或，理由如下；
由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；
当在的右侧时，如图3，连接，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴在上，
∴；
当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，作于，
∴，
设，则，，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴；
综上所述，或．
45．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
（1）如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
（2）如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
【答案】（1）解：①BD；
②如图，连接AD，
∵，
∴．
在△ABC中，，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图，以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．
由（1）可得．
在△PCD中，，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
在△AED中，，，
∴．
∴．
【解析】【解答】（1）①∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且，
∴，，．
在△ACE和△BCD中，
∴，
∴连接AE和BD使，
∴线段AE的“友好”线段是BD，
故答案为：BD；
【分析】（1）①先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得AE=BD，从而可得答案；
②连接AD，先利用勾股定理求出AB的长，再求出BD的长，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E，先利用勾股定理求出PD的长，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质可得，，再利用勾股定理求出AD的长，即可得到．
46．如图，在中，，，C是边上任意一点，连接，以为直角边向下作等腰直角，其中，，连接．
（1）和相等吗？请说明理由．
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）、和具有什么数量关系？并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2）的周长为，
当最小时，的周长最小，
C是边上任意一点，
当垂直时，的周长最小，
，，
，
根据面积法可得此时；
（3）解：，理由如下：
，，
，，
，
，即，
，
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）先利用角的运算可推出，再结合AO=BO和CO=CD，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明结论；
（2）利用三角形的周长计算公式可得：的周长为，据此可得当垂直时，的周长最小，利用勾股定理可求出AB，利用等面积法可求出OC；
（3）根据，，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得：，，进而可证明，利用勾股定理和等量代换可得，进而可证明结论．
（1）解：，理由如下：
，，
，
即，
在与中，
，
，
；
（2）的周长为，
当最小时，的周长最小，
C是边上任意一点，
当垂直时，的周长最小，
，，
，
根据面积法可得此时；
（3）解：，理由如下：
，，
，，
，
，即，
，
47．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD= 90°，BC=6，CD=AC=8，M，N分别是对角线BD，AC的中点，连结AM．
（1）求AM的长．
（2）求证：MN⊥AC．
（3）求MN的长．
【答案】（1）解：如图，连结CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴.
，
∴AM=5.
（2）证明：∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
.
∵N是AC的中点，
；
（3）解：∵AC=8，N是AC的中点，
.
【解析】【分析】（1）连结CM，由直角三角形斜边中线的性质可得AM=CM=BM=DM=BD，再利用勾股定理求出BD的长，继而得解；
（2）由（1）知AM=CM，根据等腰三角形扇形合一的性质即可求解；
（3）由线段的中点求出AN，由（2）知MN⊥AC，利用勾股定理求出MN即可．
48．如图，在Rt中，在AC上，且，过点(与BC在AC同侧)作射线AN⊥AC，若动点从点出发，沿射线AN匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒.
（1）经过 秒时，Rt是等腰直角三角形；
（2）经过几秒时，
（3）当是等腰三角形时，求出的值.
【答案】（1）6
（2）当PM⊥MB 时，∠BMP＝90°，
∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，
∴∠CBM＝∠AMP，
在△CBM和△AMP 中，，
∴△CBM≌△AMP(ASA)，
∴AP＝CM＝2，
∴t＝2，即经过2秒时，PM⊥MB；
（3）根据勾股定理得，BM＝，BP的最小值为8，
∵＜8，
∴BM≠BP，
当MB＝MP时，
在Rt△BCM和Rt△MAP中，
，
∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，
∴AP＝CM＝2，则t＝2，
当PB＝PM时，如图2，作BF⊥AN于F，则四边形BCAF为长方形，
∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，
∴PF＝6﹣t，
由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，
∴PF2+BF2＝AM2+AP2，
即(6﹣t)2+82＝62+t2，解得，t＝，
∴当△BMP是等腰三角形时，t＝2或.
【解析】【解答】解：（1） 当Rt△AMP是等腰直角三角形时，AP=AM=6cm，
∴t=6÷1=6（s），
故答案为：6；
【分析】（1）根据等腰直角三角形的意义求解；
（2）根据垂直的意义和同角的余角相等得到∠CBM=∠AMP，证明△CBM≌△AMP，根据全等三角形的性质得到AP=CM=2，根据题意得到答案；
（3）分MB=MP和PB=PM两种情况，根据全等三角形的性质，勾股定理计算即可．
49．直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，若，直角三角形的面积为，求它的各边长．
【答案】解：∵ 直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，
∴a2+b2=c2，
∴b2=c2-a2，
∵ ，
∴3（a+b+c）=4（a+c），
∴3b=a+c，
∴9b2=（a+c）2，
∴9（c2-a2）=（a+c）2，
整理得9（c-a）=c+a，
∴a=，
∴b=，
∵ 直角三角形的面积为，
∴，
∴，
解得c=（负值已舍） ，
∴a=2，b=，c=.
【解析】【分析】由勾股定理得b2=c2-a2，由已知得3b=a+c，则9b2=（a+c）2，进而可得9（c2-a2）=（a+c）2，整理求解可用含c的式子表示出a、b，然后根据三角形的面积计算公式建立方程，求出c的值，此题得解.
50． 如图，在四边形中，已知，，，，．
（1）判断是直角三角形吗？请说明理由．
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：是直角三角形．
理由：∵，，，
∴．
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
（2）解：如图，过点D作交延长线于点M．
由（1）可知，
所以．
∵，，
∴，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积，熟知勾股定理以及逆定理，全等三角形的判定与性质，余角的性质，三角形的面积计算公式是解题关键.
（1）由∠ACD=90°和勾股定理可知：在Rt△ACD中， 4，再由3，1，由勾股定理逆定理可知：△ABC为直角三角形，即可得出答案；
（2）过点D作DM⊥BC交BC延长线于点M，由∠ACD=90°，∠ABC=90°和三角形内角和为180°可知：∠ACD+∠DCM=90°，∠ACB+∠CAB=90°，由同角的余角相等可知：∠CAB=∠DAM，由AC=CD，∠ABC=∠CMD=90°，由全等三角形的判定方法AAS可证得△ABC≌△CMD，再由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等可知：DM=BC=1，最后代入三角形面积计算公式：×BC×DM=，即可得出答案.
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